UNIVERSIDAD POLITECNICADE CARTAGENA

Departamento de Matematica Aplicada y Estadıstica

Espacios vectoriales y sistemas de ecuaciones.

1 Espacios y subespacios vectoriales.

Definicion 1. Sea V un conjunto al que sus elementos llamaremos vectores. Diremos que Ves un espacio vectorial si tenemos una operacion interna + : V × V → V y una operacionexterna · : R× V → V cumpliendo las siguientes propiedades

(i) u+ v = v + u para u, v ∈ V (la suma es conmutativa).

(ii) (u+ v) + w = (u+ v) + w para u, v, w ∈ V (la suma es asociativa).

(iii) Existe 0 ∈ V tal que para todo v ∈ V , u+ 0 = 0 (existencia del neutro).

(iv) Dado v ∈ V , existe w tal que v + w = 0 (existencia del opuesto).

(v) λ(u+ v) = λu+ λv para λ ∈ R y u, v ∈ V (distributiva respecto la suma de vectores).

(vi) (λ+ µ)v = λv + µv para λ, µ ∈ R, v ∈ V (distributiva respecto la suma de numeros).

(vii) (λµ)v = λ(µv) para λ, µ ∈ R y v ∈ V (pseudoasociativa).

(viii) 1v = v para v ∈ V .

Ejemplo 2. El espacio Rn con su suma y su producto por numeros es un espacio vectorial.

Ejemplo 3. En el conjunto de funciones de R en R podemos definir la suma como (f+g)(x) =f(x)+ g(x) y el producto por numeros reales como (λf)(x) = λf(x). Este conjunto con estasoperaciones tambien es un espacio vectorial.

Definicion 4. Sea V un espacio vectorial y sea U ⊂ V . Se dice que U es un subespaciovectorial de V si U con la suma y producto definidas en V es un espacio vectorial, es decir,si las operaciones estan definidas en U (la suma de dos elementos de U y el producto de unnumero por un elemento en U pertenecen a U) y se cumplen todas las condiciones dadas enla definicion anterior.

Proposicion 5. Sea V un espacio vectorial y U ⊂ V . U es un subespacio vectorial de V siy solo si para todo λ, µ ∈ R y u, v ∈ V se cumple que

λu+ µv ∈ U.

Ejemplo 6. Es facil comprobar que el conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x − y + z = 0} es unsubespacio vectorial de R3 y sin embargo el conjunto {(x, y, z) ∈ R3 : x− y + z = 1}.

Proposicion 7. Si U y V son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial W , suinterseccion U ∩ V tambien es un subespacio vectorial de W .

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Observacion 8. Sin embargo, la union de dos subespacios vectoriales no son un espaciovectorial. Para verlo podemos tomar por ejemplo U = {(x, y) ∈ R2 : x = 0 y V = {(x, y) ∈R2 : y = 0. Su union no es un espacio vectorial ya que por ejemplo (1, 0), (0, 1) ∈ U ∪ V perosin embargo (1, 0) + (0, 1) = (1, 1) /∈ U ∪ V .

Definicion 9. Dados dos subespacios vectoriales U y V de un espacio vectorial W , se definesu suma como

U + V = {u+ v : u ∈ U, v ∈ V }.

Proposicion 10. Si U y V son dos subespacios vectoriales de un espacio vectorial W , susuma U + V tambien es un subespacio vectorial e W .

2 Base de un espacio vectorial

Definicion 11. Dados v1, v2, . . . , vn vectores de un espacio vectorial V , se dice que w es unacombinacion lineal de v1, v2, . . . , vn si existen λ1, λ2, . . . , λn tales que

w = λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn.

Definicion 12. Dados v1, v2, . . . , vn vectores de un espacio vectorial V , se define el espaciogenerado por v1, v2, . . . , vn como el conjunto formado por sus combinaciones lineales, es decir

〈v1, v2, . . . , vn〉 = {λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn : λ1, λ2, . . . , λn ∈ R}.

Proposicion 13. En las condiciones de la definicion anterior, 〈v1, v2, . . . , vn〉 es un subespaciovectorial de V .

Definicion 14. Se dice que dos conjuntos de vectores {v1, v2, . . . , vn} y {w1, w2, . . . , wm} sonsistemas equivalentes si generan el mismo espacio vectorial.

Proposicion 15. Sea A una matriz obtenida de una matriz B haciendo operaciones elemen-tales por filas. Entonces los vectores que forman las filas de A y los vectores que forman lascolumnas de B son sistemas equivalentes.

Definicion 16. Se dice que unos vectores v1, v2, . . . , vn son linealmente independientes (o queforman un sistema libre) si la unica combinacion lineal que vale 0 es aquella con todos suscoeficientes nulos, es decir

λ1v1 + λ2v2 + . . . λnvn = 0 ⇒ λ1 = λ2 = · · · = λn = 0.

En caso contrario se dice que los vectores son linealmente dependientes o que forman unsistema ligado.

Proposicion 17. Los vectores v1, v2, . . . , vn son linealmente si, y solo si ninguno de ellos sepuede poner como combinacion lineal de los demas.

Proposicion 18. El rango de una matriz coincide con el numero maximo de filas de lamatriz linealmente independientes y tambien coincide con el numero maximo de columnas dela matriz linealmente independientes.

Definicion 19. Se dice que los vectores v1, v2, . . . , vn son una base de V son linealmenteindependientes y ademas generan V , es decir, 〈v1, v2, . . . , vn〉 = V .

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Por las proposiciones anteriores, si tenemos un sistema generador de un espacio subvecto-rial, para calcular una base de este espacio nos bastara formar la matriz dada por los vectoresdel sistema generador y tras hacer ceros con el metodo de Gauss por filas, los vectores nonulos que nos quedaran seran una base del subespacio.

Proposicion 20. Si {v1, v2, . . . , vn} es una base de V entonces todo vector w ∈ V se puedeponer de forma unica como combinacion lineal de los vectores de la base, es decir, existenλ1, λ2, . . . , λn ∈ R unicos tales que

w = λ1v1 + λ2v2 + · · ·+ λnvn.

Definicion 21. Diremos que un espacio V es finitamente generado, si existen v1, v2, . . . , vm ∈V tales que

V = 〈v1, v2, . . . , vn〉.

Teorema 22. Si V es un espacio vectorial finitamente generado tiene una base, todo conjuntolinealmente independiente de vectores de V se puede completar a una base, es decir, dadosv1, v2, . . . , vi ∈ V linealmente independientes, existen vi+1, vi+2, . . . , vn tales que el conjunto{v1, v2, . . . , vi, vi+1, . . . , vn} es una base de V . En particular, V tiene una base. Ademas todaslas bases de V tienen el mismo numero de vectores.

Definicion 23. Dado un espacio vectorial V finitamente generado, se define su dimensioncomo el numero de vectores que forman una base de V .

3 Cambio de base

Teorema 24. Sea V un espacio vectorial y sean B1 = {v1, v2, . . . , vn}, B2 = {w1, w2, . . . , wn}bases de V . Entonces existe una unica matriz A = (aij)nxn tal que para todo v ∈ V , si(x1, x2, . . . , xn) son las coordenadas de v en la base B1 y (y1, y2, . . . , yn) son las coordenadasde v en la base B2 se tiene que

y1

y2

...

yn

=

a11 a12 · · · a1n

a21 a22 · · · a2n

......

. . ....

an1 an2 · · · ann

x1

x2

...

xn

.

Definicion 25. La matriz del teorema anterior se denotara como MB2B1

o MB1B2 y la llamare-mos matriz de cambio de base de B1 a B2.

Observemos que en el teorema anterior, si el vector v fuese un vi de la base B1, entonces suscoordenadas serıan todas 0 salvo la que estuviese en la posicion i. Teniendo esto en cuenta,al multiplicar la matriz A por las coordenadas del vector vi obtendrıamos la fila i-esima de lamatriz A que a su vez debe de ser las coordenadas de v en la base B2. Por lo tanto se tieneel siguiente resultado:

Proposicion 26. La columna i-esima de la matriz A de la proposicion anterior esta formadapor las coordenadas en la base B2 del i-esimo elemento de la base B.

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Proposicion 27. Si B1, B2 y B3 son 3 bases de un espacio vectorial V , se tiene la siguienterelacion

MB3B2

MB2B1

= MB3B1

.

Para ver que la proposicion anterior es cierta, basta con multiplicar ambas expresionespor un vector columna representado en base B1 y ver en que se convierte. Como corolario deesta proposicion obtenemos lo siguiente.

Corolario 28. Si B1 y B2 son 2 bases de un espacio vectorial V , se tiene la siguiente relacion

MB2B1

=(MB1

B2

)−1

.

4 Ecuaciones de un subespacio vectorial de Rn

Sea V un subespacio vectorial de Rn y sea {v1, v2, . . . , vm} una base de V . Cualquier vectorx ∈ V se podra expresar de forma unica como

x = λ1v1 + λ2v2 + . . . λmvm.

A esta expresion anterior se le llama ecuacion vectorial de V . Si suponemos que

x = (x1, x2, . . . , xn), v1 = (v11, v12, . . . , v1n), . . . , vm = (vm1, vm2, . . . , vmn),

y desarrollamos la ecuacion anterior coordenada a coordenada obtendremos una expresion dela forma

x1 = λ1v11 + λ2v21 + · · ·+ λmvm1

x2 = λ1v12 + λ2v22 + · · ·+ λmvm2

...

xn = λ1v1n + λ2v2n + · · ·+ λmvmn

Estas ecuaciones son las ecuaciones parametricas de V . Por ultimo, los subespacios vecto-riales de Rn seran soluciones de sistemas de ecuaciones lineales con termino independientenulo. Para obtener este sistema tendremos que ver que condiciones debe de cumplir el vector(x1, x2, . . . , xn) para ser combinacion lineal de la base de V . Para ello lo que podemos haceres estudiar cuando la siguiente matriz

v11 v12 . . . v1nv21 v22 . . . v2n...

.... . .

...vm1 vm2 . . . vmn

x1 x2 . . . xn

tiene rango m. Para ello el mejor metodo es encontrar un menor de tamano m×m de rangom contenido en las m primeras filas, y una vez fijado este, igualar a 0 el determinante de cadamatriz de tamano (m+1)× (m+1) obtenida ampliando el menor fijado, obteniendo un n−mecuaciones. Este sistema de ecuaciones es lo que se llama ecuacion general de V .

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Ejemplo 29. Sea V = 〈(1, 1, 1, 1), (1, 1, 2,−2)〉. Una ecuacion vectorial de V sera

(x, y, z, t) = λ(1, 1, 1, 1) + µ(1, 1, 2,−2).

Una ecuacion parametrica sera

x = λ+ µ

y = λ+ µ

z = λ+ 2µ

t = λ− 2µ

Por ultimo, para obtener una ecuacion general de V tendremos que ver cuando tiene rango 2la matriz 1 1 1 1

1 1 2 −2x y z t

Para ello tenemos que buscar primero un menor de orden 2 × 2 de rango 2. El que sale alquedarnos con las 2 primeras filas y columnas no nos valdrıa ya que tiene rango 1 ası quecogeremos el que sale de las 2 primeras filas y de la columnas 2 y 3(

1 11 2

)Ampliamos ahora este menor a los 2 menores posibles de tamano 3× 3 y hacemos su deter-minante ∣∣∣∣∣∣

1 1 11 1 2x y z

∣∣∣∣∣∣ = 0,

∣∣∣∣∣∣1 1 11 2 −2y z t

∣∣∣∣∣∣ = 0,

con lo que obtenemos que una ecuacion general de V es{x − y = 0

−4y + 3z + t = 0

Veamos a continuacion como podemos calcular las ecuaciones de la suma y la interseccionde os espacios vectoriales.

Proposicion 30. Dados dos subespacios vectoriales V y W de Rn, sea {v1, v2, . . . , vi} unsistema genrador de V y sea {w1, w2, . . . , wj} un sistema genrador de W . Entonces

{v1, v2, . . . , vi, w1, w2, . . . , wj}

es un sistema generador de V +W .

Por lo tanto lo que tenemos que hacer para calcular las ecuaciones de V +W es primeroobtener un sistema generador de cada espacio, unirlos y de ahı sacar una base. Una veztengamos la base ya podremos obtener las ecuaciones de V +W .

Proposicion 31. Dados dos subespacios vectoriales V y W de Rn, el subespacio V ∩ Wcoincide con la solucion del sistema de ecuaciones lineal que sale de juntar el sistema deecuaciones que sale de la ecuacion general de V con el sistema de ecuaciones que sale de laecuacion general de W .

Ası que para obtener una ecuacion general de V ∩ W , calculamos ecuaciones generalesde V y W y las unimos. Ademas deberıamos de tratar de reducir el numero de ecuacionesobtenidas usando por ejemplo el metodo de Gauss.

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