UNIVERSIDAD DE LA SERENA FACULTAD DE CIENCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 1er Semestre 2010

ESPACIOS VECTORIALES ( ING.)

DEFINICIONES Y PROPIEDADES Definición 1 Se llama grupo a un conjunto no vacío V provisto de una operación: + : V x V → V (v,w) → v + w que satisface los siguientes axiomas: G0 u + v ∈ V, ∀ u , v ∈ V. G1 ( u + v) + w = u + ( v + w ), ∀ u , v , w ∈ V ( Asociatividad). G2 Existe elemento neutro en V, denotado por 0V o simplemente 0 tal que: v + 0 = 0 + v = v, ∀ v ∈ V. G3 Para cada v ∈V existe un elemento en V, llamado opuesto de v, denotado

por -v tal que v + (-v) = 0 = (-v) + v. Denotaremos por ( V, + ) al grupo. Si ( V, + ) es un grupo y satisface además: G4 u + v = v + u, ∀ u , v ∈ V ( Conmutatividad ). Entonces ( V, + ) se llamará grupo abeliano o conmutativo. Definición 2 Se dice que V es un espacio vectorial sobre el cuerpo IK, y se denota V IK ( o simplemente V ) , si ( V, + ) es un grupo abeliano provisto de una operación : IK x V → V ( α , v ) → αv llamada producto por escalar, la cual satisface los siguientes axiomas: E0 αv ∈ V, ∀ α ∈ K, ∀ v ∈ V E1 α(βv) = (αβ)v, ∀ α , β ∈ K, ∀ v ∈V. E2 (α + β)v = αv + β v , ∀ α , β ∈ IK, ∀ v ∈ V. E3 α(u + v) = αu + αv, ∀ α ∈ IK, ∀ u , v ∈ V. E4 1v = v , ∀ v ∈ V , 1 ∈ IK elemento neutro para la multiplicación. Los elementos de un espacio vectorial se denominan vectores. Proposición 3 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces: a) El neutro aditivo 0V es único. b) Para cada v ∈ V, el opuesto aditivo –v es único. c) α0V = 0V , ∀ α ∈ IK d) 0K v = 0V, ∀ v ∈ V e) (-1) v = - v , ∀ v ∈ V. Definición 4 Sea V espacio vectorial sobre IK, y u , v ∈ V. Se define u – v = u + (-v). SUBESPACIOS VECTORIALES Definición 5 Sea V un espacio vectorial sobre IK, un subconjunto no vacío S de V se llama subespacio vectorial de V , si S es un espacio vectorial sobre K con las operaciones adición y producto por escalar definidas en V. Se denota S ≤ V. Teorema 6 Sea V espacio vectorial sobre IK, S ⊂ V, entonces S ≤ V, si y sólo si: i) 0V ∈ S. ii) α s1 + s2 ∈ V, ∀ α ∈ IK, ∀ s1 , s2 ∈ S. Teorema 7 Sea V un espacio vectorial sobre IK, si {Si}i∈I es una colección de subespacios de V, entonces Si es un subespacio de V.

Definición 8 Sea V un espacio vectorial sobre IK y S un subconjunto no vacío de V. El subespacio generado por S se define como la intersección de todos los subespacios de V que contienen a S y se denota por < S >.

Observación 9 a) Cuando S es un conjunto finito, S = { }, denotamos < S > = < >.

Los vectores se llaman generadores de < S >. b) Es claro que < S > ≤ V, ya que es una intersección de subespacios de V, además si

T ≤ V y S ⊂ T entonces < S > = ⊂ T. Es decir < S > es el menor ( referente a

la relación ⊂ ) subespacio de V que contiene a S. c) De acuerdo con lo anterior es fácil ver que si S , T son subconjuntos de V tales que

S ⊂ T , entonces < S > ⊂ < T >. Definición 10 Sea V un espacio vectorial y ∈ V. Se dice que el vector v ∈ V es una combinación lineal de los vectores si existen escalares

∈ IK tales que v = . Teorema 11 El subespacio generado por un subconjunto no vacío S de un subespacio vectorial V sobre un cuerpo IK, es el conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de S. Es decir,

< S > = .

Observación 12 a) Sea V espacio vectorial, T ≤ V y { v1, ...,vn } ⊂ T, entonces:

< v1, ...,vn > ≤ T. Esto es claro de la definición de subespacio generado. b) Si { v1,...,vn } ⊂ V y { u1,...,um } ⊂ V , entonces < v1,...,vn > = < u1,..., um > si y sólo si

vi ∈ < u1,..., um > ∀i y ui ∈ < v1,...,vn > ∀i . Definición 13 Sean S1, ..., Sk subconjuntos no vacíos de un espacio vectorial V sobre IK. Entonces el conjunto S1+ ⋅⋅⋅ + Sk = { v1+ ⋅⋅⋅ + vk / vi ∈ Si , i = 1,... , k } se llama suma de los conjuntos S1,.....,Sk. Proposición 14 Sean W1, ...,Wk subespacios de un espacio vectorial V sobre un cuerpo IK, entonces W = W1 + ⋅⋅⋅ + Wk es un subespacio de V que contiene a cada Wi para i = 1, ..., k. Teorema 15 Si W1,...,Wk son subespacios de un espacio vectorial V sobre IK, entonces W1 + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅+ Wk = < W1 ∪ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ∪ Wk > . Definición 16 Sean S , T subespacios de un espacio vectorial V sobre el cuerpo IK, se dice que V es la suma directa de S y T, si V = S + T y S ∩ T ={0}. Cuando V es la suma directa de S y T, anotamos V = S ⊕ T.

BASES Y DIMENSIÓN

Definición 17 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y {v1, ..., vn } ⊂ V. El conjunto {v1 ,... , vn} se dice linealmente dependiente ( o simplemente dependiente) si existen en IK escalares α1,·········,αn , no todos nulos , tales que α1v1+ ········ + αnvn = 0. Un conjunto que no es linealmente dependiente ( l.d.) se llama linealmente independiente ( l.i.).

Observación 18 El conjunto{v1,.......,vn} es linealmente independiente (l.i) si y solo si dada la combinación lineal α1v1 +·········+αnvn = 0 implica αi = 0 , ∀i ∈{1,.....,n}. Es decir {v1,.....,vn} es l.i si la única manera de que el vector 0 se pueda expresar como combinación lineal de v1,....., vn es que todos los escalares sean 0.

Proposición 19 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces. a) Todo subconjunto de V que contiene a 0V es l.d. En particular {0V} es l.d. b) El conjunto {v1,.....,vm} es l.d. si y solo si existe vi con i ∈ {1,....,m} tal que vi es combinación lineal de v1,......, vi-1,vi+1,.......,vm. De esta propiedad se deduce que dos vectores no nulos son l.d. si y sólo si uno de ellos es un múltiplo escalar del otro.

c) Todo subconjunto de un conjunto l.i. es l.i. d) Todo conjunto que contiene un conjunto l.d es l.d.

Definición 20 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y {v1,.....,vn} ⊂ V, se dice que el conjunto {v1,.....,vn } genera el espacio V si < v1,.....,vn > = V. También se dice que los vectores v1,.....,vn generan el espacio V.

Proposición 21 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Entonces, a) Si S = {v1,....,vn} genera V entonces cualquier subconjunto de V que contenga a S genera V. b) Si V ≠ {0V} y S = {v1 ,...,vn} es l. d. y genera V entonces existe un subconjunto l.i .de S que genera V. c) Si S = {v1,....,vn} genera V entonces cualquier subconjunto de V que contenga propiamente a S es l.d.

Definición 22 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK. Un conjunto de vectores {v1,......,vn} ⊂ V se llama base de V si es linealmente independiente y genera V. Es decir, {v1,....,vn} es base de V si {v1,.....,vn} es l.i. y < v1,....,vn > = V.

Lema 23 Sea V espacio vectorial sobre un cuerpo K , Si V = <v1,.....,vn > entonces todo subconjunto l.i. de V tiene a lo más n elementos.

Teorema 24 Si V es un espacio vectorial que posee una base de n elementos, entonces toda base de V tiene n elementos.

Definición 25 Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y B una base de V, se llamará dimensión del espacio V sobre IK , al número de elementos de B. Se denota por dim IK V o simplemente dimV. Por convención la dimensión del espacio { 0 } será 0 y la base es ∅.

Lema 26 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y S un subconjunto l.i. de V. Si v ∉ < S > entonces S ∪ {v} es l.i. Teorema 27 (Extensión de una base). Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo K. Si W ≤ V entonces todo subconjunto l.i de W es finito y es parte de una base de W.

Corolario 28 Sea W un subespacio propio de un espacio vectorial de dimensión finita V, entonces W es de dimensión finita y dimW < dimV.

Corolario 29 Si V es un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo IK, S y T subes-pacios de V tales que S ⊂ T entonces dim S ≤ dim T.

Corolario 30 Sean V un espacio vectorial de dimensión finita sobre el cuerpo IK, S y T subespacios de V tales que S ⊂ T y dim S = dim T, entonces S = T.

Corolario 31 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo IK, entonces todo conjunto l.i de V es parte de una base de V.

Corolario 32 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita n sobre un cuerpo IK y {v1,...,vn}⊂V entonces {v1 ...,vn} es l.i. ⇔ {v1,.....,vn} genera V.

Corolario 33 Sea A una matriz nxn sobre el cuerpo IK, tal que los vectores fila de A forman un conjunto l.i. en el espacio IKn, entonces A es invertible.

Teorema 34 Sean W1 y W2 subespacios de dimensión finita de un espacio vectorial , entonces W1 + W2 es de dimensión finita y dim( W1 + W2 ) = dim W1 + dim W2 - dim ( W1 ∩ W2 ).

Definición 35 Sea A ∈ Mnm(IK) , las filas de A pueden ser vistas como los vectores r1, ..., rn y las columnas como los vectores c1,.....,cn . Cada vector fila tiene m coordenadas y cada vector columna tiene n coordenadas , es decir; ri ∈ Km , i = 1,....,n y cj ∈ IKn, j = 1,....,n . Los vectores fila generan un subespacio de IKm llamado espacio fila de A y los vectores columna generan un subespacio de IKn llamado espacio columna de A.

Definición 36 La dimensión del espacio fila de una matriz A se llama rango de la matriz A.

Teorema 37 Sea A ∈ Mnxm(IK) y B matriz que se obtiene de A después de una sola operación elemental con filas. Entonces el espacio fila A es igual al espacio fila de B y por lo tanto rango A = rango B. COORDENADAS

Definición 38 Sea V un espacio vectorial de dimensión finita, una base ordenada de V es una sucesión finita de vectores linealmente independiente y que genera V. Así una base ordenada de V será un conjunto de vectores con un orden dado, el cual es una base para V. Se denotará por B = {v1,.....,vn} y se dice que B es una base ordenada de V.

Proposición 39 Sea B = {v1,.....,vn} una base ordenada de un espacio vectorial V sobre un cuerpo

IK, entonces para cada v ∈ V, existe una única n-tupla (α1,......,αn) ∈ Kn tal que v = , αi

se llamará la i-ésima coordenada de v con respecto a la base ordenada B.

Observación 40 Cada base ordenada B = {v1,.....,vn} de un espacio vectorial sobre un cuerpo IK determina una función biyectiva ∅ : V → IKn tal que ∅(v) = ( α1,....., αn) donde

v = .

Definición 41 Sean V un espacio vectorial sobre un cuerpo IK y B = {v1,.....,vn} una base

ordenada de V, si V = ∈ V entonces la matriz [v ]B = ∈ Mnx1 (IK) se llamará la

matriz de las coordenadas de v respecto a la base ordenada B.

GUIA DE EJERCICIOS 1.- Sea V = { ( a, b) / a, b∈ IR+}. Se define ( a + b)+ (a`, b`)= ( aa`, bb`) α (a , b)= (aα , bα) , α ∈ IR. ¿Es V un espacio vectorial sobre IR con estas operaciones? 2.- Demuestre que V ={ p(x) ∈ P2(IR)/ p(1)=0}es un espacio vectorial sobre IR. 3.- Sea V = { ( a, b,c) / a, b,c∈ IR } Se define (a,b,c) + ( a`,b`, c`) = (a + a`, b+b`, c+c`) α ( a,b,c)= (αa, b, c) con α ∈ IR. ¿ Es V un espacio vectorial sobre IR? 4.- Sea V = { a } con a +a = a y αa = a con α∈ IK, IK cuerpo. ¿Es V un espacio vectorial sobre IK? 5.- En Rn se definen dos operaciones α (+) β = α - β α, β∈ Rn c · α = - cα , c ∈ R Las operaciones del segundo miembro son las usuales ¿Qué axioma de espacio vectorial se cumplen para ( Rn, ( + ) , · ) ? 6.- Sea V espacio vectorial sobre K, v, w ∈ V y α∈K. Demuestre usando los axiomas de espacio vectorial a) – ( - v ) = v b) α ( v – w ) = αv – αw 7.- Determine cuales de los siguientes conjuntos son subespacios de IR3? W1= { ( x, y, z ) ∈ IR3/ x – y = 0} W2= { ( x, y,z) ∈ IR3/ x + y + z = 1} W3= { ( x, y, z) ∈ IR3 / y = 1 } W4= { ( x,y,z) ∈ IR3/ x= 2λ , y=λ , z= 3λ , λ∈ IR}

W5= { ( x, y, z)) ∈ IR3 / x2 + y2 + z2 ≤1 } W6= { ( x, y, z)) ∈ IR3 / 2x – 3y + z = 0 } 8.- Demostrar que el conjunto de todas las soluciones del sistema lineal AX= B con B ≠ 0 no es subespacio de IRn. 9.- ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios vectoriales de P3(IR) sobre IR? W1={ p(x)∈ P3(IR) /p(0 ) = 0 } W2= { p(x) ∈ P3(IR)/ p(2)= 0} W3= { p(x)= ao+ a1x + a2x2 +a3x3/ ai ∈Z ,∀ i= 0,1, 2, 3 } W4= { p(x) P3(IR) / 3p(1) = p(0)}

W5= { p(x) = a + bx + dx3 ∈ P3(IR) /

10.- Sea el espacio vectorial F= { f: IR→ IR / f es función}, sobre IR. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos de funciones son subespacios de F? W1= { f ∈ F/ f( x2) = f(x)2} W2={ f ∈F/ f( 0) = f(1 )} W3= { f ∈ F/ f( -2) = 3 + f( 1 )} W4= { f ∈ F/ f es contínua} 11.- Sea el espacio vectorial V = M3(IR), sobre IR. ¿Cuáles de los siguientes conjuntos son subespacios de V? W1= {A∈ V / A es invertible} W2= { A∈ V/ AB= BA} , donde B∈ M3( IR) es fija. W3= {A∈V/ A2= A} W4= { A∈V/ det ( A )= 0 } 12.- Sean S1, S2 ≤ V, V espacios vectoriales sobre K. Se define S1 – S2 = {u – v / u∈ S1 ∧ v∈ S2}. Demuestre que S1 – S2 ≤ V 13.- ¿Pertenece el vector ( 3, -1, 0, -1 ) al subespacios de R4 generado por los vectores ( 2, -1, 3 , 2 ), ( -1, 1, 1, -3) y ( 1, 1, 9, -5)? 14.- En el espacio vectorial C4 sobre C escribir el vector v1 como combinación lineal de {v2,v3,v4}, donde v1= (1, i, 1+i,-i) , v2= ( -i, 0, 2-i,1+i) v3= ( 0,-1,0,1) y v4= ( 3i, -2-i, 3i-5,-i) 15.- Determine λ,β de modo que el vector (λ , β, -37, -3) ∈ < ( 1,2,-5,3) , ( 2,-1, 4, 7)> 16.- Demostrar que:

a) < ( 2, -1, 6) , (-3,4, 1) , ( 1, -1, 1)> = < ( -1,3,7) , ( 8,-9, 4)> b) <( 1,1,0,0) , ( 1, 0, 1,1) > = < ( 2, -1,3,3) , ( 0, 1,-1,-1)>

17.- Demostrar que

W= { ( x1, x2, x3, x4) ∈IR4/ es un subespacio de IR4 sobre IR y que

W= < ( -2,-1,0,1) , ( 1, -3, 1, 0 )> 18.- En el espacio vectorial IR4 sobre IR, considere los vectores v1= ( -4, 8, 1, 2), v2= ( 3, 0,-2, 5) , v3= ( 2, 8, -3,12) Determine un sistema de ecuaciones lineales homogéneo tal que el conjunto de las soluciones sea w =< v1, v2, v3> 19.- Sea V el espacio vectorial de todas las funciones de R en R; sea Vp el subconjunto de las funciones pares: f (-x ) = f(x); sea Vi el subconjunto de las funciones impares : f( - x ) = -f ( x )

a) Demostrar que Vi es subespacio de V ( también lo es Vp) b) Demostrar que Vp + Vi = V c) Demostrar que Vp ∩ Vi = { 0V}

20.- En R3 se consideran los subespacios W1= { ( x, y, z): 2x + 3y + 5z = 0} y W2=< ( 0, 0, 0) , ( 1,1, 0 )> Determine W1 ∩ W2 21.- Sean S1 = { ( x, y, z )∈ R3 / y + z = 0 }≤ R3 S2={ ( x, y, z ) ∈ R3/ x = y }≤ R3 ¿Es R3 = S1(+) S2? 22.- Sea el espacio vectorial IR4 sobre IR y los subespacios W1 = { ( x, y, z , t)∈ IR4 / x + y - t = 0 ∧ x - z + 2t = 0 } W2= { ( x, y, z, t) ∈ IR4 / x = t } W3 = < ( 4,4,1,1) , ( 3,3,-4, -1) > Determine W1 ∩ W2, W1 ∩ W3, W1+ W2, W1+W3. ¿ Se verifica W1+ W2 = IR4? ¿Se verifica W1⊕ W2 = IR4? y ¿ W1⊕ W3= IR4? 23.- Sea V = M2(IR) y los conjuntos S = { A ∈V / A es simétrica}

T= ¿ Se verifica S ⊕T = V ?

24.- Sean u, v elementos de un espacio vectorial V sobre un cuerpo K Demuestre que: a) < u, v > = < u + v, u – v > b) < u, v > = < < u >> = < < u >,v > 25.- Sea V = Mn ( IR) y los conjuntos S = { A∈ V / A es simétrica } T = { A∈ V / A es antisimétrica}. Demuestre que S ⊕ T = V. 26.- Determine si los siguientes conjuntos son linealmente independientes o linealmente dependientes.

a) { ( 1, -1, 0 ), ( 0, 1, 2 ) ( 3, -5, -4) } en IR3 b) { ( 1, 2, 3) , ( 0, 0,1 ) } en IR3 c) { ( 1, -1 , 0 ) , ( 0, 0, -1) , ( 1, 0, 1) , ( 2, 1,1)} en IR3 d) { x3 + x -1 , 1- x3 , ( x-1)2, x3 + 2x2 +1 } en P3(IR) e) {( i, 2, 1) , ( -1, 2i, i)} en C3 sobre IR. ¿ y sobre C ? f) { ex, xex, x2ex} en F g) { cos2x, sen2x , cos2x}en el espacio de las funciones reales .

27.- En IR4 sobre IR determine los valores de α, β para que los vectores v1 = ( 1, 2, α , 1), v2 = (α,1, 2,3) y v3= ( 0, 1, β,0 ) 28.- Considere los vectores: v1= ( 1, -1, 2, 4 ) , v2= ( 2, -1, -5, 2) , v3= ( 1, -1, -4, 0), v4= ( 2, -1, 1,0)

a) ¿ Son l.i? b) Determine una base para < v1, v2, v3, v4>

29.- Sea V= M2( C) sobre C.

a) Hallar una base y dimensión para V

b) Sean W1= { A∈V / , W2= { A∈ V/

Encontrar base y dimensión de W1, W2, W1 + W2, W1 ∩ W2. 30.- Sean V = IR4, S = { ( x, y, z , t)∈ IR4/ x + y - z = 0 } ≤V

T= { ( x, y, z, t ) ∈ IR4/

Encontrar bases y dimensiones para S, T, S+ T, S∩ T ¿ Es V= S⊕ T? 31.- Si { u, v, w} es linealmente independiente en V espacio vectorial sobre IR, con dim V = 3. Considere U = < 2u + v, u - v>, T = < u - w, u + v, v + w>

a) Encuentre base y dimensión de U, T y U + T

b) ¿Se verifica que U ⊕ T = V? 32.- Dados los subespacios de IR3

W1= <( 1, 0, -a) , ( 0, 1, -b)> W2={ ( x, y, z)

Determine la condición que deben cumplir a y b, para que se tenga W1⊕ W2 = IR3 ( a, b constantes reales) 33.- Sea V = IRn y el conjunto α = { ( 1, 0, ..., 0 ) ( 1, 2, 0,..., 0 ),...,( 1,2,3,...,r,0,...,0)} donde r < n - 2

a) Pruebe que el conjunto α es l.i. b) Determine una base de V que contenga a α c) Si S= < ( 1, 0, ..., 0 ) , ( 1, 2, 0, ..., 0 ), ..., ( 1, 2,3, ..., r, r + 1, r + 2, 0,...,0)>

Encuentre base para S que contenga al conjunto α. 34.- Sea W1= < ( 1, 0, 2) , ( 1, -1, 0 )> Hallar W2 tal que IR3= W1⊕ W2

35.- Sea V = Pn( IR) y los subespacios de V S= < x, x2> T= { p(x) ∈V / p( 0 ) = 0 }

a) Pruebe que S ≤ T b) Encuentre S`≤ V tal que S ⊕ S`= V. Justifique c) Encuentre S`` ≤ V tal que S ⊕ S`` = T Justifique.

36.- Sea V el espacio vectorial de las matrices de 2 x 2 sobre R. Hallar una base { A1, A2, A3, A4 }de V, de modo que Aj2= Aj , ∀ j = 1,2,3,4. 37.- Hallar una base de P3 que incluya a los vectores t3 + t y t2 –t 38.- Si R3 = S⊕T y α∈R3 tal que α= β+ γ donde β∈S y γ∈T se dice que β es la proyección de sobre S y es la proyección de sobre T. Considérese IR3 = < (1, 2,-1) (1,-1,0 ) > ⊕ <( 1,0,1)> Hállese la proyección de α= ( 4, 1, -3) sobre S y sobre T. Interprete geométricamente en el espacio este resultado. 39.- Pruebe que B= { ( 1, 0, -2) , ( 1, 1, 1) , ( 0, 0, 1) } es base de IR3 y encuentre [ ( a, b.c)]B. 40.- Sea B = { ( a, b) , ( c, d) } C IR2 tal que ac + bd= 0, a2 + b2 =1, c2 + d2 =1

a) Demostrar que B es base de IR2 b) Hallar [( x, y ) ]B c) Hallar [( 3, 5 ) ]B d) Si f(x) = 3x + 2 determine[ ( f( 3 ), f( 5) )]B 41.- Sean las bases de IR2, β= { ( 1, -1), ( 0, 1)} y β`= { ( 1, 1,) ( -1, 2)}

a) Calcule [ ( a, b) ]β b) Encuentre matriz P de cambio de base a β a β` c) Calcule [ ( a, b) ]β` directamente y usando parte b)

42.- Sea B= { u, v} base de V espacio vectorial sobre IR y sea t ∈ V tal que

[ t ]B` = . Encuentre base B`de V, sabiendo que la matriz de cambio de base de

B a B`es .

43.- Sea V un espacio vectorial sobre IR y B = { u, v, w } base ordenada de V.

• Determine base y dimensión para S, si S = < u + 2v, v + 2w, u - 4w > • Calcule [ 3u -2( v + w) ]B` si B`= { u -v, 2w, v} es otra base ordenada de V. • Determine matriz P en M3 ( IR) tal que se verifique [v1]B`= P[ v1]B con v1 ∈ V.

• Si [ v1]B = , determine [ v1 ]B` donde v1 ∈ V.