Espacios vectoriales euclideos

ESPACIOS ESPACIOS VECTORIALESVECTORIALES

EUCLÍDEOSEUCLÍDEOSEUCLÍDEOSEUCLÍDEOS

Sección Departamental de Matemáticas. Algeciras.

Producto escalarProducto escalarSea E un espacio vectorial.

Un producto escalar es una aplicación de que a cada par de vectores le asocia un número realque representamos por y que cumple las siguientespropiedades:

( ),x y� ��

x y⋅� ��

E E en× ℝ

propiedades:

{ }

( ) ( ) ( )

1. 0 0

2. ,

3. , , ,

x E x x

x y E x y y x

x y z E x y z x z y zλ α λ α λ α

∀ ∈ − ⋅ >

∀ ∈ ⋅ = ⋅

∀ ∈ ∀ ∈ + ⋅ = ⋅ + ⋅

� � � �

� � � � � �

� � � � � � � � � �

ℝ

Un espacio vectorial euclídeo es un espacio vectorial en elque hay definido un producto escalar.

Módulo de un vectorMódulo de un vector

= + ⋅� � �

Se define el módulo o longitud de un vector de unespacio vectorial euclídeo y se denota por a:

x�

x�

x x x= + ⋅� � �

Si se dice que el vector es unitario . 1x =�

1. 0 0x x= ⇔ =� � �

Propiedades del móduloPropiedades del módulo

Demostración

0 0 0 0x x x x x x= ⇒+ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ =� � � � � � �

� � � � �0 0 0x x x x= ⇒ ⋅ = ⇒ =

� � � � �

2. y x E x xλ λ λ∀ ∈ ∀ ∈ =� � �

ℝ

Demostración

( ) ( ) ( )2x x x x x x x xλ λ λ λ λ λ= ⋅ = ⋅ = ⋅ =� � � � � � � �

{ }3. 0x

x E son unitariosx

∀ ∈ − ±�

� ��


Demostración

( )2

1 11

x x xx x x

x x x xx

± = ± ⋅ ± = ⋅ = =

� � ��

� � � ��

4. ,x y E x y x y∀ ∈ ⋅ ≤� ��


Demostración

0Si y la igualdad es cierta=��

Desigualdad de Schwarz

0x y

Si y construimos el vector v x y⋅≠ = −� ��

��

�� 20x y

Si y construimos el vector v x yy

⋅≠ = −��

��

( ) ( ) ( )2 2 2

2 2 2

2 2 2 4 20 2x y x y x yx y x y

v v x y x y x y xy y y y y

⋅ ⋅ ⋅⋅ ⋅ ≤ ⋅ = − − = − + = −

� ��

��

( ) ( ) ( )2 2

22 2 2 2

2 20x y x y

x x x y x y x y x yy y

⋅ ⋅≤ − ⇒ ≤ ⇒ ⋅ ≤ ⇒ ⋅ ≤

� ��

��

5. ,x y E x y x y∀ ∈ + ≤ +� ��


Desigualdad Triangular

( )( ) ( ) ( )22 2 2 2 2

2 2x y x y x y x x y y x x y y x y+ = + + = + ⋅ + ≤ + + = +� ��

Demostración

De donde

( )( ) ( ) ( )2 2x y x y x y x x y y x x y y x y+ = + + = + ⋅ + ≤ + + = +

( )22

x y x y x y x y+ ≤ + ⇒ + ≤ +� ��

6. ,x y E x y x y∀ ∈ − ≥ −� ��


Demostración

x x y y x y y x y x y

y x y x y x x y x y x x y x y x y

= + − ≤ − + ⇒ − ≤ −

= + − ≤ − + ⇒ − ≤ − = − ⇒ − − ≤ −

� � ��

��

Luegox y x y x y x y x y− − ≤ − ≤ − ⇒ − ≤ −� ��

, 1 1x y

x y E x y x y x y x y x yx y

⋅∀ ∈ ⋅ ≤ ⇒− ≤ ⋅ ≤ ⇒− ≤ <� ��

� ��

Ángulo de dos vectoresÁngulo de dos vectores

Definición

Según la desigualdad de Schwarz:

�( )cos ,x y

x yx y

⋅=� ��

� ��

� ��

Se llama ángulo que forman dos vectores a aquel cuyo coseno vale:

OrtogonalidadOrtogonalidad

Definición

Sea V un espacio vectorial euclídeo

Se dice que dos vectores son ortogonales si,x y V∈� ��

0x y x y⊥ ⇔ ⋅ =� ��

Se dice que dos vectores son ortogonales sisu producto escalar es nulo.

,x y V∈

1. 0 0x V x∀ ∈ ⋅ =� � �

Propiedades de la ortogonalidadPropiedades de la ortogonalidad

Demostración

{ } �22. , 0 ,Si x y V y x y x y π∈ − ⊥ ⇒ =

� ��

Demostración

En efecto, si

�( ) �( ) �2

0cos , cos , 0 ,x y x y x y

x yπ= ⇒ = ⇒ =

� ��

� ��

0x y x y⊥ ⇒ ⋅ =� ��

Luego:

Propiedades de la ortogonalidadPropiedades de la ortogonalidad

Demostración

0x y x y⊥ ⇒ ⋅ =� ��

2 2 2

3. ,x y V son x y x y x y∈ ⊥ ⇔ + = +� ��

De igual forma:

2 2 2 2 2 22Como x y x x y y x y x y+ = + ⋅ + ⇒ + = +

� ��

2 2 2

2 0 0Si x y x y x y x y x y+ = + ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒ ⊥� ��

Subespacios Subespacios ortogonalesortogonales

Sea V un espacio vectorial euclídeo. Sea S unsubespacio vectorial de V

x V∈�Definición

0y S x y∀ ∈ ⋅ =��

x S⊥�

Lo representamos por:

Se dice que un vector es ortogonal a Ssi:

x V∈�


se verifica que 0x S y y L x y∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =� ��

Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si:

Definición

se verifica que 0x S y y L x y∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =� ��

S L⊥Lo representamos por:


Dos subespacios S y L de V , son ortogonales si ysolo sí los vectores de una base de S son ortogonalesa los de una base de L

Proposición 1

Demostración

Si se verifica que 0S L x S y y L x y⊥ ⇒∀ ∈ ∀ ∈ ⋅ =� � � �

Demostración

Sea una base de S yuna base de L{ }1

2, ,

S nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

{ }12, ,

L nv vB v ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

Luego 0 ,i ju v i j⋅ = ∀��

. .c n

⇒

ya que ,i ju S y v L i j∈ ∈ ∀��


Si . .c s

⇐1

n

i ii

x S x x u=

∈ ⇒ =∑� � ��

Si 1

n

j jj

y L y y v=

∈ ⇒ =∑� � ��

( )1 1 1 1

Luego 0n n n n

i i j j i j i ji j i j

x y x u y v x y u v= = = =

⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑∑� � ��

Ya que 0 ,i ju v i j⋅ = ∀��

por tanto S L⊥

Base ortogonalBase ortogonal

Definición

Sea una base de un espaciovectorial euclídeo V

{ }12, ,

nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

Se dice que B es una base ortogonal si sus vectores

0i ju u i j⋅ = ∀ ≠��

Se dice que B es una base ortogonal si sus vectores son ortogonales dos a dos:

Base ortonormalBase ortonormal

Definición

Sea una base de un espaciovectorial euclídeo V

{ }12, ,

nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

Se dice que B es una base ortonormal si sus vectores

0

1

i j

i

u u i j

u i

⋅ = ∀ ≠ = ∀

��

��

Se dice que B es una base ortonormal si sus vectores son ortogonales dos a dos y unitarios:

Teorema

Si es un conjunto finito de vectores

ortogonales dos a dos, no nulos de V, entonces es libre.

{ }12, ,

nu uH u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

( )n n n��

Demostración

( )1 1 1

0 0 0n n n

i i j i i i j ii i i

Sea u u u u uλ λ λ= = =

= ⇒ ⋅ = ⇒ ⋅ = ⇒∑ ∑ ∑��

( ) 20 0 0j j j j j j ju u ya que u u uλ λ⋅ = ⇒ = ⋅ = ≠

��

y se verifica j∀

Producto escalar y módulo de un vectorProducto escalar y módulo de un vectorreferido a una base ortonormalreferido a una base ortonormal

Sea una base ortonormal de V{ }12, ,

nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

1

n

i ii

x V x x u=

∈ ⇒ =∑� � ��

1

n

j jj

y V y y u=

∈ ⇒ =∑� � ��

( )1 1 1 1 1 1

Luego n n n n n n

i i j j i j i j i ji j i j i j

x y x u y u x y u u x y= = = = = =

⋅ = ⋅ = ⋅ =∑ ∑ ∑∑ ∑∑� � ��

1i=

1 1 2 2matricialmente

t

n nx y x y x y x y x y⋅ = = + +⋅⋅⋅⋅⋅+� � � �

2 2 2 2

1 2 3Y

nx x x x x x x=+ ⋅ =+ + + +⋅⋅⋅⋅+� � �

Método de ortonormalizaciónMétodo de ortonormalizaciónde Gramde Gram --SchmidtSchmidt

Método para obtener una base ortonormal de V a partir

de una base cualquiera { }12, ,

ne eB e ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

� ��

Primero obtenemos una base ortogonal { }*1, ,u uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=��

Primero obtenemos una base ortogonal { }12, ,

nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

1 1

2 2 1 1

3 3 1 1 2 2

11 1 2 2 1

nn n n

u e

u e u

u e u u

u e u u u

α

λ λ

β β β −−

= = + = + +⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + + + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

��

��

��

��


Y hallamos los escalares haciendo 0i ju u i j⋅ = ∀ ≠��

Por tanto:

( ) 1 2

1 2 1 1 1 2 1 1 1 11 20 0

u eu e u u e u uu u α α α

⋅= ⇒ ⋅ + = ⋅ + ⋅ = ⇒ = −⋅

��

�� ( )1 2 1 1 1 2 1 1 1 1

1 1

1 2

u u

u u α α α

⋅⋅ ��

1 3

3 1 1 1 1

1 1

1 1 3 2 1 20 0

u eu u

u u

u u e u uu β ββ ⇒⋅

⋅ = ⇒ + ⋅ = = −⋅

⋅ + ⋅

��

��

2 3

3 1 2 1 2

2 2

2 2 3 2 2 20 0

u eu u

u u

u u e u uu β ββ ⇒⋅

⋅ = ⇒ + ⋅ = = −⋅

⋅ + ⋅

��

��


Siguiendo este proceso obtendríamos:

1 2

1

1 1

2 2

u eu

u u

u e⋅

= −⋅

��

�� 1 1u e=��

u e u e⋅ ⋅

� � ��

1 3 2 3

1 2

1 1 2 2

3 3

u e u eu u

u u u u

u e⋅ ⋅

= − −

⋅ ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅

��

� � ��

1 2 1

1 2 1

1 1 2 2 1 1

n n n n

n

n n

n n

u e u e u eu u u

u u u u u u

u e −

−

− −

⋅ ⋅ ⋅= − −

⋅ ⋅ ⋅

⋅⋅⋅⋅⋅⋅−

� � ��

� � ��


Hemos obtenido la base ortogonal:

{ }*1

2, ,

nu uB u ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅=

��

Para obtener la base ortonormal, dividimos cada vectorPara obtener la base ortonormal, dividimos cada vectorpor su módulo

1 2

1 2 3

, , nu uu

u u u

B ⊥

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

=

��

� � �

Suplemento ortogonalSuplemento ortogonalSea V un espacio vectorial euclídeo. Sea L unsubespacio vectorial de V.

�{ }� � �

Definimos el conjunto:

L x V⊥ = ∈�{ }0x u u L⋅ = ∀ ∈

� � �

Veamos que dicho conjunto es un subespaciovectorial de V , denominado suplemento ortogonalde L.

Suplemento ortogonalSuplemento ortogonalProposión 1Proposión 1

1. , veamos que x y L x y L⊥ ⊥∈ + ∈� ��

Demostración

es un subespacio vectorialL⊥

1. , veamos que x y L x y L⊥ ⊥∈ + ∈� ��

( ) 0 0 0x y u x u y u u L x y L⊥+ ⋅ = ⋅ + ⋅ = + = ∀ ∈ ⇒ + ∈� ��

2. veamos que x L x Lλ λ⊥ ⊥∈ ∈ ∈� �

ℝ

( ) ( ) 0 0x u x u u L x Lλ λ λ λ ⊥⋅ = ⋅ = ∀ ∈ ⇒ ∈� � � � � �

Suplemento ortogonalSuplemento ortogonal

Proposión 2Proposión 2

{ }0L L⊥∩ =�

0 0x L x V

Si x L L x x xx L

⊥

⊥

∈ ⇒ ∈∈ ∩ ⇒ ⇒ ⋅ = ⇒ =∈

� ��

�

Demostración

Suplemento ortogonalSuplemento ortogonal

Proposión 3Proposión 3

Por cumplir estas tres proposiciones es suplemento

L L V⊥+ =

L⊥Por cumplir estas tres proposiciones es suplementoortogonal de

Este suplemento de es único.

LL

L

Proyección ortogonalProyección ortogonal

Por ser y subespacios suplementarios de VL⊥L

,x V se tiene x u v con u L v L⊥∀ ∈ = + ∈ ∈� � � � � �

u L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L∈� �

v L se llama proyección ortogonal de x a lo largo de L⊥∈� �

Proyección de un vector sobre otroProyección de un vector sobre otroEl vector proyección de un vectorsobre un vector es:

u V∈�

y V∈�

x V∈�

x yu x

x x

⋅=⋅

� ��

� �

Sea L x y V y x v con v Lλ ⊥=< > ∈ ⇒ = + ∈� � � � � �

x x⋅

Demostración

( )0 0Si v L v x v x y x xλ⊥∈ ⇒ ⊥ ⇒ ⋅ = ⇒ − ⋅ = ⇒

� � � � � � � �

0y x x y

y x x x u xx x x x

λ λ⋅ ⋅

⋅ − ⋅ = ⇒ = ⇒ =⋅ ⋅

� � � ��

� � � �

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