Espacios Vectoriales · 2019-03-11 · Espacios Vectoriales Semana 6 [9/60] Definición Espacio...
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Semana 6 [1/60]
Espacios Vectoriales
24 de agosto de 2007
Espacios Vectoriales
Espacios Vectoriales Semana 6 [2/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [3/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [4/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [5/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [6/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [7/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [8/60]
Definición
Consideremos (V , +) un grupo Abeliano, es decir
+ es ley de composición interna
+ es asociativa y conmutativa.
Existe neutro, 0 ∈ V , tal que: ∀x ∈ V , x + 0 = 0 + x = x .
∀x ∈ V , existe un inverso aditivo, −x ∈ V , tal quex + (−x) = (−x) + x = 0.
Sea además K un cuerpo y definamos unaley de composición externaK× V → V
(λ, v) 7→ λv ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [9/60]
Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [10/60]
Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [11/60]
Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [12/60]
Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [13/60]
Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [14/60]
Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Definición
Espacio VectorialDado (V , +) grupo abeliano y (K, +, ·) cuerpo, con una ley de composiciónexterna.V es un espacio vectorial sobre K si y sólo si la ley de composición externasatisface ∀λ, β ∈ K , x , y ∈ V :(EV1) (λ + β)x = λx + βx .
(EV2) λ(x + y) = λx + λy .
(EV3) λ(βx) = (λβ)x .
(EV4) 1 x = x , donde 1 es el neutro multiplicativo del cuerpo K.
v ∈ V −→ vector .
λ ∈ K −→ escalar .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [16/60]
Ejemplos
EjemplosKn es espacio vectorial sobre K.
(Mmn(K), +) es espacio vectorial sobre K con la ley de composiciónexterna: K×Mmn(K) → Mmn(K)
(λ, A) 7→ λA = (λaij)
Pn(R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n esespacio vectorial sobre R, con las operaciones:
∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)
∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)
o bien, si p(x) =n
∑
i=0aix i , q(x) =
n∑
i=0bix i
(p + q)(x) =n
∑
i=0
(ai + bi)x i , (λp)(x) =n
∑
i=0
(λai)x i .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [17/60]
Ejemplos
EjemplosKn es espacio vectorial sobre K.
(Mmn(K), +) es espacio vectorial sobre K con la ley de composiciónexterna: K×Mmn(K) → Mmn(K)
(λ, A) 7→ λA = (λaij)
Pn(R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n esespacio vectorial sobre R, con las operaciones:
∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)
∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)
o bien, si p(x) =n
∑
i=0aix i , q(x) =
n∑
i=0bix i
(p + q)(x) =n
∑
i=0
(ai + bi)x i , (λp)(x) =n
∑
i=0
(λai)x i .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [18/60]
Ejemplos
EjemplosKn es espacio vectorial sobre K.
(Mmn(K), +) es espacio vectorial sobre K con la ley de composiciónexterna: K×Mmn(K) → Mmn(K)
(λ, A) 7→ λA = (λaij)
Pn(R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n esespacio vectorial sobre R, con las operaciones:
∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)
∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)
o bien, si p(x) =n
∑
i=0aix i , q(x) =
n∑
i=0bix i
(p + q)(x) =n
∑
i=0
(ai + bi)x i , (λp)(x) =n
∑
i=0
(λai)x i .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [19/60]
Ejemplos
EjemplosKn es espacio vectorial sobre K.
(Mmn(K), +) es espacio vectorial sobre K con la ley de composiciónexterna: K×Mmn(K) → Mmn(K)
(λ, A) 7→ λA = (λaij)
Pn(R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n esespacio vectorial sobre R, con las operaciones:
∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)
∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)
o bien, si p(x) =n
∑
i=0aix i , q(x) =
n∑
i=0bix i
(p + q)(x) =n
∑
i=0
(ai + bi)x i , (λp)(x) =n
∑
i=0
(λai)x i .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [20/60]
Ejemplos
EjemplosKn es espacio vectorial sobre K.
(Mmn(K), +) es espacio vectorial sobre K con la ley de composiciónexterna: K×Mmn(K) → Mmn(K)
(λ, A) 7→ λA = (λaij)
Pn(R) el conjunto de los polinomios de grado menor o igual a n esespacio vectorial sobre R, con las operaciones:
∀p, q ∈ Pn(R), (p + q)(x) = p(x) + q(x)
∀λ ∈ R, (λp)(x) = λp(x)
o bien, si p(x) =n
∑
i=0aix i , q(x) =
n∑
i=0bix i
(p + q)(x) =n
∑
i=0
(ai + bi)x i , (λp)(x) =n
∑
i=0
(λai)x i .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [21/60]
Ejemplos
Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v
donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.
El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C
(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi
Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.
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Espacios Vectoriales Semana 6 [22/60]
Ejemplos
Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v
donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.
El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C
(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi
Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.
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Espacios Vectoriales Semana 6 [23/60]
Ejemplos
Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v
donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.
El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C
(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi
Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.
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Espacios Vectoriales Semana 6 [24/60]
Ejemplos
Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v
donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.
El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C
(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi
Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.
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Espacios Vectoriales Semana 6 [25/60]
Ejemplos
Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v
donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.
El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C
(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi
Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.
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Espacios Vectoriales Semana 6 [26/60]
Ejemplos
Dado un cuerpo (K, +, ·) arbitrario, definamos la ley de composición:K×K→ K(λ, v) 7→ λ · v
donde ” · ” es la multiplicación en el cuerpo K.Entonces K es e.v. sobre K.
El grupo Abeliano (C, +) con la ley de composición externa:R× C → C
(λ, a + bi) → λ(a + bi) = λa + λbi
Es un espacio vectorial sobre R pero no es el mismo espacio vectorialdefinido sobre C.
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Espacios Vectoriales Semana 6 [27/60]
Un par de propiedades
EjercicioSea V un e.v. sobre K. Se tiene que:
1 0v = v0 = 0, ∀v ∈ V , 0 ∈ K, elemento neutro aditivo de K.
2 λ0 = 0λ = 0, ∀λ ∈ K, 0 ∈ V , elemento neutro aditivo de V .
3 λv = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0, λ ∈ K, v ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [28/60]
Un par de propiedades
EjercicioSea V un e.v. sobre K. Se tiene que:
1 0v = v0 = 0, ∀v ∈ V , 0 ∈ K, elemento neutro aditivo de K.
2 λ0 = 0λ = 0, ∀λ ∈ K, 0 ∈ V , elemento neutro aditivo de V .
3 λv = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0, λ ∈ K, v ∈ V .
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Espacios Vectoriales Semana 6 [29/60]
Un par de propiedades
EjercicioSea V un e.v. sobre K. Se tiene que:
1 0v = v0 = 0, ∀v ∈ V , 0 ∈ K, elemento neutro aditivo de K.
2 λ0 = 0λ = 0, ∀λ ∈ K, 0 ∈ V , elemento neutro aditivo de V .
3 λv = 0 ⇒ λ = 0 ∨ v = 0, λ ∈ K, v ∈ V .
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [30/60]
Definición
Subespacio vectorialSea V espacio vectorial sobre K. U 6= φ, es un subespacio vectorial (s.e.v)de V si y sólo si:
1 ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U2 ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, λu ∈ U.
Es decir, ambas operaciones, la interna y la externa, son cerradas en U.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [31/60]
Definición
Subespacio vectorialSea V espacio vectorial sobre K. U 6= φ, es un subespacio vectorial (s.e.v)de V si y sólo si:
1 ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U2 ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, λu ∈ U.
Es decir, ambas operaciones, la interna y la externa, son cerradas en U.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [32/60]
Definición
Subespacio vectorialSea V espacio vectorial sobre K. U 6= φ, es un subespacio vectorial (s.e.v)de V si y sólo si:
1 ∀u, v ∈ U, u + v ∈ U2 ∀λ ∈ K, ∀u ∈ U, λu ∈ U.
Es decir, ambas operaciones, la interna y la externa, son cerradas en U.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [33/60]
Caracterización
ProposiciónV e.v. sobre K. U 6= φ, es subespacio vectorial (s.e.v) de V si y sólo si:
∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, λ1u1 + λ2u2 ∈ U.
AtenciónSi U es s.e.v. de V , entonces 0 ∈ U.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [34/60]
Caracterización
ProposiciónV e.v. sobre K. U 6= φ, es subespacio vectorial (s.e.v) de V si y sólo si:
∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, λ1u1 + λ2u2 ∈ U.
AtenciónSi U es s.e.v. de V , entonces 0 ∈ U.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [35/60]
Caracterización
ProposiciónV e.v. sobre K. U 6= φ, es subespacio vectorial (s.e.v) de V si y sólo si:
∀λ1, λ2 ∈ K, ∀u1, u2 ∈ U, λ1u1 + λ2u2 ∈ U.
AtenciónSi U es s.e.v. de V , entonces 0 ∈ U.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [36/60]
Ejemplos
EjemplosPn(R), es subespacio de F(R,R).
U = {(x , y)/ax + by = 0} es un subespacio vectorial de R2.
Dada M ∈ Mmn(R), el conjunto U = {x ∈ Rn/Mx = 0} es un s.e.v. de Rn.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [37/60]
Ejemplos
EjemplosPn(R), es subespacio de F(R,R).
U = {(x , y)/ax + by = 0} es un subespacio vectorial de R2.
Dada M ∈ Mmn(R), el conjunto U = {x ∈ Rn/Mx = 0} es un s.e.v. de Rn.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [38/60]
Ejemplos
EjemplosPn(R), es subespacio de F(R,R).
U = {(x , y)/ax + by = 0} es un subespacio vectorial de R2.
Dada M ∈ Mmn(R), el conjunto U = {x ∈ Rn/Mx = 0} es un s.e.v. de Rn.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [39/60]
Intersecciones y uniones de s.e.v’s
Sea V e.v. sobre K y U, W ⊆ V s.e.v.’s de V .
U ∩ W es subespacio vectorial de V .
Sin embargo,U ∪ W no tiene por qué serlo.
EjemploU = {(x , y) ∈ R2/x − y = 0}, W = {(x , y) ∈ R2/y − 2x = 0} como s.e.v.’s deR2.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [40/60]
Intersecciones y uniones de s.e.v’s
Sea V e.v. sobre K y U, W ⊆ V s.e.v.’s de V .
U ∩ W es subespacio vectorial de V .
Sin embargo,U ∪ W no tiene por qué serlo.
EjemploU = {(x , y) ∈ R2/x − y = 0}, W = {(x , y) ∈ R2/y − 2x = 0} como s.e.v.’s deR2.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [41/60]
Intersecciones y uniones de s.e.v’s
Sea V e.v. sobre K y U, W ⊆ V s.e.v.’s de V .
U ∩ W es subespacio vectorial de V .
Sin embargo,U ∪ W no tiene por qué serlo.
EjemploU = {(x , y) ∈ R2/x − y = 0}, W = {(x , y) ∈ R2/y − 2x = 0} como s.e.v.’s deR2.
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Subespacios Vectoriales Semana 6 [42/60]
Intersecciones y uniones de s.e.v’s
Sea V e.v. sobre K y U, W ⊆ V s.e.v.’s de V .
U ∩ W es subespacio vectorial de V .
Sin embargo,U ∪ W no tiene por qué serlo.
EjemploU = {(x , y) ∈ R2/x − y = 0}, W = {(x , y) ∈ R2/y − 2x = 0} como s.e.v.’s deR2.
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Combinaciones lineales Semana 6 [43/60]
Definición
Combinación linealSea V e.v. sobre K, y una colección de vectores v1, v2, ..., vn ∈ V , y deescalares λ1, ..., λn ∈ K .
Se llama combinación lineal an
∑
i=1
λivi = λ1v1 + ... + λnvn ∈ V .
Se define además:
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Espacios Vectoriales
Combinaciones lineales Semana 6 [44/60]
Definición
Combinación linealSea V e.v. sobre K, y una colección de vectores v1, v2, ..., vn ∈ V , y deescalares λ1, ..., λn ∈ K .
Se llama combinación lineal an
∑
i=1
λivi = λ1v1 + ... + λnvn ∈ V .
Se define además:
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Espacios Vectoriales
Combinaciones lineales Semana 6 [45/60]
Definición
Combinación linealSea V e.v. sobre K, y una colección de vectores v1, v2, ..., vn ∈ V , y deescalares λ1, ..., λn ∈ K .
Se llama combinación lineal an
∑
i=1
λivi = λ1v1 + ... + λnvn ∈ V .
Se define además:
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Espacios Vectoriales
Combinaciones lineales Semana 6 [46/60]
Subespacio vectorial generado
Se tiene que:
ProposiciónSean V e.v. y v1, ..., vn ∈ V . Entonces
〈{v1, . . . , vn}〉 es un subespacio vectorial de V .
Es el s.e.v. más pequeño que contiene los vectores v1, . . . , vn. Es decir, siotro s.e.v U los contiene, entonces 〈{v1, . . . , vn}〉 ⊆ U.
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Subespacio vectorial generado por {vi}
ni=1.
Espacios Vectoriales
Combinaciones lineales Semana 6 [47/60]
Subespacio vectorial generado
Se tiene que:
ProposiciónSean V e.v. y v1, ..., vn ∈ V . Entonces
〈{v1, . . . , vn}〉 es un subespacio vectorial de V .
Es el s.e.v. más pequeño que contiene los vectores v1, . . . , vn. Es decir, siotro s.e.v U los contiene, entonces 〈{v1, . . . , vn}〉 ⊆ U.
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Subespacio vectorial generado por {vi}
ni=1.
Espacios Vectoriales
Combinaciones lineales Semana 6 [48/60]
Subespacio vectorial generado
Se tiene que:
ProposiciónSean V e.v. y v1, ..., vn ∈ V . Entonces
〈{v1, . . . , vn}〉 es un subespacio vectorial de V .
Es el s.e.v. más pequeño que contiene los vectores v1, . . . , vn. Es decir, siotro s.e.v U los contiene, entonces 〈{v1, . . . , vn}〉 ⊆ U.
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Subespacio vectorial generado por {vi}
ni=1.
Espacios Vectoriales
Combinaciones lineales Semana 6 [49/60]
Subespacio vectorial generado
Se tiene que:
ProposiciónSean V e.v. y v1, ..., vn ∈ V . Entonces
〈{v1, . . . , vn}〉 es un subespacio vectorial de V .
Es el s.e.v. más pequeño que contiene los vectores v1, . . . , vn. Es decir, siotro s.e.v U los contiene, entonces 〈{v1, . . . , vn}〉 ⊆ U.
〈{v1, ..., vn}〉 = {v ∈ V/v =n
∑
i=1
λivi , λi ∈ K}.Subespacio vectorial generado por {vi}
ni=1.
Espacios Vectoriales
Dependencia e independencia lineal Semana 6 [50/60]
Definición
Definiciones{vi}
ni=1 ⊆ V , son linealmente dependientes (l.d.) si y solo si: existen
escalares {λ1, ..., λn}, no todos nulos, tales quen∑
i=1λivi = 0.
En caso contrario son linealmente independientes (l.i.):n
∑
i=1
λivi = 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, ..., n,
Espacios Vectoriales
Dependencia e independencia lineal Semana 6 [51/60]
Definición
Definiciones{vi}
ni=1 ⊆ V , son linealmente dependientes (l.d.) si y solo si: existen
escalares {λ1, ..., λn}, no todos nulos, tales quen∑
i=1λivi = 0.
En caso contrario son linealmente independientes (l.i.):n
∑
i=1
λivi = 0 ⇒ λi = 0 ∀i = 1, ..., n,
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [52/60]
Observaciones
ObservacionesPara A, B ⊆ V ,
0 ∈ A ⇒ A es l.d.
A es l.d. y A ⊆ B, entonces B es l.d.
A es l.i. y B ⊆ A, entonces B es l.i.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [53/60]
Observaciones
ObservacionesPara A, B ⊆ V ,
0 ∈ A ⇒ A es l.d.
A es l.d. y A ⊆ B, entonces B es l.d.
A es l.i. y B ⊆ A, entonces B es l.i.
Espacios Vectoriales
Dependencia e independencia lineal Semana 6 [54/60]
Observaciones
ObservacionesPara A, B ⊆ V ,
0 ∈ A ⇒ A es l.d.
A es l.d. y A ⊆ B, entonces B es l.d.
A es l.i. y B ⊆ A, entonces B es l.i.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [55/60]
Caso de Kn
Dado un conjunto de m vectores {v1, ..., vm} ⊆ Kn, donde vi = (v1i , ..., vni),
i = 1, ..., m.
Podemos estudiar su dependencia o independencia lineal a través de unsistema de n por m:
λ1v1 + ... + λmvm = 0
⇔ λ1
v11
v21...
vn1
+ λ2
v12
v22...
vn2
+ ... + λm
v1m
v2m...
vnm
=
0......0
⇔
v11 v12 · · · v1m
v21 v22 · · · v2m... ... ...
vn1 vn2 · · · vnm
λ1
λ2...
λm
=
0......0
∈ Km.
{vi}mi=1 es l.d. si y sólo si el sistema anterior tiene más de una soluci ón.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [56/60]
Caso de Kn
Dado un conjunto de m vectores {v1, ..., vm} ⊆ Kn, donde vi = (v1i , ..., vni),
i = 1, ..., m.
Podemos estudiar su dependencia o independencia lineal a través de unsistema de n por m:
λ1v1 + ... + λmvm = 0
⇔ λ1
v11
v21...
vn1
+ λ2
v12
v22...
vn2
+ ... + λm
v1m
v2m...
vnm
=
0......0
⇔
v11 v12 · · · v1m
v21 v22 · · · v2m... ... ...
vn1 vn2 · · · vnm
λ1
λ2...
λm
=
0......0
∈ Km.
{vi}mi=1 es l.d. si y sólo si el sistema anterior tiene más de una soluci ón.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [57/60]
Caso de Kn
Dado un conjunto de m vectores {v1, ..., vm} ⊆ Kn, donde vi = (v1i , ..., vni),
i = 1, ..., m.
Podemos estudiar su dependencia o independencia lineal a través de unsistema de n por m:
λ1v1 + ... + λmvm = 0
⇔ λ1
v11
v21...
vn1
+ λ2
v12
v22...
vn2
+ ... + λm
v1m
v2m...
vnm
=
0......0
⇔
v11 v12 · · · v1m
v21 v22 · · · v2m... ... ...
vn1 vn2 · · · vnm
λ1
λ2...
λm
=
0......0
∈ Km.
{vi}mi=1 es l.d. si y sólo si el sistema anterior tiene más de una soluci ón.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [58/60]
Caso de Kn
Dado un conjunto de m vectores {v1, ..., vm} ⊆ Kn, donde vi = (v1i , ..., vni),
i = 1, ..., m.
Podemos estudiar su dependencia o independencia lineal a través de unsistema de n por m:
λ1v1 + ... + λmvm = 0
⇔ λ1
v11
v21...
vn1
+ λ2
v12
v22...
vn2
+ ... + λm
v1m
v2m...
vnm
=
0......0
⇔
v11 v12 · · · v1m
v21 v22 · · · v2m... ... ...
vn1 vn2 · · · vnm
λ1
λ2...
λm
=
0......0
∈ Km.
{vi}mi=1 es l.d. si y sólo si el sistema anterior tiene más de una soluci ón.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [59/60]
Caso de Kn
Dado un conjunto de m vectores {v1, ..., vm} ⊆ Kn, donde vi = (v1i , ..., vni),
i = 1, ..., m.
Podemos estudiar su dependencia o independencia lineal a través de unsistema de n por m:
λ1v1 + ... + λmvm = 0
⇔ λ1
v11
v21...
vn1
+ λ2
v12
v22...
vn2
+ ... + λm
v1m
v2m...
vnm
=
0......0
⇔
v11 v12 · · · v1m
v21 v22 · · · v2m... ... ...
vn1 vn2 · · · vnm
λ1
λ2...
λm
=
0......0
∈ Km.
{vi}mi=1 es l.d. si y sólo si el sistema anterior tiene más de una soluci ón.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [60/60]
Caso de Rn
Así:
TeoremaEn Rn, m > n vectores son siempre linealmente dependientes.
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Dependencia e independencia lineal Semana 6 [61/60]
Caso de Rn
Así:
TeoremaEn Rn, m > n vectores son siempre linealmente dependientes.
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