Fascículo 7

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Semestre 6

Fascculo

7

Investigacin de

Operaciones

Semestre 6

Investigacin de operaciones


Semestre 6

Tabla de contenido Pgina

Introduccin 1

Conceptos previos 1

Mapa conceptual Fascculo 7 2

Logros 2

Teora de juegos 2

Juego 3

Estrategias 4

Estrategias simples 5

Mtodo lgico 5

Principio de la dominancia 6

Criterio Minimax Maximin 6

Estrategias mixtas 7

Teorema Minimax 7

Mtodo Grfico 8

Mtodo Simplex PL 9

Maximin 9

Minimax 11

Aplicaciones 13

Actividad de trabajo colaborativo 23

Resumen 23

Bibliografa recomendada 23

Nexo 24

Seguimiento al autoaprendizaje 25

Crditos: 3

Tipo de asignatura: Terico Prctica

Semestre 6


Copyright2008 FUNDICIN UNIVERSITARIA SAN MARTN

Facultad de Universidad Abierta y a Distancia,

Educacin a Travs de Escenarios Mltiples

Bogot, D.C.

Prohibida la reproduccin total o parcial sin autorizacin

por escrito del Presidente de la Fundacin.

La redaccin de este fascculo estuvo a cargo de

JUAN CASTRO ORDOEZ

Docente tutor Programa de Ingeniera de Sistemas a Distancia.

Sede Bogot, D.C.

Correccin de estilo

Adriana Valencia Rodrguez

Diseo grfico y diagramacin a cargo de

SANTIAGO BECERRA SENZ

ORLANDO DAZ CRDENAS

Impreso en: GRFICAS SAN MARTN

Calle 61A No. 14-18 - Tels.: 2350298 - 2359825

Bogot, D.C., Marzo de 2012

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Fascculo No. 7

Semestre 6


Investigacion de

operaciones

Introduccin

En la vida siempre ha habido, hay y habr conflictos, muchos de estos de-

bidos a las competencias generadas entre los oponentes. A las competen-

cias en donde se involucran dos o ms oponentes inteligentes se les de-

nomina juegos y a los competidores u oponentes, jugadores. Son decisio-

nes tomadas bajo incertidumbre, en el cual lo que gana un jugador, lo

pierde el otro. Este resultado depende de la combinacin de estrategias

tomadas por los adversarios. Si un jugador gana lo que el otro pierde, a

este juego se le llama suma cero (0) o juegos matriciales.

Conceptos previos

Para el buen desarrollo de ste fascculo, y en general del aprendizaje de

la Investigacin de Operaciones, se debe tener en cuenta lo aprendido en

los siguientes temas:

Probabilidades.

Teora de la decisin.

En consecuencia, responda las siguientes preguntas:

a) Qu es una decisin?

b) Qu es una estrategia?

c) Cul es la diferencia entre riesgo e incertidumbre?

d) Defina: estados de la naturaleza.

e) Defina: el teorema de Bayes.

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Investigacin de

operaciones

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Semestre 6

Mapa conceptual Fascculo 7

Al finalizar el estudio de este fascculo, el estudiante:

Comprende y modela una competencia (decisin) como teora de juegos.

Aplica diferentes criterios para la toma de una decisin.

Teora de juegos

La Teora de Juegos se ha desarrollado por el simple hecho de la relacin

existente entre un individuo con otro u otros en forma racional. Actualmen-

te, la teora de juegos se aplica en cualquier momento; por ejemplo, en la

inscripcin en un nuevo semestre en la universidad, en la decisin sobre el

monto que se va a cobrar, la directiva est realizando un juego con sus

clientes, en este caso, los alumnos. Como estos se pueden presentar infi-

LogrosLogrosLogros

http://www.monografias.com/trabajos12/desorgan/desorgan.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos28/aceptacion-individuo/aceptacion-individuo.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos13/admuniv/admuniv.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos15/metodos-creativos/metodos-creativos.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos11/sercli/sercli.shtml

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Fascculo No. 7

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Investigacion de

operaciones

La teora de juegos es una

teora matemtica y se fun-

damenta en los procesos de

toma de decisiones por los

competidores bajo incerti-

dumbre.

Un juego es una situacin de

competencia entre 2 a ms

personas (grupos), llamadas

jugadores, se realiza bajo un conjunto de reglas preesta-

blecidas y con consecuencias

conocidas.

nidad de casos, y es por esto, que se evidencia para el hombre la impor-

tancia de la Teora de Juegos, pues a diario se enfrenta a mltiples situa-

ciones que se pueden resolver mediante esta teora. Entonces, se podra

decir que la Teora de Juegos tiene casi todas las respuestas o cerca de

casi todos los problemas existentes. En el mismo sentido, la teora de jue-

gos es una teora matemtica y se basa en los procesos de toma de deci-

siones por los competidores bajo incertidumbre.

Juego

Un juego es una situacin de competencia entre 2 a ms personas (gru-

pos), llamadas jugadores; de igual manera, realizando bajo un conjunto

de reglas preestablecidas y con consecuencias conocidas. Las reglas defi-

nen los movimientos o actividades elementales. Cada jugador puede

permitirse diferentes movimientos (estrategias); y, a la vez, cada uno cono-

ce los movimientos que disponen los dems jugadores. El resultado final

del juego depende principalmente de la combinacin de las estrategias

seleccionadas por los competidores. Algunos ejemplos son: juegos de

saln, las batallas militares, las campaas polticas, de publicidad o de

mercadeo.

Generalmente, un juego tiene las siguientes caractersticas:

1. Estrategias del jugador 1.

2. Estrategias del jugador 2.

3. Tabla de resultados (consecuencias).

En la tabla 7.1, se pueden apreciar estas caractersticas de un juego com-

pleto.

Tabla 7.1. Matriz de resultados (pagos) de un juego.

Fuente: El autor.

http://www.monografias.com/trabajos15/calidad-serv/calidad-serv.shtml#PLANT

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Un juego en donde intervienen slo dos personas, es llamado juego de

dos personas (ejrcitos, equipos, empresas, etc.), y si un jugador gana lo

que el otro pierde, es un juego de suma cero (0). A los juegos de dos per-

sonas y suma cero tambin son llamados juegos matriciales.

Es de resaltar, que ambos son tomadores de decisiones racionales; dife-

rencia esta con la teora de la decisin en donde el jugador 2, es el estado

de la naturaleza, no racional.

Estrategias

Una estrategia1

es una regla predeterminada que especifica completa-

mente cmo se piensa responder a cada una de las circunstancias posi-

bles en cada etapa del juego. Por lo tanto, una estrategia puede ser slo

una accin simple o una serie de movimientos. En otras palabras, existen

estrategias puras o simples y estrategias mixtas.

7.1.

Diga las diferencias entre movimiento y estrategia.

La solucin de un juego est en descubrir cul o cules son las estrate-

gias que va a usar razonablemente cada competidor y sus probabilidades;

adems, sabiendo quin gana y cunto gana en el juego. La figura 7.1,

muestra la metodologa y mtodos de solucin de un juego.

1 HILLIER Frederick, LIEBERMAN Gerarld J., Introduccin a la Investigacin de Operaciones, 3a. edicin, Ed. Mc

Graw Hill, Mxico l982, pg. 295.

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operaciones

La solucin puede ser me-

diante el mtodo lgico, el

principio de la dominancia y

el criterio Minimax Maximin,

para un juego simple.

Figura 7.1. Metodologa y mtodos para solucionar un juego.

Fuente: Modificado de CHEDIAK PINZON Francisco, VERA MENDEZ Flaminio, Investigacin de operaciones, 1 edicin, volumen 2,

Ed. El Poira, Colombia 2005, pg. 241.

Estrategias simples

Una estrategia pura proporciona un plan previamente determinado y es-

tablece la secuencia de los movimientos y contramovimientos que sern

realizados por un jugador en un juego completo. En particular, una estra-

tegia pura define, para cada eleccin posible, la opcin que toma el juga-

dor. El espacio de estrategia de un jugador es el conjunto finito de sus

estrategias puras disponibles. De otra parte, el jugador 1 (2), conoce el

conjunto de estrategias del jugador 2 (1), pero no sabe con seguridad su

jugada, es decir, qu elemento del conjunto va a escoger.

En la tabla 7.1, gij representa la cantidad ganada por el jugador 1, al juga-

dor 2, cuando juega la estrategia pura (i), y el jugador 2, juega la estrategia

pura (j). Para el jugador 2, la cantidad ganada ser -gij, luego, su matriz de

consecuencias es la negativa de la tabla 7.1.

Tambin, para estos juegos su solucin puede ser mediante el mtodo

lgico, el principio de la dominancia y el criterio Minimax Maximin, segn

la figura 7.1.

Mtodo lgico

Se siguen unos pasos lgicos para la solucin del juego. Por ejemplo: el

jugador 1, juega la alternativa 1 de un juego cualquiera. El jugador 2, es-

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrategia_pura

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Investigacin de

operaciones

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coger la que le d menos prdida de esa alternativa y jugar. Ahora, el

jugador 1, jugar la alternativa que le d la mxima ganancia de esa alter-

nativa. De nuevo el jugador 2, escoger la que le d menos prdida de

esa alternativa y jugar. El juego seguir as, hasta encontrar la solucin.

Principio de la dominancia

Se tiene en cuenta la dominancia en las filas y las columnas, as:

Una fila domina a otra cuando todos sus elementos son iguales o mayores

que los elementos de la otra, entonces, se puede eliminar la fila dominada.

Una columna domina a otra cuando todos sus elementos son iguales o

mayores que los elementos de la otra, se puede eliminar la columna do-

minante.

Al aplicar este principio, se reduce la dimensin de la matriz de pagos y el

juego tendra una solucin con estrategia simple.

Criterio Minimax Maximin

El jugador 1, aplica el criterio Maximin, valor inferior del juego.

El jugador 2, aplica el criterio Minimax, valor superior del juego.

Es decir, ambos jugadores usan un criterio conservador de manera razo-

nable; as:

Cuando el valor del Maximin es igual al Minimax, se dice que el juego tiene

un punto de silla de montar y este valor es la solucin del juego; en el

mismo sentido, que es los que gana el jugador 1, y lo que pierde el juga-

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Investigacion de

operaciones

Encontrar una solucin con

estrategia simple, es encon-

trar un punto de silla.

dor 2. Tambin, se le llaman solucin estable. Si el valor del juego es

igual a cero (0), este es un juego legal. Esto es:

Estrategias mixtas

En una estrategia mixta los jugadores utilizan ms de una estrategia pura,

asignndole una distribucin de probabilidad a cada una de las estrategias

puras (probabilidad de ser escogida). Se usa esta estrategia cuando un

juego no tiene un punto de silla de montar ( ). Esto es

matemticamente as:

Con X e Y vectores probabilsticos de los jugadores 1 y 2 respectivamente,

se obtiene un resultado esperado de:

Como las probabilidades de son no negativas, entonces:

En forma similar al criterio Minimax, se tiene:

.

Teorema Minimax: En cualquier juego matricial si se utilizan estrategias

mixtas, se cumple:

http://es.wikipedia.org/wiki/Estrategia_mezcladahttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidad

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Para encontrar la solucin a

un juego con estrategias mix-

tas, se puede utilizar el mto-

do grfico o la programacin

lineal.

La probabilidad de un even-

to se encuentra entre 0 y 1.

La suma de las probabilida-

des es igual a 1.

En donde , son estrategias ptimas y , la ganancia ptima del juego.

Por ltimo y de nuevo, para estos juegos su solucin puede ser mediante

el mtodo grfico y por el mtodo simplex o PL, segn la figura 7.1.

Mtodo grfico

Este mtodo es adecuado solamente cuando en un juego un jugador tiene

exactamente dos estrategias puras. La tabla 7.2, muestra la recompensa

para el jugador 1, ya que este tiene dos estrategias puras.

Tabla 7.2. Matriz de resultados para el jugador 1.

Fuente: El autor.

Se debe recordar que:

La recompensa esperada se calcula as:

Entonces, el jugador 1, aplicara el criterio Minimax as:

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operaciones

Mtodo simplex o PL

Tambin se puede utilizar la programacin lineal para la solucin de un

juego entre dos competidores con estrategias mixtas. Para la formulacin

de cada jugador, se utilizar la tabla 7.3.

Tabla 7.3. Matriz de resultados de estrategias mxn.

Fuente: El autor.

Maximin

Pagos esperados del jugador 2, bajo las estrategias puras del jugador 1:

El problema de PL para el jugador 2, es buscar minimizar sus pagos:

Aplicando el criterio Maximin, el jugador 2, escoger el mayor valor espe-

rado, siendo este el valor del juego; por consiguiente, esperar que cada

valor sea menor o igual al valor del juego, entonces el modelo se reduce a:

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operaciones

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Para resolver este modelo se dividen cada una de las restricciones por v y

se hace un cambio de variable de la siguiente manera:

Ahora, se aplica la siguiente propiedad:

Se obtiene el siguiente modelo:

Modelo que ya se puede resolver por cualquiera de los mtodos vistos en

programacin lineal, y despus, se hacen las conversiones de variables.

Ahora y en forma similar se puede hallar la solucin del juego mediante los

pagos esperados del jugador 1.

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operaciones

Minimax


El problema de PL para el jugador 1, es buscar maximizar sus pagos:

Aplicando el criterio Minimax, el jugador 1 escoger el menor valor espera-

do, siendo este el valor del juego, por consiguiente, esperar que cada

valor sea mayor o igual al valor del juego, entonces, el modelo se reduce

a:

Igual que en el caso anterior, para resolver este modelo se dividen cada

una de las restricciones por v y se hace un cambio de variable de la si-

guiente forma:

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Investigacin de

operaciones

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Ahora se aplica la siguiente propiedad:


Modelo que ya se puede resolver por cualquiera de los mtodos vistos en

programacin lineal y, posteriormente, se hacen las conversiones de va-

riables.

De otra parte, si se halla el modelo dual del anterior modelo se tiene:

Modelo al que se hall con el jugador 2. De esto se puede concluir:

Si el problema primal son los pagos esperado del jugador 2; el problema

dual son los pagos esperado del jugador 1.

De forma anloga, si el problema primal son los pagos esperado del juga-

dor 1; el problema dual son los pagos esperado del jugador 2.

Ahora, mediante ejemplos de aplicacin se ilustrarn los conceptos da-

dos, para su fcil entendimiento y apropiacin.

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operaciones

Aplicaciones

A) La matriz de la tabla 7.4, representa la ganancia del jugador 1 en UM

(unidades monetarias). Halle la solucin del juego mediante el mtodo

lgico, el principio de la dominancia y el criterio Minimax Maximin.

Tabla 7.4. Matriz de pagos para el problema A).

Fuente: CHEDIAK PINZON Francisco, VERA MENDEZ Flaminio, Investigacin de operaciones, 1 edicin, volumen 2, Ed. El Poira,

Colombia 2005, pg. 242.

Mtodo lgico

Recuerde que esta es una solucin razonable. Observando detenidamente

la matriz de pagos se puede deducir que el ganador de este juego es el

jugador 1.

Suponga que el jugador 1, decide jugar con la alternativa 1. Entonces, el

jugador 2, juega con la alternativa 2 ya que con esta es la que menos pier-

de, 2 UM. En realidad, el jugador 1, elegir su alternativa 2, puesto que

con esta gana lo mximo que son 5 UM. Seguidamente, el jugador no tiene

ms opcin que jugar otra vez la alternativa 2, con esta pierde el mnimo

que son las mismas 5 UM que gana el jugador 1. Aqu los dos jugadores,

no cambiaran de estrategia ya que con esta el jugador 1, tiene su mxima

ganancia (5 UM) y el jugador 2, su mnima prdida (-5 UM).

A manera de conclusin de esta solucin, el jugador 1 gana 5 UM esco-

giendo la alternativa 2 y el jugador 2 las pierde jugando la alternativa 2. Por

lo tanto, el ganador del juego es el jugador 1 y el valor del juego entonces

es de 5 UM.

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Investigacin de

operaciones

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7.2

Halle la solucin del juego suponiendo que el jugador 1, empieza con su

alternativa 3.

Principio de la dominancia

Para en la tabla 7.4, no hay filas dominantes. De todos modos, en las co-

lumnas, la columna 2, se encuentra dominada por las columnas 1 y 4, por

lo tanto se eliminan estas columnas dominantes, tabla 7.5 a).

Tabla 7.5. Solucin por el principio de la dominancia de A).

Fuente: El autor.

En la matriz reducida a), se aprecia que la fila 2 domina a la fila 3, entonces

se elimina esta fila, quedando la tabla 7.5 b). Seguidamente, se puede ob-

servar en las columnas, que la alternativa 2 est dominada por la 3, eli-

minndose esta ltima, mostrada en la tabla 7.5 c). Por ltimo, en las filas,

la alternativa 2 domina la 1, siendo esta excluida tabla 7.5 d).

El juego entonces, tiene la misma solucin que por el mtodo lgico y esta

es: el jugador 1 es el ganador del juego y gana 5 UM escogiendo la alter-

nativa 2, el jugador 2 las pierde jugando la alternativa 2 y el valor del juego

es de 5 UM.

Criterio Minimax Maximin.

La solucin por este criterio se muestra en la tabla 7.6, que es la misma

dada por los mtodos anteriores.

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Investigacion de

operaciones

Tabla 7.6. Solucin por el criterio Minimax Maximin de A).

Fuente: El autor.

En este ejercicio de aplicacin se puede ver claramente que existe un pun-

to de silla y este es el valor del juego, es decir, 5 UM.

7.3

Por qu existe un punto de silla en el ejercicio anterior?

B) La matriz de pagos de la tabla 7.7, representa la ganancia del jugador 1

en UM (unidades monetarias). Halle la solucin del juego mediante el

mtodo grfico.

Tabla 7.7. Matriz de pagos para el problema B).



Aplicando el mtodo lgico, el jugador 1 jugara con la alternativa 2 y el

jugador 2 le respondera con la 3. Para esta jugada el jugador 1, le respon-

dera con la alternativa 1, a la cual en jugador 2, jugara 2. De nuevo, el ju-

gador 1, jugara su alternativa 2 y el jugador 2, 3. Razonablemente, de ah

para delante el juego se volvera cclico, puesto que el jugador 1, desea

ganar lo mnimo de lo mximo que pague el jugador 2; y, el jugador 2,

quiere perder lo mximo de lo mnimo que hay que pagarle al jugador 1.

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En el caso de la dominancia, slo se podra eliminar la columna 1, que-

dando para el jugador 1, las alternativas 1 y 2; y, para el jugador 2, las al-

ternativas 2 y 3.

Por otro lado, con el criterio de Minimax Maximin mostrado en la tabla

7.8, se puede apreciar que no hay punto de silla debido a que el valor infe-

rior es diferente al valor superior del juego; por lo tanto, se puede estable-

cer que el valor del juego esta entre esto valores, es decir:

Tabla 7.8. Criterio Minimax Maximin de B).

Fuente: El autor.

Aunque en los tres mtodos anteriormente descritos, se han encontrado

las alternativas en las cuales actuar cada jugador y los lmites del juego,

no se han encontrado ni el ganador del juego, ni el valor del mismo.

Para hallar la solucin se utilizarn estrategias mixtas mediante el mtodo

grfico, gracias a que el jugador 1, tiene dos estrategias puras. En la tabla

7.9, se asignan las probabilidades a cada jugador.

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Investigacion de

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Tabla 7.9. Matriz de resultados para el jugador 1 de B).

Fuente: El autor.

Mediante las propiedades de las probabilidades se tiene:

Valores esperados para las diferentes posibilidades del juego.

Estrategias puras del jugador 1 Pagos esperados del jugador 2

1

2

Estrategias puras del jugador 2 Pagos esperados del jugador 1

1

2

3

Reemplazando , se tiene:

Como los pagos esperados quedaron en funcin de Despus de tabu-

lar, se procede a graficarlos, figura 7.2.

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Figura 7.2. Solucin por el mtodo grfico de B).

Fuente: El autor.

Como los pagos esperados son efectuados por el jugador 2, se aplica el

criterio Maximin. En la grfica se puede apreciar que el jugador 2, no usa la

estrategia 1. Entonces, la solucin est en la intercepcin de P2 con P

3, es

decir, P2 = P

3. Esto es:

Resolviendo el sistema, se obtiene:

Se puede concluir que:

a) El valor del juego est entre -2 y 2 UM y,

b) Por ser el valor del juego positivo, el jugador 1 es el ganador del juego.

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Fascculo No. 7

Semestre 6

Investigacion de

operaciones

7.4

Resuelva el anterior problema usando las probabilidades del jugador

2. Para esto, tenga en cuenta que:

.

Finalmente, los pagos esperados por los jugadores, tabla 7.10, son:

Pagos esperados del jugador 2 Pagos esperados del jugador 1

Tabla 7.10. Matriz de probabilidades de B).

Fuente: El autor.

En esta tabla se aprecia que el jugador 1 utiliza las estrategias 1 y 2, y ga-

na 2/11 UM; el jugador 2 las estrategias 2 y 3, y pierde 2/11 UM. Con estas

estrategias jugadas se logra el punto de silla o el valor del juego, 2/11 UM.

C) La matriz de pagos de la tabla 7.11, representa la ganancia del jugador

1 en UM (unidades monetarias). Halle la solucin del juego mediante

PL.

Tabla 7.11. Matriz de pagos para el problema C).



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Investigacin de

operaciones

Fascculo No. 7

Semestre 6

Mirando lgicamente, los jugadores jugaran cclicamente cada uno las

estrategias 1 y 3. Se ve de forma clara que no hay dominancia. No se

puede resolver grficamente debido a que ningn jugador tiene slo 2

estrategias. Por ltimo, en la tabla 7.12, se muestra la aplicacin del criterio

Minimax Maximin.

Tabla 7.12. Criterio Minimax Maximin del problema C).

Fuente: El autor.

Se puede apreciar que no existe punto de silla y que la solucin est entre

-3 y 3 UM. Entonces, se procede a emplear la PL para su solucin.

Para aplicar el supuesto de aditividad de la PL, se adiciona a cada uno de

los elementos de la matriz de pagos una constante K=5 UM; y, al final, se

resta esa misma cantidad al valor del juego. La nueva matriz se muestra en

la tabla 7.13.

Tabla 7.13. Matriz de pagos sumndole K=5, del problema C).

Fuente: El autor.

Maximin


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operaciones

Entonces, el problema de PL para el jugador 2, es buscar minimizar sus

pagos:

Aplicando el criterio Maximin, el jugador 2 escoger el mayor valor espera-

do, siendo este el valor del juego, en consecuencia, esperar que cada

valor sea menor o igual al valor del juego, entonces el modelo se reduce a:

Para resolver este modelo se dividen cada una de las restricciones por v y

se hace un cambio de variable de la siguiente manera:

Ahora se aplica la siguiente propiedad:


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La figura 7.3, muestra la solucin de este modelo mediante WinQSB.

Figura 7.3 Solucin mediante WinQSB del problema C).

Fuente: El autor.

Ahora, se hacen las conversiones de variables, as:

, se tiene:

7.5

a) Quin gana el juego C)?

b) Qu estrategias utiliza para ganar el juego?

c) Con los precios sombra, halle las probabilidades Xi del jugador 1.

d) Plantee el modelo dual de este Maximin y resulvalo. Escriba sus

conclusiones.

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Semestre 6

Investigacion de

operaciones

No necesariamente en un juego debe haber un ganador o un

perdedor y este sera un juego legal. Pero, si hay un ganador, l,

gana lo que el otro pierde aplicando cualquiera de las estrategias

aqu planteadas. La solucin de un juego es desarrollar mediante

criterios racionales una estrategia para ganarlo. Se debe cobrar

esta estrategia, el ganador y el valor ganado.

Encuentre un caso de aplicacin de juegos con las siguientes soluciones:

a) Mtodo lgico,

b) El principio de la dominancia,

c) El criterio Minimax Maximin,

d) Mtodo grfico y,

f) Programacin lineal.

La teora de juegos tiene hoy en da gran aplicacin debido a su carcter

competitivo. Un tomador de decisiones debe manejar bien las estrategias

aqu planteadas; y, as, obtener para l, o para su empresa, las mejores

alternativas de decisin. La solucin de un juego debe arrojar las estrate-

gias de cada jugador, el ganador y el valor del juego. Siempre se debe

empezar por buscar si hay punto de silla o no. En estas instancias, se debe

contar con herramientas computacionales para la solucin de juegos de

nxn personas.

BRONSON Richard, INVESTIGACIN DE OPERACIONES, Ed. Mc Graw

Hill, Mxico 1983.

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operaciones

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CHEDIAK PINZON Francisco, VERA MENDEZ Flaminio, Investigacin de

operaciones, 1 edicin, volumen 2, Ed. El Poira, Colombia 2005. Texto

gua.

HAMDY A. Taha, INVESTIGACIN DE OPERACIONES, 7a. edicin, Ed.

PEARSON, Mxico 2004. Texto gua.

HILLIER Frederick, LIEBERMAN Gerarld J., Introduccin a la Investigacin

de Operaciones, 3a. edicin, Ed. Mc Graw Hill, Mxico l982.

WINSTON Wayne L., Investigacin de operaciones: Aplicaciones y algorit-

mos, 4 edicin, Ed. Thomson, Mxico 2005.

Siguiendo con la aplicacin de la investigacin de operaciones en el cam-

po de las lneas de espera como por ejemplo gente esperando una lnea

telefnica desocupada, mquinas esperando a ser reparadas, personas

esperando en una fila de un banco a ser atendidas o en un cajero auto-

mtico; todos estos casos y ms, los aborda la teora de colas, tema a tra-

tar en el siguiente fascculo.

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Fascculo No. 7

Semestre 6

Investigacion de

operaciones

Seguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizajeSeguimiento al autoaprendizaje

Investigacin de operaciones - Fascculo No. 7

Nombre_______________________________________________________

Apellidos ________________________________ Fecha: _________________

Ciudad___________________________________Semestre: _______________

Con el fin de evaluar su proceso de autoaprendizaje:

1. Resuelva el juego B) de aplicacin, mediante PL.

2. Halle la solucin del juego C), mediante los pagos esperados del jugador 1,

mediante la PL.

3. Plantee el modelo dual del numeral 2 y resulvalo. Escriba sus conclusiones.

4. Determine la solucin por las estrategias simples de la matriz de pagos de la

tabla 7.14. (Taha, problema 1 b), pg. 534).

Tabla 7.14. Matriz de pagos del problema 4.

Fuente: El autor.

Fascículo 7

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