By Miguel Pérez Fontenla, December 20111

ALGEBRA LINEAL

GEOMETRIA DEL ESPACIO I

Usando textos con licencia de Santillana Educación S.L.

ALGEBRA LINEAL

•Espacios Vectoriales•Vectores. Operaciones

•Geometría del Espacio•La Recta en el espacio•El plano en el espacio•Posiciones relativas …

•Producto escalar•Perpendicularidad•Aplicaciones, distancias, ángulos …

•Productos vectorial y mixto•Aplicaciones: Areas, distancias,•Aplicaciones: Volúmenes, distancias …

Repasando ℝ2

•Vectores en el PlanoUn vector en ℝ2 queda determinado por dos puntos A(a1,a2) y B(b1,b2) (origen A y extremo B) y el orden de éstos:

1 1 2 2

1 1 2 2

,

,

AB b a b a

BA a b a b

Repasando ℝ2

•Operaciones con vectores

Repasando ℝ2

Definición: Espacio vectorial

Un conjunto V con dos operaciones, una + y otra * y donde existen 0,1∊V y un cuerpo K (usualmente ℚ,ℝó ℂ) verificando:

Respecto a +,

Conmutativa

Asociativa

Elemento neutro

El elemento simétrico de es su opuesto

Respecto a *

Distributiva respecto a la + de vectores

Distributiva respecto a la + de escalares

Asociativa mixta

Elemento neutro

Pues bien, a este conjunto formado por {V, +, *, K} que verifique todas las propiedades anteriores se le llama espacio vectorial sobre el cuerpo K

u v v u

u v w v u w

0 0u u

u

u

u v u v

u u u

u u

1u u

Otras definiciones

Definición: vector

A los elementos del espacio vectorial V se les llama vectores

Los denotaremos por letras

Definición: escalar

A los elementos del cuerpo (usualmente ℚ,ℝ ó ℂ) se les llama escalares

Los denotaremos con las letras griegas

, , , , , , , , ,...u v w a b c i k j

, , , , , , ,....

Ejemplos de espacios vectoriales

•ℝ2 plano euclídeo estudiado en Geometría plana•V2 o conjunto de vectores del plano, estudiado en Geometría plana•n o conjunto de matrices cuadradas n x n• o conjunto de polinomios•V3 o conjunto de vectores libres del espacio•ℝ3 espacio euclídeo

Vectores en el espacio

•Vectores en el espacioUn vector en ℝ3 queda determinado por dos puntos A y B (origen A y extremo B) y el orden de éstos.

•Elementos de un vector

Vectores en el espacio

Operaciones con Vectores

Operaciones con Vectores

Combinación lineal de vectores

Base de un espacio vectorial

Base de un espacio vectorial

Coordenadas de un vector

•Sistemas de referenciaUn sistema de referencia en el espacio está formado por un punto fijo O y una base del espacio

Lo denotaremos por

•El Sistema de referencia canónico

Es el que tiene como punto fijo

O(0,0,0) el origen

y como base tres vectores de

módulo 1

y perpendiculares entre si

, ,u v w

, , ,O u v w

, ,i j k

Coordenadas de un vector

•Coordenadas y módulo de un vector

Coordenadas de un vector

Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo del vector

Coordenadas de un vector

Ejercicio: Calcula las coordenadas y el módulo de estos vectores

Operaciones con coordenadas

Suma y resta de vectores

Operaciones con coordenadas

Multiplicación de un vector por un escalar

Operaciones con coordenadas

Operaciones con coordenadas

Suma de un punto más un vector

Operaciones con coordenadas

Dependencia e independencia lineal

Operaciones con coordenadas

Aplicaciones de los vectores

Punto medio de un segmento

Puntos alineados

Aplicaciones de los vectores