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7/23/2019 ESPACIOS VECTORIALES USIL.pdf

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ÁLGEBR LINE L Y ECU CIONES

DIFERENCI LES

FORM CIÓN POR COMPETENCI S

Espacios Vectoriales y

Transformaciones

lineales



OBJETIVOS

Definir espacios vectoriales

Reconocer los axiomas de un Espacio Vectorial

Reconocer cuando un conjunto es la base de un

Espacio Vectorial

Definir una Transformación Lineal

Identificar a las Transformaciones Lineales

Aplicar los métodos estudiados a diferentes

problemas de contexto real



Espacios Vectoriales

Un Espacio Vectorial es un conjunto no vacío de objetos,

llamados vectores, en el que están definidas dos operaciones,

llamadas adición y multiplicación por un escalar (números

reales), sujeta a diez axiomas (o reglas)

Adición:

: × →

A cada par ; ∈ × se le

asocia otro vector ∈

Multiplicación por un escalar :

⋅∶ ℝ × → A cada par ; ∈ ℝ × se le

asocia otro vector ∈



Axiomas de un Espacio Vectorial

Adición

1.- Conmutatividad:

, ∀, ∈ .

2.- Asociatividad: ; ∀ , , ∈

3.- Elemento neutro: Existe un vector 0 ∈ tal que

0 0 , ∀ ∈ .4.- Elemento opuesto: Para cualquier

∈ , existe un

∈

tal que

∀ ∈ existe ∈ tal que 0



Axiomas de un Espacio Vectorial:

Producto por un escalar

5.- Ley asociativa de la multiplicación por escalares: Para

∈

y , ∈ ℝ se cumple:

6.- Primera ley distributiva: Para , ∈ y ∈ ℝ se cumple:

7.- Segunda ley distributiva: Para

∈ y

, ∈ ℝ se cumple:

. 8.- Para cada vector ∈ se cumple

1.



Ejemplo 1

El conjunto de uplas de números reales:

ℝ { ; ; … ; ≤≤: ∈ ℝ, 1 } Con las operaciones:

( ; ; … ; )

(; ; … ; )

es un espacio vectorial real.

Solución: (;;)

(; ; )

(; ; ) y B (;;) son vectores

en

ℝ



Ejemplo 2

El conjunto de matrices reales de orden × : ℳ×(ℝ) { ≤≤

≤≤

, ∈ , 1 , 1 }

con las operaciones: suma de matrices y producto por

números reales, es un espacio vectorial real

Solución:

Por ejemplo las matrices

y

son vectores en ℳ× ℝ



Ejemplo 3

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales

en la variable :

(ℝ) :

= ∈ ℕ, ∈ ℝ

Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y

producto de un polinomio por un escalar.

Solución:Por ejemplo los polinomios

y

son vectores en ℝ



Ejemplo 4

El conjunto de todos los polinomios con coeficientes reales

en la variable de grado menor o igual a ∈ ℕ

ℝ

= ∈ ℕ ∪ ; ; ∈ ℝ

Con las clásicas operaciones de suma de polinomios y

producto de un polinomio por un escalar.

Solución:



Ejemplo 5

El conjunto de todas las funciones reales de variable real

cuyo dominio es el intervalo ;

; : ; → ℝ ó ; Con las operaciones usuales de adición de funciones y

multiplicación de una función por un escalar

Solución:

Por ejemplo las funciones mostradasson vectores en el espacio ;



Ejercicio 1

Considere los vectores ; ; y ; ; .

Demuestre que el conjunto , ∈ ℝ ⊂ ℝ Es un espacio vectorial con las operaciones usuales de ℝ

Solución:



Combinación lineal

Sea

un espacio vectorial. Se dice que

∈ es combinación

lineal de los vectores ; ; … ; ⊂ , si existen escalares

; ; … ; , tal que

=

Por ejemplo en ℝ el vector ; ; es una combinación

lineal de los vectores ; ; ; (; ; ) y (; ; )

pues



Ejemplo 1

Exprese el vector ; ; como una combinación lineal

de los vectores ; ; ; ; ; y ; ;

Solución:



Ejemplo 2

Exprese la matriz como una combinación lineal

de las matrices y Solución:



Ejemplo 3

En el espacio ; exprese el vector

; ∈ ;

como una combinación lineal de los vectores mostrados enla figura adjunta

Solución:



Dependencia e independencia lineal de

vectores

Sea

un espacio vectorial. Se dice que el conjunto de

vectores ; ; … ; ⊂ , es linealmente dependiente (L.D) si

y sólo si existen escalares ; ; … ; , con algún ≠ 0, tales

que:

0

=

En caso contrario, se dice que el conjunto ; ; … ; es

linealmente independiente (L.I)



Observación

Para estudiar si un conjunto de vectores

; ; … ; , es

linealmente dependiente o independiente, se plantea la

ecuación:

0

=

y se estudian sus soluciones.

Si admite alguna solución no nula ( ≠ 0 para algún ),

entonces el conjunto de vectores es linealmente dependiente.

Si admite sólo solución nula ( 0 para todo ), entonces el

conjunto de vectores es linealmente independiente.

Ej l



Ejemplo 1

Analice si los vectores 1; 0; 1; 2 , 1; 1; 0; 1 y

2; 1; 1; 1 son linealmente independientes en el espacio

ℝ.Solución:

Ej l



Ejemplo 2

Solución:

Analice si los vectores 3; 3; 4 , 4; 1; 2 y 3;1;5 son linealmente independientes en el espacio ℝ.



Ejercicio 1

Determine si el siguiente conjunto de funciones en es

linealmente independiente o dependiente. 1 2, 2 5 , Solución:



Ejercicio 2

Determine si el siguiente conjunto:

; 5 ;

es linealmente independiente o dependiente en el espacio de

funciones ;

Solución:



Conjunto generador de un espacio

vectorial

Sea

un espacio vectorial y

S ; ; … ; ⊂ .El

conjunto se denomina conjunto generador de si todo

vector en puede expresarse como una combinación lineal de

vectores en . En estos casos se dice que genera a .

Ej l

1



Ejemplo 1

Demuestre que los vectores generan el espacio vectorial

dado.

a ; ; , ; ; ; ; ; ; ℝ b ;; ; ℝ

c ; ; ; ; ; ; ; ; ; ℝ

Solución:

Ej l

2



Ejemplo 2

Sea el espacio vectorial de ecuación

con las operaciones usuales de ℝ. Demuestre que losvectores ; ; y ; ; generan el espacio

vectorial , pero que no generan el espacio ℝ .

Solución:



Bases de un espacio vectorial

Si

V es cualquier espacio vectorial y

S ; ; … ; es un

conjunto de vectores en , entonces se llama base de V si se

cumplen las dos condiciones siguientes

1 es linealmente independiente.

2 genera a .

Por ejemplo el conjunto de vectores canónicos ; ; ; ; ; ; ; ; es una base del espacio ℝ



Teorema

Si

S ; ; … ; es una base del espacio vectorial

,

entonces todo vector ∈ se puede expresar en forma única

como una combinación lineal de los vectores de la base, es

decir

⋯

donde son escalares

Ejemplo

1



Ejemplo 1

Demuestre que cada uno de los siguientes conjuntos forman

una base de . a.- (1;0;0);(0;1;0);(0;0;1)

b.- (1;2;3);(0;1;2);(2;0;1)

Solución:

Ejemplo

2



Ejemplo 2

Verifique que el siguiente conjunto es una base de . S 1; 1 ; 1 ; 1 ; 1

Solución:



Transformaciónes

Una transformación (función o mapeo)

de

a

es una

regla que asigna a cada vector de un vector () en .

(;)

; (; )

(;)

; (; )

Para cada punto ,

se le asocia el vector

()

Transformación : ℝ → ℝ



Transformación lineal

Una transformación lineal

de

a

es una transformación

que cumple los siguientes axiomas

T1.- ∀ ; ∈ ℝ.T2.- ∀ ∈ ℝ ,∀ ∈ ℝ

Ejemplo

1



Ejemplo 1

Sea la función ∶ ℝ → ℝ definida por

; ;

a.- Demuestre que es una transformación lineal.b.- Halle la imagen del punto ;

c.- Esboce la gráfica de la imagen del segmento mostrado en

la gráfica

Solución:



TEOREMA

Sea

: ℝ

→ ℝ entonces se cumple:

1.- es lineal si y solo si para cualquier , ∈ ℝ y , ∈ ℝ se

cumple

2.- Si

es una transformación lineal, entonces se cumple

Por ejemplo, usando la propiedad 2 podemos deducir

inmediatamente que las siguientes transformaciones NO SON

lineales.

; ; ;

; ; ;



Ejercicio 1

Dado un vector (; ) y una transformación lineal

T: → definida por: T ; ( ; 2) determinea.- La imagen de 1; 2 , generada por la transformación

.

b.- La preimagen que a través de la transformación genera

(1; 11)

Solución:



Ejercicio 2

Sea T: → una transformación lineal para la cual se

cumple 1; 2 (2; 3) y 0; 1 1; 4 . Determine la regla de correspondencia de

Solución:



Ejercicio 3

Sea T: → una transformación lineal para la cual

2; 1;4 , 1 ; 5 ; 2 y 0; 3; 1 . Calcule(2;3;2) Solución:



Ejercicio 4

Dada la transformación lineal , definida por ; 3 ; 3 9

si D es la región triangular que

se muestra en la figura, grafique

la imagen

()

Solución:

Ej i i



Ejercicio 5

Considere la transformación: : ℝ → ℝ definida por:

; − ; + y la región ⊂ ℝ limitada por dos rectasde ecuaciones ; y la gráfica de la curva de

ecuación: 2 con ≥ 1

a.- Demuestre que es una transformación lineal.

b.- Grafique la región .c.- Usando la transformación lineal, grafique ().

Solución:



Bibliografía

4. Calculus – Larson Edwards

3. Introducción al Álgebra Lineal – Howard Anton

1. Algebra lineal y sus aplicaciones – David C. Lay.

2. Introducción al Álgebra Lineal – Larson Edwards.

5. Álgebra Lineal – Bernard Kolman; David R. Hill

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