ESPACIOS VECTORIALES Y TRANSFORMACIONES LINEALES.

El espacio Rn.

Def. Si n es un entero positivo, entonces, una n-upla o n-ada ordenada es una sucesión de números reales . El conjunto de las n-uplas ordenadas se conoce como espacio n-dimensional y se denota por Rn.

De igual forma que en R2 y R3 se utilizaban para representar un punto o un vector con punto inicial en el origen de coordenadas, la n-upla ordenada

se puede concebir como un punto generalizado o un vector generalizado.

Así, por ejemplo (-2, 1, 0, 4) se puede ver como un punto en R4 o un vector en R4.

Def. Dos vectores y en Rn son iguales si y sólo si .

Las operaciones con vectores en Rn son similares a las operaciones con vectores en R2 y R3, así:

, donde k es un escalar. Estas operaciones son denominadas operaciones estándar en Rn. El vector cero en Rn se define como y el negativo del vector se define como

. La diferencia de dos vectores se define como . Las propiedades de estas operaciones son

similares a las propiedades de las operaciones con vectores en R2 y R3.

También puede generalizarse el concepto de magnitud y de producto punto.

De esta manera:

y siendo

y . De igual manera que la suma y el producto escalar-vector, las propiedades de la magnitud y el producto punto son similares a las de la magnitud y producto punto en el plano y el espacio. Por ejemplo, el ángulo entre vectores está dado por :

Ejemplo. Dados los vectores de R4 , hallar:

a) , b) el ángulo entre .

Solución. a) Primeramente multiplicamos por los escalares .

Realizando la diferencia tenemos que:

Extrayendo magnitud, se tiene que:

1

b) Extraemos primeramente el producto punto:

Ahora calculamos la magnitud de cada uno de los vectores:

y

De esta forma; y

ESPACIOS VECTORIALES GENERALES.

Un espacio vectorial real es un conjunto de objetos llamados vectores, junto con dos operaciones llamadas suma de vectores y producto de un vector por un escalar que satisfacen los diez axiomas enumerados a continuación.

Si y escalares :

i)ii)iii)iv)v)vi)vii)viii)ix)x)

Ejemplos de espacios vectoriales.

1) El conjunto de vectores en Rn con las operaciones suma de vectores en Rn y el producto de un vector en Rn por un escalar.

2) El conjunto de matrices de orden m x n Mmxn con las operaciones suma de matrices y producto de una matriz por un escalar.

3) El conjunto de polinomios de grado menor o igual a n, Pn, con las operaciones suma de polinomios y producto de un polinomio por un número.

4) El conjunto de funciones de variable real con las operaciones suma de funciones y producto de una función por un número real.

Ejemplo de un espacio trivial. El conjunto que contiene solamente al vector cero o nulo, es decir, . Este espacio recibe el nombre de espacio trivial o espacio cero.

Ejemplo. Todo plano en R3 que pasa por el origen es un espacio vectorial con las operaciones suma de vectores y producto de un escalar por un vector en R3.

Solución. Ya que los vectores del plano son vectores de R3 las propiedades asociativas, conmutativas son obvias, por lo tanto, bastará probar los axiomas; i, iv, v y vi.

2

i) Como todo plano que pasa por el origen tiene ecuación todo vector del plano debe satisfacer dicha ecuación. Sean y

vectores del plano dado, entonces, y , sumando las dos igualdades anteriores y sacando factor

común se tiene que: y de esta forma se tiene que satisface la ecuación, por lo que existe cerradura con respecto a la suma.

iv) El vector satisface la ecuación , así que, todo plano que pasa por el origen contiene al vector cero.

v) Si está en el plano, entonces, , lo que es equivalente a la ecuación y de esta forma el vector también está en el plano, así que el plano que pasa por el origen cumple con la ley del vector opuesto.

vi) Si está en el plano, entonces, , lo que es equivalente a la ecuación que también puede escribirse como y por lo tanto, el vector

también está en el plano.Así vemos pues, que se cumplen todos los axiomas, y por lo tanto todo plano del espacio R3 que pasa por el origen forma un espacio vectorial con las operaciones ya definidas.

Ejemplo. Dé una razón por la cual el conjunto no es un espacio vectorial con las operaciones en R2.

Solución: No se cumple el axioma del opuesto, puesto que el conjunto dado solamente contiene los vectores de R2 situados en el primer cuadrante, desde el punto de vista geométrico, así que, los opuestos de estos vectores estarán en el tercer cuadrante, lo cual no forma parte del conjunto.

De otra forma: Si entonces, .

Teorema 1. Sea un espacio vectorial, entonces:

i. para todo escalar ii. para todo

iii. Si entonces, ó ( o ambos) iv.

Ejercicios propuestos.

1. En los siguientes ejercicios se da un conjunto de objetos con las operaciones adición y multiplicación por un escalar. Determinar cuales de ellos son espacios vectoriales bajo las operaciones dadas:

a) El conjunto de todas las ternas de números reales (x,y,z ) con las operaciones (x,y,z) +(x´, y´, z´) = (x + x´, y + y´, z+ z´) y k(x, y, z) = (kx, ky,kz)

b) El conjunto de todas las parejas de números reales de la forma (x, y) donde x 0, con las operaciones estándar en R2.

3

c) El conjunto de las matrices de orden 2 x 2 cuyos elementos en la diagonal secundaria son 1, con la adición matricial y la multiplicación por un escalar.

d) El conjunto de las funciones de valor real definidas en todo punto de la recta tal que f(1) = 0 con las operaciones con funciones tradicionales.

e) El conjunto de los polinomios de la forma P(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + an xn

2. .Demostrar el teorema 1.

3. Mostrar que para todo escalar y vectores ,

4. Demostrar que toda recta en R2 que pasa por el origen es un espacio vectorial con las operaciones suma de vectores y producto de un vector por un escalar en R2.

5. Repita el ejercicio 4 para una recta que pasa por el origen en R3.

6. Puede un espacio vectorial componerse: 1) de un solo vector; 2) de dos vectores diferentes?

7. A partir de un espacio vectorial ha sido eliminado el vector x. ¿Puede el conjunto de los vectores obtenido después de esta eliminación quedarse como espacio vectorial?

8. Cada día llegan a Peñas Blancas (frontera CR-Nicaragua) camiones de diferente tipo: furgones de carga, coches de tercera, segunda y primera clase, a partir de los cuales se forman diariamente y salen buses de pasajeros ordinarios y rápidos. Sean

los incrementos diarios del número de camiones respectivos. ¿Es el conjunto de los números ( ) un espacio vectorial?

9. Demostrar que el conjunto de todas las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales

homogéneas forma un espacio vectorial.

SUBESPACIOS VECTORIALES.

Un subconjunto de un espacio vectorial es un subespacio de V, si es a sí mismo un espacio vectorial bajo la adición y producto escalar definidos sobre .

Ejemplos. Las rectas y planos que pasan por el origen en R3 son subespacios vectoriales de R3.

Teorema 2: Si es un conjunto de uno o más vectores de , entonces, es un subespacio de si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes:

i) Si ii) Si es un escalar cualquiera y entonces,

Ejemplo. Sea el conjunto de las matrices de la forma . Determinar si

es un subespacio del espacio de matrices M 2 x 2 .

4

Sean , entonces, , así:

i.

ii. Sea

Por lo tanto, se cumplen ambas condiciones del teorema 2, así que el conjunto es un

subespacio del espacio M2 x 2 .

Nota: Todo espacio vectorial tiene al menos dos subespacios, el espacio propio y el espacio cero.

Ejemplo. Demostrar que el conjunto de las funciones continuas en todo R es un subespacio de F, el espacio de las funciones de variable real.

Solución. Sean , donde es el conjunto de las funciones continuas en toda la recta numérica. De esta forma, por las propiedades de las funciones continuas, se tiene que:

i. ya que la suma de dos funciones continuas en toda la recta numérica también es continua.

ii. Sea un escalar cualquiera, entonces, también por las propiedades de las funciones continuas también es continua.

Por lo tanto el conjunto de las funciones continuas de variable real es un subespacio de las funciones de variable real.

Ejercicios propuestos.

1. Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de R3?a) todos los vectores de la forma (a, 0, 0)b) todos los vectores de la forma (a, 1, 1)c) todos los vectores de la forma (a, b, c) con b = a + c + a

2. Cuáles de los siguientes subconjuntos de M 2 x 2 son subespacios de M 2 x 2?a) las matrices cuyos elementos son números enterosb) las matrices cuyos elementos en la diagonal principal suman ceroc) las matrices simétricasd) las matrices antisimétricase) las matrices diagonalesf) las matrices singulares

3. Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de los polinomios de grado menor o igual a 3, P3?

a) los polinomios cuyo término independiente es cerob) los polinomios cuya suma de sus coeficientes sea cero

5

4. Sea A X = 0, un sistema homogéneo de ecuaciones donde A es una matriz de orden m x n, X es un vector en Rn y B un vector de Rm. Determinar si el conjunto de soluciones de este sistema es un subespacio de Rn. Es válida la conclusión anterior si el sistema admite solamente la solución trivial? Explique su respuesta.

5. Investigue si el conjunto es un subespacio de R4.

6. Determine cuales de los conjuntos son cerrados bajo las operaciones indicadas.

a. El conjunto de todas las matrices diagonales n x n respecto a la suma de matrices y la multiplicación por escalar.

b. El conjunto de todas las matrices triangulares superiores de n x n con respecto a la adición y la multiplicación por escalar.

c. El conjunto S de todas las matrices de la forma , en donde a y b son

números reales, con la operación de adición de matrices y multiplicación por un escalar.

d. El conjunto de vectores en R3 de la forma (x, x, x).e. El conjunto de matrices simétricas de n x n bajo la suma y multiplicación por

escalar.

f. El conjunto de matrices 2 x 2 que tienen la forma bajo la suma y

multiplicación por un escalar.g. El conjunto de puntos en R3 que estén sobre la recta x = t + 1, y = 2t, z = t – 1.

7. Determine si el subconjunto dado H del espacio vectorial V es un subespacio de V.a. V = R2 ; H = {(x, y)\ x = y}.b. V = R2; H = { (x, y )\ x2 + y2 1}c. V = Mn x n; H = {T Mn x n, T es superior}d. V = Mnn; H = { S Mnn ; S es simétrica}e. V = Mnn; H ={ A Mnn; aij = 0}

f. V = M22; H = { A M22; A = }

g. V = M22; H = {A M22; A = }

h. V = Pn ; H = {P Pn : p(0) = 1}

i. Sea V = M22; H1 = {A M22; a11 = 0} H2 = {A M22; A = }.

Demuestre que H1 H2 son subespacios.j. Sea H = {(x, y, z, w)\ ax + by + cz + dw = 0}, donde a, b, c, d , no todos

cero. Demuestre que H es un subespacio propio de R4. H se llama hiperplano en R4, que pasa por el origen.

k. Sea H = {(x1, x2,…,xn)\ a1x1 + a2x2 +… +anxn = 0} donde a1, a2,…,an , no todos ceros. Demuestre que H es un subespacio propio de Rn, H se llama hiperplano en Rn.

6

COMBINACIÓN LINEAL DE VECTORES.

Un vector de un espacio vectorial es combinación lineal de los vectores si se puede expresar en la forma

donde son escalares.

Ejemplo. Sean , expresar los vectores como combinación lineal de los vectores .

Solución.

Primeramente, escribimos la combinación lineal como que ésta existe y formamos un sistema de ecuaciones lineales donde las incógnitas son los escalares.

(9, 2, 7) = k1 (1, 2, -1) + k2 (6, 4, 2)

(9, 2, 7) = (k1 + 6k2 , 2k1 + 4 k2 , k1 + 2k2 ). De esta forma se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:

k1 + 6k2 = 9 2k1 + 4 k2 = 2

k1 + 2k2 = 7

Haciendo uso de la eliminación Gaussiana, tenemos que:

de donde se obtiene el sistema equivalente:

k1 + 6k2 = 9 8 k2 = - 16 de donde resulta k1 = -3 y k2 = 2.

Por lo tanto, la combinación lineal es: .

Al siguiente vector aplicamos la misma situación, o sea:

lo cual nos conduce al siguiente sistema de ecuaciones:

c1 + 6c2 = 42c1 + 4 c2 = - 1c1 + 2c2 = 7 el cual el es un sistema incompatible y por lo tanto el vector no puede expresarse como combinación lineal de los vectores .

Ejercicios propuestos.

1. Expresar los polinomios dados como combinación lineal de los p = 2 + x + 4x2, q = 1- x + 3x2 , r = 3 + 2x + 5x2 :

a) 5 + 9x + 5x2 b) 2 + 6x2 c) 2 + 2x + 3x2

7

2. Dadas las siguientes matrices: . Cuáles de las siguientes matrices

son combinación lineal de las matrices A, B y C.

a)

3. Demostrar que cualquier vector del subespacio vectorial es una combinación lineal del conjunto

subconjunto de R3.4. Haciendo uso de las combinaciones lineales, balancear las siguientes ecuaciones

químicas:a)b)

GENERADOR Y ESPACIO GENERADO.

Si son vectores de un espacio vectorial y si todo vector en es expresable como una combinación lineal de los vectores , entonces, se dice

que estos vectores generan al espacio vectorial .

Ejemplo. Los vectores generan a R3 ya que todo vector en R3 puede expresarse como:

Ejemplo. Los polinomios 1, x, x2, ... , xn genera al espacio de polinomios de grado “n” Pn ya que: a0 + a1x + a2 x2 + ... + an xn = a0 (1) + a1 (x) + a2 (x2) + … + an (xn)

Ejemplo. Determine si los vectores generan a R3.

Solución. Se debe probar que cualquier vector de R3 debe expresarse como combinación lineal de los vectores dados inicialmente.

De esta manera:

lo cual nos conlleva al siguiente sistema de ecuaciones:

. La matriz de coeficientes de este sistema de ecuaciones tiene determinante igual a cero, lo cual indica que el sistema tiene infinitas soluciones o es incompatible.

Esto indica que el sistema es compatible si y sólo si c – b- a = 0 para que los rangos de la matriz de coeficientes y la matriz ampliada del sistema sean iguales. En este caso dicho rango es igual a 2.

8

Por lo tanto, los vectores dados no generan al espacio R3.

En general, un conjunto de vectores de un espacio vectorial determinado puede o no generar al espacio dado. Si no lo genera, entonces, genera a un subespacio de éste. Dicho subespacio es el conjunto de las combinaciones lineales de los vectores dados y se llama espacio generado que se denota por lin(S) donde S es el conjunto que contiene a los vectores.

Pregunta para el estudiante: ¿Qué diferencia hay entre generador y espacio generado? Explique.

Ejercicios propuestos.

1. Determine que conjunto de vectores generan a R3:a) (1, 1, 1), (2, 2, 0), (3, 0, 0)b) (2, -1, 3), (4, 1, 2), (8, -1, 8)c) (1, 3, 3), (1, 3, 4), (1, 4, 3), (6, 2, 1)

2. Determine si los polinomios p = 1 + 2x – x2, q = 3 + x2, generan a los polinomios de grado 2.

3. Cuáles de las siguientes funciones están en el espacio que genera las funciones f(x) = cos2 x, g(x) = sen 2x.

a) cos 2x b) 3 + x2 c) 1 d) sen x

4. Demuestre que el conjunto de vectores no genera a R3 y determinar el subespacio de R3 que genera dicho conjunto.

5. En M22 ;

6. En M22;

7. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos constituyen una base para R4?

8. 2. 3.

9. Demuestre que los polinomios, 1, 1 + x, 1 + x + x2, ... , 1 + x + x2 + ... + xn generan al espacio de polinomios de grado n.

10. Demuestre que si están en entonces, están en .

DEPENDENCIA E INDEPENCIA LINEAL.

Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial, la ecuación

vectorial tiene al menos una solución a saber,

9

. Si ésta es la única solución , entonces, se dice que el conjunto S es linealmente independiente, (L. I.) . Si hay otras soluciones, se dice que el conjunto es linealmente dependiente (L. D.).

Ejemplo. El conjunto es linealmente

dependiente ya que .

Ejemplo. Los polinomios forman un conjunto linealmente dependiente ya que

Ejemplo. Los vectores en R3, forman un conjunto linealmente independiente ya que implica que :

Ejemplo. Determinar si los vectores son linealmente dependientes o

linealmente independientes.

Solución. Primeramente planteamos una combinación lineal de los vectores dados y se iguala al vector cero, esto nos conduce a un sistema de ecuaciones homogéneo, el cual se analiza si solamente admite la solución trivial o tiene otras soluciones:

, el sistema de ecuaciones respectivo es:

El sistema equivalente es:

De aquí se deduce que: , así que el sistema admite infinitas

soluciones y por lo tanto, los vectores dados son linealmente dependientes.

Si un conjunto de vectores es linealmente dependiente, se tiene que:

En efecto, para un conjunto de vectores linealmente dependiente, cualquiera de los vectores puede expresarse como combinación lineal de los vectores restantes. Anteriormente, se expresó el vector como combinación lineal de los vectores

.

10

Para el caso particular de dos vectores se tiene que o sea que

, esto es , dos vectores de un espacio vectorial son linealmente

dependientes si y sólo si, uno de ellos es múltiplo escalar del otro. En caso contrario son linealmente independientes.

Teorema: Sea un conjunto de vectores en Rn. Si r > n entonces, el conjunto S es linealmente dependiente.

Para el caso de funciones, se puede probar la dependencia lineal a través del determinante denominado Wronskiano. Sean un conjunto de funciones, entonces, el conjunto de funciones es linealmente dependiente si:

, en

caso contrario, el conjunto es LI.

Ejemplo. El conjunto es linealmente independiente ya que:

Ejercicios propuestos.

1. Investigar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente dependientes o linealmente independientes.

a) A = { (2, 1, 0, 1), (2, 3, 0, 1), (1, 0, 0, 1)}b) B = { (1,4), (0, 1), (3, 3), (4, 7)}c) C = { 1, 0, 4), (0, 1, 3), (1, -1, 2)}d) F = { x2 – 3x + 2, x2 – 4x + 3, x2 – 5x + 4}

e)

T = { f(x)= 2x2 + x –1 , g(x) = x – 2, h(x) = 3 }

f) R = { f(x) = 1, g(x) = cos x, h(x) = sen x}

11

2v

1v

Linealmente dependientes

2v

1v

Linealmente independientes

2. Para qué valores de “k” los vectores que siguen forman un conjunto linealmente dependiente? (k, -1/2, -1/2), (-1/2, k, -1/2) , (-1/2, -1/2, k).

Determinar el número máximo de vectores L. I de los siguientes subconjuntos

3. 2. 3.

3. Sea un conjunto de vectores de un espacio vectorial V, Demostrar que si uno de los vectores es el vector cero, Entonces, S es linealmente dependiente.

4. Sean dos vectores linealmente independientes y sea , entonces, es linealmente independiente.

5. Se tiene un conjunto de 4 vectores linealmente independientes. Entonces un conjunto formado por tres de estos vectores es L. I.? Explique. Si al conjunto de los 4 vectores LI se le agrega otro vector arbitrario, este nuevo conjunto es LI? Explique.

BASE Y DIMENSION DE UN ESPACIO VECTORIAL.

Si es cualquier espacio vectorial y es un conjunto de vectores en , entonces, es una base para si :i) es L. I. ii) genera a .

Ejemplo. El conjunto de vectores es una base para el espacio vectorial R3 ya que se demostró anteriormente que este conjunto genera a R3 y además se puede probar que este conjunto es linealmente independiente. Esta base es la llamada base canónica para R3.

Ejemplo. El conjunto {1, x, x2, ... , xn } es la base canónica para el espacio de polinomios de grado menor o igual a “n”.

Ejemplo. Las matrices forman la base canónica para el espacio de matrices de

orden 2 x 2, M2x2.

Ejemplo. Demostrar que el conjunto es una base para R3.

Solución. Se probarán las dos condiciones de base, primeramente veamos si el conjunto genera a R3.

el cual nos conduce al sistema de ecuaciones siguientes:

Calculando el determinante del sistema se tiene que:

, lo que indica que el sistema tiene una única solución

independientemente de los valores de . Así que los vectores generan a R3.

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Ahora veamos si el conjunto de vectores es linealmente independiente:

lo cual conduce al sistema homogéneo de ecuaciones siguientes:

El determinante del sistema es el mismo del sistema anterior, por lo tanto, el sistema solamente admite la solución trivial, así que los vectores son linealmente independientes. Así que el conjunto dado es una base para R3.

Teorema. Si es una base para un espacio vectorial , entonces, todo conjunto de más de n vectores, es linealmente dependiente.

Ejemplo. El conjunto de vectores{ (1,2,-1), (3,5,2), (-7, 9, 0), (8, -2, 4)} es linealmente dependiente ya que la base canónica para R3 tiene solamente tres vectores.

Teorema. Dos bases cualesquiera tienen el mismo número de vectores.

Ejemplo. Para R3 la base canónica y la base {(1,2,1), (2,9,0),(3,3,4)} tienen tres vectores cada una.

Un espacio vectorial es de dimensión finita si tiene un conjunto finito de vectores que forman una base.

La dimensión de un espacio vectorial se define como el número de vectores en una base para . Además, por definición, el espacio vectorial cero tiene dimensión cero.

Así por ejemplo, se tiene que:

dim Rn = n, dim Pn = n + 1, dim Mm xn = m x n, d.im F = .

Teorema.

a) Si es un conjunto de n vectores que genera un espacio de dimensión “n”, entonces, es una base para .

b) Si es un conjunto de n vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión “n”, entonces, es una base para .

c) Si es un conjunto de vectores linealmente independientes en un espacio de dimensión “n”, y r < n, entonces, se puede agrandar hasta formar una base para , es decir, existen los vectores tal que

es una base para .

Teorema. Sean dos espacios vectoriales tal que , entonces, .

Ejemplo. Determinar si los vectores forman una base para R2.

Solución. Los vectores son linealmente independientes ya que ninguno de ellos es múltiplo escalar del otro y como son dos vectores y dim R2 = 2, entonces, el conjuntos formado por los vectores forman una base para R2.

13

Ejercicios propuestos.

1. Determinar si cada uno de los siguientes conjuntos de vectores forman o no una base para el espacio vectorial especificado:

a) {(2, 1), (-3,5)} para R2

b) {(2, 4, -3), (0, 1, 1), (0, 1, -1)} para R3

c) { para M2x2

2. Dé una explicación por qué los conjuntos siguientes de vectores no son bases para los espacios vectoriales que se indican (resolver por simple inspección)

a) {(1,2), (0,3), (2,7)} para R2

b) { (-1, 3 2), (6,1,1)} para R3

c){ 1 + x + x2, x – 1} para P2

3. Sea V el espacio generado por los vectores f(x) = cos2 x, g(x) = sen2 x, h(x) = cos 2x: a) Demostrar que estos vectores no forman una base para V

b) Hallar una base para V

4. Determine las dimensiones de los siguientes subespacios de R4:a) todos los vectores de la forma (a, b, c, 0)b) todos los vectores de la forma (a,b,c,d) con a = b = c = d

5. Determine la dimensión del subespacio del espacio de los polinomios de orden 3 que consta de los polinomios cuyo término independiente es igual a cero.

6. ¿Cuáles de los siguientes subconjuntos constituyen una base para R4?

2. 3.

7. Hallar una base y la dimensión del espacio solución de cada sistema homogéneo:

a) b)

8. En Rn un hiperplano que contiene a o es un subespacio de dimensión n – 1. Si H es un hiperplano en Rn que contiene a o, demuestre que:

H = {(x1, x2,…,xn): a1x1+ a2x2+…+ anxn = 0} donde a1, a2,…,an son números reales , no todos ceros.

ESPACIOS VECTORIALES CON PRODUCTO INTERNO.

Sea un espacio vectorial cualquiera, a cada par de vectores se le asigna un número real denominado producto interno o producto interior de que se denota por

que cumple las siguientes propiedades:

14

i.ii.

iii. para algún escalar .iv.

Todo espacio vectorial que se define un producto interno, se denomina espacio con producto interno.

Ejemplo. En R2 y R3 el producto interno conocido es el producto punto ya que cumple con las cuatro propiedades anteriormente.

Ejemplo. Para los vectores en R3 puede definirse el siguiente producto interno: . Se deja al alumno que demuestre que se cumplen las cuatro propiedades.

También en el espacio de matrices, de polinomios y de funciones se pueden definir productos interiores.

Sean , entonces: es un

producto interno para M2x2.

Si , un producto interno para el espacio de

polinomios de segundo grado es: .

En el espacio de las funciones continuas en el intervalo , el producto interno para dos

funciones en particular está dado por: .

El producto interior permite definir la norma de un vector, que de manera general está dada por . Esto significa que de acuerdo al producto interior que se utilice, la norma va a variar. Esta norma no tiene ningún significado geométrico excepto en el caso de R2 y R3 cuando se considera como producto interior el producto punto o escalar de vectores en el cual, esta norma se interpreta como el módulo o tamaño de un vector.

Si son dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial, se define la distancia entre los vectores como . Un espacio que tiene definida una norma y una distancia se denomina espacio métrico y normado.

La norma también es utilizada para determinar el ángulo entre dos vectores, si son dos vectores cualesquiera de un espacio vectorial, el ángulo entre se determina

por: . Si el ángulo entre dos vectores es 90 grados, dichos

vectores se dice que son ortogonales.

Un vector unitario es un vector de norma uno. Se puede normalizar un vector no nulo

dividiéndolo entre su norma. En efecto: .

Ejemplo. Encontrar el ángulo entre los vectores .

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Solución.

El producto interno es Las normas de los vectores son:

Así que:

BASES OROTONORMALES.

Se dice que un conjunto de vectores en un espacio de productos interiores es un conjunto ortogonal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son ortogonales. Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma uno se conoce como ortonormal.

Ejemplo. El conjunto formado por los vectores y

es ortonormal ya que cada uno de los vectores es unitario y son

ortogonales con el producto interno tradicional.

Una base ortonormal es un conjunto de vectores ortonormales que forman una base para un espacio determinado.

Teorema. Si es una base ortonormal para un espacio de productos interiores y si es un vector cualquiera de entonces:

. O sea, un vector se puede expresar como combinación lineal de los vectores de una base ortonormal, y los coeficientes de dicha combinación lineal está en términos de productos interiores.

Teorema. Todo conjunto ortonormal de vectores es linealmente independiente.

Ejemplo. Dados los vectores ,

demostrar que estos vectores forman una base ortonormal para R3 y expresar como combinación lineal de los vectores dados.

Solución. Se puede observar que los tres vectores son unitarios, y además los productos internos de cada para de vectores distintos es cero. Por lo tanto como los vectores son ortonormales, entonces, son linealmente independientes, además como la cantidad de vectores coincide con la dimensión del espacio, entonces, estos tres vectores forman una base y esta base es ortonormal.

Luego,

Así que:

16

Proceso de Gram-Schmidt:

Todo espacio vectorial de productos interiores distinto del espacio nulo y de dimensión finita tiene una base ortonormal.

Se puede tener una base inicial y pasar por dicho proceso a otra base que es ortonormal con los siguientes pasos:

1. Se normaliza el primer vector de la base inicial para obtener

2. Se encuentra un vector ortogonal al encontrado en el paso anterior y luego se normaliza así:

3. Se encuentra un tercer vector ortogonal a los dos vectores del paso anterior y se normaliza así:

El proceso continúa de igual manera hasta llegar al vector n-ésimo.

Ejemplo. Dada la base de R3 . Ortonormalizar dicha base usando el proceso de Gram’ Schmidt.

Solución.

1. Se normaliza el primer vector

2. Se encuentra un vector ortogonal al anterior

=

3. Se encuentra un vector ortogonal a los dos anteriores.

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Y normalizando este resultado obtenemos:

Así pues, la base ortonormal es

CAMBIO DE BASE.

Todo punto en un sistema de coordenadas puede representarse como combinación lineal de los vectores de una base. Así, dadas dos bases se desea pasar la combinación lineal de la primera a la combinación lineal en la segunda base.

Sea una base cualquiera de un espacio vectorial, entonces, todo vector de dicho espacio puede expresarse como , entonces, los

escalares se denominan coordenadas relativas de respecto a la base . El vector de coordenadas para en dicha base es y la matriz de

coordenadas de respecto a la base está dada por:

Veamos para R2 como se haría el cambio de una base a otra base . Expresamos los vectores de la base inicial como combinación lineal de los

vectores de la base final: . Sea w con matriz de

coordenadas respecto a la base inicial . De esta forma se tiene que:

Así la matriz de coordenadas de con respecto a la base está dada por:

A la matriz se le denomina matriz de transición de B hacia B´.

En general, la matriz de transición se construye usando como columnas las matrices de coordenadas de los vectores de la base inicial con respecto a la base final.

Observe que:

Esta matriz de transición es una matriz no singular, o sea, que posee inversa y esta inversa es la matriz de transición de B´hacia B.

Si las bases B y B´ son bases ortonormales la matriz de transición es una matriz ortogonal, es decir, .

Ejemplo. Sea B = {(1,0), (0,1)} y B´ = { (1,1), (2,1)}. a) Hallar la matriz de transición de B hacia B´ , b) Hallar .

18

Solución.

a) Expresamos primero los vectores de la base inicial como combinación lineal de los vectores de la base final. De esta manera:

, de donde se obtiene que

, de lo que resulta

Ahora encontramos las matrices de coordenadas de cada uno de estos vectores en términos de la base B´:

y y

b) , en este caso, la matriz de coordenadas coincide con las componentes

del vector por que la base inicial B es la base canónica..De esta manera:

y la combinación lineal en términos de la base B´ es:

Ejercicios propuestos.

1. Con el producto interno donde , calcular dicho producto para cada par de vectores dados:

a) (2, 1) , (-1, 3) b) (0,0), (7,2) c) (3,1), (-2,9)

2. Sean determine cuales de las siguientes expresiones son productos interiores para R3:

a)

b)

c)

3. . Determinar si es un producto

interior sobre el espacio M2x2. Si no lo es, indicar que propiedad o propiedades de producto interno no cumple.

4. Suponga el producto interno en R3 definido como . Use dicho producto para determinar en cada caso el valor de para que los vectores dados sean ortogonales.a) (2, 1, 3) y (1, 7, k) b) (k, k, 1) y (k, 5, 6)

5. Con el producto interior en R3 (producto escalar) , use el proceso de Gram-Schmidt para transformar las bases dadas en una base ortonormal:

a) (1, 1, 1), (-1, 1, 0), (1, 2, 1)b) (1, 0, 0), (3, 7, -2), (0, 4, 1)

19

6. Repita el procedimiento del ejercicio anterior usando el producto interior del ejercicio 4.

7. Con el producto escalar tradicional en R4 , ortonormalizar la base dada por los vectores (0, 2, 1,0), (1, -1, 0, 0), (1, 2, 0, -1), (1, 0, 0, 1).

8. Considere las bases B = {(1,0), (0,1)} y B´ = { (2,1), (-3,4)} :a) Hallar la matriz de transición de B a B´b) Calcular la matriz de coordenadas siendo c) Hallar la matriz de transición de B´ a B

9. Repita el ejercicio 8 con B = { (-3, 0, -3), (-3,2,-1), (1,6,-1)} y B´ = {(-6,-6,0), (2,-6,4), (-2,-3, 7)} y .

10. Repita las instrucciones del ejercicio 8 con B = {6 + 3x, 10+2x} y B´={2, 3+2x} y w = -4 + x

11. Dado el conjunto de vectores {(0, 3/5, 4/5), (-1, 0, 0), (0, -4/5, 3/5)} demostrar que estos vectores forman una base ortonormal y expresar los vectores (1, 1, 1), (2, 5, -7) como combinación lineal de los vectores del conjunto haciendo uso de producto interno.

12. Construya una base ortonormal para el espacio o subespacio vectorial dadoa) = {(x, y, z): 2x – y – z = 0}b) = {(x, y, z): 3x – 2y + 6z = 0}

c) = {(x, y, z): }

d) = {(x, y, z): ax + by + cz = 0}

e) H es el espacio de soluciones de :

13. Encuentre ProyHV

a) { : ax + by = 0} v = { : ax + by + cz = 0} v =

b) { : 3x – 2y + 6z = 0} v =

c) { : 2x – y + 3z – w = 0} v =

d) { : x = 3y w = 3y} v =

14. En los ejercicios siguientes exprese x en términos de B2.

20

a) Sea (x)B1= ; Sea B1= y B2=

b) Sea (x)B1= ; Sea B1= y B2=

c) Sea (x)B1= ; Sea B1= y B2=

d) Sea (x)B1= ; Sea B1= y B2=

e) Sea (x)B1= ; Sea B1= y B2=

f) Sea (x)B1= ; Sea B1= y B2=

TRANSFORMACIONES LINEALES.

Sean dos espacios vectoriales y T una función que asocia un vector único en con cada vector en , se dice que T aplica . Es decir, a cada vector se le asocia como imagen bajo T un vector .

Ejemplo. Sea T: R2 R3 dada por T(x,y) = (x, x + y, x – y). En este caso un vector del espacio R2 se transforma mediante T a un vector en R3. Así, T(1,1) = (1, 1+1, 1-1) = (1, 2, 0).

Una transformación es una transformación lineal si para cada se cumple que:

i.

ii. para algún escalar

Ejemplo. Sea T: R2 R3 dada por T(x,y) = (x, x + y, x – y). Determinar si T es o no es lineal.

Sean entonces, , de esta forma:

i.

= ii.

Por lo tanto, se cumplen las dos condiciones, y T es lineal.

21

Sea una transformación lineal, entonces, para y para escalares se cumple que .

De igual forma, si son vectores en y si son escalares y la transformación es lineal, entonces:

.

Ejemplos de algunas transformaciones lineales:1. dado por donde A es una matriz de orden m x n.2. La transformación cero, donde .3. La transformación identidad, con .4. Dilatación o contracción de un vector, con y

algún escalar .5. La transformación derivada y la transformación integral en el espacio de funciones son

transformaciones lineales. O sea: dada por y

son transformaciones lineales según las propiedades de la derivada y de la integral.

Teorema. Sea una transformación lineal, entonces:

i.ii.

iii.

Demostración (ii). Sea y sea una transformación lineal, entonces:

Se deja la demostración (i) y (iii) al estudiante.

NÚCLEO Y RECORRIDO DE UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL.

Si es una transformación lineal, entonces, el conjunto de vectores en que aplica hacia se conoce como núcleo o Kernel o espacio nulo de T y se denota por Ker(T). El conjunto de todos los vectores en que son imágenes bajo T de al menos un vector en se conoce como recorrido de T y se denota por R(T).

Ejemplo. En el caso de la transformación cero , puesto que todos los vectores aplican hacia el cero y puesto que es el único elemento al cual llegan todos los vectores de .

Ejemplo. Sea la transformación que multiplica

por la matriz . El núcleo de esta

transformación consiste en todos los vectores que son solución del sistema homogéneo , o sea:

22

El recorrido de T consiste de todos los vectores tal que el sistema

es un sistema compatible.

Ejemplo. Sea dada por .Hallar el núcleo y recorrido de la transformación.

Solución. El núcleo es el conjunto de vectores de R4 que aplican al cero en R2, de esta forma se tiene que:

El recorrido consiste de aquellos vectores en R2 tal que

Teorema. Sea una transformación lineal, entonces:

i. es un subespacio de ii. es un subespacio de

Demostración.Sean , entonces, , de esta forma, se cumple con la propiedad de cerradura con respecto a la suma, o sea,

.

Además, sea un escalar, entonces, , por lo tanto, se

cumple la cerradura respecto al producto escalar-vector, o sea, .

Así, es un subespacio de .

Se deja al estudiante la demostración del inciso (ii).

Supongamos que un conjunto de vectores es una base para un espacio vectorial y una transformación lineal . Si se conocen las imágenes

, entonces, se puede obtener la imagen de expresando

previamente como combinación lineal de los vectores de la base, es decir, y luego

. O sea, una transformación lineal está

completamente determinada por sus valores en una base.

Ejemplo. Sea la base de R3 {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)} con T(1, 1,1) = (1, 0), T(1, 1, 0) = (2, -1) y T(1, 0, 0) = (4, 3). Determinar T(2, -3, 5).

Solución.

Primeramente se expresa (2, -3, 5) como combinación lineal de los vectores de la base. De esta forma se tiene que (2, -3, 5) = 5(1, 1,1)- 8(1, 1, 0) + 5(1, 0, 0). Aplicando la propiedad antes mencionada, se obtiene:

23

T(2, -3, 5) = 5 T(1, 1, 1) – 8 T(1, 1,0) + 5 T(1, 0, 0) = 5 (1, 0) – 8 (2, -1) + 5 (4, 3)

= ( 9, 23).

Si es una transformación lineal, la dimensión del recorrido de T se conoce como rango de T y la dimensión del núcleo se denomina nulidad de T. Además, si

entonces, se tiene que: (rango T) + (nulidad de T) = n.

Ejercicios propuestos.

1. Para cada función F : R2 R2 , determinar si F es lineal: a) F(x, y) = (2x, y) b) F(x, y) = (x, y+1) c) F(x, y) = (y, y)

2. Repetir el ejercicio 1 para cada función F: R3 R2 : a) F(x, y, z) = (x, x + y + z) b) F(x, y, z) = (1, 1) c) F(x, y, z) = (0, 0)

3. Determine si H: P2 P2 es lineal:a) H(a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 + (a1 + a2) x + (2 a0 - 3 a1)x2

b) H(a0 + a1 x + a2 x2 ) = a0 + a1 (x +1)+ a2 (x + 1)2

c) H(a0 + a1 x + a2 x2 ) = (a0 + 1) + a1x + a2 x2

4. Determine si G es lineal con G: M2 x 2 R :a) b)

c) d)

5. Sea B una matriz fija de orden 2 x 3. Demuestre que la función T: M2x2 M2x3

definida por T(A) = A B es una transformación lineal.6. Sea una base para un espacio vectorial y supóngase que

es una transformación lineal. Demuestre que si , entonces, T es la transformación cero.

7. Sea una base para un espacio vectorial y supóngase que es un operador lineal. Demuestre que si , , ..., , entonces, T es la transformación identidad sobre V.

8. Sea T: R2 R2 la multiplicación por

i. Cuáles de las siguientes matrices están en el recorrido de T:

ii. Cuáles de las siguientes matrices están en ?

9. Repetir el ejercicio 8 ahora con y

i) ii)

24

10. Igual que 8 con T : P2 P2 y T(p(x)) = x p(x):

i) x + x2 , 1 + x , 3 – x2

ii) x2 , 0 , 1 + x11.Sea V cualquier espacio vectorial y supóngase que T : V V está definida por

. Cuál es el núcleo de T? Cuál es el recorrido de T?

MATRIZ ASOCIADA A UNA TRANSFORMACIÓN LINEAL. MATRICES SEMEJANTES.

Sea una transformación lineal y sean B y B´ bases para respectivamente. Además se conoce que , entonces, para cada

la matriz de coordenadas es un vector de Rn y la matriz de coordenadas es un vector de Rm. Se desea encontrar una matriz tal que

.

Sean .

Si , entonces, sucede que:

De igual forma y así

Ejemplo. Sea la transformación lineal definida por . Encontrar la matriz asociada a T con respecto a las bases B ={1, x} y B’ = {1, x, x2}.

Solución. Primeramente se encuentran las transformaciones de los vectores de la base inicial, así, T(1) = x.1 = x y T(x) = x. x = x2. Luego se expresan los vectores transformados de la base inicial como combinación lineal de los vectores de la base final y así T(1) = x = 0(1) + 1(x) + 0(x2) y T(x) = x2 = 0(1) + 0(1) +1(x2)

De esta forma se tiene que:

La matriz asociada a una Transformación lineal se puede utilizar para encontrar la transformación de cualquier vector del espacio vectorial de partida. Por ejemplo,

. Haciendo uso de la matriz asociada obtenemos que:

i.

ii. . Por lo tanto, se tiene que

iii.

25

Si la transformación lineal está en el mismo espacio, es decir, entonces, se puede tomar B = B’ y la matriz resultante se conoce como matriz de T con respecto a la base B’ . Si la dimensión del espacio es n, entonces, la matriz obtenida es una matriz cuadrada de orden n.

Ejemplo 1. Si es cualquier base para un espacio vectorial de dimensión finita y si es el operador identidad sobre , entonces, se cumple que

y de esta forma los vectores asociados son los vectores canónicos, y la matriz asociada es la matriz identidad .

Ejemplo 2. Sea el operador lineal definido como . Encontrar

la matriz asociada a T con respecto a la base .

Solución.

.De esta forma, la matriz asociada

a T está dada por .

Teorema. Sea una transformación lineal sobre un espacio vectorial de dimensión finita. Si A es la matriz de transición de T con respecto a una base B y A’ es la matriz de T con respecto a una base B’ entonces , donde P es la matriz de transición de B’ hacia B.

Ejemplo. En el ejercicio anterior, sea B = {(1, 0), (0, 1)} y B´= {(1, 1), (1,2)}, entonces,

. Ahora bien, T(1,0) = (1, -2) y T(0, 1) = (1,4). Así, .

La matriz de transición de B’ hacia B es . Puede demostrarse que :

.

Si A y B son dos matrices cuadradas, se dice que A es semejante a B si existe una matriz inversible P tal que . En el ejemplo anterior, las matrices A y A’ son semejantes. Además, puede demostrarse que si B es semejante a A, entonces, también, A es semejante a B. (Se deja esta última demostración al estudiante).

VALORES Y VECTORES PROPIOS.

Si A es una matriz cuadrada de orden n, entonces, se dice que un vector diferente de cero es un vector propio (o eigenvector o vector característico) de la matriz A si

para algún escalar . El valor se denomina valor propio ( o eigenvalor o valor característico) de A y se dice que es un vector propio correspondiente al valor propio .

26

Ejemplo. El vector es un eigenvector para la matriz

correspondiente al eigenvalor = 3 porque:

.

Para encontrar los eigenvalores de una matriz A escribimos:

.Para que sea un eigenvalor debe haber una solución distinta de la trivial de esta ecuación, o sea, .

Esta ecuación se conoce como ecuación característica de A, los escalares que satisfacen esta ecuación son los eigenvalores de A. Cuando se desarrolla este determinante nos queda un polinomio en de grado n conocido como polinomio característico de A.

Ejemplo. Hallar los valores y vectores propios de la matriz .

Solución.

Planteamos inicialmente la ecuación característica:

Para encontrar los vectores propios sustituimos los valores propios en la ecuación .

Si = 1, se obtiene el sistema de ecuaciones:

Esto significa que . O sea, que los vectores propios correspondientes al valor

propio =1, son múltiplos escalares o combinación lineal del vector .

Para

Por lo tanto, se tiene que . Esto es, todo vector propio correspondiente a =

2, es combinación lineal del vector .

Los eigenvalores correspondientes al eigenvalor son vectores no nulos del espacio de soluciones de . A este espacio de soluciones se le conoce como eigenespacio (o espacio propio o espacio característico) de A correspondiente a . Los valores y vectores propios se pueden tanto para operadores lineales como para matrices. Si T es una transformación lineal en un espacio vectorial V y A es la matriz asociada a T con respecto a una base B dada, los valores y vectores propios correspondientes a la matriz A

27

son los mismos valores y vectores propios correspondientes a la transformación lineal T definida inicialmente.

Ejemplo. Hallar los eigenvalores y bases para los eigenespacios del operador lineal definido por con la base

.

Solución. .Primero debe encontrarse la matriz correspondiente a la base dada. Dicha matriz

es la siguiente:

La ecuación característica está dada por

O sea: .

Si = 5, se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

De esta forma, un valor propio para el valor propio = 5 está dado por el vector:

. O sea, X es combinación lineal de los vectores (-1, 1, 0) y (0, 0, 1).

Esto implica que esos vectores forman la base para el espacio propio formado por el valor propio = 5.

Si = 1, el sistema formado está dado por:

Así, el vector propio asociado al valor propio = 1 es:

. Entonces, la base para el espacio propio correspondiente al valor

propio = 1 está compuesta por el vector (1,1,0).

Ejercicios propuestos.

1. Sea la transformación lineal dada por

, halle la matriz de T con respecto a las bases estándar para P2 y P1.

2. Sea dada por . Hallar la matriz asociada a T con respecto a las bases B = { (1, 3), (-2, 4)} y B’ = {(1,1,1), (2, 2,0), (3, 0, 0)}.

3. Sea y suponga la matriz de la

transformación en R2 con respecto a la base B:

a) Hallar

b) Encuentre

28

c) Halle T(1, 1).

4. Sea la transformación lineal definida por :a) Halle la matriz de T con respecto a las bases B = {1 + x2, 1+ 2x + 3x2, 4 + 5x

+ x2 } y B’ la base estándar de P2.b) Use la matriz obtenida en (a) para calcular T(-3 + 5x – 2x2).

5. Sea la matriz de con respecto a la base

B = { 3x + 3x2, -1 + 3x + 2x2, 3 + 7x + 2x2 }.a) Hallar b) Encuentre T(3x+ 3x2), T(1 + 3x + 2x2), T(3 + 7x + 2x2)c) Halle T(1 + x2)

6. Demuestre que si es la transformación cero, entonces, la matriz de T con respecto a cualquier base para es una matriz cero.

7. Sea el operador de derivación D(p) = p’ . En los incisos (a) y (b) halle la matriz de D con respecto a las base B = { p, q, r } :

a) p = 1, q = x, r = x2

b) p = 2, q = 2 – 2x, r = 2 – 3x +8x2

c) Use la matriz que encontró en (a) para calcular D(6 –6x +24x2)d) Repita el inciso ( c ) usando la matriz hallada en (b)

8. Halle la matriz A con respecto a B, calcular la matriz A’ de T con respecto a B’ usando A’ = P –1 A P donde P es la matriz de transición de B’ a B:a) con T(x, y) = (x – 2y, -y) con B = { (1, 0), (0, 1) } y B’ = {(2, 1), (-3, 4) }b) con T(x, y, z) = (x + 2y –z, -y, x + 7z) con B = {(1,0,0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} y B’ = { (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1)}

c) con T(a + bx) = a + b(x+1) con B = { 6+ 3x, 10 + 2x} y B’ = { 2, 3 + 2x}

9. Probar que si A y B son matrices semejantes entonces, det(A) = det(B) .

10. Probar que si A y B son matrices semejantes, entonces, A2 y B2 son semejantes, y de modo más general Ak y Bk son también semejantes donde k es un entero positivo.

11. Para cada matriz dada, encontrar la ecuación característica, los eigenvalores y las bases para los eigenespacios correspondientes.

29

a) b) c) d)

12. .Sea dado por T(a + bx + cx2) = (5a + 6b + 2c) – ( b + 8c)x + (a –2c)x2. Hallar los eigenvalores de T y las bases para los eigenespacios de T.

13. Encuentre la matriz asociada a la transformación lineal dada.

a) T: R2 R2 ; T b) T: R2 R3 ; T

c) T: R3 R2 ; T d) T: R3 R3 ; T

14. Determine Ker (T) y Nul (T).a) T : R2 R3 ; T (x, y) = (x + y, 3x, 2y)b) T : R2 R2 ; T (x, y) = (5x – y, x + 2y)c) T : R5 R3 ; T(x, y, z, u, w) = (x- y + 6w, z + 5u – w, x - y + 4w + 2z + 10u)d) T:R2 R4; T (x, y) = (2x + 3y, x – y, 2x, 5x – 4y)e) T: R3 R2; T(x, y, z) = (2x – y – 2z, x + 6y – z)

15. En los siguientes ejercicios encuentre AT, Ker(T), Img(T), Rng(T), Nul(T).

a) T: R2 R3; T b) T: R3 R3; T

c) T: R3 R3; T

d) T: R4 R3; T

b) En los siguientes ejercicios encuentre AT, Ker(T), Img(T), Rng(T), Nul(T).

a) T: R2 R2; T B1= B2 =

b) T: R2 R3; T B1= B2=

c) T: R2 R2; T B1= B2=

d) T: R3 R2; T B1= B2=

30

e) T: R3 R2; T B1= B2=

f) T: R2 R3; T B1= B2=

Diagonalización de matrices.

Se plantean los siguientes problemas:

1. Dado un operador lineal sobre un espacio vectorial V de dimensión finita, ¿existe una base para V respecto a la cual la matriz de T sea diagonal?

2. Dado un operador lineal sobre un espacio de productos interiores de dimensión finita , ¿ hay una base ortonormal para V con respecto a la cual la matriz de T sea diagonal?

O sea, dada una matriz cuadrada A, ¿existe una matriz inversible P tal que P-1 A P sea diagonal?

Dada una matriz cuadrada A, ¿hay una matriz ortogonal P tal que P-1 A P = PT A P sea diagonal?

Se dice que una matriz cuadrada A es diagonalizable si existe una matriz inversible P tal que P-1AP sea diagonal, en este caso, se dice que la matriz P diagonaliza a A.

Teorema: Si A es una matriz cuadrada de orden n , entonces, las proposiciones que siguen son equivalentes:

i. A es diagonalizableii. A tiene n eigenvectores linealmente independientes

El procedimiento para diagonal izar una matriz A es el siguiente:a) Se hallan n eigenvectores linealmente independientes de A, b) Se forma una matriz P que tenga a como sus vectores columnasc) Entonces P-1AP será diagonal con como sus elementos sucesivos en la

diagonal, en donde es el eigenvalor correspondiente a , i = 1, 2, ... , n.

Ejemplo. Halle una matriz P que diagonalice a la matriz

.

31

Solución. Primeramente se encuentran los eigenvalores que son 5 y 1 y los eigenvectores

que son para y para

De esta forma, hay tres vectores propios linealmente independientes y por lo tanto la matriz

A es diagonalizable y la matriz que la diagonaliza es .

Ahora .

Ejemplo. Probar que la matriz no es diagonalizable.

Solución. La ecuación característica es . Desarrollando este

determinante se tiene que: .

Si , de esta forma, y un vector propio para es:

y por lo tanto una base para el espacio solamente contiene al vector (1, 1).

Como solamente hay un vector propio linealmente independiente y la matriz dada es de orden dos, entonces, la matriz no es diagonalizable.

Teorema. Si son eigenvectores de una matriz A correspondientes a eigenvalores distintos entonces el conjunto de los vectores { } es linealmente independiente.

Teorema. Si una matriz A de orden n tiene n eigenvalores distintos, entonces, es diagonalizable.

Nota: El recíproco del teorema es falso, es decir, una matriz A de orden n puede ser diagonalizable aún cuando no tenga n eigenvalores distintos.

Ejemplo. La matriz solamente tiene un eigenvalor , sin embargo, es

diagonalizable, tomando P = I, P-1 = I, y así, P-1 A P = I A I = A.Diagonalización ortogonal de matrices.

Se dice que una matriz cuadrada A es ortogonalmente diagonalizable si existe una matriz ortogonal P tal que P-1 A P = PT A P sea diagonal, en este caso se dice que P diagonaliza ortogonalmente a la matriz A.

Teorema: Sea A una matriz cuadrada de orden n, las proposiciones siguientes son equivalentes: i) A es ortogonalmente diagonalizable, ii) A tiene un conjunto ortonormal de n vectores propios.

32

Teorema: Una matriz de orden n es ortogonalmente diagonalizable si y sólo si A es simétrica. En efecto, nótese que si , donde D es una matriz diagonal, entonces:

De esta manera, se comprueba que A es una matriz simétrica.

El procedimiento para diagonalizar ortogonalmente una matriz simétrica es el siguiente:

i. Hallar una base para cada espacio propio de Aii. Aplicar el proceso de Gram-Schmidt a cada una de estas bases a fin de obtener una

base ortonormal para cada espacio propio.iii. Fórmese la matriz P cuyas columnas sean los vectores bases construidos en el paso

anterior, esta matriz diagonaliza ortogonalmente a la matriz A.

Ejemplo. Hallar una matriz ortogonal P que diagonal ice a .

Solución. Primero determinamos los valores propios:

. Así, los valores propios son

Si .

De esta forma, una base para este espacio propio, la componen los vectores (-1, 1, 0) y (-1, 0, 1) y ortonormalizando esta base nos queda:

.

Si

Ejercicios Propuestos

1. Hallar los valores y vectores propios de T

2. Diagonalizar T

3. Diagonalizar

33

4. Hallar valores y vectores característicos T

EXAMEN

I. Completación

1. Determinar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.

a) El conjunto de puntos sobre la recta y = 2 x + 1 para x , representa un espacio vectorial:__________________________________________

b) Si H 1 y H 2 son subespacios de un espacio vectorial V. Entonces H 1 + H 2 es un subespacio de V:___________________________________

c) La condición para que los vectores sean linealmente dependiente es:

ad - bc = 0 para a, b, c y d números reales:_______________________

d) Los vectores generan al espacio vectorial V = 3:____

II. En las proposiciones siguientes marque la repuesta correcta.

1. Dado un espacio vectorial E si E y B = {b1, b2, b3, b4} E y se cumple que para 1,

2, 3, 4 son únicos y distintos de cero. = 1b1+ 2b2 + 3b3 + 4b4 entonces:

a) {b1, b2, b3, b4} es L.Ib) {b1, b2, b3, b4} es L.Dc) {b1, b2, b3 } es L.I

34

d) {b1, b2, b3, b4, a} es L.D

2. Una base para el subespacio vectorial, T = {(a, b, c, d) R4 | a = c = 0} es el conjunto.

a) {(0, 1, 0, 1), (0, 2, 0, 2)}b) {(0, 0, 0, 1), (0, 2, 0, 0)}c) {(0, 2, 0, -1), (0, 1, 0, 3), (0, 1, 0, 1)}d) {(0, 1, 0, 1)}

3. El núcleo de una T. Lineal f: E F es:

a) N = {x E | f(x) = 0 , 0 F}b) N = {x E | f(x) = 0, 0 E}c) N = {x E | f(x) F}d) N = {x F | f(x) = 0 , 0 F}

4. Dado dim E = n, dim F = p y T: E F lineal, si dim N = q y dim f (E) = k, entonces se cumple la relación.

a) q = n – pb) k = q + p c) q = n – kd) q = n + k

5. es un valor propio de una T. L f de E, si existen en E vectores x tales que:

a) f(x) = x ; para todo xb) f(x) = f(x)c) f(x) = f(E)d) f(x) = x ; x 0

III. Encuentre una base ortonormal utilizando el proceso de Gram – Schmidt para el conjunto de vectores en el plano:

IV. Sea T una transformación Lineal de 2 3 tal que

35

V. Sea T: 3 3 definida por

Halle A T ; Ker ( T ) : Img ( T ) ; NuL ( T ) ; Rang. ( T )

VI. Diagonalizar T

VII. Determine si la matriz es diagonalizable. Si lo es encuentre una matriz

C tal que D = C – 1 A C

VIII. Dada la matriz A = verifique si A es ortogonalmente diagonalizable. Si lo es

encontrar la matriz C y verificar que D = CT A C.

36