Unitat4: Equacions amb dues incògnites. Sistemes

Equacions amb dues incògnites

El triple d’un nombre més un altre és igual a 53x+y =5

Tenim dues incògnites = x i yL’equació és de primer grau (tant la x com la y estan elevats a 1)Quins valors podem donar a x i a y perquè l’equació tingui solució?Ex: x=0 y=5

ResolucióPer trobar solucions d’una equació de primer grau en dues incògnites, procedirem de la manera següent:- Tenim la següent equació 3x+y=5- Aïllem la y= 5-3x- Donem valors a la x de manera aleatòria de manera que obtinguem la y

x Y=5-3x-2 5 - 3· (-2) = 5 + 6 = 11-1 5 - 3· (-1) = 5 + 3 = 80 5 - 3· 0 = 5 + 0 = 51 5 - 3· (+1) = 5 -3 = 22 5 - 3· (2) = 5 -6 = -1

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

x

yRepresentació gràfica de les

solucions

x Y=5-3x-2 5 - 3· (-2) = 5 + 6 = 11

-1 5 - 3· (-1) = 5 + 3 = 8

0 5 - 3· 0 = 5 + 0 = 51 5 - 3· (+1) = 5 -3 = 22 5 - 3· (2) = 5 -6 = -1

Representació gràfica

x Y=-2x +5 Punt

1 -2· (1) + 5 = -2 + 5= +3 A(1,3)

2 -2· (2) + 5 = -4 + 5= +1 B(2,1)

3 -2· (3) + 5 = -6 + 5= -1 C(3,-1)4 -2· (4) + 5 = -8 + 5= -3 D(4,-3)5 -2· (5) + 5 = -10 + 5= -5 E(5,-5)

Sistema d’equacionsUn sistema d’equacions és una parella d’equacions formada per dos incògnites cada una on es busca una solució comunaLlenguatge algebraicLa suma de dos només és igual a 5 x + y=5El doble del primer menys 4 és igual al segon 2x -4 =y

Resolució gràfica

x y= -x + 3 Punt-1 -(-1) + 3 = 4 (-1,4)0 0 +3 = +3 (0,+3)1 -1 + 3=2 (1,2)

x y=x+1 Punt-1 -1 + 1=0 (-1,0)0 0 + 1= 1 (0,1)1 1 + 1 = 2 (1,2)

La solució del sistema és:

x =1

Y=2

x + y =3 Y = – x + 3 y= - x +3

x – y =-1 -y= -x – 1 y= x + 1

Sistemes equivalentsDos sistemes d’equacions són equivalents si tenen les mateixes solucions

Mètodes de resolució de sistemesEs poden fer servir diferents mètodes:

- Mètode de substitució- Mètode d’igualació- Mètode de reducció

Mètode substitució

Mètode de substitució

Mètode d’igualació

Mètode d’igualació

Mètode de reducció

Mètode de reducció

Tipus de sistemesSegons les solucions, els sistemes es classifiquen en:- Compatibles determinats: 1 solució- Compatibles indeterminats: infinites solucions- Incompatibles: no tenen solució

Sistema compatible determinat

El sistema compatible determinat té una única solució. La representació gràfica del sistema són dues rectes que es tallen a un sol punt (tenen un únic punt en comú)

x + 2·y = 5, 3·x + y = 10

Solució:x = 3y = 1

Sistema compatible indeterminat

El sistema compatible indeterminat té infinites solucions. La representació gràfica del sistema són dues rectes que coincideixen (tots els punts són comuns)

3·x + 2·y = 106·x + 4·y = 20

Sistemes incompatiblesEl sistema incompatible no té solució. La representació gràfica del sistema són dues rectes paral·leles (no tenen cap punt en comú)

-x + 3·y = 9

2·x - 6·y = 1

Resolució de problemesLectura atentade l'enunciat

Calcula dos nombre que la seva suma és 10 i la diferència és 6.

Elecció de la incògnita

Primer nombre: xSegon nombre y

Plantejament del sistema

x + y =9x – y =6

Resolució de l’equació

Mètode de reducció2x=15

Resposta x= 7,5y = 1,5

Comprovació x + y =9 x - y =9 7,5 + 1,5 =9 7,5 – 1,5 =6