[Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas

8/9/2019 [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas

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AnalysisDerivadas. Problemas

OpenUepc.com 1.1.4.6.1 Ver 01:03/02/2010


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3/47

NOTA

La clasificacin decimal de todos los temas de este manual tienenimplcito el comienzo 1.1.4.6.1 correspondiente a

1 SCIENCE

1.1 MATHEMATICS

1.1.4 ANALYSIS1.1.4.6 .1 DIFERENCIACION

COPYLEFT

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El contenido est sujeto a constantes cambios sin previo aviso. Su fines didctico y solo pretende la universalizacin de la cultura. Estescrito en base a la colaboracin de las miles de personas quecomponen nuestra comunidad OpenUepc. Se ha exigido a los autoresque referencien todas las fuentes utilizadas y figuran al final del texto.Cualquier distribucin del mismo debe mencionar a OpenUepc comofuente.

Miguel Prez Fontenla

[email protected]

INDICE AUTORES

Iniciado por: Miguel Prez Fontenla

22/01/2010


4/47


5/47

TABLA DE DERIVADAS

Funcin Derivada Ejemplos

Constante

y=k y'=0 y=8 y'=0

Identidad

y=x y'=1 y=x y'=1

Funciones potenciales

Funciones exponenciales

Funciones logartmicas


6/47

Funciones trigonomtricas

Derivadas de sumas, restas, productos y cocientes de funciones


7/47

Regla de la cadena

( ) [ ]{ } [ ]'( ) ( ) ' ' ( ) '( )f x g f x g f x f x= = o


8/47

+

| COLECCIN DE 20 EJERCICIOS 1

COLECCIN DE 20 EJERCICIOS

Presento a continuacin una coleccin de 20 derivadas resueltas que de saberlas hacer todas,es presumible que estas perfectamente preparado en lo que respecta al clculo de derivadas.

1.- Calcular la derivada de la funcinf(x)= x cos x

2.- Calcular la derivada de la funcin 4( ) sin ln en x=2

f x x x x

=

3.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln xf x x x += 4.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) sinf x x x=

5.- Calcular la derivada de la funcin3

sin 1( )

xf x

x

=

6.- Calcular la derivada de la funcin tan cos( ) lnx xf x

x=

7.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) cosf x x= 8.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln cosf x x= 9.- Calcular la derivada de la funcin sin( ) x xf x e= 10.-Calcular la derivada de la funcin ( ) ln(ln )f x x= 11.-Calcular la derivada de la funcin 2 2( ) ( )f x sen x= 12.-Calcular la derivada de la funcin 3 22( ) lgf x x x= +

13.-Calcular la derivada de la funcin

2

3 1( ) xf x x =

14.-Calcular la derivada de la funcin ( ) arctan1

xf x

x=

+

15.-Calcular la derivada de la funcinln

( ) arcsecx

f x =

16.-Calcular la derivada de la funcin ( ) xf x x= 17.-Calcular la derivada de la funcin ( ) l xf x x= 18.-Calcular la derivada de la funcin an( ) xf x x=

19.-Calcular la derivada de la funcin 1 1( ) ln2 1f x

x= +

20.- Calcular la derivada de la funcin2( ) ln 1f x x x= + +

Ejercicios Propuestos

Calcular la derivada de la funcin 2( ) ln 1f x x x= +

Calcular la derivada de la funcin

1 1

( ) ln2 1f x x+

=


9/47

+


Soluciones

1.- Calcular la derivada de la funcinf(x)= x cos x

( )'( ) cos ' ' cos' 1 ( sin ) 1 sinf x x x x x x x= = = = +

2.- Calcular la derivada de la funcin 4( ) sin ln en x=2

f x x x x

=

( )3 3 4

'4 3 1 1 2 4'( ) sin ln 4 cos ; ' 4 cos2 2 2 2 2

2

f x x x x x x f x

= = = = =

3.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln xf x x x += Al estar definido x>0 ya no tenemos problemas con la definicin de la funcin, pues slo

tendramos problemas si apareciesen neperianos de nmeros negativos

( ) ( )1

'( ) ln ' 'ln ln ' 1 ln ln 1f x x x x x x x x x xx

= = + = + = +

4.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) sinf x x x= ( ) ( ) ( )2 2 2 2'( ) sin ' 'sin sin ' 2 sin cosf x x x x x x x x x x x= = + = +


sin 1( )

xf x

x

=

( ) ( ) ( )3 3' 3 4 33 6 6

3

'sin sin ' 0 sin 1 sin cos sinsin 1'( ) ...

sin cos sin 1...

x x x x x x x x x x x x x x xx xf x

x x x

x x x x x

x

+ + + = = = =

+ +=

6.- Calcular la derivada de la funcintan cos

( )lnx x

f xx

=

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

'

2

2

2

' tan tan ' cos ' ln tan cos ln 'tan cos'( ) ...

ln ln

1tan tan sin ln tan cos

...ln

x x x x x x x x x xx x xf x

x x

x x x x x x x xx

x

+ = = =

+ + =

7.- Calcular la derivada de la funcin 2( ) cosf x x=

( ) ( )'2 2 2'( ) cos sin 2 2 sinf x x x x x x= = =

8.- Calcular la derivada de la funcin ( ) ln cosf x x=

( ) ( )' 1

'( ) ln cos sin tancos

f x x x x= = =


10/47

+


9.- Calcular la derivada de la funcin sin( ) x xf x e=

( ) ( ) ( )'cos cos cos'( ) 3 3 ln3 cos ' 3 ln3 cos sinx x x x x xf x x x x x x= = =

10.-Calcular la derivada de la funcin ( ) ln(ln )f x x= ( )

' 1 1 1'( ) ln(ln )

ln lnf x x

x x x= = =

11.-Calcular la derivada de la funcin 2 2( ) ( )f x sen x=

( ) ( )( )( )'2 2 2 2'( ) sin ( ) 2 sin cos 2f x x x x x= =

12.-Calcular la derivada de la funcin 3 22( ) lgf x x x= +

( )

'3 2 2

2 22

3 22

1 1'( ) lg 3 lg 2

2 lg

f x x x x e x

xx x

= + = + +

13.-Calcular la derivada de la funcin2

31

( )x

f xx

=

' 2 12 1

3 33 3

2 2 2

1 2 1 ( 1) 2 1 1 2'( )

3 3 3 1

x x x x xf x

x x x x x x x

= = = =

14.-Calcular la derivada de la funcin ( ) arctan1

xf x

x=

+

( )

( )

( )2'

2 2

111'( ) arctan

1 11

1

xx xxf x

x xx

x

++ = = = + + + + ( ) ( )

22 2

1

1 1x x x+ + +2

1

2 1x x

= + +

15.-Calcular la derivada de la funcinln

( ) arcsecx

f x = '

'2

2 2

ln 1 lnln

'( ) arcsec

ln ln ln ln1 1

x xx x xf x

xx x x x

x x x x

= = =

16.-Calcular la derivada de la funcin ( ) xf x x= Este tipo de derivadas en las que aparecen variables en la base y en el exponente se resuelventomando previamente logaritmos neperianos en la expresin a derivar, para posteriormenteaplicar la Regla de la Cadena de la siguiente forma

( ) ( ) ( )1 1

( ) ln ( ) ln ln ( ) ' ln ' '( ) 1ln '( ) ln 1( )

x xf x x f x x x f x x x f x x x f x x xf x x

= = = = + = +

17.-Calcular la derivada de la funcin ( ) l xf x x=


11/47

+


ln 2 ln1 2ln 2ln( ) ln ( ) ln ln ln '( ) '( )( )

x x xf x x f x x x x f x f x xf x x x

= = = = =

18.-Calcular la derivada de la funcin an( ) xf x x=

tan tan2 2

1 1 1 ln tan( ) ln ( ) tan ln '( ) ln tan '( )

( ) cos cosx x x xf x x f x x x f x x x f x x

f x x x x x

= = = + = +

19.-Calcular la derivada de la funcin1 1

( ) ln2 1

f xx

=

+

( ) ( )

( )2

1 1 11 1 1'( )

12 211

x xf x

x x

+ = =

++

1 x+ 21 x

x x+

( )2

1 x+ ( )( )2

1 11 1 1x x

= = +


( ) ln 1f x x x= + +

2 2 2

1 2 1'( ) 1

1 2 1 1

xf x

x x x x x

= + =+ + + + +

2 1x x+ +2 2

1

1 1x x=

+ +

Ejercicios Propuestos

Calcular la derivada de la funcin 2( ) ln 1f x x x= +

Calcular la derivada de la funcin1 1

( ) ln2 1

f xx

+=


12/47

+

| BOLETN DE TRABAJO n 1 5

BOLETN DE TRABAJO n 1

Calcula las derivadas de las siguientes funciones

1. 13523)( 345 += xxxxxf 2. )4)(2()( 23 xxxf = 3.

3

2

2

3)(

x

xxf =

4. )2)(2()( 3 xxxf = 5.

1

1)(

+

=x

xf

6.x

xxf

ln

lg)( 2=

7.senx

xxf cos)( =

8.3

3)(

xxf

x

=

9.3

1)(

xxf =

10.x

xfln

1)( =


13/47

+




1. xxf =)( 2. 2)( =xxf 3. 3

2

)(x

xf

=

4. 23 32)( = xxxf 5.

2

1)(

=

xxf

6.senx

xfcos

1)( +=

7.senx

xsenxxf

cos

cos)(

+

=

8.x

xxf

ln1

ln1)(

+

=

9.2

2

1

1)(

=x

xxf

10.x

xx

xf

21

2)(

+

=


14/47

+




1.e

exfln

1)( =

2. xxxexf x ln)( = 3. xexf x ln)( = 4.

x

exf

x

ln)( =

5.x

exf

x

ln11

)(+

=

6. ))(ln1()( xexxxf += 7. exxf =)(8. xe exxf =)(9.

x

x

e

exf

+

=1

1)(

10.x

x

ex

exxf

+

=ln

ln)(


15/47

+




1. xxxf 3)( 3 = 2.

xxf

x

3lg

3)( =

3.x

xxf

x

x

3

3

lg3

lg3)(

+=

4. tgxsenxxf =)(5.

tgx

senxxf =)(

6.x

senxxxf

cos)(

+

=

7.xtgx

senxxxf

coscos

)(+

=

8.xtgx

senxxxf

coscos

)(

=

9.xtgx

xxf

+

=1cos

)(

10.x

senxxxfcos

)(+=


16/47

+




1. 33 3)( xxxf x = 2. )( )xxxf 3)( 3= 3.

x

xxf

3

lg)( 3=

4.33

ln)(

xxf =

5.( )

33

3

lg

3)(

xx

xxf

x=

6.x

xxf

31

1)(

3

+

=

7.x

xxf

3lg1ln1

)(+

=

8. ( )( )33 3)( xxxf x= 9. 3

3lg

ln)(

xx

xxxf

+

=

10. 3

3)(x

xf =


17/47

+




1. 53)( xxf = 2. xxxf = 15)(3.

2

1)(

xxf =

4.5

3

)(x

xxf =

5.5

1)(

xxf

=

6. 5 4)( xxf = 7. 4 5)( xxf = 8.

4 5

1)(

xxf =

9.5 4

1)(

xxf =

10.x

xxf =)(


18/47

+




1. xxxf =)(2. xxxf 5)( = 3.

5)(

xxf =

4.x

xxf

5

)( =

5.3

1)(

xxxf =

6.xx

xxf

3)( =

7. 3 23)( xxxf = 8.

3

3 23

)(x

xxxf =

9.5 4

4 5

)(x

xxf =

10.5 45

4 53

)(xx

xxxf =


19/47

+




1.4

5 33 5 1)( xxxf =

2. ( )( )5 33 5)( xxxf = 3.

5 3

3 5

)(x

xxf =

4. 35 3

5

)(x

xxf =

5.5 33 5

5 33 5

)(xx

xxxf

+

=

6.5 3

3 5

1

1)(

x

xxf

+

=

7.4

5 3

1)(

x

xxf =

8. 5 31)( xxf = 9.

3 5

1)(

xxf =

10.5 3

4

)(x

xxf =


20/47

+




1. 35 3

4

)(x

xxf =

2. 35

5 3

1)(

=

xxf

3. ( )3 55 3)( xxf = 4.

5 5 3

)( xxf =

5. 5 3)(x

xxf =

6. 31

1)(

x

xxf

+

=

7. 3)( exf = 8. 3 5)( xexf = 9. 3 5)( xxf = 10. 3 3 55)( xxf =


21/47

+




1. xxf 3ln)( = 2. xxf 3lg)( 3= 3. 33lg)( xxf = 4. 33lg)( xxf = 5. xxf 3lg3)( = 6. 33)( xxf = 7.

33 3lg)(

x

xf = 8. 33 3lg3)( xxf = 9. 3 3 3lg)( xxf = 10. 3 3ln)( xxf =


22/47

+




1. 3 2ln)( xexxf x = 2. ( )( )(3 2ln)( xexxf x= 3.

xe

xxf

ln)( =

4.3 2

)ln()(

x

xxf

=

5.( )3 2ln

)(xx

exxf

xe =

6.x

x

e

exf+=

11)(

7.2ln1

ln1)(

x

xxf

+

=

8. ( )x

xxf

x

ln3

)(3 2

=

9. 3ln1

ln1)(

x

xxf

+=

10. ( )3 2

)(x

exf =


23/47

+




1. ( )3 2ln)( xexf = 2. 3 ln)( xexf = 3. 3 2ln)( xxf = 4. 23ln)( xexf = 5. 3ln)( xexf = 6. 3 ln)(

x

x

e

exf =

7. 3 1)(x

xxf =

8. 3)( xeexf = 9. xexf ln)( = 10. 3 2ln)( xexf =


24/47

+

| BOLETN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones) 17

BOLETN DE TRABAJO (Ana Fraga) (no soluciones)

Deriva:

1.

=

2

21arcsen

x

xy

2.

= xey x log4

sen

3. xx

y

tg2

=

4.

=

xy

x

cos2

ln35

5.xe

xy

sen

32 tg=

6. arccos3 xxy = 7. 48

27cos10

= xy

8. ( )32 2ln =y 9.

xx ee

xy

+

=

1

10. xy = 1arctg


25/47

+

| EJERCICIOS VARIOS 18

EJERCICIOS VARIOS

Fuente Ana Fraga Vila

1) Deriva las siguientes funciones:

y =x

x2

sen y = ln (3x2 5x) y = e2x cosx

y = cos3x cos x2

x

x+=y

11

ln x

x=y

2

sen

x=y arcsen xx=y )tg( 33 sensen xxy =

+

x

x=y

2121

sco 3

2

x

x=y x=y

xsen

y =x2 e3x )(senln 2 x=y y = ex sen3x

y =xcos x x=y tg2

=

3

2 39ln

x

xy

3

2 39x

xy = y =xsen x y = ln (ex + cos x)

253

2

5

3x

xy

= xxy tg2 )3(= y = log ( cos x + 231 x )

y = L 32 )7(sen xx

+

x

x=y

2121

osc

x

=y3tg

)1(arctg 2x=y e-e

e+e=y

x-x

-xx

)(sensco 3x=y

xx=y3 y = 322 )1(sen + xx 36arctg x=y

241 x

x=y

+

x+

x=y tg

cos1

ln )(sen 232 xe=y


26/47

+


x=y arctg xxey 3)1( = 4)1(

222 xx

+x

=y

( )x=y ln x=y 1tg23 )sen(cos xxe=y x +

y = tg2 (6x)

2) Interpretacin geomtrica de la derivada de una funcin en un punto. Determina los puntos de la

curva y = x3 en los que la recta tangente es paralela a la rectay = 3x + 14

3) Halla la ecuacin de la tangente a la hiprbolax=y1

en el puntox = 3.

4) Halla la ecuacin de la tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de inflexin.

5) Halla la ecuacin de la tangente a la curva y = 12 +x en el punto de abscisa 12.

6) )En qu puntos de la curva 1629 23 ++ xxx=y la recta tangente es paralela al eje OX?

7) Calcula a y b para quex+b+ax=y8

tenga en el punto (2, 8) una tangente horizontal.

8) Halla p y q sabiendo que la funcin f(x) = x3 + px2 + q tiene un mnimo relativo en elpunto (2, 3).

9) Halla la ecuacin de las tangentes a la curva y =x4 6x2 en sus puntos de inflexin.

10) Halla la ecuacin de la recta tangente a la curva y = 2x3 6x2 + 4 en su punto de

inflexin.


27/47


28/47

+


22) Representa grficamente la funcin11

2

2

+

x

x=y

Calculando el dominio de definicin, puntos de corte con los ejes, asntotas,

intervalos de

crecimiento y decrecimiento, mximos y mnimos.

23) Esboza la grfica de xxy 63 2 =

24) Dada la funcin .73)( 3 + xx=xf

a) Calcula mximos, mnimos y puntos de inflexin

b) Esboza su grfica

c) Escribe la ecuacin de la recta tangente en su punto de inflexin.

25) Representa grficamente ,61

)( 23 xx=xf + hallando: puntos de corte con los ejes,

monotona

(crecimiento y decrecimiento), mximos, mnimos, curvatura y puntos de inflexin.

26) Estudia y representa grficamente12

2

+x

=y

27) Halla b, c y dpara que la funcin dcxbxxxf +++= 23)( tenga un punto de inflexinen x = 3,

pase por el punto (1, 0) y tenga un extremo enx = 5.

28) Representa grficamente la funcin y = (2 x)2 calculando previamente:

a) Dominio de definicin.

b) Puntos de corte con los ejes.

c) Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos.


29/47

+

| 22

29) Dada la funcin21

)(x

x=xf

+

a) Calcula: Intervalos de crecimiento y decrecimiento. Mximos y mnimos.

b) Halla sus asntotas.

c) Esboza su grfica


30/47

+

| 23


31/47

+

| 24

Fuente: IES Rego da auga


32/47

+

| 25

SOLUCIONES BOLETIN 1

1. 315815)('13523)( 234345 +=+= xxxxfxxxxxf 2. ( ) 44432223 401624)8)(2()4(6)(')4)(2()( xxxxxxxxfxxxf ==+== 3. ( )( ) ( )( )

( ) 264

6

44

23

223

3

2

2

3

4

6

4

1812

2

6326)('

2

3)(

xx

x

x

xx

x

xxxxxf

x

xxf

=

=

=

==

4. )2ln2)(2()2)(6()(')2)(2()( 323 xxx xxxfxxf +== 5. ( )

( ) ( )22 12

1

1)1(11)('

11

)(

=

+=

+

=xx

xxxf

x

xxf

6. ( ) ( )( )2

222

ln

1lglnlg1)('

ln

lg)(

x

xxxe

xxf

x

xxf

==

7.xsen

xxsen

xsen

xxxsenxxf

senxfctgx

senx

xxf

2

22

22

coscoscoscos)('

1)('

cos)(

=

=

===

8.( )

( ) ( )4

1

6

12

23

23

3

33ln333ln3333ln3)('

3)(

x

x

x

xx

x

xxxf

xxf

xxxxxxx ++ =

=

==

9.4

433

33)('

1)(

xxxfx

xxf

====

10.x

xx

xfx

xf22 ln

1

ln

11ln0)('

ln1

)(

=

==


33/47


34/47

+

| 27


1. ( ) 0ln0)1(ln0

)('ln1

)( 2 =

=

= e

eexfe

exf

2. 1ln1ln11)('ln)( +=+== xxeex

xxxeexfxxxexf xxxxx

3. exexfxexf xxx 1ln)('ln)( +==

4. xexexfexfxx

x

2ln

1ln

)('ln

)(

==

5. ( )( ) ( )( )2ln1

11ln1

)('ln1

1)(x

xexe

xfx

exf

xx

x

+

+=

+=

6. )1)(ln1())(1()('))(ln1()( xxx exexxfexxxf +++=+= 7. 1)(')( == ee exxfxxf 8. xexexe exeexxfexxf +== 1)(')(9. ( )( ) ( )( )

( )2111

)('1

1)(

x

xxxx

x

x

e

eeeexf

e

exf

+=

+

=

10. ( ) ( )( )2ln

1lnln

1

)('ln

ln)(

x

xxxx

x

x

ex

ex

exexex

xfex

exxf

+

++ =+

=


35/47

+

| 28


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36/47

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37/47

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38/47

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112

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4 53

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3

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33

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40/47

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| 33


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15

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173

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5

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5

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3

4

35 3

4 xxxfxxx

x

x

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41/47

+

| 34


1. ( ) ( )3ln3lg31

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3

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4. ( )3ln3lg3

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5. ( )3ln331)('3ln)( xx

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6. ( )23333 3lg1)('lg)( xexxfxxf

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9. ( ) == 3 23 13ln3)('3)(33

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3ln3lg3

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3lg3lg 333

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42/47

+

| 35


1.3

3 2

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2. ( )( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

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( )2

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( )

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1)('

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x

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x

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3

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xx

x exfeexf


43/47

+

| 36


1. ( ) ( )[ ] ( )[ ] [ ] ( )[ ]( ) ( )

33

1

3

2

3 23 2

13

4

13

2

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3

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3 2 =====

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3

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x

x

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10. 313 2

lnln

3

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3 23 2

== xx

exfexf xx


44/47

+

| 37

SOLUCION PROBLEMAS ANA FRAGA

2) (1, 1) , (1, 1)

3) y3

1=

9

1(x 3)

4) y = 6(x 1)

5) y 5 =51

(x 12)

6) (1, 3,5) , (2, 3)

7) a = 2, b = 0

8) p =3; q = 7

9) y + 5 = 8(x + 1), y + 5 = 8(x 1)

10) y = 6(x 1)

11) a) y =x 1 b) (0, 0)

12) x = 2, x = 2, y = 2x

13) x = 4, y = 114) x = 0, y =x 1

15) (0, 0), x = 1, x = 1, y = 0

16) Punto de inflexin (0, 0)

17) x = 4, y =x + 8

18) x = 1, x = 9, y = 0

19)

Creciente en ], 2[ ]0, +[. Decreciente en ]2,1[ ]1, 0[. Mnimo (0, 1).Mximo (2,3)

20) Creciente en ]0, 1[. Decreciente en ], 0[ ]1, +[.Convexa en ], 2/1 [. Cncava ] 2/1 , + [


45/47

+

| 38

21) Creciente en ],0[ ]2,+ [. Decreciente en ]0, 2[. Mnimo (2, 3). Mximo (0, 1)

Convexa en ]1, +[. Cncava ], 1[. Punto de inflexin (1, 1)

22) 24)

24) a) Mnimo (1, 5). Mximo (1, 9). Punto de inflexin (0, 7)

b)

c) y 7 = 3x

25) 26)

27) b = 9, c = 15, d= 7


46/47

+

| 39

28) a) D =R; b) (0, 4) (2, 0) c) Decreciente en ], 2[ ; Creciente en ]2, +[.Mnimo (2, 0)

29) a) Creciente en ]1, 1[. Decreciente en ], 1[ ]1, +[. Mximo (1, 2/1 ), mnimo(1, 2/1 )

b)y = 0


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[Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas

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Transcript of [Maths] 4.6.1 Derivadas.Problemas