[Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

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Analysis Derivadas. Problemas OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010

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Analysis

Derivadas. Problemas

OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010

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NOTA

La clasificación decimal de todos los temas de este manual tienen implícito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS

1.1.4.6 .1 DIFERENCIACION

COPYLEFT

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Miguel Pérez Fontenla [email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Pérez Fontenla

22/01/2010

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TABLA DE DERIVADAS

Función Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logarítmicas

Page 6: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

Funciones trigonométricas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones

Page 7: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

Regla de la cadena

( ) [ ] [ ]'( ) ( ) ' ' ( ) '( )g f x g f x g f x f x= = ⋅o

Page 8: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 1

COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS

Presento a continuación una colección de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas, es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al cálculo de derivadas. 1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x

2.- Calcular la derivada de la función 4( ) sin ln en x=2

f x x x xπ

= − −

3.- Calcular la derivada de la función ( ) ln xf x x x += ∈ 4.- Calcular la derivada de la función 2( ) sin f x x x=

5.- Calcular la derivada de la función 3

sin 1( )

x xf x

x

−=

6.- Calcular la derivada de la función tan cos

( )ln

x x xf x

x

−=

7.- Calcular la derivada de la función 2( ) cosf x x= 8.- Calcular la derivada de la función ( ) ln cosf x x= 9.- Calcular la derivada de la función sin( ) x xf x e= 10.- Calcular la derivada de la función ( ) ln(ln )f x x= 11.- Calcular la derivada de la función 2 2( ) ( )f x sen x= 12.- Calcular la derivada de la función 3 2

2( ) lgf x x x= +

13.- Calcular la derivada de la función 2

31

( )x

f xx

− =

14.- Calcular la derivada de la función ( ) arctan1

xf x

x=

+

15.- Calcular la derivada de la función ln

( ) arcsecx

f xx

=

16.- Calcular la derivada de la función ( ) xf x x= 17.- Calcular la derivada de la función n( ) l xf x x= 18.- Calcular la derivada de la función tan( ) xf x x=

19.- Calcular la derivada de la función 1 1

( ) ln2 1

xf x

x

−=

+

20.- Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + +

Ejercicios Propuestos

Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + −

Calcular la derivada de la función 1 1

( ) ln2 1

xf x

x

+=

Page 9: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 2

Soluciones

1.- Calcular la derivada de la función f(x)= x – cos x

( )'( ) cos ' ' cos' 1 ( sin ) 1 sinf x x x x x x x= − = − = − − = +

2.- Calcular la derivada de la función 4( ) sin ln en x=2

f x x x xπ

= − −

( )3 3 4

'4 3 1 1 2 4'( ) sin ln 4 cos ; ' 4 cos

2 2 2 2 22

f x x x x x x fx

π π π π π

π π π

− = − − = − − = − − = − =

3.- Calcular la derivada de la función ( ) ln xf x x x += ∈ Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definición de la función, pues sólo tendríamos problemas si apareciesen neperianos de números negativos

( ) ( ) 1'( ) ln ' ' ln ln ' 1 ln ln 1f x x x x x x x x x x

x

= = + = ⋅ + = +

4.- Calcular la derivada de la función 2( ) sin f x x x= ( ) ( ) ( )2 2 2 2'( ) sin ' 'sin sin ' 2 sin cosf x x x x x x x x x x x= = + = ⋅ +

5.- Calcular la derivada de la función 3

sin 1( )

x xf x

x

−=

( ) ( ) ( )3 3' 3 4 3

3 6 6

3

'sin sin ' 0 sin 1 sin cos sinsin 1'( ) ...

sin cos sin 1...

x x x x x x x x x x x x x x xx xf x

x x x

x x x x x

x

+ − − − + − +− = = = = + − +

=

6.- Calcular la derivada de la función tan cos

( )ln

x x xf x

x

−=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

2

2

2

' tan tan ' cos ' ln tan cos ln 'tan cos'( ) ...

ln ln

1tan tan sin ln tan cos

...ln

x x x x x x x x x xx x xf x

x x

x x x x x x x xx

x

+ − − − − = = =

+ + − −=

7.- Calcular la derivada de la función 2( ) cosf x x=

( ) ( )'2 2 2'( ) cos sin 2 2 sinf x x x x x x= = − = −

8.- Calcular la derivada de la función ( ) ln cosf x x=

( ) ( )' 1'( ) ln cos sin tan

cosf x x x x

x= = − = −

Page 10: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 3

9.- Calcular la derivada de la función sin( ) x xf x e=

( ) ( ) ( )'cos cos cos'( ) 3 3 ln3 cos ' 3 ln3 cos sinx x x x x xf x x x x x x= = = −

10.- Calcular la derivada de la función ( ) ln(ln )f x x=

( )' 1 1 1'( ) ln(ln )

ln lnf x x

x x x x= = ⋅ =

11.- Calcular la derivada de la función 2 2( ) ( )f x sen x=

( ) ( )( )( )'2 2 2 2'( ) sin ( ) 2 sin cos 2f x x x x x= =

12.- Calcular la derivada de la función 3 22( ) lgf x x x= +

( )'

3 2 22 223 2

2

1 1'( ) lg 3 lg 2

2 lgf x x x x e x

xx x

= + = + ⋅ +

13.- Calcular la derivada de la función 2

31

( )x

f xx

− =

' 2 12 1

3 33 3

2 2 2

1 2 1 ( 1) 2 1 1 2'( )

3 3 3 1

x x x x x xf x

x x x x x x x

−− − − − − − = = = = −

14.- Calcular la derivada de la función ( ) arctan1

xf x

x=

+

( )( )

( )2'

2 2

111'( ) arctan

1 11

1

xx xxf x

x xx

x

++ − = = = + + + + ( ) ( )

22 2

1

1 1x x x+ + +2

1

2 1x x

= + +

15.- Calcular la derivada de la función ln

( ) arcsecx

f xx

= '

'2

2 2

ln 1 lnln

'( ) arcsecln ln ln ln

1 1

x x

x x xf xx x x x x

x x x x

− = = =

− −

16.- Calcular la derivada de la función ( ) xf x x= Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelven tomando previamente logaritmos neperianos en la expresión a derivar, para posteriormente aplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma

( ) ( ) ( )1 1( ) ln ( ) ln ln ( ) ' ln ' '( ) 1ln '( ) ln 1

( )x x

f x x f x x x f x x x f x x x f x x xf x x

= ⇔ = ⇒ = ⇒ = + ⇒ = +

17.- Calcular la derivada de la función n( ) l xf x x=

Page 11: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| COLECCIÓN DE 20 EJERCICIOS 4

ln 2 ln1 2ln 2 ln( ) ln ( ) ln ln ln '( ) '( )

( )x xx x

f x x f x x x x f x f x xf x x x

= ⇔ = ⋅ = ⇒ = ⇒ =

18.- Calcular la derivada de la función tan( ) xf x x= tan tan

2 2

1 1 1 ln tan( ) ln ( ) tan ln '( ) ln tan '( )

( ) cos cosx x x x

f x x f x x x f x x x f x xf x x x x x

= ⇔ = ⇒ = + ⇒ = +

19.- Calcular la derivada de la función 1 1

( ) ln2 1

xf x

x

−=

+

( ) ( )( )2

1 1 11 1 1'( )

12 211

x xf x

x xx

− + − −= =

− ++

1 x+ 2

1 x

−−

x− x+

( ) 21 x+ ( )( ) 2

1 1

1 1 1x x x= =

− + −

20.- Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + +

2 2 2

1 2 1'( ) 1

1 2 1 1

xf x

x x x x x

= + =+ + + + +

2 1x x+ +2 2

1

1 1x x=

+ +

Ejercicios Propuestos

Calcular la derivada de la función 2( ) ln 1f x x x= + −

Calcular la derivada de la función 1 1

( ) ln2 1

xf x

x

+=

Page 12: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 1 5

BOLETÍN DE TRABAJO nº 1

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 13523)( 345 −−+−= xxxxxf

2. )4)(2()( 23 xxxf −=

3. 3

2

2

3)(

x

xxf =

4. )2)(2()( 3 xxxf −=

5. 1

1)(

−+

=x

xxf

6. x

xxf

ln

lg)( 2=

7. senx

xxf

cos)( =

8. 3

3)(x

xfx

=

9. 3

1)(x

xf =

10. x

xfln

1)( =

Page 13: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 2 6

BOLETÍN DE TRABAJO nº 2

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. xxf =)(

2. 2)( −= xxf

3. 3

2

)(x

xxf

=

4. 23 32)( −−= xxxf

5. 2

1)(

−=x

xf

6. xsenx

xfcos

1)(

+=

7. xsenx

xsenxxf

cos

cos)(

+−

=

8. x

xxf

ln1

ln1)(

+−

=

9. 2

2

1

1)(

−−−

=x

xxf

10. x

xxxf

21

2)(

+−

=

Page 14: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 3 7

BOLETÍN DE TRABAJO nº 3

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. e

exf

ln

1)(

−=

2. xxxexf x ln)( −=

3. xexf x ln)( ⋅=

4. x

exf

x

ln)( =

5. x

exf

x

ln1

1)(

+−

=

6. ))(ln1()( xexxxf +−=

7. exxf =)(

8. xe exxf ⋅=)(

9. x

x

e

exf

−+

=1

1)(

10. x

x

ex

exxf

+−

=ln

ln)(

Page 15: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 4 8

BOLETÍN DE TRABAJO nº 4

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. xxxf 3)( 3 ⋅=

2. x

xfx

3lg

3)( =

3. x

xxf

x

x

3

3

lg3

lg3)(

+=

4. tgxsenxxf ⋅=)(

5. tgx

senxxf =)(

6. xx

senxxxf

cos)(

+−

=

7. xtgx

senxxxf

cos

cos)(

+−

=

8. xtgx

senxxxf

cos

cos)(

⋅⋅

=

9. xtgx

xxf

+−

=1cos

)(

10. xx

senxxxf

cos)(

+−

=

Page 16: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 5 9

BOLETÍN DE TRABAJO nº 5

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 33 3)( xxxf x −−=

2. ( )( )xxxf 3)( 3=

3. x

xxf

3

lg)( 3=

4. 33

ln)(

xxf =

5. ( )33

3

lg

3)(

xx

xxf

x−=

6. x

xxf

31

1)(

3

+−

=

7. x

xxf

3lg1

ln1)(

+−

=

8. ( )( )33 3)( xxxf x−=

9. 3

3lg

ln)(

xx

xxxf

−+

=

10. 3 3)( xxf =

Page 17: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 6 10

BOLETÍN DE TRABAJO nº 6

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 53)( xxf =

2. xxxf −= 15)(

3. 2

1)(x

xf =

4. 5

3

)(x

xxf =

5. 5

1)(

x

xxf

−=

6. 5 4)( xxf =

7. 4 5)( xxf =

8. 4 5

1)(

xxf =

9. 5 4

1)(

xxf =

10. x

xxf =)(

Page 18: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 7 11

BOLETÍN DE TRABAJO nº 7

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. xxxf =)(

2. xxxf 5)( =

3. 5

)(x

xxf =

4. x

xxf

5

)( =

5. 3

1)(

xxxf =

6. xx

xxf

3)( =

7. 3 23)( xxxf =

8. 3

3 23

)(x

xxxf =

9. 5 4

4 5

)(x

xxf =

10. 5 45

4 53

)(xx

xxxf =

Page 19: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 8 12

BOLETÍN DE TRABAJO nº 8

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 4

5 33 5 1)(

xxxxf −−=

2. ( )( )5 33 5)( xxxf =

3. 5 3

3 5

)(x

xxf =

4. 35 3

5

)(x

xxf =

5. 5 33 5

5 33 5

)(xx

xxxf

+

−=

6. 5 3

3 5

1

1)(

x

xxf

+

−=

7.

4

5 3

1)(

x

xxf =

8. 5 3

1)(

xxf =

9. 3 5

1)(

xxf =

10. 5 3

4

)(x

xxf =

Page 20: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 9 13

BOLETÍN DE TRABAJO nº 9

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 35 3

4

)(x

xxf =

2. 3

5

5 3

1)(

=

xxf

3. ( )35

5 3)( xxf =

4. 5 5 3)( xxf =

5. 5

3

)(x

xxf =

6. 3

1

1)(

x

xxf

+

−=

7. 3)( exf =

8. 3 5

)( xexf =

9. 3 5)( xxf =

10. 3 3 5

5)( xxf =

Page 21: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 10 14

BOLETÍN DE TRABAJO nº 10

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. xxf 3ln)( =

2. xxf 3lg)( 3=

3. 33lg)( xxf =

4. 33lg)( xxf =

5. xxf 3lg3)( =

6. 3

3)( xxf =

7. 33 3lg)( xxf =

8. 3

3 3lg3)(x

xf =

9. 33 3lg)( xxf =

10. 3 3ln)( xxf =

Page 22: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 11 15

BOLETÍN DE TRABAJO nº 11

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 3 2ln)( xexxf x −−=

2. ( )( )( )3 2ln)( xexxf x−=

3. xe

xxf

ln)( =

4. 3 2

)ln()(

x

xxf

−=

5. ( )3 2ln

)(xx

exxf

xe −=

6. x

x

e

exf

+

−=1

1)(

7. 2ln1

ln1)(

x

xxf

+

−=

8. ( )( )

x

xxf

x

ln

3)(

3 2

=

9. 3

ln1

ln1)(

x

xxf

+=

10. ( )3 2)( xexf =

Page 23: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO nº 12 16

BOLETÍN DE TRABAJO nº 12

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. ( )3 2ln)( xexf =

2. 3 ln)( xexf =

3. 3 2ln)( xxf =

4. 23

ln)( xexf =

5. 3ln)( xexf =

6. 3ln

)(x

x

e

exf =

7. 31

)(x

xxf

−=

8. 3

)(xeexf =

9. xexf ln)( =

10. 3 2ln)( xexf =

Page 24: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 17

BOLETÍN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)

Deriva:

1.

−=

2

21 arcsen

x

xy

2.

−π

= − xey x log4

sen ·

3. x

xy

tg2

=

4.

=

xy

x

cos2

ln35

5. xe

xy

sen

32 tg=

6. arccos ·3 xxy =

7. 4

8

27 cos10

π−= xy

8. ( )32 2 ln −π=y

9. xx ee

xy

−+

−=

1

10. xy −= 1arctg

Page 25: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| EJERCICIOS VARIOS 18

EJERCICIOS VARIOS

Fuente Ana Fraga Vila

1) Deriva las siguientes funciones:

y = x

x 2

sen y = ln (3x2 − 5x) y = e−2x · cos x

y = cos3 x · cos x2

− xx+

=y 1

1ln

x

x =y

2

sen

x =y arcsen xx =y )tg( 33 sen·sen xxy =

+−x

x =y

21

21sco

3

2

x

x =y x =y

x sen

y = x2 · e−3x )(senln 2 x =y y = e−x · sen3 x

y = xcos x x =y tg2

−=

3

2 39ln

x

xy

3

2 39

x

xy

−= y = xsen x y = ln (ex + cos x)

253

2

5

3x

xy

−= xxy tg2 )3(= y = log ( cos x + 231 x− )

y = L 32 )7(sen xx −

+−x

x =y

21

21osc

πx

=y 3tg

)1(arctg 2x =y − e - e

e + e =y

x-x

-xx

)(sen sco 3x =y

xx =y 3 y = 322 )1(sen −+ xx 36arctg x =y

241 x

x =y

+

x +

x =y tgcos

1ln )(sen 232 xe =y −

Page 26: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| EJERCICIOS VARIOS 19

x =y arctg xxey 3)1( −= 4)1(

222 −− x

x +

x =y

( )x =y ln

x

=y 1

tg2 3 )sen(cos xxe =y x +−−

y = tg2 (6x)

2) Interpretación geométrica de la derivada de una función en un punto. Determina los puntos de la

curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la recta y = 3x + 14

3) Halla la ecuación de la tangente a la hipérbola x =y 1 en el punto x = 3.

4) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.

5) Halla la ecuación de la tangente a la curva y = 12 +x en el punto de abscisa 12.

6) )En qué puntos de la curva 162

9 23 ++− xxx =y la recta tangente es paralela al eje OX?

7) Calcula a y b para que x + b + ax =y 8 tenga en el punto (−2, −8) una tangente horizontal.

8) Halla p y q sabiendo que la función f (x) = x3 + px2 + q tiene un mínimo relativo en el punto (2, 3).

9) Halla la ecuación de las tangentes a la curva y = x4 − 6x2 en sus puntos de inflexión.

10) Halla la ecuación de la recta tangente a la curva y = 2x3 − 6x2 + 4 en su punto de inflexión.

Page 27: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| EJERCICIOS VARIOS 20

11) Dada la parábola y = x2 − x

a) Calcula la ecuación de la recta tangente en el punto de abscisa x0 = 1.

b) ¿En qué punto de la parábola la recta tangente es paralela a la recta y = −x + 3?

12) Halla las asíntotas de la función 4

22

3

−x

x =y

13) Asíntotas de la curva 45

232

2

+−+−xx

xx =y

14) Halla las asíntotas de x

xx = xf

5)(

2 −−

15) Halla los puntos de corte con los ejes y las asíntotas de 12 −x

x =y

16) Calcula los máximos, mínimos y puntos de inflexión, si existen de la función 12 −x

x =y

17) Calcula las asíntotas de la función y = 2

3

)4( −x

x

18) Halla las asíntotas de la curva de ecuación 9102 +− xx

x =y

19) Estudia el crecimiento, decrecimiento, máximos y mínimos de la función: y = 112

++

x

x + x

20) Intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y convexidad de la función y = x2(3 − 2x).

21) Estudia el crecimiento, decrecimiento, extremos relativos, curvatura y puntos de inflexión de 13)( 23 +− xx = xf . Representarla gráficamente.

Page 28: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| EJERCICIOS VARIOS 21

22) Representa gráficamente la función 1

12

2

−+

x

x =y

Calculando el dominio de definición, puntos de corte con los ejes, asíntotas, intervalos de

crecimiento y decrecimiento, máximos y mínimos.

23) Esboza la gráfica de xxy 63 2 −=

24) Dada la función .73)( 3 +− xx = xf

a) Calcula máximos, mínimos y puntos de inflexión

b) Esboza su gráfica

c) Escribe la ecuación de la recta tangente en su punto de inflexión.

25) Representa gráficamente ,6

1)( 23 xx = xf +− hallando: puntos de corte con los ejes,

monotonía

(crecimiento y decrecimiento), máximos, mínimos, curvatura y puntos de inflexión.

26) Estudia y representa gráficamente 12

2

+x

x =y

27) Halla b, c y d para que la función dcxbxxxf +++= 23)( tenga un punto de inflexión en x = 3,

pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo en x = 5.

28) Representa gráficamente la función y = (2 − x)2 calculando previamente:

a) Dominio de definición.

b) Puntos de corte con los ejes.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

Page 29: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 22

29) Dada la función 21

)(x

x = xf+

a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

b) Halla sus asíntotas.

c) Esboza su gráfica

Page 30: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 23

Page 31: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 24

Fuente: IES Rego da auga

Page 32: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 25

SOLUCIONES BOLETIN 1

1. 315815)('13523)( 234345 −+−=→−−+−= xxxxfxxxxxf

2. ( ) 44432223 401624)8)(2()4(6)(')4)(2()( xxxxxxxxfxxxf −=−−=−+−=→−=

3. ( )( ) ( )( )

( ) 26

4

6

44

23

223

3

2

2

3

4

6

4

1812

2

6326)('

2

3)(

xx

x

x

xx

x

xxxxxf

x

xxf

−=

−=

−=

−=→=

4. )2ln2)(2()2)(6()(')2)(2()( 323 xxx xxxfxxf −+−=→−=

5. ( )

( ) ( )22 1

2

1

1)1(11)('

11

)(−

−=

+−−=→

−+

=xx

xxxf

x

xxf

6. ( ) ( )

( )222

2

ln

1lglnlg

1

)('ln

lg)(

x

xxxe

xxf

x

xxf

=→=

7. xsen

xxsen

xsen

xxxsenxxf

xsenxfctgx

senx

xxf

2

22

22

coscoscoscos)('

1)('

cos)(

−−=

⋅−⋅−=⇔

−=→==

8. ( )

( ) ( )4

1

6

12

23

23

3

33ln333ln3333ln3)('

3)(

x

x

x

xx

x

xxxf

xxf

xxxxxxx ++ −⋅=

−⋅=

−⋅=→=

9. 4

433

33)('

1)(

xxxfx

xxf

−=−=→== −−

10. xxx

xx

xfx

xf22 ln

1

ln

11ln0

)('ln1

)(−

=−⋅

=→=

Page 33: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 26

SOLUCIONES BOLETIN 2

1. x

x

xxxfxxxf2

1

2

1

2

1

2

1)(')(

2

12

11

2

1

2

1

====→==−

2. 3

3122 222)(')(

xxxxfxxf

−=−=−=→= −−−−

3. 6

61553

2 555)(')(

xxxxfx

x

xxf

−=−=−=→== −−−−

4. 323 66)('32)( −− +=→−= xxxfxxxf

5. xxfxx

xf 2)('1

)( 22

=→==−

6. ( ) ( )

( )( )

( )22 cos

cos

cos

cos1cos0)('

cos1

)(xsenx

senxx

xsenx

senxxxsenxxf

xsenxxf

+

−−=

+

−−+=→

+=

7. ( )( ) ( )( )

( )2cos

coscoscoscos)('

coscos

)(xsenx

senxxxsenxxsenxsenxxxf

xsenx

xsenxxf

+

−−−++=→

+−

=

8. ( ) ( )

( ) ( )22 ln1

2

ln1

1ln1ln1

1

)('ln1ln1

)(xxx

xxx

xxfx

xxf

+

−=

+

−−+−

=→+−

=

9. ( )( ) ( )( )

( )22

322

2

2

1

2112)('

1

1)(

−−

−−

−−−−=→

−=

x

xxxxxf

x

xxf

10. ( )( ) ( )( )

( )221

2ln22212ln21)('

21

2)(

x

xxxx

x

x xxf

xxf

+

−−+−=→

+

−=

Page 34: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 27

SOLUCIONES BOLETIN 3

1. ( )

0ln

0)1(ln0)('

ln1

)(2

=⋅−−⋅

=→−

=e

eexf

e

exf

2. 1ln1

ln11)('ln)( −−+=−−+⋅=→−= xxeex

xxxeexfxxxexf xxxxx

3. x

exexfxexf xxx 1ln)('ln)( ⋅+⋅=→⋅=

4. x

xexe

xfx

exf

xxx

2ln

1ln

)('ln

)(⋅−⋅

=→=

5. ( )( ) ( )

( )2ln1

11ln1

)('ln1

1)(

x

xexe

xfx

exf

xx

x

+

−−+−=→

+−

=

6. )1)(ln1())(1

()('))(ln1()( xxx exexx

xfexxxf +−++−=→+−=

7. 1)(')( −=→= ee exxfxxf

8. xexexe exeexxfexxf ⋅+⋅=→⋅= −1)(')(

9. ( )( ) ( )( )

( )21

11)('

1

1)(

x

xxxx

x

x

e

eeeexf

e

exf

−+−−=→

+=

10. ( ) ( )

( )2ln

1lnln

1

)('ln

ln)(

x

xxxx

x

x

ex

ex

exexex

xfex

exxf

+

+−−+

−=→

+

−=

Page 35: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 28

SOLUCIONES BOLETIN 4

1. 3ln333)('3)( 323 xxx xxxfxxf ⋅+⋅=→⋅=

2. ( )

( )23

33

3 lg

lg1

3lg3ln3)('

lg

3)(

x

ex

x

xfx

xf

xx

x

−=→=

3. ( ) ( )

( )23

3333

3

3

lg3

lg1

3ln3lg3lg3lg1

3ln3)('

lg3

lg3)(

x

ex

xxex

xfx

xxf

x

xxxx

x

x

−+−−

+=→

+=

4. )1(cos)(')( 2xtgsenxtgxxxftgxsenxxf +⋅+⋅=→⋅=

5. ( ) senxxtg

xtgsenxtgxxxfx

tgx

senxxf −==

+⋅−⋅=→== ....

)1(cos)('cos)(

2

2

6. ( )( ) ( )( )

( )2cos

1coscos1)('

cos)(

xx

senxsenxxxxxxf

xx

senxxxf

+

−−−+−=→

+−

=

7. ( )( ) ( )( )

( )22

cos

)1(coscoscos)('

cos

cos)(

xtgx

senxxtgsenxxxtgxxsenxxf

xtgx

senxxxf

+

−+−−+−−=→

+−

=

8. ( )( ) ( )

( )2

22

22

cos

(coscos

1coscoscos

)('cos

cos)(

xtgx

senxxtgxx

senxxxtgxxxsen

xfxtgx

senxxxf

−⋅+⋅⋅−⋅+−=→

⋅⋅

=

9. ( )( ) ( )( )

( )22 111cos1

)('1cos

)(xtgx

xtgxxtgxsenxxf

xtgx

xxf

+

++−−+−−=→

+−

=

10. ( )( ) ( )( )

( )2cos

1coscos1)('

cos)(

xx

senxsenxxxxxxf

xx

senxxxf

+

−−−+−=→

+−

=

Page 36: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 29

SOLUCIONES BOLETIN 5

1. 3 2

233

3

13ln33)('3)(

xxXfxxxf xx

⋅−−=→−−=

2. ( )( ) ( ) ( )( )3ln333

1)('3)( 3

3 2

3 xxx xx

xfxxf +

⋅=→=

3. ( ) ( )( )

( )233

3

3

3ln3lg3lg1

)('3

lg)(

x

xx

x

xex

xfx

xf

=→=

4. x

xfx

xf⋅

=→=33 3

1)('

3

ln)(

5. ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )( )233

3 233

333

32

33

3

lg

3

1lglg

13lg3ln33

)('lg

3)(

xx

xxxe

xxxxx

xfxx

xxf

xx

x

⋅+

−−−

=→−

=

6. ( )( ) ( )( )

( )2323

31

3ln31313)('

31

1)(

x

xx

x

xxxf

xxf

+

−−+=→

+

−=

7. ( ) ( )

( )23

33

3 lg1

lg1

ln1lg11

)('lg1

ln1)(

x

ex

xxx

xfx

xxf

+

−−+

=→+−

=

8. ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )

⋅−+−+−=→−=

3 2

3333233

3

133ln333)('3)(

xxxxxxxfxxxf xxxx

9.

( ) ( )

( )

−+−−

+

−+

=→−+

=2

3

33

3

2

3

3

3 lg

lg1

1lnlg1

1

lg

ln3

1)('

lg

ln)(

xx

ex

xxxxx

xx

xx

xfxx

xxxf

10. 3

13ln3)('33)( 333 ⋅

=→==

xx

x xfxf

Page 37: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 30

SOLUCIONES BOLETIN 6

1. 45 15)('3)( xxfxxf =→=

2. 115)(')( 1415 −=→−= xxfxxxf

3. 3

322

22)('

1)(

xxxfx

xxf

−=−=→== −−

4. 3

325

3 22)(')(

xxxfx

x

xxf

−=−=→== −−

5. 65

65545

5454)('

1)(

xxxxxfxx

x

xxf +

−=+−=→−=

−= −−−−

6. 5

5

15 4

5

5

5

4)(')( 5

4

xxxfxxxf ==→==−

7. 4

545

)(')(4

4

1

4

54 5 x

xxfxxxf ==→==

8. 4 9

4

9

4

5

4 5 4

5

4

5)('

1)(

xxxfx

xxf

−=

−=→==

−−

9. 5 9

5

9

5

4

5 4 5

4

5

4)('

1)(

xxxfx

xxf

−=

−=→==

−−

10. x

xfxxx

xxf

2

1)(')( 2

1

2

11

=→===−

Page 38: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 31

SOLUCIONES BOLETIN 7

1. xxxxfxxxxxf23

23

23

)(')( 2

11

2

3

2

3

2

11

===→===−+

2. 92

91

2

11

2

11

2

15

5

211

211

211

)(')( xxxxfxxxxxf ===→===−+

3. 11

2

111

2

9

2

95

2

1

52

9

2

9

2

9)(')(

xxxxfxx

x

xxf

−=

−=

−=→===

−−

−−−

4. 72

71

2

9

2

9

2

155

2

9

2

9

2

9)(')( xxxxfxx

x

xxf ===→===

−−

5. 3 7

3

71

3

4

3

4

3

11

3 3

4

3

4

3

4)('

1)(

xxxxfxx

xxxf

−=

−=

−=→===

−−

−−−−

6. 2 7

2

71

2

5

2

5

2

131

32

5

2

5

2

5)(')(

xxxxfxx

xx

xxf

−=

−=

−=→===

−−

−−−−

7. 3 83

81

3

11

3

11

3

23

3 23

311

311

311

)(')( xxxxfxxxxxf ===→===−+

8. 6 76

71

6

13

6

13

6

922

2

3

3

23

3

3 23

25

613

613

)(')( xxxxfxxxx

xxxf

−===→====

−−

−+

9. 20 11

20

111

20

9

20

9

20

1625

5

4

4

5

5 4

4 5

20

9209

209

)(')(x

xxxfxxxx

xxf ===→====

−−

−−

10. 20 59

20

591

20

39

20

39

20

16252

5

45

4

53

5 45

4 53

20

392039

2039

)(')(x

xxxfxxxxx

xxxf

−=

−=

−=→====

−−

−−−+−−−+

Page 39: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 32

SOLUCIONES BOLETIN 8

1. 55 2

2 355

2

3

245

3

3

5

45 33 5 4

5

33

54

53

35

)('1

)(xx

xxxxxfxxx

xxxxf +−=+−=→−−=−−= −

−−

2. ( )( )15

341534

)(')(15 34

15

19

15

34

5

3

3

55 33 5 x

xxfxxxxxxf ==→=

==

3. 15

16

15

16)(')(

1515

1

15

16

5

3

3

5

5 3

3 5 xxxfx

x

x

x

xxf ==→===

4. 15

221522

)(')(15 7

15

7

15

223

1

5

223

1

5

35

3

1

5

3

5

35 3

5 xxxfxxx

x

x

x

xxf ==→=

=

=

==

5.

( ) ( )( )25 33 5

5 2

2 35 33 55 33 5

5 2

2 3

5 33 5

5 33 5 5

33

5

5

33

5

)(')(xx

x

xxxxx

x

x

xfxx

xxxf

+

+−−+

=→+

−=

6.

( ) ( )( )

−+

−−+

=→+

−=

25 3

2 35 35 3

5 2

5 3

3 5

1

35

115

3

)('1

1)(

x

xxx

xxf

x

xxf

7. 5

23

5

23)('

1)(

5 185

18

5

23

5

34

4

5 3 xxxfxxx

x

xxf ==→===

8. 5 8

5

8

5

3

5 3 5

3

5

3)('

1)(

xxxfx

xxf

−=

−=→==

−−

9. 3 8

3

8

3

5

3 5 3

5

3

5)('

1)(

xxxfx

xxf

−=

−=→==

−−

10. 5

17517

)(')(5 12

5

12

5

17

5

34

5 3

4x

xxfxxx

xxf ==→===

Page 40: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 33

SOLUCIONES BOLETIN 9

1. 15

171517

)(')(15 2

15

2

15

173

1

5

173

1

5

34

3

1

5

3

4

35 3

4 xxxfxxx

x

x

x

xxf ==→=

=

=

==

2. ( )2

213

13

3

1

55

3

5

3

5

5 3

1)('

11)(

xxxfxx

xx

xf−

=−=→==

=

= −−−

3. ( ) ( ) 1)(')(3

1

5

533

55 3 =→=

== xfxxxxf

4. 25 22

25

22

25

35

1

5

35 5 3

25

3

25

3)(')(

xxxfxxxxf ==→=

==

5. x

xfxxx

x

x

x

xxf

2

1)(')( 2

15

1

2

55

1

2

1

3

5

3

=→==

=

==

6.

( ) ( )

( )23

2

3

1

2

111

2

1

1

1

3

1)('

1

1)(

x

xxx

x

x

xxf

x

xxf

+

−−+

+

−=→

+

−=

7. 0)(')( 3 =→= xfexf

8. 3 2

3

5)(')(

3 53 5

xexfexf xx =→=

9. 31

5ln5)('55)( 333 ⋅⋅=→==xx

x xfxf

10. 9 5

9

43

1

3

9

55ln5

9

55ln5)('555)(

9 5

9

5

9

5

3

53 5

xxxfxf

xxxxx ⋅⋅

=⋅=→=

==

Page 41: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 34

SOLUCIONES BOLETIN 10

1. ( )

( )3ln3lg3

1

3lg3

1)('3lg)( 3

3 2

3

33

x

xx

x exfxf ⋅

=→=

2. ( )

( )23

3 23

3 3 31

ln3

1)('ln)( x

xx

xfxxf

=→=

3.

=→=

3 233

33

3

1lg

1)('lg)(

xe

xxfxxf

4. ( )3ln3lg3

1)('3lg)( 33

x

x

x exfxf

=→=

5. ( )3ln33

1)('3ln)( x

x

x xfxf

=→=

6. ( )2333

3 3lg1

)('lg)( xex

xfxxf

=→=

7. ( )

=→=

3

13ln3lg

3

1)('3lg)( 3

33

33

x

x

x exfxf

8. ( )

=→= ex

xfxfxx

3lglg lg

13ln3)('3)( 33

9. ( )

⋅=→=

3 23

13ln3)('3)(

33

xxfxf xx

10. ( ) ( )

=→=

3

13ln3lg

3

13ln3)('3)( 3

33

3lg3lg 33

33 x

xexfxf

xx

Page 42: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 35

SOLUCIONES BOLETIN 11

1. 3

3 2

3

21)('ln)(

xe

xxfxexxf xx −−=→−−=

2. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( ) →

−+−+−

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Page 43: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 36

SOLUCIONES BOLETIN 12

1. ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]( ) ( )

33

1

3

23 23 2

13

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9. x

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⋅⋅=→= xx

exfexf xx

Page 44: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 37

SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA

2) (1, 1) , (−1, −1)

3) y −3

1 = −

9

1(x − 3)

4) y = −6(x − 1)

5) y − 5 = 5

1(x − 12)

6) (1, 3,5) , (2, 3)

7) a = 2, b = 0

8) p =−3; q = 7

9) y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = −8(x − 1)

10) y = −6(x − 1)

11) a) y = x − 1 b) (0, 0)

12) x = 2, x = −2, y = 2x

13) x = 4, y = 1

14) x = 0, y = x − 1

15) (0, 0), x = −1, x = 1, y = 0

16) Punto de inflexión (0, 0)

17) x = 4, y = x + 8

18) x = 1, x = 9, y = 0

19) Creciente en ]−∞, −2[ ∪ ]0, +∞[. Decreciente en ]−2,−1[ ∪ ]−1, 0[. Mínimo (0, 1). Máximo (−2,−3)

20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ]−∞, 0[ ∪ ]1, +∞[. Convexa en ]−∞, 2/1 [. Cóncava ] 2/1 , +∞ [

Page 45: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 38

21) Creciente en ]−∞,0[ ∪ ]2,+ ∞ [. Decreciente en ]0, 2[. Mínimo (2, −3). Máximo (0, 1)

Convexa en ]1, +∞[. Cóncava ]−∞, 1[. Punto de inflexión (1, −1)

22) 24)

24) a) Mínimo (1, 5). Máximo (−1, 9). Punto de inflexión (0, 7)

b)

c) y − 7 = −3x

25) 26)

27) b = −9, c = 15, d = −7

Page 46: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 39

28) a) D = R; b) (0, 4) (2, 0) c) Decreciente en ]− ∞, 2[ ; Creciente en ]2, +∞[. Mínimo (2, 0)

29) a) Creciente en ]−1, 1[. Decreciente en ]−∞, 1[ ∪ ]1, +∞[. Máximo (1, 2/1 ), mínimo (−1, − 2/1 )

b) y = 0

Page 47: [Maths] 4.6.1 derivadas.problemas bis

+

| 40

Uℕℤℚ∊ℝℂℙℐΩ⇐⇒⇔⇏∊∉∈∅⇾≈≔⇎≡ℤ≤≥≲≳≴≵≮≯∀⇒∊≠∅⊂⟇·∃ A⨯Bεαβηθλµξσφφδεε

·∅U∩∪∼∿⊂⊃⊆⊇⊄⋂⋃⊅∧∨U⤳≮≠|∂∆√±∞ǀǁƟƩǃξχ∘H⊕⊗⊛⋅♯⨁⨂×