ESPACIOS VECTORIALES.

Definición: Un espacio vectorial V sobre un campo K es un conjunto no vacío en el que se

definen dos operaciones; una llamada adición y otra llamada multiplicación por un escalar.

V1 , V2 ,V3 € V

1) V1 + V2 CERRADURA

2) V1 + (V2 +V3)= (V1 + V2) + V3 ASOCIATIVIDAD

3) V1 + V2 = V2 + V1 CONMUTATIVIDAD

4) 0 + V1 = V1 ELEMENTO IDENTICO

5) –V1 + V1 = 0 ELEMENTO INVERSO

6) α V1

7) α (V1 + V2) = αV1+ αV2

8) (+V1 = V1 + V1

9) V1) = V1

10) 1 V1= V1

NOTA: Para que un conjunto se a espacio vectorial debe cumplir con las 10 propiedades.

Determinar si el siguiente conjunto es espacio vectorial R2 sobre R

R2 ={ (x.y) /x, y € R}

1 2 31 1 2 2 3 3( , ), ( , ), ( , )

,

v x y v x y v x y

1) 21 2 1 1 2 2 1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )v v x y x y x x y y

2) 1 2 3 1 2 3( ) ( )v v v v v v

1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3

1 1 2 3 2 3 1 2 1 2 3 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

( , ) [( , ) ( , )] [( , ) ( , )] ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y x y x y x y x y x y

x y x x y y x x y y x y

x x x y y y x x x y y y

3) 1 2 2 1v v v v

1 1 2 2 2 2 1 1

1 2 1 2 2 1 2 1

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y x y x y x y

x x y y x x y y

4) 1 10 v v

1 1 1 1

1 1 1 1

(0,0) ( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y x y

x y x y

5) 1 1 0v v

1 1 1 1

1 1 1 1

( , ) ( , ) 0

( , ) 0

0 0

x y x y

x x y y

6) 1v

1 1 1 1( , ) ( , )x y x y

7) 1 2 1 2( )v v v v

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

[( , ) ( , )] ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x y x y x y x y

x y x y x y x y

8) 1 1 1( )v v v

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

( )( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

x y x y x y

x y x y x y x y

9) 1 1( )v v

1 1 1 1

1 1 1 1

[ ( , )] ( , )

( , ) ( , )

x y x y

x y x y

10) 1 11*( )v v

1 1 1 1

1 1 1 1

1*( , ) ( , )

( , ) ( , )

x y x y

x y x y

Homogeneidad y heterogeneidad

Subespacios Vectoriales

Es posible que un espacio vectorial tenga subconjuntos que sean, por si

mismo, espacios vectoriales.

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea S un subconjunto de V. S

es un subespacio vectorial de V si este es un subespacio vectorial sobre K

respecto a la adición y la multiplicación por un escalar definidas en V.

Teorema

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea S un subconjunto de V. S

es un subespacio de V si y sólo si.

Dependencia Lineal, Base y Dimensión

Combinación lineal

Definición

Un vector es una combinación lineal de los vectores si se

puede expresar en la forma.

Donde son escalares.

Teorema

Sea { } un conjunto no vacío de vectores de un espacio

vectorial V. El conjunto de todas las combinaciones lineales de los vectores de

S, denotado con L(S), es un subespacio de V.

Dependencia Lineal

Definición

Sea { } un conjunto de vectores:

S es Linealmente dependiente si existen escalares no todos iguales a cero, tales que

S es Linealmente Independiente si la igualdad

Solo se satisface con

Teorema

Todo conjunto que contiene al vector es linealmente dependiente.

Teorema

Si S es un conjunto linealmente independiente entonces cualquier subconjunto

de S es linealmente independiente.

Ejercicios

1) Determinar cuál de los siguientes conjuntos son linealmente

dependientes ó independientes.

A={(1,0,1),(1,2,1),(0,1,-1)}

B={2x2-1,x+3,-12x2-2x}

{[

] [

] [

]}

Conjunto Generador

Sea V un espacio vectorial sobre K y sea

{ }

Un conjunto de vectores de V. Se dice que G es un generador de V si para todo

vector existen escalares tales que

Teorema

Sea V un espacio vectorial sobre K y sea G un subconjunto de V, G es

generador de V si y sólo si V=L(G).

Es decir

G es un generador de V si:

G es subconjunto de V

V se puede obtener totalmente a partir de una combinación lineal de G.

Ejercicios

Determinar si los siguientes conjuntos generan a R3

A={(1,1,0),(0,1,1),(1,0,-1)}

B={(1,0,0),(1,1,0),(1,1,1)}

C={(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)}

Base

Definición

Se llama base de un espacio vectorial V a un conjunto generador de V que

linealmente independiente.

Es decir

Sea V un espacio vectorial sobre K. Un conjunto B de vectores de V, se

dice es una base de V si.

B genera a V.

B es linealmente independiente.

Dimensión

Nota: en general, todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo

número de elementos.

Nota: el número de vectores de cualquier base de un espacio vectorial indica la

dimensión del mismo.

Teorema

Sea V un espacio vectorial sobre K. Si { } es una base de V,

entonces cualquier conjunto de vectores de V con más de n vectores es

linealmente dependiente.

Teorema

Sea un espacio vectorial sobre K . Si { } es una base de V,

entonces cualquier otra base de dicho espacio está formado por n vectores.

Teorema

Si V es un espacio vectorial de dimensión n, cualquier conjunto linealmente

independiente formado por n vectores de V es base de dicho espacio vectorial.

Definición

Sea V un espacio vectorial sobre K. Si { } es una base de V se

dice que V es de dimensión n, lo cual se denota con

dim V=n

En particular, si { }

Teorema

Si V es un espacio vectorial de dimensión n, cualquier conjunto linealmente

independiente formado por n vectores de V es una base de dicho espacio.

Ejercicios

1) Una base y dimensión del espacio solución de la ecuación 2x-3y-z=0

2) La dimensión del espacio vectorial C4 sobre el campo de los reales y

sobre el campo de los complejos.

3) Para el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Determinar su espacio solución, así como una base y la dimensión del mismo.

4) Dado el conjunto:

{[

] }

a) Demuestra que A es un subespacio del espacio vectorial de las matrices

cuadradas de orden 2, sobre el campo de los reales.

b) Completar correctamente la siguiente expresión

“El conjunto B=____________________________”es una base de A.

c) Demuestra que el conjunto B, del inciso anterior, es una base de A.

5) Determinar una base y la dimensión

{[

] }

Definido sobre el campo de los reales.

6) Dado el conjunto A={(1,1,3),(1,2,7),(-1,0,1),(2,1,2)}

a) Determinar el espacio generado por el conjunto A, sobre el campo de los

reales.

b) Con la base obtenida, obtener el espacio generado por A. Escribir el

vector de coordenadas de ( esa base.

7) Dados los conjuntos de vectores de R3 A={(1,5,3),(2,2,6),(6,0,18)} y

B={(1,0,-3),(4,1,-12),(5,5,-15)}. Demostrar que los conjuntos A y B

generan espacios vectoriales de la misma dimensión.

8) Sean M el espacio vectorial real de matrices cuadrada de orden dos con

elementos reales y

{[

] [

] [

] [

]}

Un subconjunto de M. Determinar:

El espacio W generado por G.

Una base y la dimensión de W

9) Dado el espacio vectorial

{( }

Obtener:

a) Una base B del espacio vectorial W.

b) El vector de coordenadas de ( en la base B

Vector de coordenadas y matriz de

transición

Sea { } una base de un espacio vectorial V sobre K, y sea

. Si

Los escalares se llaman coordenadas de en la base B; y el

vector de Kn

( (

Se llama vector de coordenadas de en la base B.

Teorema

Sea { } una base de un espacio vectorial de V sobre K. Para

cualquier el vector ( es único.

Es decir

{ } Base de V

{ } Base de V

Un vector de coordenadas se obtiene de una combinación lineal.

a) Vector de coordenadas ( , como combinación lineal de la base A.

( [

]

Vector de coordenadas ( , como combinación lineal de la base B

( [

]

b) Matriz de transición es decir la Base A como combinación lineal

de la base B.

( [

]

( [

]

( [

]

Por lo tanto la matriz de transición está dada por:

[

]

Vectores de coordenadas

Propiedades

1) Siempre son cuadradas

2) Siempre tienen inversa

[ ]

3) Sus columnas son vectores de coordenadas

4) Permite el cambio de coordenadas de una base a otra

( (

( (

Ejercicio

1) Sea P el espacio vectorial real de los polinomios de grado menor o igual

a dos con coeficiente real y { } y { } dos

de sus bases. Si la matriz de transición de la base A a la base B es

(

)

Determinar los valores de la base B.

2) Sea

(

)

La matriz de transición de la base { } a la base B. Determinar

los vectores de la base B.

3) Sea { }, {( ( ( } ,

{ }, bases de R3 y sea

(

)

Determinar los vectores de las bases B1 y B3

Espacios Vectoriales Asociados a una matriz

A partir de los elementos que integran una matriz pueden definirse diversos

espacios vectoriales. Dos de ellos conocidos como espacio renglón y espacio

columna.

Espacio renglón

Sea A una matriz de mxn con elementos en los R

[

]

Sus renglones pueden ser considerados como vectores de Rn

; esto es :

(

(

(

El conjunto de todas las combinaciones lineales de vectores es un subespacio

de Rn al que se conoce como espacio renglón.

Definición

Sea [ ] una matriz de mxn con elementos en un campo K , y sea ( el i-ésimo renglón de A. Si { }, el conjunto

L(Ar ) se llama espacios renglón de A.

Procedimiento para obtener el espacio renglón

1. Escribir los vectores del conjunto como los renglones de una matriz.

2. Llevar a dicha matriz a su forma canónica escalonada.

3. De la matriz canónica escalonada anterior, los renglones diferentes de

cero son los vectores de la base canónica.

4. Escribir al vector como una combinación lineal de los vectores de la

base canónica anterior.

5. El vector es el vector genérico del espacio vectorial buscado.

Espacio columna

De manera similar al espacio renglón, se define el espacio columna

Definición

Sea [ ] una matriz de mxn con elementos en un campo K , y sea ( el i-ésimo renglón de A. Si { }, el

conjunto L(Ac ) se llama espacios columna de A.

Procedimiento para obtener el espacio columna

1. Determinar la transpuesta de la matriz

2. Llevar la matriz transpuesta hasta su forma canónica.

3. De la matriz canónica escalonada anterior, los renglones diferentes de

cero son los vectores de la base canónica.

4. Escribir al vector como una combinación lineal de los vectores de la

base canónica anterior.

5. El vector es el vector genérico del espacio vectorial buscado

Definición

Dos matrices Ay B son equivalentes ( por renglón), lo cual se denota mediante

A~B, si alguna de ellas puede obtenerse a partir de la otra mediante sucesión

finita de transformaciones elementales (por renglón).

Teorema

Dos matrices equivalentes tienen el mismo espacio renglón.

Teorema

Para cualquier matriz A se tiene que

( (

Ejercicios

1) Sea la matriz

(

)

Determinar si el vector ( pertenece al espacio renglón de N.

2) Sea V un espacio vectorial real generado por los renglones de la matriz

(

)

a) Obtener una base de V.

b) Si (a,b,c,d) pertenece a V, ¿Cuáles son sus coordenadas en la base

elegida en el inciso (a).

3) Para la matriz

(

)

a) Obtener el valor de k para el cual la dimensión del espacio columna de A

sea igual a dos.

b) Con el valor de K obtenido, determinar el espacio renglón de A.

Espacios de Funciones

Teorema: Los espacios vectoriales de la misma dimensión son isomorfos.

Isomorfismo:

1. m. Geol. Cualidad de isomorfo.

2. m. Mat. Correspondencia biunívoca entre dos estructuras

algebraicas que conserva las operaciones.

Es decir, todo los espacios vectoriales de la misma dimensión son

algebraicamente hablando iguales. De esta manera, al estudiar V, de

dimensión n, se puede trabajar con vectores del vector Rn y el resultado

aplicarlo al espacio V.

Un Espacio vectorial V es isomorfo con el espacio Rn si se establece una

función biyectiva entre ambos tal que para todo vector que

pertenezca al espacio vectorial y para todo escalar que pertenezca al campo K

se cumple que:

Cuando se tienen matrices o polinomios, es posible aplicar el concepto de

“isomorfismo”. Se puede utilizar el isomorfismo para facilitar las operaciones

algebraicas.

El Wronskiano

El concepto del wronskiano se emplea cuando se quiere determinar si un

conjunto de funciones reales de variable real A={f1,f2…fn}. Es linealmente

Independiente en un determinado intervalo (a,b). Con estos fines es posible

establecer la ecuación de dependencia lineal para este conjunto en dicho

intervalo.

Si se deriva n-1 veces la expresión anterior se obtiene el sistema de

ecuaciones lineales homogéneo:

El wronskiano , W(x), del conjunto A={f1,f2…fn}. en el intervalo (a,b), es el

determinante de la matriz de coeficientes del sistema homogéneo anterior, es

decir:

Finalmente se dice que, si para algún valor x0 que pertenece al intervalo (a,b) el

wronskiano es W(x0)≠0, entonces el conjunto A es Linealmente

Independiente.

Ejemplos

{ }

( |

| , por lo tanto es linealmente dependiente, ya

que para cualquier valor de x es cero.

{ }

( |

| no es idénticamente a cero, ya que existen valores

de x w(x)≠ 0.

{ ( }

( | (

( (

( ( | , por lo tanto es linealmente

dependiente, ya que para cualquier valor de x es cero.

(

Ejemplos

1) Obtener el Wronskiano del conjunto de funciones

{ | |}

Definida en el intervalo (-π, 0). Concluye únicamente a partir del

Wronskiano, sobre la dependencia lineal del conjunto dado.

2) Sea A={f,g} donde

( {

( {

Determinar si el conjunto A es linealmente dependiente o independiente en

cada uno de los siguientes intervalos; -4<x<0, 2<x<4 y 4<x 10.

3) Sea { }

un conjunto de funciones reales de variable real definidas en el intervalo

(-∞,∞).

a) Calcular el Wronskiano de las funciones del conjunto B.

b) Determinar si Bes un conjunto linealmente dependiente o independiente

en el intervalo (-∞,∞).

4) a) Calcular el Wronskiano de las funciones del conjunto { }

c) Determinar si H es un conjunto linealmente dependiente o independiente

en el intervalo (-∞,∞).