[Maths] 6.3.2 compuertas logicas

COMPUERTAS LÓGICAS

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

By Miguel Pérez Fontenla, January 2012

COMPUERTAS LÓGICAS

Entendemos por circuito lógico a una especie de máquina compuesta por:•unos dispositivos de entrada-salida y•un único dispositivo de salida.

Donde:•En cada instante cada dispositivo tiene un bit de información (un 0 ó un 1)•El circuito, según los valores de entrada nos da una salida de un solo bit de información•Se puede introducir una sucesión de bits en cada dispositivo de entrada y obtendremos una sucesión de bits en la salida.

Definición: Circuito lógico

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Definición: Compuerta OR

A B Y=A+B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101 y B=11100011 la respuesta sería Y = A + B = 10010101 + 11100011 = 11110111

Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/or.swf

http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/or.swf

COMPUERTAS LÓGICAS

Circuito eléctrico: Compuerta OR

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta OR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Definición: Compuerta AND

A B Y = A · B

1 1 11 0 00 1 00 0 0

De esta manera, si a la compuerta llegasen dos octetos digitales, por ejemplo A=10010101 y B=11100011 la respuesta sería Y = A · B = 10010101 · 11100011 = 10000001

Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/and.swf

http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/and.swf

COMPUERTAS LÓGICAS

Circuito eléctrico: Compuerta AND

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta NOT de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Definición: Compuerta NOT

A

1 0

0 1

De esta manera, si a la compuerta llegase un octeto digital, por ejemplo A=10010101 la respuesta sería

Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/not.swf

10010101 01101010Y A

Y A

http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/not.swf

COMPUERTAS LÓGICAS

Circuito eléctrico: Compuerta NOT

COMPUERTAS LÓGICAS

TeoremaLos circuitos lógicos forman un álgebra de Boole.

DemostraciónLas tablas de verdad de las compuertas OR, AND y NOT son idénticas a las correspondientes de las operaciones lógicas disyunción ∧, conjunción ∨ y negación ∼.Sólo se deben cambiar los 1 por V y los 0 por F.De esta manera, se satisfacen las mismas leyes que en el álgebra de proposiciones y por tanto forman un álgebra de Boole.

Álgebra de Conjuntos Álgebra de proposiciones Álgebras de Boole Circuitos lógicos

Unión ⋃ Disyunción ∨ Suma + OR

Intersección ⋂ Conjunción ∧ Producto · AND

Complementario c Negación ∼ Complemento ‘ NOT

Conjunto vacío ∅ Falsedad f Elemento 0 0 0

Conjunto universal U Tautología τ Elemento 1 1 1

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta NOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Otras compuertas lógicas : Compuerta NOR

A B

1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nor.swf

Y A B

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta NAND de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Otras compuertas lógicas : Compuerta NAND

A B

1 1 0

1 0 1

0 1 1

0 0 1

Funcionamiento http://www.profesormolina.com.ar/electronica/componentes/int/comp_log/nand.swf

Y AB

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta YES de entrada A y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Otras compuertas lógicas : Compuerta YES

Este circuito se utiliza simplemente para amplificación de la señal

A

1 0

0 1

Y A

COMPUERTAS LÓGICAS

La compuerta XOR de entradas A y B y salida Y, viene simbolizada y definida por:

Otras compuertas lógicas : Compuerta XOR

COMPUERTAS LÓGICAS

EjercicioAplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.

A

B

C

Y

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Paso 1

A

B

C

A

A

B

B

B Y ABC ABC AB

C

C

A

ABC

ABC

AB

Simulador diseño de circuitos : http://logic.ly/demo/

http://logic.ly/demo/

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Paso 2

La salida

por la ley distributiva y complemento es

Y por la identidad

por lo que el circuito equivale a este otro minimal

Y ABC ABC AB

1 ...Y AC B B AB AC AB

Y AC AB

A

B

C

A

C

ABA

B

AC

Y AC AB

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EjercicioObserva que las tablas de verdad del circuito inicial y del simplificado son iguales:

A 11110000

B 11001100

C 10101010

00001111

00110011

ABC 10000000

00100000

00001100

10101100

A

B

ABC

ABY ABC ABC AB

A 11110000

B 11001100

C 10101010

00001111

AC 10100000

00001100

10101100

A

AB

Y AC AB

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Ejercicio 2Aplicar las leyes de algebra de Boole para que el circuito siguiente sea minimal.

COMPUERTAS LÓGICAS

SIMPLIFICACIÓN CIRCUÍTOS LÓGICOS

Definición: Número de literales EL

Dada una expresión de Boole E de suma de productos, denotamos por EL el número de literales de E, de forma que si alguno está repetido lo contaremos el número de veces que se repita

Definición: Número de sumandos ES

Dada una expresión de Boole E de suma de productos, denotamos por ES el número de sumandos que posee E.

Definición. Expresión de Boole más simple que otra.Dadas dos expresiones de Boole E y E’ escritas en forma de suma de productos, decimos que E es más simple que E’ si y y al menos una de las dos desigualdades es estricta, es decir que o bien , o bien

Definición: Forma minimalUna expresión de Boole E en forma de suma de productos diremos que está en forma minimal si no existe ninguna otra expresión de Boole F en forma de suma de productos que sea más simple que E.

COMPUERTAS LÓGICAS

IMPLICANTES PRIMOSDada una expresión de Boole E, un producto fundamental P se llama implicante primo de E P es el único producto fundamental que cerífica la propiedad P + E = E

TeoremaSea E una expresión de Boole en forma minimal de suma de productos, entonces cada sumando de E es un implicante primo de E

MAPAS DE KARNAUGH

MAPAS DE KARNAUGH

Una expresión de Boole E en forma de suma de productos diremos que está en forma minimal si no existe ninguna otra expresión de Boole F en forma de suma de productos que sea más simple que E.

Maurice Karnaugh

MAPAS DE KARNAUGH

Caso de 2 Variables

Caso de 2 variables

Con dos variables x e y los productos fundamentales que se pueden descomponer son cuatro:xy xy’ x’y x’y’

Para simplificarlos se usa el diagrama siguiente con los posibles casos que pueden presentarse:

MAPAS DE KARNAUGHCaso de 3 Variables

Con tres variables x, y y z los productos fundamentales que se pueden descomponer son ocho:xyz xyz’ xy’z xy’z’ x’yz x’yz’ x’y’z x’y’z’

Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son:

MAPAS DE KARNAUGH

MAPAS DE KARNAUGH

Caso de 4 variables

Con tres variables x, y , z y t los productos fundamentales que se pueden descomponer son dieciséis:xyzt xyzt’ xyz’t xyz’t’ xy’zt xy’zt’ xy’z’t xy’z’t’x’yzt x’yzt’ x’yz’t x’yz’t’ x’y’zt x’y’zt’ x’y’z’t x’y’z’t’

Que se pueden representar con el diagrama siguiente y las simplificaciones posibles son:

MAPAS DE KARNAUGH

COMPUERTAS LÓGICAS

Ejercicio 2Encontrar una expresión de Boole para cada uno de los dos circuitos de interruptores siguientes:

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Ejercicio 3Demostrar las siguientes leyes del álgebra de Boole

COMPUERTAS LÓGICAS

Ejercicio 4Expresar la salida del circuito lógico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.

COMPUERTAS LÓGICAS


COMPUERTAS LÓGICAS

Ejercicio 7Expresar la salida del circuito eléctrico siguiente como una expresión de Boole.Escribe la tabla de verdad del circuito.

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COMPUERTAS LÓGICAS

Dibujar el circuito lógico que corresponde a las siguientes expresiones de Boole y calcular su tabla de verdad.

Ejercicio 11

Ejercicio 12

Ejercicio 13

Y AB ABC

Y A BC B

Y AB A C

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Ejercicio 14

Rediseñar el siguiente circuito de forma que sea minimal

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