Estadística 2009 Maestría en Finanzas Universidad del CEMA Profesor: Alberto Landro Asistente:...

Estadística2009

Maestría en FinanzasUniversidad del CEMA

Profesor: Alberto Landro

Asistente: Julián R. Siri

Clase 9

1. Ejercicios de procesos AR

Ejercicio 1)

• Dado un proceso AR(1):

Vamos a:

a) Expresar el proceso con la notación de operadores autorregresivos.

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.

c) Analizar las condiciones de estacionariedad.

d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales. Graficarlas.


12 0.9 . . . 0;4t t t tY Y e e i i d

Ejercicio 1)

a) Expresión del proceso con la notación de operadores autorregresivos:


1

1 1

1 1

1

1

2 0.9

1

t t t

t t t

t t t

t t

t t

Y Y e

Y Y e

Y Y e

B Y e

B Y e

Ejercicio 1)b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,

Ahora bien, dado que

Entonces


1 1t t tE Y E E Y E e

1t tE Y E Y

0tE e

Ejercicio 1)



1 1

0

1

1

1

1

220 Media del proceso

1 1 0.9

t t tE Y E E Y E e

Ejercicio 1)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, primero

centraremos las variables, y hay que tener en cuenta que:


2

0 1, 2,...t j t

t t e

E y e j

E y e

Ejercicio 1)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Entonces, el cálculo de la varianza es:


0 1 1

21 1

2 21 0

2 21 0

2

0 21

( )

1

1

t t t

t t

e

e

e

Var y Var y e

Var y Var e

2

421,05263

1 0.9

Ejercicio 1)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:


0

1 1 1 1 1 1

0

1 1 0 0,9 21,0526 18,9474

t t t t t tE y y E y y E y e

1

2 2 1 1 2 2

0

2 1 1 1 1 0

2 22 1 0 0,9 21,0526 17,0526

t t t t t tE y y E y y E y e

Ejercicio 1)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la

autocovarianza de orden k, es:


1 0 0kk j

Ejercicio 1)

c) Análisis de las condiciones de estacionariedad.Dado que la varianza del proceso ha de ser positiva y finita, el

coeficiente , en valor absoluto, tiene que ser menor a la unidad:

CONDICIÓN DE ESTACIONARIEDAD:


1 1

1

2

0 21

( )1

etVar y

Ejercicio 1)

c) Hallar la función de autocorrelación.Dada la generalización de las autocovarianzas, podemos encontrar una

expresión general de la función de autocorrelación (FAC):


1 00 1

0

1

1

2

2

0.9 0.9

0.9 0.81

kk

k k

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Observaciones

Ejercicio 1)

c) Hallar la función de autocorrelación parcial.


11 1 1 0.9

1

1, 11

1

1,1

22 1 1 2 1

22 21 1 1

2

22 2

2,3,...

1

1 1

0.81 0.90

1 0.9

j

j j i ji

jj j

j i ii

Y YY j

Y

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Observaciones

Ejercicio 2)

• Un ejercicio para ustedes. Otro proceso AR(1):

Desarrollen:



c) Analizar las condiciones de estacionariedad.

d) Hallar las funciones de autocorrelaciones y autocorrelaciones parciales.


12 0.9 . . . 0;4t t t tY Y e e i i d

Ejercicio 3)

• Dado un proceso AR(2):

Tareas:



c) Hallar las funciones de autocorrelaciones.

d) Analizar las condiciones de estacionariedad.


1 22 0.9 0.7 ~ . . . 0;4t t t t tY Y Y e e i i d

Ejercicio 3)

a) Expresión del proceso con la notación de operadores autorregresivos:


1 2

1 1 2 2

1 1 2 2

21 2

2

2 0.9 0.7

1

t t t t

t t t t

t t t t

t t

t t

Y Y Y e

Y Y Y e

Y Y Y e

B B Y e

B Y e

Ejercicio 3)b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Aplicamos inicialmente el operador esperanza matemática,

Ahora bien, dado que

Entonces


1 1 2 2t t t tE Y E E Y E Y E e

1 2t t tE Y E Y E Y

0tE e

Ejercicio 3)



1 2

1 2

1 2

1

22.5

1 1 0.9 0.7

Ejercicio 3)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Para el análisis de la varianza y las covarianzas del proceso, una vez

más centramos las variables ( ) y tenemos en cuenta que:


2

0 1, 2,...t j t

t t e

E y e j

E y e

tY

Ejercicio 3)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Entonces, el cálculo de la varianza es:


0 1 1 2 2

1 1 2 2

21 1 2 2

( )t t t t t t t t

t

e

E y y E y y E y y E e y

Var e

Ejercicio 3)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.El cálculo de las covarianzas del proceso resulta:


0 1

1 1 1 1 1 2 2 1 1

0

1 1 0 2 1 1 1 2 01

t t t t t t t tE y y E y y E y y E y e

1 0

2 2 1 1 2 2 2 2

2 1 1 2 0 1 1 2 0 2 0

22 1 2 0 2 0

1

1

t t t t t tE y y E y y E y y

Ejercicio 3)

b) Hallar la media, varianza y autocovarianzas.Puede deducirse fácilmente que la regla general, para el cálculo de la

autocovarianza de orden k (>2), es:


1 1 2 2 2k k k j

Ejercicio 3)



0

01 11 1 2 1 2 1

0 0 0

2 1 1

11

2

1

0.52941

k k

Ejercicio 3)



02 12 1 2 1 1 2

0 0 0

12 1 2

2

21

2 22

1

-0.223531

Ejercicio 3)

d) Analizar las condiciones de estacionariedad.Respecto a la condición de estacionariedad del AR(2), dado que la

varianza del proceso es mayor que cero, deberán ser numerador y denominador del mismo signo, por lo que se debe cumplir:


2

1 2

2 1

1

1

1

Ejercicio 3)d) Analizar las condiciones de estacionariedad.

Si dividimos a todo por , nos queda:


2 20 1 1 2 2Y e

0

20 1 2

1 20 0 0 0

2

1 1 2 20

2 21 1 2 2

1

1 10.89744

e

e

Y e

Ejercicio 3)Entonces:


1

2

5.76923

-2.435897

Ejercicio 4)

• Considere el siguiente modelo:

Tareas:




d) Analizar las condiciones de estacionariedad.


1 22 0.5 0.3 ~ . . . 0;4t t t t tY Y Y e e i i d

Ejercicio 5)

• Considerando el modelo:

Tareas:

a) Hallar la media del proceso.

b) Expresar el modelo en forma de desvíos.

c) Verificar si se cumple la condición de estacionariedad.

d) Hallar la varianza y covarianza del proceso.

e) Hallar la función de autocorrelación.

f) Si es igual a 35, ¿qué podemos decir respecto de ?

g) ¿Y qué podría decirse en cambio si el valor de fuese –0.8?

h) Si en el proceso anterior , ¿qué puede decir respecto de ?


215 0.8 4t t t eY Y e

80Y 81Y

1

80 3Y 81Y

Ejercicio 6)

• En un modelo AR(2) se obtuvo:

Tareas:

a) Calcular los parámetros y .

b) Analizar las condiciones de estacionariedad.

c) Calcular la función de autocorrelación.


1 20.815 0.685

1 2

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