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Fsica ILic. Segundo Enrique Dobbertin Snchez

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CINEMTICAMovimiento en una dimensin

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Introduccin: El estudio del movimiento de los objetos, as como de los conceptos relacionados

de fuerza y energa, forman el campo de la mecnica. La mecnica a la vez sueledividirse en dos partes: cinemtica, que es la descripcin de cmo se mueven losobjetos; y dinmica, que trata con el concepto de fuerza y las causas delmovimiento de los objetos.

Mecnica

La MECNICA estudia el estado de reposo y movimiento de los cuerpos.

Cinemtica

La CINEMTICA es la parte de la mecnica que estudia los movimientos independientemente de las

causas que los producen. Partcula. Movimientos absolutos y relativos

PARTCULA es un punto material, un ente ideal cuyo volumen consideramos nulo.

Un punto se mueve cuando su posicin vara con relacin a un sistema de ejes que consideramosfijo. Si los ejes de referencia estn realmente fijos, el movimiento es ABSOLUTO; si no lo estn, almovimiento se le llama RELATIVO.

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Adivine ahora!

Dos pequeas esferas pesadas tienen el mismo dimetro, pero una pesa eldoble que la otra. Las esferas se sueltan desde el balcn de un segundo pisoexactamente al mismo tiempo. El tiempo para caer al suelo ser:

a) El doble para la esfera ms ligera en comparacin con la ms pesada.

b) Mayor para la esfera ms ligera, pero no del doble.

c) El doble para la esfera ms pesada en comparacin con la ms ligera.

d) Mayor para la esfera ms pesada, pero no del doble.

e) Casi el mismo para ambas esferas.

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Comenzaremos estudiando los objetos que se mueven sin girar (figura 1 a).Tal movimiento se llama movimiento traslacional.

Figura 1: La pia en a) sufre traslacin pura alcaer, mientras que enb) gira al mismo tiempo quesetraslada.

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Marcos de referencia y desplazamiento Toda medicin de posicin, distancia o rapidez debe realizarse con respecto a un

marco de referencia.

Por ejemplo, suponga que mientras usted viaja en un tren a 80 km/h, ve a una persona quecamina por el pasillo hacia el frente del tren con rapidez, digamos, de 5 km/h, que es larapidez de la persona con respecto al tren como marco de referencia. Sin embargo, conrespecto al suelo, esa persona se mueve con una rapidez de 80 km/h + 5 km/h = 85 km/h.

Siempre es importante especificar el marco de referencia al indicar una rapidez. En la vidadiaria, por lo general al hablar de una rapidez implcitamente queremos decir conrespectoa la Tierra, pero el marco de referencia debe especificarse siempre que pueda haberconfusiones.

Figura 2:El tren se mueve a 80 km/h con respecto al suelo.

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Al especificar el movimiento de un objeto, es importante indicar no slo larapidez, sino tambin la direccin del movimiento.

Para el movimiento unidimensional, a menudo elegimos el ejex como la lnea a

lolargo de la cual se lleva a cabo el movimiento. Laposicin de un objeto encualquier momento se define como el valor de su coordenada x. Si elmovimiento es vertical, comoen el caso de un objeto que cae, por lo generalusamos el ejey.

Es necesario hacer una distincin entre la distancia recorrida por un objeto y sudesplazamiento, el cual se define como el cambio de posicin del objeto.

Es decir, el desplazamiento muestra qu tan lejos est el objeto del puntode partida.

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Ejemplo 01:

Para ver la distincin entre distancia total y desplazamiento, imagine unapersona que camina 70 m hacia el este y que luego regresa al oeste una distanciade 30 m (vase la figura 3). La distancia total recorrida es de 100 m, pero eldesplazamiento es slo de 40 m, ya que la persona est ahora a slo 40 m delpunto de partida.

Figura 3:La distancia total recorrida es 100 m (el camino recorrido semuestra con la lnea punteada negra); pero el desplazamiento, que semuestra con una flecha ms gruesa, es de 40 m hacia el este.

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Considere el movimiento de un objeto durante un intervalo de tiempo dado.Suponga que en un momento inicial, llamado , el objeto est sobre el eje xen una posicin del sistema coordenado que se muestra en la figura 4. Enalgn tiempo posterior, , suponga que el objeto se ha movido a una posicin. El desplazamiento del objeto es y se representa mediante laflecha gruesa que apunta hacia la derecha en la figura 4. Es convenienteescribir

=

Figura 4:La Flecha representa el desplazamiento . Las distanciasestn en metros.

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donde el smbolo (letra griega delta) significa cambio en. As que significa el cambio en xo cambioen laposicin,que es el desplazamiento.Tener en cuneta que el cambio encualquier cantidad, significa el valor finalde esa cantidad, menos el valor inicial.

Suponga que = 10.0 y = 30.0 , entonces,

= = 30.0 10.0 = 20.0

Por lo que el desplazamiento es de 20.0 m en la direccin positiva.

Ahora considere un objeto que se mueve hacia la izquierda, como se muestra

en la figura 5. en este caso, una persona inicia su movimiento en = 30.0 ycamina hacia la izquierda hasta la posicin = 10.0 . De modo que sudesplazamiento es

= = 10.0 30.0 = 20.0

Ejemplo 02:

Figura 5: el vector desplazamiento apuntahacia la izquierda.

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Velocidad promedio

El aspecto ms evidente del movimiento de un objeto es qu tan rpido semueve, es decir, su rapidez o velocidad.

El trmino rapidezse refiere a qu tan lejos viaja un objeto en un intervalo detiempo dado, independientemente de ladireccin y el sentido del movimiento.

Si un automvil recorre 240 kilmetros (km) en 3 horas (h), decimos que surapidez promedio fue de 80 km/h.

En general, larapidez promedio de un objeto se define como la distanciatotalrecorrida a lo largo de su trayectoria, dividida entre el tiempo que le toma

recorrer esa trayectoria:

=

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Los trminosvelocidady rapideza menudo se utilizan indistintamente enel lenguaje cotidiano. Sin embargo, en fsica hacemos una distincin entreambos. La rapidez es simplemente un nmero positivo con unidades. Por otrolado, el trminovelocidadse usa para indicar tanto lamagnitud (es decir, elvalor numrico) de qu tan rpido se mueve un objeto, como ladireccin en

la que se mueve. (Por lo tanto, la velocidad es un vector). Existe una segunda diferencia entre rapidez y velocidad; a saber, lavelocidad

promediose define en trminos deldesplazamiento, en vez de la distanciatotal recorrida:

=

=

La rapidez promedio no es necesariamente igual a la magnitud de lavelocidad promedio.

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Ejemplo 03:

recuerde la caminata que describimos antes, en la figura 3, donde una persona camin70 m al este y luego 30 m al oeste. La distancia total recorrida fue de 70 m + 30 m =100 m, pero el desplazamiento fue de 40 m. Suponga que esta caminata dur en total70 s.

Entonces, la rapidez promedio fue:

=

=

100

70 = 1.4

.

Por otro lado, la magnitud de la velocidad promedio fue:

=

=

40

70 = 0.57

.

Esta diferencia entre la rapidez y la magnitud de la velocidad puede ocurrir cuando secalculan valorespromedio.

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En general para analizar el movimiento unidimensional de un objeto, supongaque en un momento dado llamado , el objeto est en la posicin del ejex de un sistema coordenado, y que en un tiempo posterior , el objeto se hamovido a la posicin .El tiempo transcurridoes = y durante este

intervalo de tiempo el desplazamiento del objeto fue = . Lavelocidad promedio, definida como el desplazamiento dividido entre eltiempo transcurrido, puede escribirse como

=

=

donde representa velocidad y la barra ( ) sobre la es un smbolo estndarque significa promedio. (Algunos autores la llaman tambin velocidadmedia).

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Practica:1. Velocidad promedio de un corredor. La posicin de un corredor en funcin del

grafica conforme se mueve a lo largo del eje x de un sistema coordenado. Dintervalo de tiempo de 3.00 s, la posicin del corredor cambia de = 50.0 a como se muestra en la figura 6. Cul fue la velocidad promedio del corredor?

2. Distancia recorrida por un ciclista. Qu distancia puede recorrer un ciclista enlargo de un camino recto, si su velocidad promedio es de 18 km/h?

Figura 6:el desplazamiento es -19.5 m.

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Velocidad instantnea Si usted conduce un automvil a lo largo de un camino recto de 150 km en 2.0 h, l

magnitud de su velocidad promedio es de 75 km/h. Sin embargo, es improbable quese haya desplazado precisamente a 75 km/h en cada instante. Para describir estsituacin, necesitamos el concepto develocidad instantnea, que es la velocidad ecualquierinstante de tiempo.

Con ms precisin, la velocidad instantnea en cualquier momento se define comola velocidad promedio durante un intervalo de tiempo infinitesimalmente corto.

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consideramos larazn

como un todo. Cuando hacemos que tienda a cero, x

tambin tiende a cero; pero la razn

tiende a un valor bien definido, que es la

velocidadinstantnea en un instante dado.

En la ecuacin anterior el lmite cuando 0 se escribe en notacin del clculo

como dx/dt y se llama la derivada de x con respecto a t:

Esta ecuacin es la definicin de velocidad instantnea para el movimientounidimensional.

Para la velocidad instantnea usamos el smbolo , mientras que para la velocidadpromedio usamos , con una barra.

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Si un objeto se mueve con velocidad uniforme (es decir, con velocidad constante)durante un intervalo de tiempo especfico, su velocidad instantnea en cualquierinstante es la misma que su velocidad promedio (vase la figura 7, a.). Pero enmuchas situaciones ste no es el caso. Por ejemplo, un automvil puede partir dereposo, aumentar la velocidad hasta 50 km/h, permanecer a esta velocidaddurante cierto tiempo, luego disminuirla a 20 km/h en un congestionamiento de

trnsito y, finalmente, detenerse en su destino despus de haber recorrido un totalde 15 km en 30 minutos. Este viaje se muestra en la grfica de la figura 7, b. Sobrela grfica se indica tambin la velocidad promedio (lnea punteada), que es =

=

.= 30 /.

Figura 7:velocidad de un automvil funcin del tiempo: a) con velocidconstante; b) con velocidad variable.

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Ejemplo 04: Dadax como funcin de t.Un motor de

propulsin a chorro se mueve a lo largo

de una pista experimental (quellamamos el ejex) como se muestraenla figura 8a. Trataremos al motor comosi fuera una partcula. Su posicin enfuncin del tiempo est dada por laecuacin = + , donde A=2.10m/s y B=2.80 m; esta ecuacin segrafica en la figura 8b.a) Determine el

desplazamiento del motor durante elintervalo de tiempo de = 3.00 a = 5.00 . b) Determine la velocidadpromedio durante este intervalo detiempo.c) Determine la magnitud delavelocidad instantnea ent= 5.00 s.

Figura 8: a) Un motor de propulsin achorro que viaja sobre una pista recta.B) Grafica de x versus t: = + .

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Aceleracin Se dice que un objeto cuya velocidad cambia est sometido a aceleracin. Por

ejemplo, un automvil cuya velocidad crece en magnitud de cero a 80 km/hest acelerando. La aceleracin especifica qu tan rpidamente estcambiando la velocidad del objeto.

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La aceleracin promedio se define como el cambio en la velocidad dividido entre eltiempo que toma efectuar este cambio:

=

En smbolos, la aceleracin promedio, en un intervalo de tiempo = durante el cual la velocidad cambia en = , se define como

Como la velocidad es un vector, la aceleracin tambin es un vector; pero para elmovimiento unidimensional, basta usar un solo signo de ms o de menos paraindicar el sentido de la aceleracin respecto de un sistema coordenado dado.

Aceleracin Promedio

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Ejemplo 5: Aceleracin promedio.Un automvil acelera a lo largo de un camino recto,

desde el reposo hasta 90 km/h en 5.0 s (figura 9). Cul es la magnitud de suaceleracin promedio?

Figura 9: El autoinicio con = 0 emuestra tres vecest = 2.0 y, al finalde tiempo, en que la aceleracin

a 5.0 m/s^2 Larepresentan los velongitud de cada magnitud de la momento. El vectflecha gris. Las dibujadas a escala.

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Desaceleracin Cuando un objeto est frenando, decimos que est desacelerando. Pero

cuidado: la desaceleracinnoimplica que la aceleracin sea necesariamentenegativa. La velocidad de un objeto que se mueve hacia la derecha a lo largo

del eje x positivo es positiva; si el objeto est frenando (Figura 10), laaceleracin es negativa. Pero el mismo automvil, movindose hacia laizquierda (x decreciente) y frenando, tiene aceleracinpositiva que sealahacia la derecha, como se indica en la figura 11 Tenemos una desaceleracinsiempre que la magnitud de la velocidad disminuye, de modo que la velocidady la aceleracin apuntan en sentidos opuestos.

Figura 10:El vector aceleracin (flecha gris) seala hacia la izquierda, loque significa que el auto frena mientras se mueve a la derecha.

Figura 11: El mismo automvil, peroahora movindose hacia la izquierda ydesacelerando.

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Ejemplo 6: Automvil que desacelera. Un automvil se mueve hacia la derecha a lo

largo de un camino recto, que llamamos el eje x positivo (figura 10) cuando elconductor aplica los frenos. Si la velocidad inicial (cuando el conductoracciona los frenos) es = 15 /y toma 5.0 s desacelerar a = 5.0 /,cul fue la aceleracin promedio del automvil?

Y El mismo automvil (figura 11), pero ahora movindose hacia la izquierda ydesacelerando.

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Aceleracin instantnea La aceleracin instantnea, a, se define como el valor lmite de la

aceleracin promediocuandotiende a cero:

Este lmite,dv/dt, es la derivada de con respecto a.

Al igual que la velocidad, la aceleracin es una razn de cambio. La velocidadde un objeto es la razn de cambio a la que el desplazamiento cambia con el

tiempo; por otro lado, su aceleracin es la razn de cambio a la que suvelocidad cambia con el tiempo. En cierto sentido, la aceleracin es unarazn de una razn. Esto puede expresarse en forma de ecuacin comosigue: dado que a dv/dt y v dx/dt, entonces,

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Ejemplo 7: Aceleracin a partir de x(t).Una partcula se mueve en una lnea recta, de

manera que su posicin como funcin del tiempo est dada por la ecuacin

= 2.10

+ (2.80 ), Calcule a) su aceleracin promedio durante elintervalo de tiempo de = 3.00 a = 5.00 , y b) su aceleracininstantnea como funcin del tiempo.

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Movimiento con aceleracin constante Examinemos la situacin cuando la magnitud de la aceleracin es constante y

el movimiento es en lnea recta. En este caso, las aceleraciones instantnea y

promedio son iguales. Utilizaremos las definiciones de velocidad promedio yaceleracin, para deducir un conjunto de ecuaciones extremadamente tilesque relacionan ,, cuando es constante, lo cual permite determinarcualquiera de esta variables si se conocen las otras.

Para simplificar nuestra notacin, tomemos el tiempo inicial en cualquieranlisis que hagamos como cero

= = 0

Podemos luego considerar que = sea el tiempo transcurrido.

la posicin inicial y velocidad inicial estarn representados ahora por:

= y =

y la posicin final y velocidad final sern:

= y =

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A velocidad promedio durante el intervalo de tiempo t , y si =0 ser:

la aceleracin, que se supone constante en el tiempo ser:

Un problema comn consiste en determinar la velocidad de un objeto despus

cualquier tiempo transcurridot, dada su aceleracin constante. Podemos resolverproblema despejando v en la ltima ecuacin:

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A continuacin, veamos cmo calcular la posicinx de un objeto despus deun tiempo t, cuando est sometido a una aceleracin constante. De Ladefinicin de velocidad promedio que podemos reescribir como

Como la velocidad aumenta de manera uniforme, la velocidad promedio estar a la mitad entre las velocidades inicial y final:

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Combinando las ltimas tres ecuaciones obtenemos:

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Ahora derivaremos la cuarta ecuacin, que es til en situaciones donde no seconoce el tiempo t.

A continuacin despejamos t.

y sustituyendo este valor en la ecuacin anterior, resulta

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Despejamos en la ecuacin ecuacin y obtenemos

que es la ecuacin til que buscbamos. Tenemos ahora cuatro ecuaciones que relacionan la posicin, la velocidad, la

aceleracin y el tiempo, cuando la aceleracin a es constante.

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Ejemplo 8:

Diseo de una pista de aterrizaje.Usted disea un aeropuerto para avionespequeos. El tipo de avin que podra usar este aeropuerto puede acelerar a

2.00 m/s^2 y debe alcanzar una rapidez, antes de despegar, de por lo menos27.8 m/s (100 km/h). a) Si la pista tiene 150 m de longitud, puede este avinalcanzar la rapidez mnima que se requiere para despegar?, b) En casonegativo, qu longitud mnima debera tener la pista?

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Cada libre de objetos Uno de los ejemplos ms comunes del movimiento uniformemente acelerado es el

de un objeto que se deja caer libremente cerca de la superficie terrestre. Elhecho de que un objeto que cae est acelerado quiz no sea evidente al

principio. No piense, como se crea ampliamente hasta la poca de Galileo, que los objetos

ms pesados caen ms rpido que los objetos ms ligeros y que la rapidez de lacada es proporcional al peso del objeto.

En su anlisis, Galileo aplic su nueva y creativa tcnica de imaginar qu pasaraen casos idealizados (simplificados). Para la cada libre, postul que todos losobjetos caen con la misma aceleracin constante en ausencia de aire u otraresistencia.

La contribucin especfica de Galileo, para nuestro entendimiento delmovimiento de cada de objetos, se resume como sigue:

en un lugar dado sobre la Tierra y en ausencia de la resistencia delaire, todos los objetos caen con la misma aceleracin constante.

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Llamamos a esta aceleracin aceleracin debida a la gravedad sobre lasuperficie de la Tierra, y usamos el smbolo g. Su magnitud esaproximadamente

Figura 10:Una piedra y una pluma se dejan caersimultneamente a) en el aire y b) en un vaco.

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tratar con objetos que caen libremente podemos utilizar las ecuacionescinemticas, donde tiene el valor de que usamos antes. Tambin, como elmovimiento es vertical, sustituiremos por y en vez de . Se considera que = 0, a menos que se especifique otra cuestin.Es arbitrario si elegimos el eje

y como positivo en la direccin hacia arriba o en la direccin hacia abajo;debemos, sin embargo, ser consistentes a todo lo largo de la solucin de un

problema.

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Ejemplo 9: Cada desde una torre. Suponga que

una pelota se deja caer ( = 0) desdeuna torre de 70.0m de altura. Cuntohabr cado despus de un tiempo =1.00 , = 2.00 y = 3.00 ?Desprecie la resistencia del aire.

Figura 10:a) Un objeto que se suelta desde unatorre cae con rapidez cada vez mayor, y recorre unamayor distancia cada segundo sucesivo. b) Grficade y versus t.

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