Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques · • Treballar amb logaritmes. •...

14Funcions exponencials,

logarítmiques i trigonomètriques

En aquesta Unitat aprendràs a:• Treballar amb la funció exponencial.• Treballar amb logaritmes.• Resoldre equacions exponencials i logarítmiques. • Conèixer les característiques fonamentals de les funcions exponencials i logarítmiques.• Aplicar aquestes funcions a situacions reals com l’interès compost i el decreixement radioactiu, entre d’altres.• Manejar la calculadora per a calcular exponencials i logaritmes.• Conèixer les característiques fonamentals de les funcions trigonomètriques i a interpretar alguns fenòmens periòdics.• Representar funcions trigonomètriques senzilles.

Bach_CT_U14_VAL.indd 273Bach_CT_U14_VAL.indd 273 19/5/08 14:04:5819/5/08 14:04:58

274

f (x)=2x

f (x)=ex

f (x)=1,5x

-1

1

2

3

4

5

-1 1 2 3-2-3

f (x)=(0,5)x=2-x

f (x)=(1/e)x=e-x

f (x)=0,6x

-1

1

2

3

-1 1 2 3-2-3

-2

1

2

3

4

5

6

-1 1 2 3

f (x)=0,4x

f (x)=3x

-3

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques14.1 La funció exponencial

14.1 La funció exponencial

En la funció exponencial, la variable independent fi gura en l’exponent d’una potència. La seva

expressió més simple és f (x)5a x , on a . 0 i a ? 1.

Les seves característiques fonamentals són:• El seu valor sempre és positiu. Això és:

f (x)5a x > 0 , per a tot x. • Si la base a . 1, la funció sempre és creixent.• Si la base 0 , a , 1, la funció sempre és decreixent.• L’eix OX, la recta y 5 0, és una asímptota horitzontal de la funció; cap a 2` si a . 1, o

cap a 1 ̀ si 0 , a , 1.

En les següents fi gures es mostren algunes gràfi ques de funcions exponencials.

La funció general f (x)5ag ( x ) , a . 0 està defi nida sempre que ho estigui g(x). Així, per

exemple, f (x)53 x2 21 està defi nida per a tot nombre real; mentre que f (x)531/( x2 21) no està

defi nida quan x 5 21 o x 5 1.

Les funcions f (x)52 x

i f (x)51,5 x són

creixents.

Fig. 14.1.

Les funcions f (x)50,5 x 522 x i

f (x)50,6 x són decreixents

Fig. 14.2.

x 23 22 21 0 1 2 3

f (x)53 x 1/27 1/9 1/3 1 3 9 27

h(x)50,4 x 15,625 6,25 2,5 1 0,4 0,16 0,064

Representa, amb l’ajuda de la calculadora, les funcions f (x)53 x i

h(x)50,4 x .

Construïm la taula de valors:

Representats els parells respectius s’obtenen les gràfi ques adjuntes.

Exemple 1

Activitats

1> Representa, amb l’ajuda de la calculadora, les funcions f (x)51,8 x i

h(x)50,3 x .

f (x)522 x és sempre decreixent i sempre negativa, perquè és l’oposada de

f (x)52 x.

Fig. 14.3.


275

-2

1

2

3

-11 2 3

y=logx

-3

4 5 6 7

y=lnx

x

y

-2

123

-1 1 2 3

y=log2x

4

4 5 6-2

y=2x

x

y

56

Fig. 14.4.

Fig. 14.5.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques14.2. La funció logarítmica

14.2 La funció logarítmica

A. Logaritme d’un nombre. Propietats

Per defi nició, log

ax 5b ⇔ a

b 5 x .

log

ax es llegeix logaritme en base a de x. La base a ha de ser positiva i diferent d’1.

Així, per exemple: log28 5 3, aleshores 23 5 8; log

5 25 5 2, aleshores 52 5 25.

Les bases usuals són a 5 10 i a 5 e. Als logaritmes en base 10 se’ls anomena decimals; els logaritmes en base e s’anomenen neperians. Tots dos es poden trobar amb l’ajuda d’una cal-

culadora, amb les tecles log i ln , respectivament.

Per exemple:

log10 10000 5 4, aleshores 104 5 10000; log 0,001 5 log 1023 5 23

log 18 5 1,25527… ln 3,45 5 1,23837…

El logaritme dels nombres reals menors o iguals que 0 no està defi nit.Per exemple, log (21) o log 0 no existeixen. La calculadora dóna missatge d’error.

Les propietats fonamentals són:

1. log

a(A?B)5log

aA1log

aB Exemple: log 5 1 log 20 5 log (5 ? 20) 5 log 100 5 2

2. log

aAn 5n log

aA Exemple: log 57 5 7 ? log 5; log 3x 5 xlog 3

3. log

a

A

B5log

aA2log

aB Exemple:

log

1

205log12log2052log20

B. La funció logarítmica

L’expressió de la funció logarítmica és:

f (x)5log

ax (a . 0; a ? 1).

• Les bases usuals són a 5 10 i a 5 e. Funcions: f (x)5log x i

f (x)5ln x .• El seu domini de defi nició són els nombres reals més grans que 0.• L’eix OY, la recta x 5 0, és asímptota vertical de la seva corba. • La gràfi ca de la funció logarítmica és la que s’indica en la fi gura adjunta.

Alguns parells de la funció y5ln x

són: (0,5, 20,69); (1, 0); (1,5, 0,41); (2, 0,69); (3, 1,1);

(5, 1,61). En tots els casos hem arrodonit a les centèsimes. Representa’ls i troba la seva gràfi ca aproximada.

La funció general f (x)5log

ag(x) està defi nida sempre que g(x) . 0.

Com que f (x)5log

ax ⇔

x 5a f ( x ) , s’observa que una funció exponencial està associada a una

funció logarítmica. Per ser més precisos, les funcions exponencial i logarítmica són inverses; això és, si apliquem successivament el logaritme i l’exponencial en la mateixa base, tornem al punt de partida. És a dir:

1. log

aa x 5 x 2.

alog

ax 5 x

En particular:

a) log

10101,3 51,3 b)

10log

101,3 5100,11394... 51,3

És evident que:

log

aan 5n , per a tot n.

En particular:log 10n 5 n; ln en 5 n,

Igualment:

log

a150, llavors

a0 51.

En particular:log 1 5 0; ln 1 5 0.


276

En el CD i en el CEO (centre de ensenyament en línia) creats per a aquest projecte podràs trobar el següent material addicional:Enllaços, bibliografia i activi-tats interactives sobre fun cions exponencials, logarítmiques i trigono mètriques.

14.3 Equacions exponencials

Les equacions exponencials són aquelles en les quals la incògnita apareix en l’exponent. Alguns exemples són:

a) 3x 5 9; b)

1

2 x532 ; c) 4x 2 5 ? 2x 2 24 5 0; d) 17x 5 1700

Els mètodes de resolució bàsics són dos:

1. Quan no hi ha sumands es poden resoldre amb l’ajuda del logaritme. (Si els dos membres de l’equació es poden posar com a potències de la mateixa base, n’hi hauria prou d’igualar els exponents; donant així lloc a una equació normal.)

Així, les equacions a) i b) de dalt són immediates, ja que: 3x 5 9 ⇔ 3x 5 32 ⇒ igualant exponent, que x 5 2.

Igualment, 1

2 x325

⇔ 22x 5 32 ⇔ 22x 5 25 ⇒ x 5 25.

2. Si hi ha sumands, en alguns casos es resolen transformant-les prèviament mit-jançant un canvi de variable; un canvi afortunat pot ser a

x 5t . Les resoldrem més endavant.

A. Casos bàsics d’equacions lligades a exponencials i logaritmes

Són els següents:

1. ax 5b ; 2. x

a 5b ;

3. log

ax 5b ; 4.

log

ab5 x ; 5.

log

xa5b

Observa que en cap cas hi ha sumands.Es resolen utilitzant la defi nició de logaritme i/o la calculadora.

Cas 1: Equació ax 5b . (En general, cal que a i b siguin positius)

Es resolen aplicant logaritmes.

Per a resoldre l’equació 17x 5 17 000, aplicant logaritmes es té:

log(17x) 5 log 17000 ⇒ x log175log17000 ⇒

x 5

log17000

log1753,438...

Cas 2: Equació xa = b . (Si b és negatiu aquesta expressió no té sentit)

Es pot resoldre directament amb la calculadora si tenim en compte que:

xa 5b ⇔ x aa 5 ba ⇔

x 5b1/a

També es resolen aplicant logaritmes. (O antilogaritmes.)

Així, l’equació x

4 ,2 54,2 es pot resoldre de dues maneres:

a) Aïllant: x

4 ,2 54,2 ⇒ x 54,21/4 ,2 54,20,2380952381 51,407319444

b) Aplicant logaritmes: x

4 ,2 54,2 ⇒ log x 4 ,2 5log4,2 ⇒

⇒ 4,2log x 5log4,2 ⇒

log x 5

log4,2

4,25

0,6232492904

4,250,1483926882 ⇒

⇒ x 5 antilog 0,1483926882 5 1,407319444.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.3 Equacions exponencials

Ús de la calculadora

1. antilog 0,1483926882 5 100,1483926882. Amb la calculadora s’obté aplicant successivament les teclesSHIFT log

2. Posem tants decimals perquè el lector pugui comprovar el resultat amb seguretat; també perquè si s’ometen, el resultat pot diferir notablement. Així, per exemple, si escrivim

log x 5

log4,2

4,25

0,6

4,2...50,14

⇒ ⇒ x 5 antilog 0,14 5 1,38 ? 1,4073…

Encara que el Cas 2 xa 5b es pot fer

amb calculadora, resulta més instruc-tiu resoldre’l aplicant logaritmes.


277

Cas 3: Equació log

ax 5b

Es resol utilitzant la defi nició de logaritme i la potenciació, ja que

log

ax 5b ⇔ x 5ab

Així, de log x 5 2,3 ⇒ x 5 102,3 ⇒ x 5 199,5262315 (També: x 5 antilog 2,3)

Igualment, si log

3x 521,3 ⇒ x 5 321,3 5 0,2397410311.

Cas 4: Equació log

ab5 x

Si les bases són 10 o e es resolen directament amb la calculadora; en qualsevol altre cas cal aplicar la defi nició de logaritme. (O aplicar la fórmula del canvi de base.)

Per exemple:

a) El cas log13,65 x és immediat; només cal utilitzar la calculador: x 5 1,1335.

b) En canvi, log1/2

4 5 x es pot resoldre aplicant la defi nició de logaritme, ja que log

1/2 4 5 x ⇔ 1

2 x54 ⇒ 22x 5 22 ⇒ x 5 22.

I també aplicant la fórmula:

x 5

log4

log1 / 25

0,6020599913

20,3010299957522

Cas 5: Equació log

xa5b

Aplicant la defi nició de logaritme es transforma en una altra equació ja vista, aleshores:

log

xa5b ⇒ a5 x b ⇒

x 5a1/b .

Així, log

x100055 ⇔ x5 5 1 000 ⇒ x 5 1 0001/5 5 3,98107.


Canvi de base

Per a calcular el logaritme en qualse-vol base no decimal es pot utilitzar la fórmula:

logab5

logb

loga.

Així, per exemple:

log8455

log45

log851,8306 .

Resol les equacions següents.

a) 8

2 x 545 b) log

314205 x c)

log

x

1

8524

a) Aplicant logaritmes: log(82 x )5log45

⇒ 2x log 8 5 log 45 ⇒

x 5

log45

2log850,9153088 .

b) log

314205 x ⇔ 3x 5 1420 ⇒

log3 x 5log1420 ⇒ x log35log1420 ⇒

x 5

log1420

log356,60689.

c) log

x

1

8524

⇔

x −4 5

1

8 ⇒

1

x 45

1

8 ⇒

x4 58 ⇒

x 5 84 523/4 .

Exemple 2

2> Resol les equacions següents.

a) 125 5 x 2 b)

x6 564 c)

32 x 5531441

d) log

52005 x e)

log

x1024510 f)

log

23x 55

R: a) 498,8306; b) 2; c) 6; d) 3,2920; e) 2; f) 32/3.

Activitats


278

B. Altres equacions logarítmiques i exponencials

Quan en les equacions exponencials o logarítmiques intervinguin sumes o productes, les tècniques poden ser molt variades. En alguns casos, es resolen aplicant les propietats dels lo-garitmes, fent un canvi del tipus a x 5t o, simplement, traient factor comú o aplicant alguna altra propietat algebraica. Ho veiem en els exemples següents.

Resol les equacions següents de tipus exponencial.

a) 2?3 x 25?3 x21 53 b) 4x 2 5 ? 2x 2 24 5 0

c) 4

x11 164?42 x 5257 d) xe

x 2e x 50

a) Es resol operant l’expressió:

2?3 x 25?3 x21 53 ⇔ 2?3 x 25?

3 x

353 ⇔

6?3 x 25?3 x 59 ⇒ 3

x 59 ⇒ x 5 2.

b) Per a resoldre 4x 2 5 ? 2x 2 24 5 0 cal fer el canvi 2x 5 t, amb la qual cosa:

4x 2 5 ? 2x 2 24 5 0 ⇔ (2x)2 2 5 ? 2x 2 24 5 0 ⇔ t2 2 5t 2 24 5 0

L’última equació, que és de segon grau, té per solucions t 5 8 i t 5 23.

Per a t 5 8, es té t 5 2x 5 8 ⇒ x 5 3. Per a t 5 23, t 5 2x 5 23, que és impossible.

En conseqüència, la solució és x 5 3.

c) Primer operem i després fem el canvi 4x 5 t.

4x11 164?42 x 5257 ⇒

4?4 x 1

64

4 x5257 ⇒

4?(4 x )2 1645257?4 x ⇒ 4?(4 x )2 2257?4 x 16450 (fent

4x 5t) ⇒

⇒ 4t 2 2257t 16450 ⇒ t 5 ¼, t 5 64.

Si t 5 ¼ ⇒ 4 x 5

1

4 ⇒ x 5 21. Si t 5 64 ⇒ 4x 5 64 5 43 ⇒ x 5 3.

d) xe

x 2e x 50

⇒ (x 21)e x 50 ⇒ x 2 1 5 0 ⇒ x 5 1

Exemple 3

Resol les equacions logarítmiques següents.a) log (x 1 5) 1 log (x 2 5) 5 log 11; b)

log((41 x)1log(42 x)52log(3x 24)

a) Aplicant la propietat del logaritme d’una suma es té: log (x 1 5) 1 log (x 2 5) 5 log 11 ⇔ log [(x 1 5)( x 2 5)] 5 log 11. Operant: log (x 2 2 25) 5 log 11 ⇒ x2 2 25 5 11 ⇒ x2 5 36 ⇒ x 5 6. Es pot observar que la solució x 5 26 no és factible, perquè donaria lloc a una expressió inicial sense sentit.

b) Utilitzant les propietats dels logaritmes:

log((41 x)1log(42 x)52log(3x 24) ⇔ log (41 x)(42 x)⎡⎣ ⎤⎦5log(3x 24)2

Traient logaritmes:

(42 x)(41 x)5(3x 24)2 ⇒ 162 x 2 59x 2 224 x 116 ⇒

10x 2 224 x 50 ⇒ 2x(5x 212)50 ⇒ x 5 12/5 o x 5 0.

La solució x 5 0 no és vàlida, ja que en el segon membre de l’equació inicial apareixeria log(24).


Exemple 4


279

C. Sistemes d’equacions logarítmiques

Els sistemes d’equacions logarítmiques es resolen aplicant les tècniques conegudes de reso-lució de sistemes ordinaris. A més, caldrà tenir en compte les propietats i suggeriments que hem donat aquí. Ho veurem amb un parell d’exemples.

a) Per a resoldre el sistema

log x 2log y57

3log x 12log y511

⎧⎨⎩

podem aplicar el mètode de reducció.

Així, es té:

log x 2log y57

3log x 12log y511

⎧⎨⎩

⇒

2E1 2log x 22log y514

3log x 12log y511

⎧⎨⎩

(sumant) ⇒ 5log x 5 25 ⇒ log x 5 5 ⇒

⇒ x 5 105 5 100 000Substituint log x 5 5 en la primera equació:

5 2 log y 5 7 ⇒ log y 5 22 ⇒ y 5 1022 5 0,01.La solució del sistema és x 5 10 000, y 5 0,01.

b) Per a resoldre el sistema

2log x 2log y51

log(xy2)58

⎧⎨⎩

poden aplicar les propietats dels logaritmes de

la manera següent:

2log x 2log y51

log(xy2)58

⎧⎨⎩

⇔

2log x 2log y51

log x 1log y2 58

⎧⎨⎩

⇔

2log x 2log y51

log x 12log y58

⎧⎨⎩

Aplicant el mètode de reducció (fes-ho) es té: x 5 100, y 5 1000.Una altra possibilitat, també aplicant les propietats, és:

2log x 2log y51

log(xy2)58

⎧⎨⎩

⇔

log x 2 2log y51

log(xy2)58

⎧⎨⎩

⇔

logx 2

y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

51

log(xy2)58

⎧

⎨⎪

⎩⎪

⇔ (Traient logaritmes)

x 2

y510

xy2 5108

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ⇒

x 2

105 y

xy2 5108

⎧⎨⎪

⎩⎪ (substituint) ⇒

x

x 2

10

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2

5108 ⇒ x

5 51010 ⇒ x 5 100

La solució del sistema és x 5 100, y 5 1 000.

3> Resol les equacions de tipus exponencial següents.

a) 4

x 12 x13 22050 ; b) 2

x 12 x11 12 x13 588 ; c) x

2e x 22xe x 50.

R: a) 1; b) 3; c) 0 i 2.

4> Calcula el valor de x en l’equació següent.

a) 3log x 25log25logx

2 b) log (x 1 1) 2 log (x 2 3) 5 5

R: a) 0 i 4; b) 300 001/99 999.

Activitats


Activitats


280

2 4 6 8 10 12

C(f )=20(1,06)x

14

10

20

30

40

50

60

anys

mile

rs d

’eur

os

14.4 Algunes aplicacions d’exponencials i logaritmes

La funció exponencial de la forma f (x)5C ?akx , on C, a i k són constants (a . 0) i x, la varia-

ble, té múltiples aplicacions. A continuació n’estudiarem alguna.

A. Problemes d’interès bancari

L’interès és el guany o renda produïda per un capital durant un període de temps; aquest in-terès pot ser simple, compost o continu. La taxa d’interès, que generalment es dóna en tants per cent, pot ser anual, semestral, trimestral, mensual, diària o contínua.

Interès simpleUna quantitat inicial, C

0, al cap d’un any, a un interès del i % produeix una renda de valor

R5C

0?

i

1005C

0?r , on r indicarà la taxa en tant per un.

El capital acumulat al cap d’un any serà

C 5C

0(11r) .

Per tant, un capital de 20000 €, al 5% anual, produeix una renda anual de 20000 ? 0,05 5 1000 €. El capital acumulat al cap d’un any serà

C 520000?(110,05)521000 €.

Interès compost i continuEn l’interès compost, el capital inicial es va incrementant amb els interessos produïts en els períodes anteriors de temps (anuals, semestrals, etc). Si considerem períodes de temps infi nitesimals, l’interès s’anomena continu: els interessos es van acumulant en cada instant de temps.

Per a l’interès compost, el capital acumulat al cap de t anys, a una taxa d’interès anual r (en tant per un), serà:

C(t)5C

011

r

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

nt

,

sent n el nombre de períodes anuals.

Per a l’interès continu, C(t)5C

0?ert .

Per exemple, un capital de 20 000 €, al 6 % anual, es converteix al cap de 8 anys en

C(8)520000 110,06( )8

5 31876,96 €

• Si els interessos s’abonen trimestralment (n 5 4), els 20 000 € anteriors es convertirien en

C(8)520000 11

0,06

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 ?8

532206,49 €.

• Si els interessos s’abonen mensualment (n 5 12), els 20 000 € es convertirien en

C(8)520000 11

0,06

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12?8

532282,86 €

• Observa que si els períodes de capitalització són inferiors a 1 any els interessos produïts augmenten. Això està relacionat amb l’anomenada TAE. (Vegeu el Problema resolt 9.)

Evolució d’un capital de 20000 € a un 6 % anual. (Es doblaria, aproximadament, transcor reguts 12 anys).

Fig. 14.6.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.4 Algunes aplicacions d’exponencials i logaritmes

Si els interessos s’abonen trimes-tralment (n 5 4), la fórmula seria

C(t)5C

011

r

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4 t

.

Si els interessos s’abonen men-sualment (n 5 12), la fórmula seria

C(t)5C

011

r

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12t

.


281

2

5 10 15

4

20 25

Evolució del núm. de conills

8

6

anys

10

mile

rs d

e co

nills

Fig. 14.7.

anys

100

20 000

Proporció de C14 a la mostra

50

25

75

Percentatge

10 000

Fig. 14.7.

B. Creixement logístic

La funció de creixement logístic és el model al qual s’ajusta l’evolució de determinades po-blacions, el nombre d’afectats per una malaltia contagiosa, la contaminació de determinat ambient, etc. La seva expressió és:

P(t)5

B

11A?e2kt

on t és la variable independent (el temps), i A, B i k les constants positives.Aquesta funció està limitada per la capacitat poblacional B, que depèn habitualment de circumstàncies físiques: espai, aliments, etc. La recta y 5 B és una asímptota horitzontal d’aquesta funció.

Un exemple de funció logística és

P(t)5

10000

11199?e20,5t, que es pot utilitzar per a deter-

minar el nombre de conills en una illa, que estarà condicionat per l’hàbitat: superfície disponible,capacitat de producció d’aliments, clima, depredadors, etc. Amb això:

La població inicial de conills va ser,

P(0)5

10000

11199?e20,5?05

10000

200550 .

Mentre que transcorreguts 8 anys, hi haurà

P(8)5

10000

11199?e20,5·85

10000

4,6448ø2153 .

C. Desintegració de substàncies radioactives

La quantitat de matèria radioactiva que queda en un determinat element amb el transcurs del temps s’ajusta a la funció

R(t)5R

0e2kt ,

on t és la variable independent (el temps), R0 la quantitat inicial en l’element i k una constant

positiva.

S’anomena vida mitjana (o període de semidesintegració) al temps que triga a desintegrar-se la meitat d’una substància radioactiva. Coneixent la vida mitjana, V, l’expressió (que és equivalent a l’anterior), que dóna la quantitat de

matèria radioactiva transcorreguts t anys és

R(t)5R

0

1

2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

t /V

(Vegeu el Problema proposat 28)

Per exemple, el percentatge de l’isòtop radioactiu carboni 14 (C214) present en un organis-me, des del moment de la seva mort, ve donada per la fórmula

P(t)5100e20,00012t.

En l’instant de la seva mort aquest percentatge és 100, P(0)5100e20 5100.

Transcorreguts 5000 anys, queda P(5000)5100e20,00012?5000 5 54,9, el 54,9 % del percentatge

inicial.

Al cap de 5730 anys, queda P(5730)5100e20,00012?5730 5 50,2781, aproximadament la meitat

del percentatge inicial. (La vida mitjana del carboni 14 és d’uns 5730 anys.)

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques14.4 Algunes aplicacions d’exponencials i logaritmes

Vida mitjana d’alguns isòtops radioactius

Àstat 210 → 8,3 hores Carboni 14 → 5 730 anys Poloni 210 → 138 dies Protoactini 231 → 34 300 anys Protoactini 233 → 27 dies Radi 226 → 1620 anysRadó 222 → 3,8 dies Tori 230 → 80 000 anys Urani 238 → 4 500 milions d’anys


282

x

1 2 3 4-1 5f (x)=sin x

-1

1

6

f (x)=-sin x

Fig. 14.10.

x

1 2 3 4-1 5

f (x)=sinx-2

-1

1

6

f (x)=sinx

-2 -2

Fig. 14.11.

14.5 Funcions trigonomètriques

A. Funció sinus

La funció sinus és la funció que assigna a cada nombre el valor del seu sinus. La seva expressió és:

f (x)5sin x

La variable independent x és un nombre real. (No és un angle en sentit estricte, encara que la relació 360º 5 2p radians permet intercanviar les unitats de mesura.)

La gràfi ca de la funció sinus és:

Les característiques fonamentals d’aquesta funció són:

• És periòdica de període p 5 2p. Això és: s in x5s in(x12p) , per a qualsevol valor de x.• Està defi nida sempre: Dom 5 R.• El seu recorregut és l’interval [21, 1]. (Insistim: el valor del sinus mai pot ser menor que

21 ni més gran que 1.)• És una funció imparella, ja que f (2x)5s in (2x)52s in x52 f (x) . Per tant, és simètrica

respecte de l’origen.• La funció f (x)5sin kx és periòdica de període p 5

2p

k, aleshores:

sin k x12p

k

ÊËÁ

ˆ¯̃

È

ÎÍ

˘

˚˙5sin (kx12p)5sin kx

B. Transformacions a partir de la funció sinus

A partir de la gràfi ca de la funció f (x)5sin x , es poden dibuixar les de f (x)52sin x , f (x)5 sin x , f (x)5k1sin x , f (x)5sin (x1k) , f (x)5k ?sin x o f (x)5sin kx .

Aquestes gràfi ques es tracen seguint les pautes indicades a la unitat anterior. A continuació en representem algunes:

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques 14.5 Funcions trigonomètriques

x2 4 6 8-4 -2 10

f (x)�sin x

-1

1

� 2� 3�-�

x1 2 3 4-1 5

f(x)=0,5sinx

-1

1

6

f(x)=sinx-2

f(x)=3sinx

-3

23

Fig. 14.9.

Una funció és periòdica de període p si

f (x)5 f (x 1 p) . Això significa que la funció es repeteix en cada interval d’amplitud p. Des del punt de vista teòric, la majoria de les funcions periòdiques estan relacionades amb les funcions trigonomètriques.

Fig. 14.12.

12

f(x)=senx

f(x)=sen x

f(x)=sen2x

� 2� 3�

x2 4 6 8

1

-110 12

Fig. 14.13.

El període de f(x) 5 sin 2x és p 5 p; el

de f (x)5 sin1

2x és p 5 4p.


283

C. Funció cosinus

Atès que per a qualsevol número α, cos α 5 sin 1p

2

ÊËÁ

ˆ¯̃, defi nim:

f(x)5cos x5sin x1p

2

ÊËÁ

ˆ¯̃

Per tant, la seva gràfi ca serà idèntica a la del sinus però amb un desfasament de

p

2(traslla-

dada

p

2 a l’esquerra). Així:

Les característiques fonamentals d’aquesta funció es dedueixen de les de la funció sinus:• És periòdica de període p 5 2p. Això és:

cos x 5cos(x 12p), per a qualsevol valor de x.• Està defi nida sempre: Dom 5 R. • l seu recorregut és l’interval [21, 1]. (Insistim: el valor del cosinus mai pot ser menor que

21 ni més gran que 1.)• És una funció parella, ja que

f (2x)5cos (2x)5cos x 5 f (x) . Per tant, és simètrica res-pecte de l’eix OY.

• La funció f (x)5cos kx és periòdica de període p 5

2p

k.


f (x)=sinx

f (x)=cosx

� 2��/2 3�/2-�/2

Fig. 14.14.

Les funcions de la formaf (x)5A sin(vx1f) , on A, v i f

són constants, descriuen l’anomenat moviment harmònic simple. El valor de f (x) indica la distància de l’objecte a un punt fix (o a un eix) en l’instant x. El número A s’anomena amplitud; v és la velocitat angular.

El seu període és p5

2p

v.

x1 2 3 4-1 5

f (x)=cosx-1

1

6

f (x)=1+cosx2

3�/2�/2

+1

Fig. 14.15.

x1 2 3 4-1 5

f (x)=cosx

-1

1

6

f (x)=2cosx2

-2

3�/2�/2

Fig. 14.16.

x1 2 3 4-1 5

f (x)=cosx-1

1

6

f (x)=cos(3x)2

3�/2�/2

Fig. 14.17.

Dibuixa, a partir de la funció f (x)5cos x , les gràfi ques de les funcions.

a) f (x)511cos x b)

f (x)52cos x c) f (x)5cos3x

a) La funció és la mateixa que cos x però desplaçada cap a dalt en una unitat.

b) En cada cas, el valor del cos x es multiplica per 2.

c) El seu període és p5

2p

3. Va 3 vegades més ràpida que el cos x. En cada cicle

del cos x s’hi introdueixen 3 cicles del cos 3x.

Exemple 5

5> Dibuixa, a partir de la funció f (x)5cos x, les gràfi ques de les funcions.

a) f (x)5cos x 21 ; b)

f (x)5cos(x 22) ; c) f (x)5cos

x

2.

Activitats


284

En el CD i en el CEO (centre de ensenyament en línia) creats per a aquest projecte pots realitzar ac-tivitats sobre funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques per a reforçar el que has après.

D. Funció tangent

La funció tangent es defi neix així:

f (x)5tag x5sin x

cos x

Les seves característiques fonamentals són: • És periòdica de període p 5 p. Això és:

tag x 5tag(x 1p) , per a tot x.

• Està defi nida sempre que cos x ? 0: això és, si x ?

p

21kp .

• Té per asímptotes verticals les rectes:

x 5 6

p

2,

x 56

3p

2, …

Observació sobre el domini de les funcions trigonomètriques en general

Les funcions f (x)5sin g(x) i f (x)5cos g(x) estan defi nides sempre que ho estigui la funció

g(x). La funció f (x)5tag g(x) està defi nida sempre que

g(x)?

p

21kp .

Vegem-ne uns exemples:

a) La funció f (x)5sin1

x no està defi nida quan x 5 0.

b) f (x)5cos(12 x 2) està defi nida per a tot valor de x.

c) f (x)5tag (213x) no està defi nida quan

213x 5

p

21kp ⇒

x 5

p

61

kp22

3.

E. Les funcions trigonomètriques inverses

Escrivim la paraula funcions amb lletra cursiva per cridar l’atenció sobre el seu signifi cat: en cap cas es tracta de funcions, ja que a cada valor de y li corresponen infi nits valors de x.

En les calculadores apareixen, en color groguenc i sobre les tecles de sin, cos i tan, les fun-cions sin21, cos21 i tan21, respectivament, el signifi cat de les quals és:

• Arc sinus (sin21): x 5 arcsin y ⇔ sin x 5 y

• Arc cosinus (cos21): x 5 arccos y ⇔ cos x 5 y

• Arc tangent (tan21): x 5 arctag y ⇔ tag x 5 y

Així:a) arcsin 0,5 5 0,523… 5 p/6 o 5p/6. En general, arcsin 0,5 5 p/6 1 2kp o 5p/6 1 2kpb) arccos 0,5 5 1,047… 5 p/3 o 2p/3. En general, arccos 0,5 5 p/3 1 2kp o 2p/3 1 2kp.c) arctag 1 5 0,785… 5 p/4 o 5p/4. En general, arctag 1 5 p/4 1 kp.

Com pots veure, en els tres casos la correspondència no és única. A cada valor de y se li assignen infi nites imatges.


-�/2 �/2 3�/2 5�/2

� 2�-�

Recorda

Perquè una funció f posseeixi inver-sa cal que sigui injectiva, és a dir, que no hi pot haver dos nombres diferents amb la mateixa imatge. Si no és així, la inversa presenta restriccions. És el cas del sinus i de l’arc sinus, que són inverses en l’interval [2p/2, p/2]

Igualment, cosinus i arc cosinus són funcions inverses només si les consi-derem en l’interval [0, p]. Tangent i arc tangent són inverses només en l’interval [0, p].

Fig. 14.18.


285

14.6 Interpretació gràfi ca de les solucions d’equacions trigonomètriques

Totes es poden resoldre directament amb la calculadora, aplicant les funcions trigonomètri-ques inverses. Així:

sin ax 5 b ⇒ ax 5 arcsin b ⇒ x5arcsin b

a

cos ax 5 b ⇒ ax 5 arccos b ⇒ x 5

arccos b

a

tag ax 5 b ⇒ ax 5 arctag b ⇒ x 5

arctag b

aGeomètricament, aquestes solucions són les abscisses dels punts de tall de les corbes associ-ades a sin ax , cos ax o tag ax amb la recta y 5 b

Així, per exemple, les solucions de les equacions sin x 5 0,5 i sin x 5 20,5, que són:sin x 5 0,5 ⇒ x 5 arcsin 0,5 5 p/6 1 2kp o 5p/6 1 2kpsin x 5 20,5 ⇒ x 5 arcsin (20,5) 5 7p/6 1 2kp o 11p/6 1 2kp (210º i 330º)coincideixen són les abscisses dels punts de tall de la corba y 5 sin x amb les rectes y 5 0,5 i y 5 20,5, donen les solucions indicades més amunt.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques14.6 Interpretació gràfi ca de les solucions d’equacions trigonomètriques

a) Resol les equacions trigonomètriques. a) cos x 5 0,5 b) cos 3x 5 21

b) Representa gràfi cament les funcions f(x) 5 cos x i g(x)5cos3x i dóna una interpretació gràfi ca de les solucions trobades.

a) cos x 5 0,5 ⇒ x 5 arccos 0,5 → x 5 1,047… 5 p/3 b) cos 3x 5 21 ⇒ 3x 5 arccos (21) → 3x 5 p 1 2kp →

x 5

p

31

2kp

3La interpretació gràfi ca d’aquestes equacions és la següent:

Els punts de tall de la corba y 5 cos x amb la recta y 5 0,5 són x 5 p/3 i x 5 5p/3; i es repeteixen cada 2p.Anàlogament, la gràfi ca de y 5 cos 3x es talla amb la recta y 5 21 en els punts x 5 p/3 1 2p/3.

Exemple 6

y=cos3x

-1

�/3 � 5�/32�

y=-1

Fig. 14.21.

Les equacions trigonomètriques elementals són de la forma:sin ax 5 b cos ax 5 b tag ax 5 b

�/6=30°5�/6=150°

210°y=sinx 3�/2=270°

330°y=0,5

y=-0,5y=-1

� 2�

Fig. 14.19.

y=cosx0,5 3�/2�/2

�/3

�

5�/3 2�

Fig. 14.20.

6> Resol les equacions trigonomètriques.a) 1 2 2sin x 5 3 b) cos 2x 5 1/2

Representa gràfi cament les funcions f (x)52sin x i g(x)5cos2x i dóna una interpretació gràfi ca de les solucions trobades.

Activitats


286

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriquesProblemes resolts

Problemes resolts

Tipus I: Les funcions exponencial i logarítmica

1> Comprova que f(x) 5 ax i g(x) 5 logax, (a . 0) són fun-cions inverses.

R: Cal veure que f(g(x)) 5 x i g(f(x)) 5 x.Efectivament:

• f(g(x)) 5 f(logax) 5 alogax ⇒ (per la definició de lo-garitme) ⇒ alogax 5 P ⇔ logax 5 logaP ⇒ P 5 x

• g(f(x)) 5 g(ax) 5 logaax 5 xlogaa 5 x

2> Calcula el domini de les funcions:

a) f(x) 5 e2x21; b) g(x) 5 21/x

c) h(x) 5 log5(x 2 5); d)

k(x)5log

1

x 2 11.

R: a) Està definida sempre, ja que l’exponent 2x 2 1 sempre està definit.

b) No està definida en x 5 0, ja que per a aquest va-lor, l’exponent 1/x tampoc està definit.

c) Està definida quan x 2 5 . 0; això és, per a x . 5.

d) Està definida sempre, llavors 1

x 2 11 sempre és positiu.

3> Demostra la fórmula del canvi de base logarítmica,

log

ax 5

log x

loga, que permet calcular el logaritme en

qualsevol base a partir dels logaritmes decimals. Apli-ca la fórmula esmentada per trobar:a) log

2 35; b) log

5 120; c) log

0,5 2,2

R: Tenim que loga x 5 T.

Com que loga x 5 T ⇔ x 5 aT ⇒

⇒ log10 x 5 (log

10aT) 5 T log

10a ⇒

T 5log

10x

log10

a

Per tant:

a) log2 35 5

log10

35

log10

255,1292…

b) log5 120 5

log10

120

log10

552,9746…

c) log0,5

2,2 5

log10

2,2

log10

0,5521,1375…

(Tots aquests resultats han estat truncats.)

Tipus II: Equacions i sistemes (exponencials i logarítmics)

4> Resol les equacions següents:

a) 4

123 x 52 x22 ; b) e

210 x 54 ;c)

xex 2 x 50 ; d)

4x 250?2 x 59984

R: a) 4

123 x 52 x22 ⇔ (2

2)123 x 52 x22 ⇔ 2

226 x 52 x22 . Com que les bases són iguals, també han de ser-ho

els exponents: 2 2 6x 5 x 2 2 ⇒ 7x 5 4 ⇒ x 5 4/7

b) e

210 x 54⇒ ln(e210 x )5ln4 ⇒

210x lne5ln4 ⇒

⇒ x 5

1,38629

210520,138629

c) xe

x 2 x 50 ⇒ x(e x 21)50 ⇒ x 5 0

d) 4

x 250?2 x 59984 ⇔ 2

2 x 250?2 x 59984 ⇔ ⇔

22 x 250?2 x 2998450

Fent 2x = t , es té:

t2 250t 2998450 , les solucions

de les quals són t 5 128 i t 5 −78.Si t 5 128 ⇒

2x 5128 ⇒ x 5 7 (llavors 128 5 27)

Si t 5 −78 ⇒ 2

x 5278 , que no pot ser.

5> Resol l’equació:log(2x 2 3) 2 log5 5 log(3x 1 1) 2 1.

R: Aplicant les propietats:log(2x 2 3) 2 log5 5 log(3x 1 1) 2 1 ⇔ ⇔ log(2x 2 3) 2 log(3x 1 1) 5 log5 2 1 ⇔

log

2x 23

3x 115log52log10

⇒

log

2x 23

3x 115log

5

10 ⇒

⇒

2x 23

3x 115

5

10 ⇒ 4x 2 6 5 3x 1 1 ⇒ x 5 7.

Comprovació:Primer membre de l’equació:

log(2 ? 7 2 3) 2 log 5 5 log 11 2 log 5 5 log11

5.

Segon membre:

log(3 ? 7 1 1) 2 1 5 log 22 2 log 10 5 log

22

105log

11

5.

Efectivament són iguals.

6> Resol el sistema següent:

log x 1log y54

log x 2 23log y53

⎧⎨⎩

.

R: Aplicant les propietats dels logaritmes:

log x 1log y54

log x 2 23log y53

⎧⎨⎩

⇔

log x 1log y54

2log x 23log y53

⎧⎨⎩

.


287

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes resolts

Multiplicant la primera equació per 3, i sumant les dues equacions:

3log x 13log y512

2log x 23log y53

⎧⎨⎩

⇒ 5 log x 5 15 ⇒

⇒ log x 5 3 ⇒ x 5 1000.Substituint en qualsevol de les equacions: 3 1 log y 5 4 ⇒ log y 5 1 ⇒ y 5 10.(Comprova el resultat.)

7> Resol el sistema:

3x 15 y535

log x 2log y51

⎧⎨⎩

.

R:

3x 15 y535

log x 2log y51

⎧⎨⎩

⇔

3x 15 y535

logx

y51

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ⇔

⇔

3x 15 y535

x

y510

⎧

⎨⎪

⎩⎪ ⇒ (x 5 10y)

Substituint en la primera equació: 3 ? (10y) 1 5y 5 5 35 ⇒ y 5 1; x 5 10.(Comprova el resultat.)

Tipus III: Aplicacions d’exponencials i logaritmes

8> Calcula el capital acumulat al cap de 8 anys per a 10 000 euros al 5 %, si els interessos s’abonen:a) Anualment b) Trimestralment c) Mensualment d) Contínuament

R: L’expressió que dóna el capital acumulat és

C 5C0

11r

n

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

nt

, en què r és la taxa d’interès, t el temps

en anys i n el nombre de períodes anuals. En aquest cas, C

0 5 10 000 €, el 5 % és una taxa de

r 5 0,05 i t 5 8.a) Si l’interès s’abona anualment: C 5 10 000 ? (1 1 0,05)8 5 14 774,55 €. b) Trimestralment (n 5 4):

C510000? 110,05

4

4 ?8

514 881,31

€.

c) Mensualment (n 5 12):

C510000? 110,05

12

12?8

514905,85

€.

d) Contínuament: C 510000?e0,05?8 514918,25€.

Tots els resultats han estat arrodonits. Observa que, a mesura que el període de liquidació és menor, el capital acumulat augmenta.

9> Per a cada un dels casos anteriors, calcula la taxa anual efectiva (TAE).

R: Quan els períodes de capitalització són inferiors a un any (mensuals, per exemple), els interessos pro-duïts (o meritats) per un capital són superiors a la taxa d’interès anual. El percentatge d’interès real que s’obté (o paga) s’anomena taxa anual efectiva o taxa anual equivalent, T.A.E. Ho aclarim amb un exemple.• 100 euros, a un interès del 12 % anual (s’anomena

taxa nominal), produeixen a l’any 12 euros.• 100 euros, a un interès del 12 % anual, amb inte-

ressos liquidables mensualment, produeixen

C 5100? 110,12

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

5112,6825 .

Això és, un guany de 12,6825 €. Aquesta quantitat és la mateixa que produirien

100 euros a un 12,6825 % d’interès anual. Aques-ta és la TAE corresponent. En aquest cas, la infor-mació bancària correcta ha de ser: “interessos d’un 12 %(12,6825 % TAE)”.

Donem ara la solució del problema plantejat.a) Si l’interès s’abona anualment, la TAE coincideix

amb la taxa nominal. El seu valor serà del 5 %.

b) Trimestralment:

C 5100? 11

0,05

4

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

4

5105,0945 €

→ TAE 5 5,0945.

c) Mensualment: C 5100? 110,05

12

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

12

5105,1162€

→ TAE 5 5,1162.

d) Contínuament: C 5 100 ? e0,05 5 105,1271 € →→ TAE 5 5,1271.

10> El radi es descompon radioactivament. La quantitat d’ell existent en una mostra després de t anys ve donada per

C(t)5C

0e20,00043t , en què C

0 és la quantitat inicial.

a) Quina quantitat de radi quedarà d’una mostra de 10 g al cap de 1 500 anys?

b) Quina és la vida mitjana (en anys) del radi?

R: a) Si t 5 1500, C(1500) 5 C0e20,00043·1500 5

5 5,2466 grams.b) Si la vida mitjana és m anys, transcorregut aquest

temps, dels 10 grams inicials n’han de quedar 5, aleshores 5 5 10e20,00043·m ⇒ 0,5 5 e20,00043m ⇒

⇒ ln 0,5 5 −0,00043m ⇒ m 5 1 612 anys.

NOTA: La vida mitjana del radi2226 és de 1 620 anys.


288

Tipus IV: Funcions trigonomètriques i aplicacions

11> Determina el període de les funcions trigonomètri-ques següents:a) f(x) 5 sin4x b) f(x) 5 cos

x

3

R: Les funcions sinus i cosinus són periòdiques de perío-de 2p. Per tant:a) f(x) 5 sin4x 5 sin(4x + 2p) 5

sin 4 x12p

45sin 4 x1

p

2. El seu període és

p

2.

b) f (x)5cos

x

35

cos

x

312p

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

5cos1

3x 16p( )⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

.

El seu període és 6p.

12> Partint de la gràfica de f(x) 5 sinx i sabent que sin 2x 5 2sin x cos x, fes una representació gràfica de la funció g(x) 5 sinx cosx.

R: Pel que hem dit abans, g(x) 5 sinx cosx 5

1

2sin2x.

Per tant, com:

Es tindrà:

13> Troba, en l’interval [0, 2p], els punts de tall amb l’eix OX de les funcions:a) f(x) 5 sinx 2 cos x; b) y5tag

x

2.

R: En aquests punts la funció val 0; es troben resolent l’equació

f (x) = 0 .a) f(x) 5 sinx 2 cosx 5 0 ⇒ sin x 5 cos x ⇒

⇒ x 5 p/4 (45º); x 5 5p/4 (225º)

b) y5tag

x

25 0 ⇒

x

2 5 arctag 0 ⇒

x

2 5 kp ⇒

x 5 2kp. Això és, x 5 0 i x 5 2p.

14> A partir de la gràfica de f (x) 5 sin x, dibuixa la gràfica de g (x) 5 sin2 x. Quin període té g (x) 5 sin2 x? Quants màxims té en l’interval [0, 3p]? Indica les seves abscisses.

R: Com que g (x) 5 sin2 x 5 (sin x)2, per a dibuixar la seva gràfica n’hi ha prou de trobar el quadrat de les orde-nades de la funció f (x) 5 sin x. En conseqüència,

S’obté una funció de període p. Els màxims els acon-segueix quan sin x 5 ±1; en els punts x 5 p/2 1 kp. En l’interval demanat, en x 5 p/2, x 5 3p/2 i x 5 5p/2.

15> La temperatura de l’aire, T, en graus centígrads, en una ciutat, en un dia de primavera, ve donada per la funció

T (t) 5 15 1 6 sin p (t 2 8)

12 , on t és el temps mesurat

en hores des de la mitjanit.a) Quina és la temperatura a les 8 h, a les 12 h i a les 18 h?b) Representa gràficament aquesta funció.

R: a) T(8) 5 15 1 6 sin p (8 2 8)

12 5 15 1 6 sin 0 5 15º C.

T(12) 5 15 1 6 sinp (12 2 8)

12 5 15 1 6 sin (p /3) 5

5 15 1 6 ? 0,866 5 20,2º C.

T(18) 5 15 1 6 sin p (18 2 8)

12 5 15 1 6 sin (p /6) 5

5 15 1 6 ? 0,5 5 18º C.

b) La funció és periòdica de període 24:

p 5 2p

p / 12 5 24.

La seva amplitud és 6. Varia des de 15 2 6 fins a 15 1 6, interval [9, 21].Donant alguns valors més (T(0) 5 9,8; T(2) 5 9; T(4) 5 9,8; T(14) 5 21; T(20) 5 15; …) podem dibuixar-la.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes resolts

2 4 61 3 5 x

1

-17-1

f(x)=sinx

f(x)=sin2x

2 4 61 3 5 x

1

-17-1

f(x)=sin2x

f(x)= sin2x12

Fig. 14.22.

Fig. 14.23.

2 4 61 3 5x

1

-17-1

g(x)=sin2x

8

Fig. 14.24.

25

20

15

10

5

84 1612 2420 3228

Fig. 14.25.


289

Tipus I: Les funcions exponencial i logarítmica

1> Calcula, aplicant la definició de logaritme, el valor de:

a) log9 81 b) log

2 128

c) log4

1

16 d) log

5 4125

R: a) 2; b)

7

2; c) 22; d)

3

4.

2> Sabent que log 2 5 0,3010, troba (sense calculadora) el valor de:a) log 20 b) log 200 c) log 0,0002

R: a) 1,3010; b) 2,3010; c) 23,699.

3> Sabent que log 3 5 0,4771, troba (sense calculadora) el valor de:

a) log 0,3; b) log 30 000; c) log (1/9).

R: a) 20,5229; b) 4,4771; c) 20,9542.

4> A partir dels valors de logaritme de 2 i de 3, troba:a) log 6; b) log 75; c) log(0,36).

R: a) 0,7781; b) 1,8751; c) 20,4438.

5> Utilitzant la fórmula del canvi de base, troba:a) log

2 100 b) log

5 500 c) log

8 320 000

R: a) 6,6439; b) 3,8614; c) 6,0959.

6> Amb l’ajuda de la calculadora, representa gràficament les funcions:

a) f (x) = 1,1 x ; b)

y = (0,8)x

7> Amb l’ajuda de la calculadora, representa gràficament

la funció exponencial f (x) = e2 x −1 .

8> Amb l’ajuda de la calculadora, representa gràficament la funció logarítmica f (x) 5 log (x2 1 1).

9> Troba el domini de definició de les funcions següents:

a) f (x)510 x22 ; b) f (x)5101/( x22) ; c) f (x)510 x22 .

R: a) R; b) R 2 {2}; c) [2, `).

10> Troba el domini de definició de les funcions següents:a) y 5 log(x 1 3); b) y 5 log(x2 1 3); c) y5

1

log(x 13).

R: a) (23, `); b) R; c) (23, `) 2 {22}.

11> Tenim la funció f(x) 5 log(2x2 1 x 1 2). Indica el seu domini de definició i els punts de tall amb els eixos de coordenades.

R: Dom f(x) 5 (21, 2). Talls: (0; 0,3010); 1 6 5

2, 0 .

Tipus II: Equacions i sistemes (exponencials i logarítmics)

12> Resol les equacions següents:

a) x 515,21,1 b)

x 51,001100

c) 0,5552 x d)

35 x 2,5

f) 5

2 x 5625 e) 5

3 x12 515625

R: a) 19,954; b) 1,105; c) 20,215; d) 32,5

5 1,552; f) 2; h) 4/3.

13> Resol les equacions següents.

a) 4

123 x 52 x22 b) 3 x 232 x 5

80

9

c) 3

x 23 x21 13 x22 521 d) 9

x 28?3 x11 28150

e) 4

x 250?2 x 59984 f) 25 x 2100?5 x 53125

R: a) 4/7; b) 22 i 2. c) 3; d) 3; e) 7; f) 0,192645 i 3.

14> Resol:

a) e

2 x22 51 b) e

210 x 54

c) (x 2 22x 11)e x 50 d)

112e x 52

R: a) 1; b) 20,138629; c) 1; d) 20,6931.

15> Troba el valor de x en les equacions següents:

a) log

6x 53 b)

log

5x 52,5

c) log

73x 520,2 d)

log x 524

e) ln x 5 3,2 f) log

1645 x

R: a) 216; b) 55,9; c) 0,226; d) 0,0001; e) 24,53; f) 1/2.

16> Resol les equacions:a)

log

61405 x b)

log

x100522

c) log

28x 57 d)

4 log

2(2x 11)516

R: a) 2,7580; b) 1/10; c) 16; d) 15/2.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes proposats

Problemes proposats


290

17> Resol les equacions:

a) 3 1 log (x 1 1000) 5 7

b) log (x 1 6) 2 2 ? log (x −3) 5 1

c) log (2x 1 2) 2 log (x 2 3) 5 1

d) log(32 x22 17)52log(3 x21 11)

R: a) 9000; b) 4; c) 4: d) 2. 18> Resol els sistemes:

a)

2log x 23log y57

log x 2 12log y52

⎧⎨⎩

b)

log x 3 2log y2 5log24

log x 2log y5log5

⎧⎨⎩

R: a) x 5 100; y 5 1/10. b) x 5

24

25;

y5

24

125.

19> Resol els sistemes següents:

a)

log x 1log y3 55

log x 22log y53

⎧⎨⎩

b)

log125 x 2log25 y 52log5

log4 x 2log64 y 5log8

⎧⎨⎩

R: a) x 5 100, y 5 10; b) x 5 3/7; y 5 25/14.

Tipus III: Aplicacions d’exponencials i logaritmes

20> Durant quant temps has de mantenir 10 000 € en un banc, a una taxa del 6,1 % anual, si vols duplicar el teu capital?:a) A interès compost anual.b) Si els interessos s’abonen mensualment.

R: a) 11,7 anys; b) 11,4 anys.

21> Suposem que un automòbil deprecia el seu valor en un 15 % anual.a) Si nou va costar 24 000 €, quant valdrà als

6 anys?b) Quants anys han de passar perquè el seu valor si-

gui inferior a 5 000 €?

R: a) 9 051,59 €. b) 8,53 anys.

22> Admetem que el sou dels funcionaris experimenta una pujada anual del 3,5 %, des de l’any 2000. Si un funcionari guanyava 1 600 euros mensuals a comen-çaments de l’any 2000, quant trigarà a guanyar el doble?

R: 20,15 anys.

23> Una població de conills augmenta anualment en un 50 %. Si en el moment inicial hi ha 100 conills:a) Quants n’hi haurà passats 8 anys?b) Quant temps ha de transcórrer perquè el seu total

sigui de 30 000?

R: a) 2.562. b) 14,07 anys.

24> A causa de la pressió ambiental, la població de conills considerada en el problema anterior s’ajusta més aviat

a la funció P(t)510000

11199?e20,5t, t 5 0 en el moment

inicial.a) Quants n’hi havia en el moment inicial?; i al cap

de 8 anys?b) Quant temps ha de transcórrer perquè el seu total

sigui de 30000?

R: a) 50; 2 153. b) Mai passa de 10 000 conills.

25> El 1987, la població mundial era d’uns 5000 milions d’habitants. Si el seu creixement era d’uns 80 mi-lions per any, i suposant que la taxa de creixe-ment romangués constant, quant temps trigaria a duplicar-se?

R: 43,7 anys.

26> Un isòtop radioactiu decau un 9,5 % anualment. Qui-na és la seva vida mitjana?

R: 6,94 anys.

27> Sabent que el període de semidescomposició (vi-da mitjana) del radi 226 és de 1620 anys, calcula la quantitat de radi que quedarà d’una mostra de 12 grams al cap de 2 000 anys.

R: 5,1 grams.

28> Com sabem, l’expressió C(t)5C

0e2kt dóna la quanti-

tat de matèria radioactiva d’un determinat element al cap de t anys. a) Comprova que si V és la vida mitjana d’aquest ele-

ment, llavors C(t)5C0

1

2

t

v

.

b) Troba aquesta expressió per al cas del radi. c) Quina quantitat de radi quedarà d’una mostra de

10 g al cap de 1 500 anys?

R: b) C(t) 5 ; c) 5,263 g.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriquesProblemes proposats


291

29> En començar l’any 2001, el nombre de refugiats emparats per ACNUR (organisme de l’ONU) era de 12,10 milions.a) Durant l’any 2000 el nombre de refugiats va aug-

mentar un 4 %. Quants refugiats hi havia a princi-pis del 2000?

b) Durant l’any 2001 el nombre de refugiats va augmentar un 10 %. Quants refugiats hi havia a finals de 2001?

c) Suposant que a partir del 2002 hi hagi una dismi-nució regular del 10 % anual, quin any hi haurà menys d’un milió de refugiats?

R: a) 11,635 milions b) 13,31 milions;c) a mitjans del 2026.

30> Fa quatre anys que es va repoblar una zona amb 100 exemplars d’una nova espècie de pins. Actualment n’hi ha 25 000 exemplars. S’estima que el número N de pins ve donat en funció del temps, t, per la funció N 5 AeBt, on A i B són dos constants. El temps t es considera expressat en anys des del moment de la repoblació. Quant temps s’ha d’esperar perquè n’hi hagi 200 000 exemplars?

R: 5,5 anys.

Tipus IV: Funcions trigonomètriques i aplicacions

31> Troba el període de les funcions següents:a) f (x)54sin x ; b) f (x)54 x1sin x ;c) f (x)542sin x

En quins punts tallen aquestes funcions l’eix OX?

R: a) 2p; x 5 kp; b) No és periòdica; x 5 0; c) 2p.

32> Troba el període de les funcions següents:

a) f (x)5412cos x ; b) f (x)5cosx

2; c) f (x)5cos2x


R: a) 2p; b) 4p; x 5 p 1 2Kp; c) p; x 5 p/4 1 kp/2.

33> Troba el període de les funcions següents:a) f (x)512tagx; b) f (x)5tag2x; c) f (x)5tagpx


R: a) p; x 5 p/4 1 kp; b) p/2: x 5 kp/2; c) 1; x 5 k.

34> A partir de la gràfica de y 5 sin x, dibuixa la gràfica de:a) f (x)52sin x ; b) f (x)522sin x ;c) f (x)5sin(x22) .

35> A partir de la gràfica de y 5 cos x, dibuixa la gràfica de:a)

f (x)522cos x; b) f (x)511cos2x;

c) f (x)5cos(x 2p)

36> A partir de les gràfiques de les funcions sinus i cosi-nus dibuixa la gràfica d’aquestes funcions:a) f (x)5sin2x b) g(x)5sinx1cos xEn cada cas, determina el període. Utilitza la calcula-dora per precisar algun valor.

R: a) p; b) 2p.

37> Suposem que el nombre de linxs en una regió del Canadà es pot expressar per la funció:

F (x)540000135000?sin(0,6x).

on x és el temps en anys des de la data de parti-da. L’estudi de les fluctuacions de la seva principal presa,la llebre, també varia de manera sinusoïdal amb el mateix període. Es va observar, no obstant això, que les llebres aconseguien un màxim de 110 000 individus dos anys abans que els linxs aconseguissin el seu, sent el mínim estimat de llebres de 10 000.a) Troba la funció f (x) que descrigui el nombre de

llebres.b) Representa les funcions F (x) i f (x) i indica en el

gràfic el moment en què les dues poblacions són iguals.

R: a) f (x)560000150000 sin 0,6(x12)ÈÎ ˘̊.

38> Resol amb la calculadora l’equació 2 cos p x 5 1,8. Dóna la interpretació gràfica de les solucions.

R: 0,1436; 1,8564.

39> El consum d’energia elèctrica d’una família, en quilowatts hora (kWh), ve donat per la funció

E(x)56001450cos2p

12(x21) , on x indica els me-

sos de l’any (gener 5 1).

a) Quin és el consum el gener, el juliol, l’octubre?

b) Quin mes es consumeix més?; i quin menys?c) Quin període té E(x)?d) Fes un esbós de la seva gràfica.

R: a) 1050, 150 i 600 kWh; b) gener; juliol; c) anual.

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques Problemes proposats


292

Les 10 qüestions que segueixen has de contestar-les, aproximadament, en 15 minuts. Si en falles més de dues, et recomanem que estudiïs una mica més.

1> Sabent que loga

x 5b ⇔ ab 5 x, troba: a) log381 ; b) log

aa3; c) lne6.

2> Troba amb la calculadora: a) log327; b) ant log4,28

3> Resol: a) 3 x 581; b) 3 x2 21 527

4> Resol: a) 3 x 510 b) logx552

5> Resol: a) logx

552 b) log5 x 52

6> Quina de les afirmacions següents és falsa?:

a) f (x)52 x és creixent sempre. b) g(x)50,5 x és decreixent sempre. c) h(x)53 x pot prendre valors negatius.

7> Indica les igualtats que són vertaderes:

a) log(A 2 B) 5 log A 2 log B c) log A2logB5logA

B e) (log A)n 5 n ? log An

b)

log A

logB5log

A

B d) n ? log A 5 log An f) 3 1 log A 5 log(3000A)

8> Una colònia de 2500 ratpenats augmenta de nombre anualment un 12 %. Quants ratpenats hi haurà al cap de 6 anys?

9> Dibuixa en l’interval [0, 2p] les funcions sinus i cosinus.

10> Aparella les funcions: f (x)521sinx; g(x)5sin2x ; h(x)5sin(x12) amb les gràfiques que segueixen:

R: 1. a) 4; b) 3; c) 6. 2. a) 2,5145; b) 19054,6. 3. a) 4; b) ± 2. 4. a) 2,0959; b) 2,24. 5. a) 500; b) 2,86. 6. c). 7. c) i d) 8. 4935. 10. D’esquerra a dreta: g(x), f(x), h(x).

2 qüestions per a investigar

1> Investiga sobre els models de creixement de poblacions (dinàmica de població). Entra a: http://platea.pntic.mec.es/~cmarti3/CTMA/BIOSFERA/crecto.htmhttp://www.educa.aragob.es/iescarin/depart/biogeo/varios/BiologiaCurtis/Seccion%208/8%202%20Capitulo%2052.htm

2> Representa les gràfiques que indiquen l’hora de l’alba i de la posta de sol per a la teva ciutat l’any en curs. Per a obtenir-ne les dades entra a la pàgina web http://www.tutiempo.net/silvia_larocca/Programas/astronomia.htm. Les coordenades geogràfiques de les ciutats d’Espanya es troben a: http://www.sitiosespana.com/paginas/coordenadas.htm

10 qüestions bàsiques

14. Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques10 qüestions bàsiques • 2 qüestions per a investigar

1

π x-2

Fig. 14.26

1

π x-2

1

π x-2


Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques · • Treballar amb logaritmes. •...

Documents

Transcript of Funcions exponencials, logarítmiques i trigonomètriques · • Treballar amb logaritmes. •...