Ensayo- Espacios Vectoriales

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    INSTITUTO TECNOLÓGICO

    SUPERIOR DE APATZINGÁN

    “Espacios Vectoriales” 

    MATERIA:ALGEBRA LINEAL

    NOMBRE DE LA CARRERA:INGENIERÍA EN GESTIÓN EMPRESARIAL

    PRIMER SEMESTRE

    TURNO VESPERTINO

    NOMBRE DEL TRABAJO:ENSAYO CORRESPONDIENTE A LA UNIDAD IV.-

    “ESPACIOS VECTORIALES”

    DOCENTE:ING. SERGIO LUIS AGUILAR RIVERA

    ELABORO:CALDERA OROZCO CLAUDIA JANET

     APATZINGÁN, MICHOACÁN; A 12 DE FEBRERO DEL 2015.

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    ÍNDICE.

    Pág.

    Introducción……………………………………………………………………….………3

    Desarrollo:

    Unidad IV. Espacios Vectoriales

    4.1. Definición de espacio vectorial……………………………………………….……4

    4.. Definición de su!espacio vectorial " sus propiedades………………….……....#

    4.3. $o%!inación lineal. Independencia lineal……………………………….……….&

    4.4. 'ase " di%ensión de un espacio vectorial( ca%!io de !ase…………………..)

    4.#. Espacio vectorial con producto interno " sus propiedades………………...…..*

    4.+. 'ase ortonor%al( proceso de ortonor%ali,ación de -ra%/c0%idt. ………..1

    $onclusión…………………………………………………………………………..…. 13

    2e%erografia………………………………………………………………………….…14

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    INTRODUCCIÓN

    En general el álge!ra trata de n%eros( %atrices( vectores( aplicaciones " de operaciones entre

    los ele%entos de dic0os conuntos. Un espacio vectorial es un o!eto !ásico en el álge!ra lineal(

    co%puesto de ele%entos vectoriales %eor conocidos co%o vectores. 

    Un espacio vectorial ta%!i5n lla%ado espacio euclidiano es el conunto de n ordenadas(

    ta%!i5n conocido por espacio ndi%ensional " de denota por 6n( este es una sucesión de n

    n%eros reales. Pero para lograr tener una %eor co%prensión es necesario sa!er la definición

    de su!espacio( co%!inación lineal( di%ensión entre otros te%as( pri%ero se de!e entender 

    co%pleta%ente la definición de espacio vectorial "a 7ue todos estos te%as se encuentran

    relacionados.Para poder entender " resolver pro!le%as relacionados a estos te%as pri%ero de!e%os tener 

    una !uena !ase acerca de espacio vectorial "a 7ue sin ella no podr8a%os co%prender estos

    te%as.

    DESARROLLO.

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    U9IDD IV. E/P$I;/ VE$I9I$I?9 DE E/P$I; VE$I9I$I?9 DE /U'E/P$I; VE$

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    Dado un espacio vectorial V( pode%os considerar una parte / de 5l 7ue funcione co%o un

    espacio vectorial O%ás pe7ueoQ( incluido en V. $o%o V es un espacio vectorial( posee unas

    operaciones @su%a( producto por un escalarA 7ue en particular se pueden efectuar en /. /ólo

    necesitare%os 7ue( al efectuarlas( su resultado 7uede dentro de /.

    Dado un espacio vectorial V( se dice 7ue un su!conunto / de V es un su!espacio vectorial si

    contiene al vector ( " si al efectuar las operaciones de su%a " producto por escalar entre

    vectores de /( el resultado per%anece en /.

    ERESP=;/ DE /U'E/P$I;/.

    1) =a recta C" es un su!espacio de ℜⁿ. Está for%ado por los vectores de la for%a @a( aA. ℜ

    $ontiene al vector @(A. de%ás( es cerrado para la su%a " producto por escalar: /u%a: @a( aA

    @!( !A C @a!( a!A 7ue ta%!i5n es un ele%ento de la recta. Producto por un escalar: T∈ℜ  (

    T@a( aA C @Ta( TaA 7ue ta%!i5n es un ele%ento de la recta.

    2) El plano N es un su!espacio de ℜ³. Está for%ado por los vectores de la for%a @( "( A. 3

    $ontiene al vector @( (A. de%ás( es cerrado para la su%a " producto por escalar: /u%a: @(

    "( A @( "(A C @( ""( A 7ue ta%!i5n es un ele%ento del plano. Producto por un escalar:

    T∈ℜ( T@( "( AC @T( T"( A 7ue ta%!i5n es un ele%ento del plano. Pode%os decir 7ue este

    plano Oes co%o ℜ²Q pero incluido en ℜL.

    ) WEs un su!espacio de ℜ²  el conunto de los vectores de la for%a @a( 1AX.

    9o( puesto 7ue no contiene al @(A. ; ta%!i5n: por7ue no se puede su%ar dentro de este

    conunto( por ee%plo @a( 1A @!( 1AC@a!( A 7ue no pertenece al conunto.

    DE/$6IP$I?9 DE =;/ /U'E/P$I;/ DE ℜY.

    =os su!espacios de ℜY pueden descri!irse de dos for%as: i%pl8cita " para%5trica.

    • >or%a i%pl8cita: Sediante ecuaciones. =os vectores 7ue verifi7uen las ecuaciones son los7ue pertenecen al su!espacio.

    • >or%a para%5trica: Sediante una epresión con pará%etros( los cuales al to%ar distintos

    valores producen todos los vectores del su!espacio.

    Para pasar de una a otra for%a:

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    • De la for%a i%pl8cita a la para%5trica: 'asta considerar las ecuaciones i%pl8citas co%o un

    siste%a( " resolverlo. =a solución general del siste%a @7ue podrá depender de pará%etrosA

    es la epresión para%5trica.• De la for%a para%5trica a la i%pl8cita: Pode%os decir( aun7ue no es un %5todo riguroso(

    7ue se trata de Odescri!irQ %ediante ecuaciones có%o es el vector gen5rico del su!espacio.

    I9$=U/I?9 DE /U'E/P$I;/.

    Dados dos su!espacios " '( puede ocurrir 7ue uno est5 incluido en otro @una recta dentro de

    un plano( por ee%ploA. /e dice 7ue está contenido o incluido en ' @" se denota ⊂ 'A si

    todos los ele%entos de están ta%!i5n en '. En cual7uier espacio vectorial V( el su!espacio

    GJ está contenido en todos los de%ás su!espaciosK %ientras 7ue todos ellos están contenidos

    en el total V.

    Vea%os có%o reconocer si un su!espacio está incluido en otro:

    Z En for%a i%pl8cita: /i las ecuaciones de ' están incluidas en las de ( entonces ⊂ '.

    @$uantas %ás ecuaciones i%pl8citas( %ás pe7ueo es el su!espacioA.Z En for%a para%5trica: Para ver si ⊂ '( tendre%os 7ue ver si todo vector gen5rico de (

    está en '.

    4.3. $;S'I9$I?9 =I9E=. I9DEPE9DE9$I =I9E=.

    Z Definición de $o%!inación =ineal: Dado un conunto de vectores v1(..(vY se lla%a una

    co%!inación lineal de ellos a cual7uier vector de la for%a v C B1 v1 . . . BY vY donde B1 (

    . . . ( BY son escalares( lla%ados coeficientes de la co%!inación lineal.

    Para pro!ar 7ue un conunto / es su!espacio( !asta pro!ar 7ue: =a co%!inación lineal deele%entos de / está en /. Esto se suele epresar diciendo 7ue un su!espacio es un conunto

    OcerradoQ para las co%!inaciones lineales.

    Z Definición de Independencia =ineal: En caso de 7ue un conunto de vectores no sea

    lineal%ente dependiente( se dice 7ue es lineal%ente independiente @o li!reA.

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    Por tanto( escri!iendo la negación de la definición de dependencia lineal( tendre%os 7ue un

    conunto de vectores es lineal%ente independiente cuando:

    aA 9inguno de ellos es co%!inación lineal de los de%ás.!A El vector no es co%!inación lineal de ellos( a no ser 7ue la co%!inación tenga

    coeficientes todos nulos.

    P6;PIEDDE/ DE = DEPE9DE9$I [ I9DEPE9DE9$I =I9E=.

    1. El conunto for%ado por un solo vector v no nulo( es li!re.. Dos vectores v( \ son lineal%ente dependientes cuando uno es %ltiplo del otro( vCT\ @"a

    7ue esto e7uivale a decir 7ue uno es co%!inación lineal del otroA.3.

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    Eisten nu%erosos ee%plos de la !ase de un espacio vectorial. I%agina tres di%ensiones las

    cuales constan de dos vectores. I%agina 7ue estos vectores no son planos. El plano definido con la

    a"uda de estos dos vectores sólo for%ará una !ase para los espacios tridi%ensionales actuales.Esto es por7ue si defini%os una co%!inación lineal con la a"uda de estos dos vectores( entonces

    este se encontrar8a definitiva%ente dentro el plano %is%o e inversa%ente ta%!i5n es posi!le

    epresar un vector dentro del plano co%o una co%!inación lineal de a%!os. 0ora etenda%osesta definición para for%ar la !ase de la definición de la di%ensión del espacio vectorial.

    I%agine%os 7ue tene%os un espacio vectorial V " sea / la !ase de este espacio vectorial. 0oracolo7ue%os un n%ero li%itado de vectores en la !ase de espacio vectorial /( entonces

    definir8a%os este espacio vectorial dado co%o un espacio vectorial de di%ensión finita " ladi%ensión real se o!tendr8a %ediante calcular el n%ero total de vectores en la !ase de ese

    espacio vectorial.

    En caso de 7ue tenga%os un n%ero infinito de vectores en la !ase del espacio vectorial dado(

    entonces lla%are%os al espacio vectorial un espacio vectorial de di%ensión infinita( " la di%ensiónde tal espacio vectorial es " la di%ensión de un espacio vectorial nulo es el valor .

    Puede 0a!er %ás de una !ase para un espacio vectorial dado. Esto significar8a 7ue es posi!ledefinir los vectores dentro de un espacio vectorial dado co%o la su%atoria de los vectores de a%!as

    !ases. /ea V un espacio vectorial " / la !ase de este espacio vectorial. 0ora defina%os todos los

    vectores v V en t5r%inos de los ele%entos finitos de esta !ase. Defina%os a0ora otra !ase paraeste espacio vectorial. 0ora !ien( si intenta%os redefinir los ele%entos del espacio vectorial co%o

    una su%atoria de los ele%entos del segundo vector( lla%a%os a este proceso ca%!io de !ase.

    Este proceso puede ser considerado co%o una función identidad so!re los ele%entos del espaciovectorial.

    4.#. E/P$I; VE$

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    %ultiplicación escalar( 7ue asigna a cual7uier r > " a cual7uier V( un %ltiplo escalar nico raV. /uponga%os 7ue tanto la su%a co%o la %ultiplicación escalar satisfacen los siguientesaio%as:

    a. =a su%a de los vectores es con%utativa. Es decir( a ! C ! a para todo a( ! V.

    !. =a su%a de los vectores es asociativa. Es decir( @a !A c C a @! cA para todo a( !( c V.c. Eiste una identidad aditiva V de %anera 7ue a C a para todos los a V.d. Para todo a V( 1a C a( donde 1 es la identidad %ultiplicativa de >.e. Por cada ele%ento v de V( 0a" un ele%ento v tal 7ue v @vA C . De este %odo v es un

    inverso aditivo de v.f. =a %ultiplicación escalar es asociativa. /i r( s > " a V( entonces @rsAa C [email protected]. =a %ultiplicación escalar es distri!utiva. /i r( s > " a( ! V( entonces r@a !A C ra r!( and @r

    sAa C ra sa.

    4.+. '/E ;6

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    /in e%!argo no es indispensa!le 7ue una !ase "a deter%inada est5 en for%a ortogonal.

    Pode%os( si es necesario( transfor%ar la !ase a la for%a ortonor%al. El procedi%iento para

    0acerlo se lla%a proceso de ortonor%ali,ación de -ra% /c0%idt. =a entrada del procedi%iento

    es general%ente una !ase finita " la salida es una !ase ortonor%al definida en algn per8odo

    ar!itrario.

    El teore%a esta!lece: OPara un conunto b de ele%entos( el cual es lineal e independiente( es

    posi!le construir un conunto ortonor%al( " el conunto resultante es la agrupación lineal del

    conunto de entrada " se etiende so!re el %is%o espacio vectorialQ.

    Es esencial 7ue la !ase est5 ordenada para 7ue sea una !ase ortonor%al. /ea V un producto

    escalar de un espacio vectorial( " si tene%os a / co%o la !ase del espacio vectorial dado 7ue

    contiene los ele%entos de la for%a v]1]( v]]( v]3]… v]n]. 0ora( 7ue tene%os otra !ase /(

    7ue contiene los ele%entos de la for%a \]1]( \]]( \]3]… \]n]. 7u8 v]1] C \]]1](

    entonces(

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    CONCLUSIÓN

    Despu5s de 0a!er reali,ado este tra!ao so!re los espacios vectoriales 0e podido co%prender 

    %eor estos te%as " pude dar%e cuenta 7ue sin entender cual7uiera de estos te%as no 0a!r8a

    podido lograr co%prender de %eor %anera los de%ás.

     l ver detallada%ente todos estos te%as %e di cuenta de la i%portancia 7ue tienen en esta

    %ateria de lge!ra =ineal " 7ue ta%!i5n necesita%os tener un conoci%iento de otras %aterias

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    "a vistas en %i !ac0illerato co%o lo Sate%áticas III. s8 7ue pues a0ora tengo una %eor idea

    de lo 7ue es un espacio vectorial " de los de%ás te%as 7ue se relacionan entre s8.

    !EMEROGRA"IA

    Disponi!le en internet:

    0ttp:[[%itecnologico.co%[igestion[Sain[DefinicionDeEspacioVectorialst0as0.>$#bvoE.d

    puf  

    http://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeEspacioVectorial#sthash.FWC5kvoE.dpufhttp://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeEspacioVectorial#sthash.FWC5kvoE.dpufhttp://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeEspacioVectorial#sthash.FWC5kvoE.dpufhttp://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeEspacioVectorial#sthash.FWC5kvoE.dpufhttp://mitecnologico.com/igestion/Main/DefinicionDeEspacioVectorial#sthash.FWC5kvoE.dpuf

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    0ttp:[[%itecnologico.co%[igestion[Sain[DefinicionDe/u!espacioVectorialst0as0.37