[Maths] 6.3.2 compuertas logicas

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Algebra de las compuertas lógicas. Simplificación de circuitos digitales. Mapas de Karnaugh.

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  • 1. COMPUERTAS LGICAS By Miguel Prez Fontenla,January 2012

2.

  • By Miguel Prez Fontenla,January 2012

3. COMPUERTAS LGICAS

  • Entendemos porcircuito lgicoa una especie de mquina compuesta por:
    • unos dispositivos de entrada-salida y
    • un nico dispositivo de salida.
  • Donde:
    • En cada instante cada dispositivo tiene un bit de informacin (un 0 un 1)
    • El circuito, segn los valores de entrada nos da una salida de un solo bit de informacin
    • Se puede introducir una sucesin de bits en cada dispositivo de entrada y obtendremos una sucesin de bits en la salida.

Definicin: Circuito lgico 4. COMPUERTAS LGICAS La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:Definicin: Compuerta OR De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101y B=11100011 la respuesta seraY = A + B = 10010101 + 11100011 = 11110111 Funcionamientohttp://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/or.swf A B Y=A+B 1 1 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 5. COMPUERTAS LGICAS Circuitoelctrico:Compuerta OR 6. COMPUERTAS LGICAS Circuitoelctrico:Compuerta OR 7. COMPUERTAS LGICAS La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:Definicin: Compuerta AND De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101y B=11100011 la respuesta seraY = AB = 1001010111100011 = 10000001 Funcionamientohttp://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/and.swf A B Y = AB 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 0 0 8. COMPUERTAS LGICAS Circuitoelctrico:Compuerta AND 9. COMPUERTAS LGICAS Circuitoelctrico:Compuerta AND 10. COMPUERTAS LGICAS La compuerta NOT de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por:Definicin: Compuerta NOT De esta manera, si a la compuerta llegase un octeto digital, por ejemplo A=10010101la respuesta sera Funcionamientohttp://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/not.swf A 1 0 0 1 11. COMPUERTAS LGICAS Circuitoelctrico:Compuerta NOT 12. COMPUERTAS LGICAS Teorema Los circuitos lgicos forman un lgebra de Boole. Demostracin Las tablas de verdad de las compuertasOR ,ANDyNOTson idnticas a las correspondientes de las operaciones lgicas disyuncin , conjunciny negacin . Slo se deben cambiar los1porVy los0porF . De esta manera, se satisfacen las mismas leyes que en el lgebra de proposiciones y por tanto forman un lgebra de Boole. lgebra de Conjuntos lgebra de proposiciones lgebras de Boole Circuitos lgicos Unin Disyuncin Suma+ OR Interseccin Conjuncin Producto AND Complementarioc Negacin Complemento NOT Conjunto vaco Falsedadf Elemento 00 0 Conjunto universalU Tautologa Elemento 11 1 13. COMPUERTAS LGICAS La compuerta NOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:Otras compuertas lgicas : Compuerta NOR Funcionamientohttp://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nor.swf A B 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 14. COMPUERTAS LGICAS La compuerta NAND de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:Otras compuertas lgicas : Compuerta NAND Funcionamientohttp://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nand.swf A B 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 15. COMPUERTAS LGICAS La compuerta YES de entrada Ay salida Y, viene simbolizada y definida por:Otras compuertas lgicas : Compuerta YES Este circuito se utiliza simplemente para amplificacin de la seal A 1 0 0 1 16. COMPUERTAS LGICAS La compuerta XOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:Otras compuertas lgicas : Compuerta XOR 17. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal. 18. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal. Paso 1 Simulador diseo de circuitos :http://logic.ly/demo/ 19. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal. Paso 2 La salida por la ley distributiva y complemento esY por la identidad por lo que el circuito equivale a este otro minimal 20. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio Observa que las tablas de verdad del circuito inicial y del simplificado son iguales: A 11110000 B 11001100 C 10101010 00001111 00110011 ABC 10000000 00100000 00001100 10101100 A 11110000 B 11001100 C 10101010 00001111 AC 10100000 00001100 10101100 21. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 2 Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal. 22. COMPUERTAS LGICAS SIMPLIFICACIN CIRCUTOS LGICOS Definicin: Nmero de literales E L Dada una expresin de BooleE de suma de productos, denotamos por E Lel nmero de literales de E, de forma que si alguno est repetido lo contaremos el nmero de veces que se repita Definicin: Nmero de sumandos E S Dada una expresin de BooleE de suma de productos, denotamos por E Sel nmero de sumandos que posee E. Definicin. Expresin de Boole ms simple que otra. Dadas dos expresiones de BooleE y E escritas en forma de suma de productos, decimos que E es ms simple que E siy y al menos una de las dos desigualdades es estricta, es decir que o bien , o bienDefinicin: Forma minimal Una expresin de Boole E en forma de suma de productos diremos que est en forma minimal si no existe ninguna otra expresin de Boole F en forma de suma de productos que sea ms simple que E. 23. COMPUERTAS LGICAS IMPLICANTES PRIMOS Dada una expresin de Boole E, un producto fundamental P se llama implicante primo de EP es el nico producto fundamental que cerfica la propiedad P + E = E Teorema Sea E una expresin de Boole en forma minimal de suma de productos, entonces cada sumando de E es un implicante primo de E 24. MAPAS DE KARNAUGH MAPAS DE KARNAUGH Una expresin de Boole E en forma de suma de productos diremos que est en forma minimal si no existe ninguna otra expresin de Boole F en forma de suma de productos que sea ms simple que E. Maurice Karnaugh 25. MAPAS DE KARNAUGH Caso de 2 Variables Caso de 2 variables Con dos variablesxeylos productos fundamentales que se pueden descomponer son cuatro: xyxy xyxy Para simplificarlos se usa el diagrama siguiente con los posibles casos que pueden presentarse: 26. MAPAS DE KARNAUGH Caso de 3 Variables Con tres variablesx, yyzlos productos fundamentales que se pueden descomponer son ocho: xyzxyz xyzxyz xyzxyz xyzxyz Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son: 27. MAPAS DE KARNAUGH 28. MAPAS DE KARNAUGH Caso de 4 variables Con tres variablesx, y , zytlos productos fundamentales que se pueden descomponer son diecisis: xyztxyzt xyztxyzt xyztxyztxyztxyzt xyztxyzt xyztxyzt xyztxyztxyztxyzt Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son: 29. MAPAS DE KARNAUGH 30. MAPAS DE KARNAUGH 31. MAPAS DE KARNAUGH 32. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 2 Encontrar una expresin de Boole para cada uno de los dos circuitos de interruptores siguientes: 33. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 3 Demostrar las siguientes leyes del lgebra de Boole 34. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 4 Expresar la salida del circuito lgico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 35. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 5 Expresar la salida del circuito lgico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 36. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 5 Expresar la salida del circuito lgico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 37. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 6 Expresar la salida del circuito lgico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 38. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 7 Expresar la salida del circuito elctrico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 39. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 8 Expresar la salida del circuito elctrico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 40. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 9 Expresar la salida del circuito elctrico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 41. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 10 Expresar la salida del circuito elctrico siguiente como una expresin de Boole. Escribe la tabla de verdad del circuito. 42. COMPUERTAS LGICAS Dibujar el circuito lgico que corresponde a las siguientes expresiones de Boole y calcular su tabla de verdad. Ejercicio 11 Ejercicio 12 Ejercicio 13 43. COMPUERTAS LGICAS Ejercicio 14 Redisear el siguiente circuito de forma que sea minimal