Carmen Moreno Tema III. Espacios vectoriales1. Espacios vectoriales2. Dependencia e independencia lineal3. Sistemas generadores. Bases4. Cambio de base5. Subespacios vectoriales. Ecuaciones.6. Interpretación geométrica

1. Espacios vectoriales

Definición. Sea K un cuerpo conmutativo. Un conjunto V≠∆ posee estructura algebraíca de espacio vectorial sobre K cuando:1) l.c.i. en V: :

( , )V V V× →

++

x y x y(V,+): Grupo Abeliano2) l.c.externa con dominio de operadores K:

:( , )K V Vk k× →x x

ii

e.v. 2Verificándose:1. λ·(x+y)= λ·x+ λ·y2. (λ+ µ)·x= λ·x+ µ·x3. λ·(µ·x)= (λ µ)·x4. 1·x=x

Enunciadas ∀x, y∈V,

∀ λ, µ ∈K

x, y: Vectoresλ, µ: Escalares

Ejemplos de espacios vectorialesR2 es un e.v sobre RRn es un e.v sobre RKn es un e.v sobre K(Mmxn(K), +,·) e.v.sobre KPolinomios de grado menor o igual n con

coeficientes en K (Kn[x], +,·)Funciones reales (F, +,·)

En R3 se definen las operaciones:(x,y,z)+(x´,y´,z´)=(x+x´,y+y´,z+z´) y λ·(x,y,z)=(0, λy, λz), λ ∈ R. ¿Es R3 un e.v. sobre R con dichas operaciones?

Ejercicio

e.v. 3Primeras propiedades

A) Derivadas de ser (V,+) Grupo AbelianoB) Específicas de espacio vectorial1. 0K·x=0 para cualquier x∈V2. λ·0=0 para cualquier λ∈K

3.(-λ)·x= λ·(-x)=-(λ·x)4. Si λ·x=0, entonces λ=0K ó x=05. Si λ·x= µ·x, x≠0, entonces λ =µ

2. Dependencia e independencia lineal

Sea (V,+,·) e.v. sobre K y el sistema de vectores {x1, .., xm}⊆V

Definición. El vector x ∈V es una combinaciónlineal de x1, .., xm cuando existen escalares λ1, .., λm ∈K tales que x= λ1 x1+..+ λm xm

• (1,3) ∈R2 es c.l. de los vectores (1,1) y (0,1) ya que (1,3)=1·(1,1)+2·(0,1)

e.v. 4

El sistema {x1, .., xm}⊆Ves ligado ó los vectores x1, .., xm ∈ V son linealmente dependientes (l.d.), cuando existen escalares λ1, .., λm ∈K , no todos ellos nulos y una combinación lineal nula de esos vectores:

λ1 x1+..+ λm xm=0• Los vectores (1,3), (1,1) y (0,1) de R2 son l.d

(-1)·(1,3)+1·(1,1)+2·(0,1)=(0,0)

Definición

Definición.

El sistema {x1, .., xm}⊆Ves libre ó los vectores x1, .., xm ∈ V son linealmente independientes (l.i.), cuando de todacombinación lineal nula de los mismos, λ1 x1+..+ λm xm=0, se deduzca que son nulos todos los escalares: λ1= ...= λm =0• Los vectores (1,2) y (0,1) de R2 son l.i.: De λ1· (1,2) + λ2 · (0,1)=(0,0) se deduce λ1= λ2=0• Método de Gauss

e.v. 5PropiedadesProposición. Un sistema de vectores

{x1, .., xn}⊆V es ligado si y sólo si uno (al menos) de los vectores es c.lineal del resto.

{0}: Sistema ligado de V{z}: Sistema libre de V (z ≠0)

Cualquier subsistema de un sistema libre es libre

Cualquier sistema que contenga un sistema ligado es ligado

• 0∈S ⇒ S: ligadoEjercicios1 Estudiar la dependencia o independencia lineal de los vectores de R3:(-1,3,2), (2,-1,3) y (4,-7,-1)

1 11

2 2 1 2

33 1 3

1 1

2 2

3 2 3

1 3 21 3 22 1 3 0 5 7 24 7 1 0 5 7 4

1 3 20 5 70 0 0

v vvv v v vv v v v

v v

v v

v v v

′ =− − ′− ≡ = + ≡ − − ′ = +

′′ ′=− ′′ ′= ′′ ′ ′ = − +

e.v. 6

3 2 3

1 2 1 3

1 2 3

0(2 ) (4 )

0 2

v v vv v v v

v v v

′′ ′ ′= = − + == − + + + ⇒

= − + ⇒ 2 1 32v v v= +

2 Hallar el valor de x para que el sistema de vectores de R3 {(11,-16,x), (2,-1,3), (1,2,1)} sea ligado.

3. Sistemas generadores. Bases e.v. 7

Envoltura linealF={x1, ..., xn}⊆V

1

i n

iλ λ

=

=

⋅ ∈

∑ ix : KL(F)= ⊆ V =

s.g. de VF={x1, ..., xn}⊆V es un s.g. de V si L(F)=VV⊆L(F): Todo v∈V es c.l de los vectores de F

= Conjunto de todos los vectores c.l. de los vectores x1, ..., xn de FEjemplo

V= R2 , F={(1,1), (0,1)} ⊆ R2

(2,3) ∈ R2

(2,3) ∈ L(F) ya que (2,3)=2·(1,1)+1·(0,1)

•V es un e.v. de tipo finito si posee un s.g. finito• R2 es de tipo finito: F={(1,0), (0,1)} ⊆ R2 es un s.g. de R2 : R2 ⊆L(F): Todo vector (x,y) ∈ R2 es c.l. de los vectores de F: (x,y)=x·(1,0)+y·(0,1)

e.v. 8BaseB ⊆ V es una base de V si :

•B es un sistema libre •B es un s.g. de V

Ejemplo•B={(1,0), (0,1)} ⊆ R2 es una base (canónica) de R2

• Kn, Bc={e1, .., en}, ei=(0,..,1,..,0)

Teorema de la baseTeorema. Sea V un espacio vectorial de tipo finito, {0} V. Entonces

(1) V posee una base (T. Existencia)(2) El nº vectores de cualquier sistema

libre es ≤ nº vectores de cualquier s.g. de V(3) Todas las bases de V tienen el

mismo número de vectores (dimensión)Lema. Si de un s.g. de V se elimina un vector c.l. del resto, el sistema resultante sigue siendo s.g

e.v. 9Dimensión de un e.v.Es el cardinal de una cualquiera de sus bases• dim(R2)=2• dim(Rn)=n• dim(Kn)=n• dim(Kn[x])=n+1: Bc={1, x, x2, .., xn}

• dim(Mmxn(K))=mnCoordenadas de un vector respecto de una

base.• V, dim(V)=n,B={v1, ..., vn}: Base de VB es un s.g. de V⇓

V⊆L(B)⇓

⇓x∈V fix∈L(B)

x= a1 v1+...+ anvn

x=(a1,..., an )BCoordenadas de x resp. de la base B

• Son únicas

fi$ a1,..., an ∈ K :

e.v. 10•Coordenadas de P=1-2x+3x2-x3∈R3[x] P=(1,-2,3,-1)Bc• Coordenadas de la matriz 2

1 2( )

1 3A M

− = ∈

RA=(1,-2,1,3)Bc

Estudio de la dependencia lineal de las matrices de M2(R):

1 3 0 1 2 1, ,

2 0 1 1 2 3A B C

− − − = = = −

Estudio de la dependencia lineal de los polinomios de ∈R2[x] : P1=1-x+x2, P2=-1+2x2, P3=-x+2x2

Estudio de la dependencia lineal de las funciones ex, senx y cosx de (F,+,·)Corolario.Si dim(V)=n entonces, (1)n+1 vectores constituyen un sistema ligado(2) n-1 vectores no pueden ser un s.g. de V

Recuerda: “De todo s.g. de V se puede extraer una base de V”

Teorema de ampliaciónTodo sistema libre de V puede ser ampliado a una base de V.• Dar una base de R3 que contenga al vector (1,2,1)

ConsecuenciaSi dim (V)=n, para que un sistema S de nvectores de V sea una base de V basta con que se cumpla una de las dos condiciones siguientes:

(1) S sea un sistema libre de V(2) S sea un s.g. de V

e.v. 11

4. Cambios de base

V, dim(V)=n. Bases B={u1, ..., un}B´={v1, ...,vn}

1

1 ´

( ) ( ,..., )( ´) ( ,..., )

n B

n B

x L B x x xx V

x L B x y y∈ ⇒ =

∈ ⇒ ∈ ⇒ =

e.v 12

i 1 11 1 1

n 1 1

u ( ´) u ...

u ...

n n

n nn n

L B a v a v

a v a v

∈ ⇒ = + +

= + +

1 1 n 1 1u u (1)n n nx x x y v y v= + + = + +

• Sustituyendo los ui en (1):

1 1 n

1 11 1 1 1 1

1 11 1 1 1 1

1 1

u u( ... ) ( ... )

( ) ( )

n

n n n n nn n

n n n n nn n

n n

x x xx a v a v x a v a vx a x a v x a x a v

y v y v

= + =

= + + + + + + == + + + + + +

= + +

1 11 1 1

1 1

n n

n n nn n

x a x a y

x a x a y

+ + =⇒ + + =

Matricialmente:

( ) ( )11 1

1 1

1

. . .n

n n

n nn

a ax x y y

a a

=

Ecuaciones de un cambio de base

XB·CBB´ = XB´(Filas)

e.v. 13Ejemplo

R3, B={u1,u2,u3} y B´={v1,v2,v3}, donde

u1=-v2+v3u2=v1+v2+v3u3=v2

a) Hallar las ecuaciones del cambio de base de B a B´.b) Halar las coordenadas del vector x=(7,4,9)Ben la base B´.c) Hallar las coordenadas del vector

x=-v1+7v2-5v3 respecto de la base B.

Hallar las coordenadas del vector (3,-2,1) respecto de la base {(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)} deR3

Ejercicio

• Tres bases

B1={(2,1,1), (1,1,1), (1,-1,1)}B2={(1,0,1), (-1,1,1), (1,-1,0)}. Hallar CB1B2

e.v. 145. Subespacios vectoriales. Ecuaciones

• (V,+,·) : e.v. Sobre K.S ⊆V es un subespacio vectorial de V

cuando (S,+,·) :e.v. sobre K

Teorema de caracterizaciónUn subconjunto S ≠∅ de un e.v. V es un subespacio vectorial de V si y sólo si "x,yŒS "α,β∈K se verifica α·x+β·y ŒS

• Es CN: 0 ŒS• Al menos dos s.e.v. impropios: V y {0}• dim (S) ≤dim (V), siendo dim(S)=dim(V)⇔S=V

Ejemplo 1Sea V= R2 . El conjunto S={λ·x: λŒR}⊆ R2

es en s.e.v. de R2 .

Los s.e.v. propios de R2 son rectas que pasan por el origen (0,0)

Ejemplo 2

e.v.15

Los s.e.v. propios de R3 son rectas o planos que contienen al vector (0,0,0)

Sea V= R3 .El conjunto S={(x1,x2,x3): x1-2x2+3x3=0}⊆ R3

es un s.e.v. de R3 .

Ejemplo 3Sea V= R3.El conjunto S={(x1,x2,0): x1,x2∈ R} ⊆ R3 es uns.e.v. de R3

Ejemplo 4

F={x1,..,xn} ⊆ V. La envoltura lineal de F,

L(F)= =<F>

es un s.e.v. de V: Subespacio generado por F1

i n

iλ λ

=

=

⋅ ∈

∑ ix : K ⊆ V

•F es un s.g. del subespacio L(F) ⇒ De F se puede extraer una base de L(F)

e.v. 16Ecuaciones de un subespacio vectorial

(Recta/plano de R3 )• Paramétricas

•Implícitas

Parámetros. (Plano : a y b; l y m; l1 y l2

S={lu+ mv: l, m ΠR})

(Plano: Ax+By+Cz=0)

Ecuaciones paramétricas de un subespacio

V, e.v. , dim(V)=n. B={u1, ..., un}S, s.e.v. de V, dim(S)=s<n. Bs ={v1, ...,vs}

1

1

( ) ( ,..., )

( ) ( ,..., )ss s B

n B

x L B xx S

x L B x x x

λ λ ∈ ⇒ =∈ ⇒ ∈ ⇒ =

1 1 s 1 1v v (1)s n nx x u x uλ λ= + + = + +

i 1 11 1 1

s 1 1

v ( ) v ...

v ...

n n

s sn n

L B a u a u

a u a u

∈ ⇒ = + +

= + +

e.v. 17• Sustituyendo los vi en (1):

1 1 s

1 11 1 1n 1 1

1 11 1 1 1 1

1 1

v v( ... ) ( ... )

( ) ( )

s

n s s sn n

s s n s sn n

n n

xa u a u a u a ua a u a a u

x u x u

λ λλ λλ λ λ λ

= + =

= + + + + + + =

= + + + + + + =

= + +

1 11 1 1

1 1

(1)s s

n s sn n

a a x

a a x

λ λ

λ λ

+ + =⇒ + + =

( ) ( )11 1

1 1

1

. . .n

s n

s sn

a ax x

a aλ λ

=

Matricialmente:

Ecuaciones Paramétricas del s.e.v. S

XBs· Bs = XB(Filas)

Ejemplo 1V= R3 . Sea S el s.e.v. de R3 generado por los vectores (1,0,-1), (2,1,1) y (3,1,0). Dar unas ecuaciones paramétricas del s.e.v. S

Ecuaciones implícitas (o cartesianas) de S

e.v. 18

• nº ec.Implícitas l.i.de S= dim(V)-dim(S)=n-s• A partir de las paramétricas, eliminando parámetros.• Se obtienen anulando n-s menores de orden > s de la matriz ampliada, A*, del sistema (1)

Bs={(1,0,-1), (0,1,3)} ⇒B=Bc de R3

( ) ( )1 2 1 2 3

1 0 10 1 3

x x xλ λ−

=

Dim (S)=2: Plano

XBs· Bs = XB

λλ

λ λ

=⇒ =− + =

1 1

2 2

1 2 3

(1)3

xxx

S={(l1, l2, - l1+3 l2): l1, l2 ∈ R}=

={l1(1,0,-1) + l2(0,1,3): l1, l2 ∈ R}

x ∈S

Ec. Paramétricasde S

e.v. 19

λλ

λ λ

= =− + =

1 1

2 2

1 2 3

, (1)3

xS x

x

Ejemplo Ecuaciones implícitas del plano S del ejemplo 1

1 00 1 ( ) ( ) 21 3

ts sA B r A r B

= = ⇒ = = −

(1): Compatible fi r(A*) debe ser 2

1

2

3

1 0* 0 1

1 3

xA x

x

= −

fi1

2

3

1 0* 0 0 1 0

1 3

xA x

x= ⇒ =

−

x1-3x2+x3=0

Sistema (1): Ecuaciones paramétricas de S.

n-s=3-2=1 ecuación implícta del plano S.

Paso de ecuaciones implícitas a paramétricase.v. 20

Obtener la base Bs: dos vectores l.i. que satisfagan el sistema (2)

• Dar unas ecuaciones paramétricas del s.e.v. S de R3 de ecuación impícita x1-3x2+x3=0 (2).

nº ecs. Implícitas =dim (V) – dim(S) fidim(S) =2: S: PLANO

x2=lx3= mx1=3 l- m, l, m∈R

S={(3 l- m, l, m): l, m∈R}

Bs={(3,1,0), (-1,0,1)}

l =1m=0

m =1l =0

XBs· Bs = XB

e.v. 216. Interpretación geométrica

Los s.e.v. propios de R2 son rectas que pasan por el origen (0,0)

Los s.e.v. propios de R3 son rectas o planos que contienen al vector (0,0,0)