[Maths] 6.1.2 logica. algebra proposiciones

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Logica Matemática. Algebra de proposiciones.

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  • 1. LGICA lgebra de Proposiciones By Miguel Prez Fontenla,January 2012

2.

  • By Miguel Prez Fontenla,January 2012

3. LGEBRA DE PROPOSICIONES 4. Para qu nos servir esta materia? Lgica: Argumentos Simplificacin de circuitos lgicos Diseo circuitos elctricos Diseo circuitos lgicos Lgica del ordenador. Comprender pseudocdigo Lenguaje simblico 5. LGICA PROPOSICIONAL Es una ciencia auxiliar de la Informtica y las Matemticas, que ayuda a comprenderla, razonarla, etc. Qu es la lgica proposicional? Puedes ver este video de introduccin http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=x2Hwnd7zoKU 6. LGICA PROPOSICIONAL Es una frase o sentencia aseverativa, es decir, que afirma o niega algo. Tambinpodramosdefinirla como una expresin lingstica susceptible de ser calificada de verdadera o falsa. Se les designa con las letras p, q, r, s, t, w Ejemplosde enunciados simples Madrid es la capital de Espaa Roma es la capital de Francia 2 + 2 = 4 Dos es impar 3 x 4 = 34 Las amapolas son azules El coseno de un ngulo no es mayor que uno Juan estudia todas las noches ENUNCIADO 7. LGICA PROPOSICIONAL No seran enunciados los siguientes: Ejemplos de no enunciados El mejor jugador de ftbol del mundo 2 + 2 El profesor de TIC Silencio! sen( ) ENUNCIADO 8. LGICA PROPOSICIONAL Se llamavalor de verdadde un enunciado a la condicin de verdaderoVo falsoFdel mismo. Ejemplosde valor de verdad Santiago es la capital de Galiciatiene valor de verdadV Roma es la capital de Francia tiene valor de verdadF El 7 es un nmero natural tiene valor de verdadV 2 + 2 = 4tiene valor de verdadV 3 x 4 = 34tiene valor de verdadF Las amapolas son azules tiene valor de verdadF El cos( ) no es mayor que uno tiene valor de verdadV Juan estudia todas las noches tiene valor de verdad ? VALOR DE VERDAD 9. LGICA PROPOSICIONAL Es el que est formado por varios enunciados simples y unasconectivasque vamos a definir a continuacin. Ejemplosde enunciados compuestos Madrid es la capital de Espaa y 2 + 2 son4 Roma es la capital de Francia 2 + 2son 5 Juan estudia todas las noches Juan no aprueba matemticas ENUNCIADO COMPUESTO 10. LGICA PROPOSICIONAL Enunciado Es una frase o sentencia que afirma o niega algo Ejemplosde Enunciados simples Madrid es la capital de Espaa 2 + 2 = 4 3 x 4 = 34 Valos de verdad Se llamavalor de verdadde un enunciado a la condicin de verdaderoVo falsoFdel mismo. Enunciado compuesto Es el que est formado porvariosenunciados simples y unasconectivasque vamos a definir a continuacin. El 2 es divisor de 48 o el 3 es divisor de 48. Si x es nmero primo, entonces x impar. 11. LGICA. CONECTIVAS Dos enunciados simplespyqse pueden combinar con la conectiva (que se lee o ) formando un enunciado compuesto denominado conjuncin de los enunciados iniciales y se escribep q Que queda definida por sutabla de verdad: Ejemplo 3 es un nmero primo 12 es divisible entre 3 Operador lgico Disyuncin p q Puedes ver este video http://www.youtube.com/watch?feature=player_embedded&v=E0L4i2JJ5xA p q p q V V V V F V F V V F F F 12. LGICA . CONECTIVAS Dos enunciados simplespyqse pueden combinar con la conectiva (que se lee y ) formando un enunciado compuesto denominado conjuncin de los enunciados iniciales y se escribep q Para definir adecuadamente una conectiva hay que explicar como acta y eso se consigue definiendo sutabla de verdad: Ejemplo 3 es un nmero primo y 12 es divisible entre 3 Operador lgico Conjuncin p q p q p q V V V V F F F V F F F F 13. LGICA . CONECTIVAS Un enunciado simplepse pueden combinar con la conectiva (o la , que se leen n o ) formando un nuevo enunciado denominado negacin del enunciado inicial y se escribepo tambinp Que queda definida por sutabla de verdad: Ejemplos El dineronoda la felicidad.Es falso queel dinero de la felicidad.No es el caso queel dinero de la felicidad.El dinero dacualquier cosa menosla felicidad.Es inaceptable decir queel dinero da la felicidad.No es cierta la afirmacin queel dinero da la felicidad. Operador lgico Negacinp p p p V F F V 14. LGICA . CONECTIVAS

  • Calcular el valor de verdad de los siguientes enunciados:
  • Madrid es la capital de Espaa y 2 + 2 son4
  • Roma es la capital de Francia 2 + 2son 5
  • 6 es primo2 + 2 = 4
  • 7 es primoyno es cierto que 2 + 2 = 5
  • 6 no es primo2 + 2 5
  • Juan estudia todas las noches Juan no aprueba matemticas

Ejercicios 15. LGICA. TABLAS DE VERDAD Cuando usemos variables p, q , r,para designar un enunciado y lo combinemos con conectivas , , (y otras que estudiaremos) obtenemos un enunciado compuesto que denominamosproposiciny la denotamos porP(p,q,r, ) El valor de verdad de una proposicin depende nica y exclusivamente de sus variables y para expresarlo se construye latabla de verdad Proposicin y tablas de verdad p q p q p q (p q) V V F F F V V F F V F V F V V F F V F F V V V F 16. LGICA. TABLAS DE VERDAD 1. Construye la siguiente tabla de verdad Ejercicio 2. Indica cul es el valor de verdad de la proposicin: No es cierto que: 7 no es primo Roma es la capital de Francia p q p p V q (p V q) V V V F F V F F 17. LGICA . CONECTIVAS Dos enunciados simplespyqse pueden combinar con la conectiva (que se lee implicay tambinsolo si ) formando un enunciado compuesto denominado implicacin o condicional de los enunciados iniciales y se escribep q Que queda definida por sutabla de verdad : Ejemplos Si llueve, entonces voy al cine. Voy al cine si llueve. Cuando llueve, voy al cine. Operador condicional implicacin lgica, pq p q p q V V V V F F F V V F F V 18. LGICA . CONECTIVAS Dos enunciados simplespyqse pueden combinar con la conectiva (que se lee equivaley tambinsi y solo si ) formando un enunciado compuesto denominado equivalencia o bicondicional de los enunciados iniciales y se escribepq Que queda definida por sutabla de verdad : Ejemplos Te ayudar si y solo si te ayudas a ti mismo. Operador bicondicional equivalencia lgica, pq p q p q V V V V F F F V F F F V 19. LGICA . CONECTIVAS RESUMEN OPERADORES LGICOS Operador Smbolo Lectura Ejemplo Disyuncin p q Conjuncin / & Y pq Negacin / No p Condicional Implicacin si entonces / implica que p q Bicondicional Equivalencia / equivale a / si y solo si p q Otros Smbolo Lectura Ejemplo Disyuncin Excluyente / / bien bien pq Negacin conjunta ni ni pq 20. LGICA. TABLAS DE VERDAD Unatautologaes una proposicin cuyo valor de verdad es siempre verdaderoVpara cualquier valor de las variables que la componen. Unacontradiccin es una proposicin cuyo valor de verdad es siempre negativoFpara cualquier valor de las variables que la componen. Unacontingenciaen una proposicin que no es ni verdadera ni falsa independientemente de los valores de verdad de las proposiciones simples que la componen. Tautologas y contradicciones Puedes ver este video http://superinteresante7.wordpress.com/2011/10/16/tautologias-contradiccion-y-contingencia/ 21. LGICA. TABLAS DE VERDAD

  • Ejercicio 1
  • Construye la tabla de verdad de la proposicin P(q,r) (qr)V (qr)
  • Solucin
  • Por lo tanto P ,es una tautologa

q r q r (q r) (q r) V(q r) V V V F V V F F V V F V F V V F F F V V 22. LGICA. TABLAS DE VERDAD

  • Ejercicio 2
  • Demuestra que la ley Modus ponendo ponens es una tautologa .
  • Solucin
  • Por lo tanto es una tautologa

p q p -> q ( p -> q )^p ((p -> q)^p) -> q V V V V V V F F F V F V V F V F F V F V 23. ALGEBRA DE PROPOSICIONES Equivalencia Lgica Dos proposiciones P(p,q,r,) y Q(p,q,r,) son lgicamente equivalentes, y se escribeP Q,si tienen la misma tabla de verdad. Ejemplo Las proposiciones P: (p q) y Q:( p Vq)son lgicamente equivalentespues: Por lo que escribimos que (p q) ( p Vq) , conocida comoLey de Morgan . Como ejemplo la proposicin no es cierto que 2+2=5 y 6 es primoequivale a decir 2+2 5 o 6 no es primo. p q p q (p q) V V V F V F F V F V F V F F F V p q p q ( p V q) V V F F F V F F V V F V V F V F F V V V 24. LGICA. TABLAS DE VERDAD Ejercicio 3 Demuestra que p-> q es equivalente a p V q Solucin Por lo tantop-> q p V q, es decir, podramos prescindir siempre del operador condicional sustituyndolo por la negacin y la disyuncin.Decir Si estudias apruebas equivale lgicamente a no estudias o apruebas p q p->q V V V V F F F V V F F V p q p p V q V V F V V F F F F V V V F F V V 25. ALGEBRA DE PROPOSICIONES

  • Ejercicio 4
  • Simbolizacin de Enunciados
  • Las computadoras trabajan ms rpido que los hombres.
  • No tengo un auto azul.
  • Marcela estudia en Quito y Pablo en Loja.
  • Bailamos o tomamos caf.
  • Si cantamos entonces necesitamos viajar.
  • Leer este libro si solo si tiene pocas hojas.
  • No es cierto que si no tomamos caf implica que no es de da.
  • La tierra gira alrededor del sol no se da que la luna es un planeta.
  • Si trabajara los fines de semana y durmiera menos entonces no perdera el vuelo.
  • Es falso que vivo en Loja, pero visitar a mi familia en Cuenca.
  • No iremos al partido a menos que salga el sol.
  • Ana es profesora o es estudiante pero no puede ser ambas cosas a la vez.

26. LGEBRA DE PROPOSICIONES Leyes del lgebra de proposiciones NOMBRE EQUIVALENCIA Leyes de Idempotencia p p p p V p p Leyes Conmutativas p q q p p V q q V p Leyes Asociativas (p V q) V r p V( q V r) (p q) r p ( q r) Leyes Distributivas p V (q r) (p V q) (p V r) p (q V r) (p q) V (p r) Leyes de Identidad p V p