Espacios Vectoriales

Algebra Lineal

Objetivos Demostrar si una estructura algebraica de un

conjunto de vectores es un espacio vectorial. Definir un sub espacio de un espacio lineal y

encontrar una base para esto. Determinar si un subconjunto de un espacio

vectorial es un espacio lineal. Definir y reconocer la independencia lineal de un

conjunto de vectores. Definir y obtener una base para espacios lineales.

Objetivos Definir espacios vectoriales relacionados con

matrices. Elaborar bases reduciendo una matriz

determinada a la forma escalonada. Definir el producto interior en un espacio

vectorial arbitrario. Definir longitud y ángulo en espacios con

producto interior. Determinar bases de un espacio vectorial con

vectores ortogonales.

Repaso

a) Dados los vectores 𝑨‹1,−2,4› 𝑩‹0,−3,−7› 𝑪‹4,−1,5›; calcular: ሺ3𝐵− 4𝐴ሻ.ሺ4𝐶+ 2𝐵− 𝐴ሻ b) Hallar el producto de las dos matrices 𝑨= 1 4 6−2 3 51 0 4൩ 𝑩= 2 −3 51 0 62 3 1൩ c) Para el siguiente sistema de ecuaciones obtener la solución usando la regla de Cramer 𝑥− 4𝑦+ 𝑧= 6 4𝑥− 𝑦+ 2𝑧= −1 2𝑥+ 2𝑦− 3𝑧= −20 d) Encontrar la proyección ortogonal del vector 𝑼 sobre el vector 𝑨. Donde: 𝑼= ‹3,1,−7› 𝑨‹1,0,5›

DEFINICION Sea V un conjunto cualesquiera no vacío de

elementos sobre el que están definidas dos operaciones: la adición y la multiplicación por escalares. Por adición se entiende una regla que asocia a cada par de elementos u y v en V un elemento u + v denominado suma de u y v; por multiplicación escalar se entiende una regla que asocia a cada escalar α y cada elemento u en V un elemento αu, denominado múltiplo escalar de u por α. Si los elementos u, v, w en V y los escalares α y β satisfacen los axiomas siguientes, entonces V se denomina espacio vectorial, y sus elementos se denominan vectores.

Axiomas 1.- Si u, v están en V, entonces u + v está en V. 2.- Si u, v están en V, entonces u + v = v + u. 3.- Si u, v, w están en V, entonces u + ‹v + w›

= ‹u + v› + w. 4.- Existe un único elemento 0 en V, denominado

vector cero de V, tal que se cumple que : 0+ u = u + 0 = u para todo u en V.

5.- Para todo u en V existe un elemento -u en V, denominado opuesto de u, tal que se cumple: u+(-u)=(-u)+u=0.

Axiomas

6.- Si α es cualquier escalar y u es cualquier elemento en V, entonces αu está en V.

7.- Si u, v están en V y α es un escalar, entonces α (u + v) = αu + αv.

8.- Si u está en V y α, β son escalares, entonces (α+β) u = αu + βu.

9.- Si u está en V y α, β son escalares, entonces α (βu) = (αβ) u.

10.- Si u está en V y 1 es un escalar, 1u = u.

Ejemplo Si el conjunto de objetos estudiados V son

matrices de tamaño 2x2 con elementos de números reales, a cada matriz con la estructura se le denomina vector. La suma y el producto escalar están definidos de la siguiente manera:

Dado , , y k=a Tanto así como

Axioma 1: Si u, v están en V, entonces u + v está en V. Debo demostrar que el objeto resultante de la

operación suma pertenece al conjunto V estudiado, lo cual podemos decir que es verdad basada en la definición de la operación suma.

u @+ m @ ∈V por la definición de operación suma

SUBESPACIOS VECTORIALES Con frecuencia, se tiene que un espacio

vectorial está contenido en otro, y que la adición y la multiplicación por escalares del primer espacio vectorial se llevan a cabo de manera exactamente igual a la del segundo. Cuando esto es así, se dice que el primer espacio vectorial es subespacio del segundo.

SUBESPACIOS VECTORIALES Sin embargo, si U es parte de un conjunto

más grande V del que se sabe es un espacio vectorial, entonces no es necesario verificar ciertos axiomas para U porque son heredados de V.

Todo espacio vectorial V tiene por lo menos dos sub-espacios: V y {0}

SUBESPACIOS VECTORIALES Si U es un conjunto formado por uno o más

vectores de un espacio vectorial V, entonces U es un subespacio de V si y sólo si se cumplen las condiciones siguientes:

1.- Cerrado bajo la adición: Si u, v son elementos de U, entonces u + v está en U.

2.- Cerrado bajo la multiplicación escalar: Si α es cualquier número y u es un elemento de U, entonces αu está en U.

 

Ejemplo Determinar si el conjunto W de los vectores de

la forma ‹a, 1, 1›, donde a es un número Real, constituyen un sub espacio de R3

DEFINICIONES INICIALES: 1. Como no dan ninguna restricción para las operaciones de suma y resta utilizaremos los procedimientos usuales para vectores en R31. Existen los vectores:    DEMOSTRACIÓN:Primera condición:  =‹  Segunda condición: No Es Necesario Porque No Cumplió La PrimeraCONCLUSIÓN: No es un sub-espacio vectorial de R3 porque no cumple la condición de cerradura de la adición.

COMBINACION LINEAL Una combinación lineal de dos o más vectores

es el vector que se obtiene al sumar esos vectores multiplicados por escalares

Cualquier vector se puede poner como combinación lineal de otros que tengan distinta dirección.

W=2.6u+3.2vEsta combinación lineal es única.

VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES Un conjunto de vectores se dice que

son linealmente dependientes si hay una combinación lineal de ellos que es igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinación lineal

Propiedades En un conjunto con vectores que

son linealmente dependientes, al menos uno de ellos se puede expresar como combinación lineal de los demás.

Si un vector es combinación lineal de otros, entonces todos los vectores son linealmente dependientes.

Propiedades Dos vectores ,….., y  son linealmente

dependientes si sus componentes son proporcionales (el uno es múltiplo del otro).

u=kv

Propiedades Si el determinante de la matriz que forman un

conjunto de vectores es igual a cero, estos vectores son linealmente dependientes ya que la matriz no tiene inversa.

Un conjunto finito de vectores que contiene al vector cero es linealmente dependiente.

Sea ,….., un conjunto de vectores en . Si r > n, entonces u es linealmente dependiente.

Ejemplo Determinar los valores de k para que

sean linealmente dependientes los vectores u=‹3,k,-6›, v=‹-2, 1, k+3›, w=‹1, k+2, 4›. Escribir u como combinación lineal de v y w, siendo k el valor calculado.

DEFINICIONES INICIALES: 1. Los vectores son linealmente dependientes si el determinante de la matriz

que forman es nulo.1. Existen los vectores:

u=‹3,k,-6›v=‹-2, 1, k+3›w=‹1, k+2, 4›

 DEMOSTRACIÓN:

3‹1*4-‹k+2›‹k+3››-k‹-2*4-1‹k+3››-6‹-2‹k+2›-1*1›=0k2 – 4k + 12 = 0

k=-2 k=6

Ahora tenemos los vectores: u=‹3, -2, -6› v=‹-2, 1, 1› w=‹1, 0, 4› 

u= av + bw‹3, -2, -6› = a‹-2, 1, 1› + b‹1, 0, 4›

-2a + b = 3a = -2

a + 4b = -6a=-2 b=-1

 CONCLUSIÓN: El vector u es una combinación lineal de los vectores v y w.

u= -2v -1w 

VECTORES LINEALMENTE INDEPENDIENTES Varios vectores son linealmente

independientes si ninguno de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes. Por lo tanto en la ecuación vectorial:

Los vectores linealmente independientes tienen distinta dirección y sus componentes no son proporcionales por lo tanto el determinante de la matriz que forman es diferente de cero.

Vectores

‹a› ‹b› ‹c›‹a› Linealmente dependientes. ‹b› Linealmente dependientes. ‹c›Linealmente independientes.

Ejemplo Demostrar que los vectores i = ‹ 1,0,0 ›, j = ‹

0,1,0› y k = ‹ 0,0,1› en R3. Son linealmente dependientes.

DEFINICIONES INICIALES: 1. Varios vectores son linealmente independientes si ninguno

de ellos puede ser escrito con una combinación lineal de los restantes.

1. El conjunto de vectores es:i = ‹ 1,0,0 ›j = ‹ 0,1,0›k = ‹ 0,0,1›

DEMOSTRACIÓN:

k1i + k2j + k3k = 0

 k1‹ 1,0,0 › + k2‹ 0,1,0› + k3‹ 0,0,1› = ‹0,0,0›

 ‹k1, k2, k3› = ‹0,0,0›

CONCLUSIÓN: Por tanto, k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0; como

consecuencia, el conjunto S = {i, j, k} es linealmente independiente.  

BASE Y DIMENSION En algebra lineal, una base proporciona un

sistema coordenado para un espacio vectorial, mediante la noción de vectores coordenados.

DEFINICION DE ESPACIO GENERADO: Si es un conjunto de vectores en un espacio

vectorial V, entonces el subespacio U de V que consta de todas las combinaciones lineales de los vectores en S se denomina espacio generado por y se dice que los vectores generan a U.

DEFINICION DE BASE Si V es cualquier espacio vectorial y es un

conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las dos condiciones siguientes:

 S es linealmente independiente. S genera a V.

DEFINICION DE BASE Si es una base de un espacio vectorial V,

entonces todo vector v en V se puede expresar en forma única como

Se dice que un espacio vectorial V diferente de cero es de dimensión finita si contiene un conjunto finito de vectores que forma una base. Si no es así, se dice que V es de dimensión infinita.

Además, se considera que el espacio vectorial cero es de dimensión finita.

DEFINICION DE DIMENSION Dim(V), Es el número de vectores que hay en una base

de V. El espacio vectorial cero es de dimensión cero. Si V es un espacio vectorial de dimensión finita

y es cualquier base, entonces: 1.- Todo conjunto con más de n elementos es

linealmente dependiente. 2.- Ningún conjunto con menos de n vectores

genera a V. 3.- Todas las bases de un espacio vectorial de

dimensión finita tienen el mismo número de vectores

Ejemplo Demostrar que los vectores i = ‹ 1,0,0 ›, j = ‹

0,1,0› y k = ‹ 0,0,1› en R3. Son una base para R3.

DEFINICIONES INICIALES: 1. Varios vectores forman una base para un espacio vectorial si estos generan a

dicho espacio y además son linealmente independientes. 1. El conjunto de vectores es:

i = ‹ 1,0,0 ›j = ‹ 0,1,0›k = ‹ 0,0,1›

DEMOSTRACIÓN: Para generar a R3 un vector arbitrario = ‹,, › se puede expresar como

combinación lineal de ‹i, j, k›. k1i + k2j + k3k = b

 k1‹ 1,0,0 › + k2‹ 0,1,0› + k3‹ 0,0,1› = ‹,, ›

 ‹k1, k2, k3› = ‹,, ›

Por lo tanto ‹k1, k2, k3› pueden tomar cualquier valor real demostrándose así que

‹i, j, k› generan a R3. Para ser linealmente independientes:k1i + k2j + k3k = 0

 k1‹ 1,0,0 › + k2‹ 0,1,0› + k3‹ 0,0,1› = ‹0,0,0›

‹k1, k2, k3› = ‹0,0,0›

CONCLUSIÓN: Por lo tanto, k1 = 0, k2 = 0, k3 = 0; como consecuencia, el conjunto

S = {i, j, k} es linealmente independiente. Además genera al espacio vectorial R3 porque cualquier vector b en R3 puede ser expresado como una combinación lineal de este conjunto de vectores. Como esta base consta de tres vectores su dimensión es 3.  

SISTEMAS HOMOGENEOS. El procedimiento para determinar una base

para el espacio solución de un sistema homogéneo Ax=0 (o espacio nulo de A) donde A es una matriz de m*n, es el siguiente:

1-. Resolver el sistema homogéneo dado, mediante reducción de Gauss-Jordan. Si en la solución no hay constantes arbitrarias, el espacio solución es (0), no tiene una base, y su dimensión es cero.

SISTEMAS HOMOGENEOS. 2-. Si en la solución x hay constantes

arbitrarias, se escribe x como una combinación lineal de los vectores { x1, x2, ……, xp } con s1, s2, ……., sp como coeficientes:

X = s1x1 + s2x2 +……….+ spxp

  3-. El conjunto de vectores { x1, x2, ……, xp }

es una base para el espacio solución de Ax=0; la dimensión del espacio solución es p.

SISTEMAS HOMOGENEOS. Si A es una matriz de m*n, entonces el

conjunto de todas las soluciones del sistema de ecuaciones lineales homogéneo Ax=0 es un subespacio de Rn llamado espacio nulo de A y es denotado por N(A).

La dimensión del espacio nulo de A se denomina nulidad de A

Ejemplo Determínese una base y la dimensión para el

espacio de soluciones del sistema homogéneo Ax=0 𝑥1 + 𝑥2 + 4𝑥3 +𝑥4 + 2𝑥5 = 0

𝑥2 + 2𝑥3 + 𝑥4 + 𝑥5 = 0 𝑥4 + 2𝑥5 = 0

𝑥1 - 𝑥2 + 2𝑥5 = 0 2𝑥1 + 𝑥2 + 6𝑥3 + 𝑥5 = 0

Paso 1: Resolver el sistema homogéneo dado Ax=0, mediante reducción de Gauss-Jordan

.   Reducción aplicando el método de Gauss-

Jordan.

Paso 2: Si en la solución x hay constantes arbitrarias,

se escribe x como una combinación lineal de los vectores { x1, x2, ……, xp } con s1, s2, ……., sp como coeficientes

Por tanto las ecuaciones quedan de la siguiente manera:

 

Tomamos las constantes arbitrarias s y t, por tanto:

 

Expresando en forma de matrices X=   X=+   X=+

Dado que s y t son constantes arbitrarias asumimos primero que s=1 y t=0 y luego que s=0 y t=1 obteniendo así las soluciones:

 

=

CONCLUSIÓN: El conjunto de vectores { , } es una base para el espacio de soluciones del sistema homogéneo dado y su dimensión es dos.

Estos dos vectores son soluciones de Ax=0 y todas las soluciones de este sistema homogéneo son combinaciones lineales de los mismos.

La nulidad de A es igual a dos.

ESPACIOS DE RENGLONES Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ; APLICACIONES PARA HALLAR BASES.

Considérese la matriz mxn:

En donde:   ‹ …..› …..› ………………… …..›

ESPACIOS DE RENGLONES Y COLUMNAS DE UNA MATRIZ; APLICACIONES PARA HALLAR BASES.

Se llaman vectores renglón de A. El subespacio de generado por los vectores renglón es el espacio de renglones de A.

    = = ……….. =     Se llaman vectores columna. El subespacio de

generado por los vectores columna es el espacio de columnas de A.

Propiedades Las operaciones elementales sobre los renglones no

cambian el espacio de renglones de una matriz.   Los vectores renglón diferentes de cero en una forma

escalonada de una matriz A forman una base para el espacio de renglones de A.

  El espacio de columnas de una matriz A es el mismo que el

espacio de renglones de su traspuesta . Si A es una matriz cualquiera entonces el espacio de

renglones y el espacio de columnas de A tiene la misma dimensión.

  La dimensión del espacio de renglones y columnas de una

matriz A se conoce como rango de A.

COORDENADAS Y CAMBIOS DE BASE. Si el conjunto S = { v1 , v2 , . . . , vn } es

una base para un espacio vectorial V, entonces todo vector v en V se puede expresar como una combinación lineal de los elementos de S en la forma

v = c1 v1 + c 2v2 + . . . + cn vn ,

Entonces los escalares c1 , c2 , … , cn se denominan coordenadas de v relativas a la base S. el vector de v relativo a se denota por ‹v›s y es el vector en Rn definido por:

‹v›s = ‹c1, c 2, . . . cn ›

COORDENADAS Y CAMBIOS DE BASE. Expresando el vector ‹v›s en forma de matriz

se denota por:

Ejemplo Si el conjunto S = {v1, v2} es una base para

R2, en donde v1 = ‹1, 2›, v2 = ‹4, 2›. Encuéntrese el vector de coordenadas y la matriz de coordenadas de v = ‹6,6› con respecto a S.

DEFINICIONES INICIALES: S = { v1 , v2 , . . . , vn es una base para un espacio vectorial V, entonces

todo vector v en V se puede expresar como v = c1 v1 + c 2v2 + . . . + cn vn ,

Entonces los escalares c1 , c2 , … , cn se denominan coordenadas de v

relativas a la base S. el vector de v relativo a S se denota por ‹v›s y es el

vector en Rn definido por: ‹v›s = ‹c1, c 2, . . . cn ›Existen los vectores:

v1 = ‹1, 2›

v2 = ‹4, 2›

v = ‹6,6›DESARROLLO:

V = c1 v1 + c2 v2

‹6,6›= c1 ‹1,2› + c2‹4,2›c1=2 c2=1

‹v›s=‹2,1›

‹v›s=

CONCLUSIÓN: como se observa en los gráficos

El vector v relativo a la base de R2 es v‹6,6›.

El vector de v relativo a la base S se denota por ‹v›s y es el vector:

‹v›s=‹2,1›

Cambio de base.

Si se cambia la base para un espacio vectorial V, de cierta base dada U = { u1, u2, …, un } hacia otra nueva base W = { w1, w2, …, wn }, entonces la matriz de coordenadas inicial, [v]U, de un vector v está relacionada con la nueva matriz de coordenadas [v]w, por medio de la ecuación [v]w = P [v]u

En donde las columnas de P son las matrices de coordenadas de los vectores base iniciales con relación a la nueva base, es decir los vectores columnas de P son: [[u1]w, [u2]w, … , [un]w]

Simbólicamente, la matriz P se puede escribir P =ሾ ሾ𝒖𝟏ሿ𝒘 ⋮ ሾ𝒖𝟐ሿ𝒘 ⋮ ⋯ ⋮ ሾ𝒖𝒏ሿ𝒘ሿ Esta matriz se conoce como matriz de transición de U hacia W.

Ejemplo

Considérense las bases U = ሼ𝑢1,𝑢2ሽ y W = ሼ𝑤1,𝑤2ሽ Para R2, en donde: u1 = ቂ10ቃ, u2 = ቂ01ቃ; w1 = ቂ11ቃ, w2 = ቂ21ቃ 1.- Hállese la matriz de transición de U hacia W. 2.- Hallar [v]w, si v = ቂ72ቃ

Existen las bases: U = y W = Con sus respectivos vectores:: u1 = , u2 = ; w1 = , w2 =  

DESARROLLO:En primer lugar deben encontrarse las matrices de coordenadas para los vectores base iniciales, u1 y u2, en relación con la nueva base W.

u1 = a1 w1 + a2 w2

 

‹1,0›= a1 ‹1,1› + a2‹2,1›a1=-1 a2=1

[]w=‹-1,1›

[]w =

u2 = b1 w1 + b2 w2

 

‹0,1›= b1 ‹1,1› + b2‹2,1›b1=2 b2=-1

[]w =‹2,-1›

[]w =

 

Por lo tanto, la matriz de transición de U hacia W es:

P =

Solución (b). v = c1 u1 + c2 u2

‹7,2›= a1 ‹1,0› + a2‹0,1›

  [v]U =

De modo que al aplicar : [v]w = P [v]u

 [v]w ==

[v]w =

 

CONCLUSIÓN: Se realizó el cambio desde la base U hacia la base W a través de la matriz de transición P para obtener la matriz (vector) de coordenadas [v]w, que son las coordenadas del vector v con respecto a la base W.

En muchos problemas, se dan un sistema de coordenadas rectangulares xy y se obtiene un nuevo sistema de coordenadas x’y’, al hacer el sistema xy en sentido contrario al de las manecillas del reloj, alrededor del origen, para describir un ángulo . Cuando se hace esto, cada punto Q en el plano tiene dos conjuntos de coordenadas: las coordenadas (x, y), relativas al sistema xy, y las coordenadas (x’, y’), relativas al sistema x’y’.

Al introducir los vectores unitarios u1 y u2, a lo largo de los ejes x y y positivos y los vectores unitarios w1 y w2, a lo largo de los ejes x’ y y’ positivos, se puede considerar esta rotación como un cambio desde una base U = { u1 , u2 hasta una nueva base W’ = { w1 , w2 , por tanto, las nuevas coordenadas ( x’, y’) y las coordenadas iniciales ( x, y ) de un punto Q están relacionadas por

= P

En donde P es una matriz de transición de U hacia W. Para encontrar P, deben determinarse las matrices de coordenadas de los vectores base iniciales u1 y u2, con relación a la nueva base.

Como se indica en la figura ‹c›, las componentes de 𝑢1 en la nueva base son cos y Ɵ –sen , de modo Ɵque [𝑢1]W=ൣ� cos Ɵ −𝑠𝑒𝑛Ɵ ൧ En tanto que, como se indica en la figura ‹d› en seguida las componentes de 𝑢2, en la nueva base son cosቀ𝜋2 − Ɵቁ= 𝑠𝑒𝑛Ɵ y senቀ𝜋2 − Ɵቁ= 𝑐𝑜𝑠Ɵ , de modo que [𝑢2]w= ൣ � 𝑠𝑒𝑛Ɵ 𝑐𝑜𝑠Ɵ ൧

Por consiguiente, la matriz de transición de U hacia W es 𝑃= cosƟ 𝑠𝑒𝑛Ɵ−𝑠𝑒𝑛Ɵ 𝑐𝑜𝑠Ɵ ൨

Y que da: ቂ𝑥′ 𝑦′ ቃ=ൣ� cos Ɵ 𝑠𝑒𝑛Ɵ−𝑠𝑒𝑛Ɵ 𝑐𝑜𝑠Ɵ ൧ቂ 𝑥 𝑦 ቃ

O de modo equivalente x’= xcos + ysenƟ Ɵ y’= -xsen + ycosƟ Ɵ

Ejemplo Hallar las coordenadas del punto Q(2,-1) si se

hacen girar los ejes Ɵ = 45 °.

La matriz de transición de la base U hacia W es

 Las coordenadas respecto a la nueva base se determinan con la ecuación 

= 

Como el ángulo de giro es 45° se obtiene: 

Reemplazando en la ecuación:

=

Las coordenadas iniciales de un punto Q son ‹x,y›=‹2,-1›,entonces

=

=

=

= 

CONCLUSIÓN: Las nuevas coordenadas de Q son (x’,y’)= (1/

BASES ORTONORMALES PROCESO DE GRAM·SCHMIDT En muchos problemas referentes a espacios

vectoriales, la selección de una base para el espacio se hace según convenga al que lo resuelve. Naturalmente, la mejor estrategia es ele gir la base a fin de simplificar la solución del problema. En los espacios vectoriales Rn, el mejor procedimiento a menudo es elegir una base en la que todos los vectores sean ortogonales (perpendiculares)entre sí.

Definición: Se dice que un conjunto de vectores en un espacio Rn es un conjunto ortogonal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son ortogo nales. Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma 1‹vector unitario› se conoce como ortonormal.

Si S == {,, ••• , } es un conjunto ortogonal de vectores diferentes de cero en un espacio Rn, entonces S es linealmente independiente

Dos vectores son ortogonales si su producto punto es cero

Demostrar que el conjunto de vectores S = {,, } es ortonormal.

Existen los vectores:

 

DESARROLLO:

Determinación de la ortogonalidad:

 

 

Determinación de la ortonormalidad: 

  

CONCLUSIÓN: El conjunto S = {,, } es ortonormal.

PASOS Sea V cualquier espacio de Rn diferente de

cero y con dimensión n, y supóngase que S = es cualquier base para V. La suce sión siguiente de pasos produce una base ortonormal } para V

Paso 1: Sea Paso 2: Para construir un vector , que sea

ortogonal a :

Para que y sean ortogonales:

Como es una valor arbitrario decimos que

Por lo tanto:

Paso 3: Ahora se obtendrá un vector que sea ortogonal a y .

Para que sea ortogonal a y se debe cumplir que:

El vector expresamos como una combinación

lineal del conjunto {

(son ortogonales)

(son ortogonales)

Como es un valor arbitrario podemos asignar Por lo tanto:

Reemplazado estos valores en la ecuación

Obtenemos:

Este procedimiento se puede extender hasta obtener la fórmula:

Paso 4: Hasta ahora hemos encontrado un conjunto {que es una base vectores ortogonales. Para que este conjunto sea una base ortonormal debemos normalizar cada uno de los vectores del conjunto; es decir, debemos determinar el vector unitario de cada uno de los vectores para esto realizamos el siguiente proceso.

……… Por lo tanto la base ortonormal es el

conjunto {

Considérese el espacio vectorial R3. Aplíquese el pro ceso de Gram-Schmidt para transformar la base = ‹1, 1,1›, = ‹0, 1,1›, = ‹0, 0,1› en una base ortonormal.

DEFINICIONES INICIALES: Se dice que un conjunto de vectores en un espacio Rn es un conjunto ortogonal si todas las parejas de vectores distintos en el conjunto son ortogo nales. Un conjunto ortogonal en el que cada vector tiene norma 1(vector unitario) se conoce como ortonormal.Dos vectores son ortogonales si su producto punto es ceroExiste la base:

  = ‹1, 1,1›, = ‹0, 1,1›, = ‹0, 0,1›

 DESARROLLO:Paso 1:

= ‹1, 1,1› 

Paso 2:

 

 

 

Paso 3:

 

 

 

Paso 4: Normalizamos la base ortogonal {,, }

 

 

CONCLUSIÓN: El conjunto W={,, } es una base ortonormal para .

INTRODUCCION A LAS TRANSFORMACIONES LINEALES. Sean V y W espacios vectoriales reales. Una

transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v ∈ V un vector único T(v) ∈ W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar α,

T(u + v) = T(u) + T(v) T(αv) = αT(v)

TRES OBSERVACIONES SOBRE NOTACIÓN 1. Se escribe T: V → W para indicar que T toma

el espacio vectorial real V y lo lleva al espacio vectorial real W; esto es, T es una función con V como su dominio y un subconjunto de W como su imagen.

2. Se escriben indistintamente Tv y T(v). Denotan lo mismo; las dos se leen “T de v”. Esto es análogo a la notación funcional f (x), que se lee “f de x”.

Las transformaciones lineales con frecuencia se denominan operadores lineales.

Ejemplo Para todo vector Para todo vector 𝑣 = ‹𝑣1,𝑣2› en 𝑅2, sea T:→ 𝑅2→𝑅2 definida por Tሺ𝑣1,𝑣2ሻ= ‹𝑣1 − 𝑣2,𝑣1 + 2𝑣2›. Determine la imagen de 𝑣 = ‹− 1,2›.

DEFINICIONES INICIALES: Una función es una relación entre dos magnitudes, de tal manera que a cada valor de entrada (dominio) le corresponde un único valor de salida, llamada imagen.

Existen el vector v y la función T:

T‹ 

DESARROLLO:T‹ 

T‹ 

T‹-1,2›=‹-3, 3›  

CONCLUSIÓN: La imagen de es .

29-ene-15Presentación de Informe y Sustentación Trabajo integrador

03-feb-15 PRUEBA Y REVISIÓN (UNIDAD 4)

05-feb-15Presentación de Informe y Sustentación de guías de trabajo 3 y 4( Auto evaluación )

Gracias por su atención

Ciclo concluido