MODELS EXPONENCIALS de CUES INTRODUCCIÓ ALS ...Introducció i propietats bàsiques COMPORTAMENT...
Transcript of MODELS EXPONENCIALS de CUES INTRODUCCIÓ ALS ...Introducció i propietats bàsiques COMPORTAMENT...
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística
U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC TEORIA DE CUES
MODELS EXPONENCIALS de CUES
INTRODUCCIÓ ALS PROCESSOS DE NAIXEMENT I MORT. Equacions d’equilibri. Condició d’ E.E.
APLICACIÓ DE LAS EQUACIONS D’EQUILIBRI: La cua M/M/1. Il·lustració del comportament.
MODELS DE CUES EXPONENCIALS. Treball de servidors en paral·lel. Casos importants: M/M/s , M/M/s/K , M/M/s/./N. Propietats. Longituds mitjanes i Temps de permanència.
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C TCiS. Grau-IU UB-UPC
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
PROCESSOS DE NAIXEMENT I MORT
Pot ocórrer que el temps entre arribades τ sigui v.a. amb distribució dependent de l’estat N del sistema.
τi1 τi2
τi3 τik … …
t
τik
• "Naixement" indica arribada al S.E • "Mort" indica sortida del S.E.
1. Si ( ) ntN = el temps entre arribades τ ~ exp. de paràmetre nλ . 2. Si ( ) ntN = el temps de servei x ~ exp. De paràmetre nμ . Sols una arribada o una sortida al/del sistema pot ocórrer en
cada instant t.
Diagrama de taxes de transició
Mostra les possibles transicions permeses en l’estat del sistema en un instant determinat.
La distribució de probabilitats de l’estat del sistema, N(t), en règim estacionari és relativament intuïtiu de deduir a partir del diagrama de taxes de transició.
0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •
λ0 λn-1λ2 λ1 λn λn+1
μ1 μ2 μ3 μn μn+1 μn+2
Taxes del procés d’arribades al S.E.
Taxes del procés de servei al S.E.
( )( )
( )( )
nnnnnnn
nnnnnnn
PPPPPP
PPPPPP
PP
nn
emergentTaxaincidentTaxaEstat
⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅
⋅+=⋅+⋅⋅+=⋅+⋅
⋅=⋅
−
=
++−−
−−−−−
μλμλμλμλ
μλμλμλμλ
λμ
1111
11122
2223311
1112200
0011
1
210
0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •
λ0 λn-1λ2 λ1 λn λn+1
μ1 μ2 μ3 μn μn+1 μn+2
Hi ha tantes equacions com valors pugui presentar N(t), per tant, si al S.E. sols poden haver-hi com a màxim K clients, hi hauran K+1 equacions.
( )
( ) ( )
( ) ( )
⋅=⋅==
⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+⋅=
⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=⋅−⋅⋅+⋅=
⋅=⋅=⋅−⋅⋅+⋅=
⋅=
+++
−−
−−
−−−−−−
−
0121
10
11
021
1101
100111
122111
1
0321
2102
3
20011
32
3
21122
32
3
23
021
101
2
10011
21
2
12
01
01
11
11
1
PPP
PPPPPPPPP
PPPPPPPPP
PPPPPP
PP
n
nn
n
nn
n
nn
n
n
nn
n
nnnnn
nn
n
nn
μμμλλλ
μλ
μμμλλλ
μλ
λμμμ
λλμ
μμλ
μμμλλλ
μλλμ
μμλλμ
μμλ
μμλλ
μλλμ
μμλμλ
Resolució del sistema d’equacions
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C TCiS. Grau-IU UB-UPC
1 ; 21 0
21
110 === − CnCn
nn
,,μμμ
λλλ
,,210021
110 =⋅=⋅= − nPCPP nn
nn μμμ
λλλ
∞
= ∞
=
∞
==→=⋅=
0
0
000
11n
nn
nn
nC
PPCP
+∞<∞
=0nnCLes probabilitats d’estat estacionari
estan ben definides si:
En cas que el S.E. pugui contenir sols K clients com molt, el sumatori s’estén de n=0 a n=K i sempre serà finit.
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
APLICACIÓ DE LES EQUACIONS D’EQUILIBRI: el model M/M/1
Hipòtesis del model:
• Temps entre arribades i.i.d. de llei exponencial amb paràmetre λλ =n . • Temps de servei i.i.d. seguint una llei exponencial de paràmetre μμ =n . • Un únic servidor, s = 1.
,2,1,2,1,0
====
nn
n
n
μμλλ
0 1 2 n-1 n n+1• • • • • •
λ λ λ λ λ λ
μ μ μ μ μ μ
I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
Hi ha règim estacionari si el factor de càrrega del S.E. és μλρ = <1
En cas que 1<ρ
→===
== − 1,2,1 021
110 CnC nn
n
nn
ρμλ
μμμλλλ
,2,1,000 =⋅=⋅= nPPCP nnn ρ
i per tant,
( ) ,2,1,010 =−⋅=⋅= nPCP nnn ρρ
ρ
ρρ
−=
−
=
=
= ∞
=
∞
=
1
11111
00
0
n
n
nnC
P
1000
==∞
=
∞
=PCP
nn
nn
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
L’esperança matemàtica de la variable aleatòria estat del sistema ( 1<ρ )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )( ) ( ) λμ
λρ
ρρ
ρρ
ρρρρρ
ρρρ
ρρρρρρρ
−=
−=
−⋅−⋅=
=
−
⋅−⋅=
−⋅=
=⋅−⋅=⋅−=⋅−⋅=⋅=
∞
=
−∞
=
∞
=
∞
=
∞
=
1111
1111
111
2
0
1
0000
dd
dd
nnnPnL
n
n
n
n
n
n
n
nnn
L’esperança matemàtica de la variable aleatòria longitud de cua en un sistema d’espera M/M/1 ( 1<ρ )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )λμμλ
ρρρ
ρρρ
−⋅=
−=−
−=−=
=−−=−⋅=⋅−= ∞
=
∞
=
∞
=22
01 11
11
11
L
PLPPnPnLn n
nn
nnq
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C TCiS. Grau-IU UB-UPC
ÚS DE LES FÒRMULES DE LITTLE
Distribució de la v.a. temps de permanència en el S.E. d’un client: w ~ exp. E[w]=W
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC TEORIA DE CUES. Introducció i propietats bàsiques
COMPORTAMENT d’una M/M/1.
COMPORTAMENT: Poden presentar-se dues situacions:
2. En promig l’afluència de clients al S.E. ultrapassa la capacitat de treball del Sistema de Servei:
N(t) PRESENTA UNA
TENDÈNCIA CREIXENT
3. El Sistema de Servei té suficient capacitat de treball davant la afluència de clients:
N(t) pot créixer ocasionalment, però el S.E. sempre retorna a
l’estat 0 (buit)
t
N(t)
N(t)
t
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
TREBALL DE SERVIDORS EN PARAL·LEL
La variable aleatòria U definida como el valor “mínim puntual” de n variables aleatòries independents i exponencials nTT ,,1 ,
de paràmetres respectius nαα ,,1 , segueix una llei
exponencial de paràmetre =
=n
ii
1αα .
És a dir, { }nTTMinU ,,1 = i per tant la funció de distribució de U ,
( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }( )tttt
nnU
eeee
tTPtTPtTtTPtUPtUPtFn
i in αααα −−−− −=−=−=
=>>−=>>−=>−=≤== 111
1,,1111
11
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
La interpretació que pot donar-se de la propietat en el cas del temps entre arribades és que si la població està constituïda per diferents classes de clients que arriben cadascuna d’elles al S.E. seguint una llei exponencial vinculada a la classe, llavors els temps entre arribades de 2 clients qualsevol segueix també una llei exponencial, o el que és equivalent, la població pot tractar-se des del punt de vista de la distribució entre arribades al S.E. com si fos homogènia.
Fuente 1
Fuente 2
Fuente n
α1
α2
αn
α1 + α2 + …+αn
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
Si hi ha n servidors, el temps que resta fins la pròxima finalització de servei no depèn de l’instant ni del servidor que ha completat el darrer servei i segueix una distribució exponencial, lo qual permet tractar sistemes de espera con n>1 servidores, como si tinguessin un únic servidor però que treballa tan ràpid como tots n junts.
Suposem n fonts exponencials i siguin r1 …rn els intervals de temps transcorreguts des de el darrer succés per a les fonts 1 … n respectivament. Considerem variables aleatòries s1 …sn , temps comptats des de l’instant actual fins el proper succés per a cada una de les n fonts.
Per la propietat de absència de memòria les variables aleatòries s1, … sn també es distribueixen exp. con paràmetres α1 , α2 …, αn
el temps comptat des de l’instant actual fins que un altre succés provinent de les n fonts se produeixi, es distribueix exponencialment con
paràmetre ==
n
ii
1αα .
r1
r2
rn
s1
s2
sn
Instante actual
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C TCiS. Grau-IU UB-UPC
• Temps entre arribades τ i.i.d. de llei exp. amb paràmetre λ.
• s > 1 servidors iguales.
• Temps de servei x i.i.d. seguint una llei exp. de paràmetre μ.
+=⋅−=⋅
=
==
,,,,,,,,
1121
210
ssnssnn
n
n
n
μμ
μ
λλ
MODEL M/M/s
0 1 2 s-1 s s+1• • • • • •
λ λ λ λ λ λ
μ 2μ 3μ sμ sμ sμ
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P C TCiS. Grau-IU UB-UPC
Si el factor de càrrega ρ del S.E. 1<
⋅=
μλρ
s
+=
−=
== −−
,,!
,,,!
11
1211
21
110
ssnss
snnC sns
n
n
nn
μλ
μλμλ
μμμλλλ
+=⋅
−=⋅
=⋅= −
,,!
,,,!
11
1211
0
0
0
ssnPss
snPnPCP sns
n
nn
μλ
μλμλ
ρμλ
μλ
μλ
μλ
μλ
−
+
=
+
==
→=⋅=
−
=
∞
=
−−
=
∞
=
∞
=
∞
=
1111
111
111
1
0
1
00
0
00
0
ss
n
n
sn
snss
n
n
nn
nn
nn
snssnC
P
PCP
!!!!
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
( ) ( )
( )⋅
−
=
==
=⋅=⋅−= ∞
=
−+∞
=
∞
=+
20
00
0
11
1
ρρ
μλ
ρμλ
Ps
Ps
nPnPsnL
s
n
snss
sn nnsnq
!
...!
μλ
μλλ +=
+⋅=⋅=⋅=
∞
nn LWWPnL 1
0
Resum del càlcul d’una cua M/M/s (es coneixen λ, μ, s)
=→+=
=
→−
=→
λμλ
λ
ρρ
μλ
LWLL
LW
PsLP
q
qqs
q)1(!
12
00
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
{ }( )
ρμλρ
μλ
ρμλ
−
=
=
=
==≥
∞
=
∞
=
−∞
=
111
1
0
00
0
Ps
Ps
Ps
PsnP
s
n
ns
sn
sns
snn
!!
!Fòrmula C-Erlang
Distribució de Poisson
MODEL M/M/s/./N
S.E. amb població finita (N) que pressuposa:
• Temps de permanència en la població dels clients i.i.d seguint llei exp. de paràmetre λ
• Temps de servei per servidor i.i.d. seguint llei exp. de paràmetre μ. • Un conjunt de servidors en paral·lel s > 1. • Una població finita de clients limitada al valor N. Com simplificació es
suposarà N > s. Es un S.E. tancat: Hi ha siempre N clients (població+S.E.)
Després de surtir del S.E. el client es reintegra a la Població
Població Sistema d’Espera
EXEMPLE: TALLER DE REPARACIONS
Població Sistema d’Espera
En un taller de reparació de motors hi ha 3 mecànics.Atenen un conjunt de 12 motors d’una planta. • Cada mecànic repara un motor en un temps x ~ exp. E[x]=1dia. • Després de la reparació un motor es posa en servei
immediatament. • El temps entre avaries d’un motor τ ~ exp. E[τ]=20 dies.
Motors funcionant
TALLER
M/M/s/./N: DIAGRAMA DE TAXES
0 1 2 N-3 N-2 N-1• • •
Nλ 3λ (N-2)λ(N-1)λ 2λ λ
μ 2μ 3μ sμ sμ sμ
N
( )
( ) 1
,2,10
,,1,!!
!
1,,2,1!!
!
021
110 =
++=
+=
−
−=
−
==−
− Ci
NNn
NssnssnN
N
snnnN
N
Csns
n
n
nn
μλ
μλμλ
μμμλλλ
( ) ( )
=
−−
=
∞
=
∞
=
∞
=
−
+
−
==
→=⋅=
N
sn
snss
n
n
nn
nn
nn
ssnNN
nnNNC
P
PCP
μλ
μλ
μλ
!!!
!!!1
00
0
00
0
111
No es pot aconseguir una expressió analítica compacta i els càlculs amb població finita es fan a partir de taules específiques.
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
Exemple: La grua dels estibadors
Un port opera amb una grua contractada per a cada prestació de servei. La distribució del número de vaixells que arriba al port diàriament segueix una llei de Poisson de mitjana 1.4 vaixells per dia. El temps mig que triga la grua en descarregar els contenidors és de 4 hores i s’accepta la hipòtesis de distribució exponencial dels temps de servei. Es demana: 1. El factor de càrrega i el temps mig de desocupació del sistema. 2. El número mig de vaixells en el port i el número mig de vaixells en el port en espera de
ser descarregats. 3. El número mig de dies de permanència en el port per vaixell i el número mig de dies de
permanència abans de ser descarregat. 4. Quina és la probabilitat de tenir més d’un vaixell esperant ser descarregat?
1. 7.024.1 ===
μλρ (dia laborable amb 8 hores ; implica una taxa de servei de 2 vaixells
per dia). El percentatge del temps que la grua està inactiva és 3.07.0110 =−=−= ρP , és a dir el 30% del temps.
2. 33.27.01
7.01
=−
=−
=ρ
ρL vaixells en el port.
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
63.17.01
7.01
22
=−
=−
=ρ
ρqL vaixells esperant ser descarregats.
3. 66.14.133.2 ===
λLW
dies de permanència en el port.
16.15.066.11 =−=−=μ
WWq dies esperant ser descarregats.
4.
{ }( ) { }( )( ) ( ) ( ) 343.07.01111
11212332
02
00210
===−⋅−−⋅−−−=⋅−⋅−−=−−−=≤−=>
ρρρρρρρρ PPPPPPnPnP
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
Terminal de facturació d’equipatge
Un terminal de facturació disposa de 2 operaris que atenen als clientes que arriben seguint una distribució de Poisson de mitjana 80 clients per hora i esperen en una cua única fins que hi ha un dels operaris lliure. El temps requerit para atendre un client està distribuït exponencialment amb mitjana 1.2 minuts. 1. Quin és el número esperat de clients en la terminal de facturació? 2. Quin és el temps mig que un client passa a la terminal de facturació? 3. Quin percentatge del temps està lliure un determinat operari?
Model M/M/2
Taxa d’arribades 80=λ clients/hora 8.0502
80 =⋅
=⋅
=μ
λρs
Taxa de servei per operari 502.1
60 ==μ clients/hora.
=→+=
=
→=→−
λμλ
λρ
ρμλ
LWLs
L
LWPLPq
s
q )1( 20
0 !1
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
111.0
8.011
5080
!21
5080
!1
1
11
!1
!1
121
0
1
0
0 =
−
+
=
−
+
=
=
−
= n
nss
n
n
nsn
P
ρμλ
μλ
( )( )
( )84.2
8.018.0111.0
58
!21
1!1
2
2
20 =−
=
−
=
ρρ
μλ P
sL
s
q clients
1. El número mig de clients en el terminal de facturació és 44.4508084.2 =+=+=
μλ
qLL
clientes.
2. Un clientes passa en promig en el terminal de facturació 0555.08044.4 ===
λLW hores =
3.33 minuts.
3. ( ) ( ) 2.058211211211 00110 =⋅⋅+=⋅⋅+=⋅+⋅ PPCPP
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
El servei d’urgències d’un hospital
El servei d’urgències d’un hospital disposa permanentment d’un metge de guàrdia, però s’han detectat temps de espera desaconsellables en moltes ocasions, de manera que la Direcció de l’Hospital vol avaluar els beneficis de disposar d’un segon metge de urgències. La taxa d’arribades de malalts al servei d’urgències es de 1 pacient cada 30 minuts y el temps mig de servei es de 20 minuts per pacient. Determineu els paràmetres
WiWLLP qq ,,,, 0ρ con s=1 y s=2 metges de guàrdia. Determineu la funció de distribució de probabilitat del temps d’espera fins ser examinat un pacient en ambdues situacions.
En el cas M/M/1,
32==
μλρ ; 3
132110 =−=−= ρP pacientsL 2
32132
1=
−=
−=
ρρ
( ) pacientsLq 34
32132
1
22
=−
=−
=ρ
ρ
hora 112 ===
λLW ( ) hora
32132 =⋅=⋅= WWq ρ
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
En el cas M/M/2, 31
322 =⋅
=⋅
=μ
λρs .
21
3111
32
!21
32
!1
1
11
!1
!1
121
0
1
0
0 =
−
+
=
−
+
=
=
−
= n
nss
n
n
nsn
P
ρμλ
μλ
( ) ( ) pacientsPs
Ls
q 121
31131
21
32
!21
1!1
2
2
20 =−
=
−
=ρ
ρμλ
pacientsLL q 43
32
121 =+=+=
μλ
horesLW 83
21
43 =⋅==
λ horesL
W qq
241
21
121 =⋅==
λ
=→+=
=
→=→−
λμλ
λρ
ρμλ
LWLs
L
LWPLPq
s
q )1( 20
0 !1
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
Exemple: L’assessor fiscal
Un assessor fiscal disposa d’un local per atendre als seus clients, els quals es concentren majoritàriament durant els mesos de maig i juny. El local té una capacitat màxima de 8 seients en espera; el client se’n va si no troba un seient lliure, i el temps entre arribades de clientes es pot considerar distribuït exponencialment segons un paràmetre 20=λ clients per hora en període punta. El temps d’una consulta està distribuït exponencial amb una mitjana de 12 minuts,
1. ¿Quantes consultes per hora realitzarà en promig?
2. ¿Quin és el temps mig de permanència en el local?
El model és M/M/1/9 4520 ===
μλρ
9,2,10
,,2,1,01
11
0 =
++=
=−
−⋅=⋅= + KKKn
KnPCP Kn
nn
ρ
ρρ, 75.0
41414
11
109
109
099 =−−⋅=
−−⋅=⋅=ρρρPCP
( ) ( ) 575.01201 90
=−⋅=−⋅=⋅= ∞
=
PPn
n λλλ clients/hora
( ) 6.841410
414
11
1 10
10
1
1 =
−⋅−
−=
−+−
−= +
+
K
KKLρ
ρρ
ρ clients [ ] 37.1
56.8
====λLWEW hores.
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
Model de reparació d’avionetes Una petita companyia aèria d’una illa de les Antilles disposa de 5 avionetes, que cal reparar con una taxa de 1 cada 30 dies. Es disposen de 2 tècnics de reparacions, cada un dels quals necessita un promig de 3 dies per efectuar una reparació. Els temps entre avaries i de reparació són exponencials. 1. Determinar el número mig d’avionetes en funcionament. 2. Calcular el temps mig que una avioneta està fora de servei quan requereix una
reparació. 3. Calcular el percentatge del temps que un determinat tècnic està lliure.
El model és exponencial i de població finita: M/M/2//5. La taxa d’averies és 301=λ
avionetes por dia i la taxa de reparacions es 31=μ avionetes per dia.
El número mig d’avionetes en funcionament és el número total de avionetes, N, menys el número esperat d’avionetes en reparació, L:
=
⋅−=−=−N
nnPnLLN
055 .
Cal determinar les 0PCP nn ⋅= y per això fan falta les nC y 0P .
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
i 0 1 2 3 4 5 iC 1 0.5 0.1 0.015 0.0015 0.000075
∞
=
=
∞
=
=+++++
==→=⋅=0
5
0
000
619.0000075.00015.0015.01.05.01
111n
nn
nn
n
CPPCP
i 0 1 2 3 4 5
iP 0.619 0.310 0.062 0.009 0.001 0.00004
535.4465.05550
=−=⋅−=−=− =
N
nnPnLLN avionetes en promig en funcionament.
( )
( )
15,,2
1021
101
!2!5!5
1101
!!5!5
02221
110 =
=
⋅
−
=
−== −− Cy
nn
nnnC n
n
n
nn
μμμλλλ
( )
( )
=⋅
⋅
−
=⋅
−=⋅= −
5,,21021
101
!2!5!5
1101
!!5!5
0
22
0
0
nPn
nPnnPCP n
n
nn
U P C
TCiS. Grau-IU UB-UPC
El temps mig que una avioneta passa en reparació és W.
08.3151.0465.0 ===
λLW dies
on ( ) ( ) ( ) 151.0535.4301465.05
301 =⋅=−⋅=−⋅= LNλλ
La fracció de temps que un determinat tècnic passa inactiu és 774.0310.05.0619.05.0 10 =⋅+=⋅+ PP .
M/M/c system-size probabilities
0,000,050,100,150,200,25
0 2 4 6 8 10
size
prob
abilit
y
CDF for M/M/c line waiting times
0,00
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
0 0,5 1 1,5time
cdf
SESSIÓ DE PROBLEMES:ÚS de QTS_EXCEL
U P C I.O.E. Diplomatura de Estadística U P CTCiS. Grau-IU UB-UPC
0 1 2 n-1 n n+1 • • • • • •
λ0 λn-1λ2 λ1 λn λn+1
μ1 μ2 μ3 μn μn+1 μn+2