Coleccin de Finales (Versin 1.1) Anlisis I - Anlisis Matemtico I Matemtica 1 - Anlisis II (C)

Matemtica - Qumica - Fsica - Ciencias de la Atmsfera - Oceanografa - Computacin

Escrito y editado por: Gabriel R. (Estudiante de Lic. en Ciencias Matemticas FCEN UBA)

Introduccin En este documento te ofrezco algunos finales tomados en cuatrimestres anteriores en la materia de: Anlisis I,

Anlisis Matemtico I, Matemtica 1 Anlisis II (C), para las carreras de: Matemtica, Qumica, Fsica,

Ciencias de la Atmsfera, Oceanografa y Computacin. Esta materia se dicta en la Facultad de Ciencias Exactas

y Naturales de la Universidad de Buenos Aires. Tambin te doy las respuestas, alguna sugerencia y la resolucin

de los mismos.

Tambin te muestro los temas que entran para el final y la bibliografa recomendada por los docentes. Si buscas

ms info de la materia visit la pgina oficial desde: http://cms.dm.uba.ar/academico/materias/

Sin embargo, hay 2 libros que te recomiendo personalmente:

Spinadel Vera W.: Clculo 2. Editorial Nueva Librera (Est en la biblioteca del Pabelln II)

Spinadel Vera W.: Suplemento al Clculo 2. Editorial Nueva Librera. (No est en ninguna biblioteca, pero

lo pods conseguir en alguna sucursal de la editorial, te paso el link:

www.nuevalibreria.com.ar/site/home/index.php )

En el primero, se desarrolla toda la teora que necesitas saber sobre el clculo vectorial con sus respectivas demostraciones

y un montn de ejemplos maravillosamente explicados con aplicaciones en ingeniera, medicina, fsica, etc adems, al final de

cada captulo te ofrece un completo banquete de problemas (bon appetit!). En el segundo, tiene absolutamente TODOS los

problemas que te propuso en el Clculo 2 resueltos y explicados paso a paso. Estos 2 libros tambin te van a servir para

Anlisis II, Anlisis Matemtico II o Matemtica 3. Adems la autora, es docente de la FCEN UBA!

Pods encontrar ms parciales en la fotocopiadora del Pabelln I (de ah los saqu).

Para descargar ms apuntes o la ltima actualizacin de este documento, visit FDX Maths. Si tens alguna

sugerencia, o encontrs errores en cualquiera de los apuntes publicados, mandame un e-mail. Tambin pods

colaborar enviando algn otro parcial, final o examen libre de la materia.

Blog: www.fdxmaths.blogspot.com.ar Facebook (Blog): www.facebook.com/fdxmaths

E-mail (Blog): fdxmaths@hotmail.com

Copyright Este material, como todos los publicados en FDX Maths, es utilizado con fines exclusivamente educativos. Se

permite su reproduccin total y parcial citando la fuente.

Programa de la Materia http://cms.dm.uba.ar/academico/lic/programas/Analisis_I_M

1) TOPOLOGA EN R y en Rn.

Completitud de R. Existencia del supremo y equivalencias. Distancia, discos abiertos y discos cerrados. Puntos interiores. Interior

de un conjunto. Conjuntos abiertos. Puntos adherentes. Clausura de un conjunto. Conjuntos cerrados. Conjuntos acotados. Lmite de

sucesiones de nmeros reales. Lmite de sucesiones en Rn y lmite en cada coordenada.

2) FUNCIONES DE Rn en Rk ( n, k = 1, 2, ... )

Representacin grfica. Dominio de definicin. Curvas y superficies de nivel. Lmite de funciones de Rn en Rk. Lmite a lo largo de

rectas y de curvas. Funciones continuas. Composicin de funciones continuas. Propiedades de las funciones continuas.

3) CLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES

Derivadas parciales. Aproximacin lineal. Diferencial de una funcin. Matriz jacobiana. Plano tangente al grfico de una funcin.

Regla de la cadena. Teoremas generales de la funcin inversa y de la funcin implcita. Producto escalar en Rn. Ecuacin del plano

ortogonal a un vector. Derivadas direccionales. Gradiente. Relacin con las superficies de nivel y la direccin de mximo

crecimiento. Plano tangente a una superficie de nivel. Teorema del valor medio en varias variables. Derivadas de orden superior.

Aproximacin polinomial de orden 2. Matriz Hessiana (o Hessiano) de una funcin.

4) EXTREMOS DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

Puntos crticos y extremos de una funcin. Formas cuadrticas, matriz asociada. Anlisis de los puntos crticos en varias variables

a partir del Hessiano: mximos, mnimos, puntos de ensilladura. Extremos ligados: extremos de una funcin sobre un conjunto dado

por una ecuacin G = 0. Condicin para que un punto sea punto crtico. Multiplicadores de Lagrange.

5) INTEGRALES DOBLES Y TRIPLES

Repaso: integral definida, sumas de Riemann, Teorema fundamental del clculo, regla de Barrow. Integrales impropias:

definiciones, propiedades, criterios de convergencia, convergencia absoluta. Aplicacin: convergencia de series. La integral doble

sobre rectngulos. La integral doble sobre regiones ms generales. Cambio del orden de integracin: Teorema de Fubini. La integral

triple. El Teorema de Cambio de variables. Aplicaciones de las integrales dobles y triples.

Rgimen de Aprobacin Para firmar los trabajos prcticos se deben aprobar dos exmenes parciales. Habr dos fechas de recuperacin. En cada fecha se puede

recuperar cualquiera de los parciales. Para poder ser incluido en las Actas de Trabajos Prcticos, es necesario haberse inscripto en la

materia (a travs del Sistema de Inscripciones de la Facultad) y haber completado la encuesta de evaluacin docente. Para firmar la materia

es necesario haber aprobado los trabajos prcticos y el examen final.

Bibliografa La bibliografa oficial recomendada para la materia es:

NORIEGA, R. : Clculo Diferencial e Integral. Editorial Docencia

LAGES LIMA, E. : Curso de anlisis, volmenes 1 y 2.

MARSDEN, J. y TROMBA, A. : Clculo Vectorial. Tercera edicin. Addison-Wesley.

SPIVAK, M.: Calculus ( Clculo Infinitesimal ), Vol I y II. Ed. Reverte.

PISKOUNOV, N. : Clculo diferencial e integral, tomos I y II. Ed. Mir.

SPIEGEL, M. R. : Clculo superior ( Advanced Calculus ). Serie Shaum.

REY PASTOR, J. , PI CALLEJA y TREJO : Anlisis Matemtico, Vol. I y II. Ed. Kapelusz.

APOSTOL, T. : Calculus, Vol. I y II. Editorial Reverte.

COURANT, R. : Diferential and Integral Calculus. Ed. Interscience

LAROTONDA, Gabriel. : Clculo y Anlisis. Bajtelo gratis: http://glaroton.ungs.edu.ar/calculo.pdf

Herramientas informticas Si quers graficar en 2 y 3 dimensiones, y tens internet, pods hacerlo con: www.fooplot.com mejor an:

www.wolframalpha.com

1. Estudiar la convergencia de ()1

0 donde () =

ln()

(Sugerencia: derivar 1/2 ln() 21/2)

2. Probar que si :3 es diferenciable en 3

Entonces existen las derivadas direccionales

(), 3 y vale:

() =< (), >

3. Demostrar que si

() =

+

=0

converge y es una funcin par (() = ()). Entonces 0 = 1 = 3 = 5 =

4. Encontrar :2 tal que

(0,0) =

(0,0) = 0;

(0,0) = 3con = (1,1).

Probar entonces que no es diferenciable en el punto (0,0).

1. Sean , sucesiones de nmeros reales tales que > 0, > 0 .

Si lim

= 0.

a) Probar

+

=1

converge

+

=1

converge

b) Dar un ejemplo en el que

+

=1

convergey

+

=1

= +

2. Sean , :2 ; (, )2 tales que

a) Existe

(, ) y (, ) = 0

b) es continua en (, )

Probar que (, ) = (, ). (, ) son derivables parcialmente respecto de en el punto

(, ).

3. Sea (, , ) = + sen(3) 2

a) Mostrar que (, , ) = 0define implcitamente una funcin (, ) = en el punto (0,1,2).

b) Sea : Dom() definida por (, ) = (, ). Hallar la ecuacin del plano

tangente al grfico de en el punto (0,1).

4. Hallar el volumen del slido que est por debajo de la superficie cilndrica 2 + = 4 , arriba

del plano + = 2 y limitado por los planos = 0, = 3 .

1. Enunciar y probar el Teorema del Valor Medio para funciones de varias variables.

2. Demostrar el CriteriodeDAlembert(odelcociente).

3. Sea : continua y estrictamente positiva. Hallar y clasificar los puntos crticos de:

(, ) = ()

0

.

4. Sea :2 , 1, tal que (, ) 2, (, ) 1, donde:

1 = {(, ) 2 + 2 = 1}.

Mostrar que (, ) 2,

()(, ) = 0,

donde ()(, ) es el Jacobiano de en (, ).

1. Sea : una funcin continua tal que lim

() = 0 y(0) = 1. Probar que alcanza su

mximo valor.

2. Sea :2 una funcin acotada y :2 definida por (, ) = (, ). Probar que

es diferenciable en (0,0).

3. Sea :2 tal que = (0, 0) es un extremo de . Si es diferenciable en , probar que

() = (0,0).

4. Sea = {(, ) 2: > 0, > 0}. Se define : , por:

(; ) = (

)

(,)

,

donde (, ) es el tringulo de vrtices (0,0), (, 0) y (0, ). Hallar el mnimo y el mximo

valor que toma sobre

= {(, ) : = 1,1

2 2}

1. Sea = (, )la bola abierta de centro y radio > 0 en 2. Sea : una funcin

diferenciable tal que (, ) = 0(, ) .

Probar que es constante .

2. Sea un abierto de 2, . Sea : con diferenciable en .

Probar que es continua en .

3. Sean :2 y : diferenciables. Llamemos = a su composicin y sea 2

tal que () = 0 .

a) Probar que es punto crtico de .

b) Si adems () es definida positiva (Es decir: det(()) > 0 2

2() > 0 ) y ()

no es punto crtico de .

Decidir sobre la naturaleza de cmo punto crtico de .

4. Sea :2 , 1. Probar que:

(, )sen()

2

2

1

0

=

(, )cos()

2

2

1

0

1. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Clculo.

2. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio para funciones diferenciables en 2.

3. Sea :2 de clase 2 con (0,0) 0. Consideremos la funcin :2 definida como:

() = (4 + 4, 3222 1)

Probar que (0,0) es punto crtico de y decida su naturaleza.

4. Sea :2 2 una funcin de clase 1 tal que se verifica

(cos2() + sen() 1, sen(32)) = (17,5)

Probar que el determinante de la matriz jacobiana de en (0,0) es igual a 0.

1. Demostrar que diferenciabilidad implica continuidad.

2. Enunciar y demostrar el Teorema del Valor Medio (Lagrange) para funciones diferenciables en

.

3.

a) Hallar el Polinomio de Taylor de orden 2 centrado en (0,0) de (, ) = cos( + ).

b) Calcular

lim(,)(0,0)

cos( + ) 1 + 2 + 2

2 + 2

4. Sea : (, ) , derivable en (, ), () continua en (, ) y se anula en solo un punto.

Probar que () no se anula en 3 puntos.

1. Sea ()una funcin definida en un intervalo cerrado para el cual () y () existen para

cada . Supongamos que existe una sucesin {} de puntos mutuamente distintos de tal

que continua tal que lim

= y tal que () = 0 para cada . Probar que () = () =

() = 0.

2. Sea :2 una funcin diferenciable en 2. Probar que es continua en .

3. Sea :2 una funcin de clase 3 y 2 un punto crtico de . Probar que si el hessiano

de en es definido positivo, entonces tiene un mnimo local en .

4. Sean , :2 dos transformaciones lineales tales que los vectores (, ), (, ) son

linealmente independientes. Sea 2 el dominio limitado por las rectas (, ) = 3,

(, ) = 7, (, ) = 2 y (, ) = 2. Si el rea de es 32, calcular,

(,)(, )

.

1. Demostrar el Teorema Fundamental del Clculo Integral: Sea : [, ] una funcin

continua en [, ]. Entonces la funcin : [, ] definida por () = ()

, es continua

en [, ], derivable en (, ) y () = () para todo (, ).

2. Sea : una funcin 1 en el abierto 2. Demostrar que es diferenciable en cada

.

3. Sea una funcin de clase 1(2) que tiene un mximo relativo en (2,1) con(2,1) = 7.

Sea (, ) = sen() cos() + 32. Probar que () = () para infinitos puntos

2.

4. Sean : una funcin continua definida en = {(, ) 2: 2 + 2 1}. Decidir si las

siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica su respuesta:

a) Si (1

,

1

) = 0 para todo , entonces (0,0) = 0.

b) Si (1

,

1

) = 0 para todo y es diferenciable en , entonces

(0,0) =

(0,0).

c) Si es diferenciable en , (0,0) = 0 y { :() = (0,0)} = {(0,0)}, entonces o

bien 0 en , o 0 en .

1. Sea :2 {(0,0)} la funcin (, ) = ln(2 + 2). Calcular

() 2

,

siendo = {(, ) 2:2 (, ) 3, 0, 0}.

2. Sea = (1,2)y sean , :2 tales que es diferenciable en y su plano tangente en

es { = 0}. Si 0 (, ) (, ) para todo (, ) 2, probar que es diferenciable en y

calcular su plano tangente.

3. Sea :2 y sea 2. Probar que es continua en si y solo si para toda sucesin tal

que , se verifica que () ().

4. Sea :2 sea de clase 1 tal que () = () pata todo y para todo 2.

Probar que es una transformacin lineal.

Sugerencia: Estudiar las derivadas direccionales de en el origen.

1. Sea :2 continua, tal que slo se anula en (0,0) 2. Probar que (, ) > 0(, )

(0,0), o bien, (, ) < 0(, ) (0,0).

2. Sean 1, 2: , :2 tales que (, ) = 1() + 2(). Probar que si 1 es derivable

en y 2 es derivable en , entonces si es diferenciable en (, ) 2.

3. Sea :2 tal que (, ) = ( )3. Sea = {(, ) 2: 2 + 2 1}. Hallar, si existen,

el mximo y el mnimo valor que toma en .

4. Enunciar y demostrar el Teorema Fundamental del Clculo Integral.