Funcions trigonomètriques basiqes

8/4/2019 Funcions trigonomtriques basiqes

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Funciones trigonomtricas bsicas

Propiedades bsicas de las funciones trigonomtricas:Seno, Coseno, Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante.

www.math.com.mx

Jos de Jess Angel Angelj j a a @ m a t h . c o m . m x

MathCon c 2007-2008


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Contenido

1. Introduccin 31.1. ngulos en grados y radianes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. La funcin sen(x) 42.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2. El valor del seno para 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.3. El valor del seno para 45 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72.4. El valor del seno para 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5. El valor del seno para 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.6. El valor del seno para 135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.7. El valor del seno para 150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8. El valor del seno para 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.9. El valor del seno para 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.10. El valor del seno para 240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.11. El valor del seno para 300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.12. El valor del seno para 315

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.13. El valor del seno para 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.14. Construccin de la grfica del seno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.15. Propiedades bsicas de la funcin sen(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. La funcin cos(x) 263.1. El valor del coseno para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.2. Grfica de la funcin coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. La funcin tan(x) 324.1. El valor de la Tangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.2. Grfica de la funcin tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.3. Propiedades bsicas de la funcin tan(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

5. La funcin cot(x) 355.1. Grfica de la funcin cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.2. El valor de la cotangente para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3. Propiedades bsicas de la funcin cot(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36


3/53

2

6. La funcin sec(x) 376.1. Grfica de la funcin sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.2. El valor de la secante para valores comunes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376.3. Propiedades bsicas de la funcin sec(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7. La funcin csc(x) 397.1. Grfica de la funcin csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.2. Propiedades bsicas de la funcin csc(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

8. Resumen de valores comunes 41

9. Relaciones trigonomtricas 42

10. Funciones trigonomtricas inversas 4310.1. La funcin arcsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4310.2. Grfica de la funcin arc sen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

10.3. La funcin arccos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.4. Grfica de la funcin arc cos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4410.5. La funcin arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.6. Grfica de la funcin arctan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.7. La funcin arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.8. Grfica de la funcin arccot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4510.9. La funcin arcsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.10.Grfica de la funcin arcsec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.11.La funcin arccsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4610.12.Grfica de la funcin arccsc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

11. La funcin a sen(bx + c) + d 47

12. La funcin a cos(bx + c) + d 48

13. La funcin a tan(bx + c) + d 49

14. Funciones hiperblicas 50

15. Identidades trigonomtricas 51

16. Aplicaciones 52


4/53

1IntroduccinLas funciones trigonomtricas tienen una larga historia y lista de aplicaciones, en esta leccin aprender-

emos a encontrar los valores ms comunes de la funciones trigonomtricas bsicas, como seno, coseno,tangente, cotangente, secante, cosecante. Tambin aprenderemos a dibujar sus grficas, y listaremos

algunas de sus propiedades ms bsicas.

1.1. ngulos en grados y radianes

Las dos maneras ms comunes de denotar un ngulo es por grados y por radianes(nmeros reales). Larelacin que tienen los ngulos con los radianes se muestra en la siguiente tabla.

Valores entre grados y radianes ms comunes

0 30 45 60 90 120 135 180 270 360

0

6

4

3

2

2

3

3

4

3

2 2


5/53

2La funcin sen(x)La funcin seno puede ser definida de diferentes maneras, la forma ms comn de hacerlo es a partir

de un tringulo rectngulo.La funcin seno de un ngulo se define, como el cociente del cateto opuesto al ngulo , sobre la

hipotenusa del tringulo.Sen() =

a

c

a

b

c

Figura 2: El valor del seno y coseno en el crculo unitario.

2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes

Para calcular el valor del seno en algunos ngulos comunes, hay que trasladar al tringulo en consid-eracin al crculo unitario, ya que de esta manera se podrn obtener algunos valores de la funcin seno

de forma explcita. Como sen() =a

cdonde a es el cateto opuesto y c la hipotenusa, por ser el crculo

unitario c = 1. Por lo tanto sen() es igual a la longitud del segmento rojo de la figura 2.


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2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes 5

1.5 1 0.5 0.5 1 1.5

1.5

1

0.5

0.5

1

1.5

Crculo Unitario

1

Sen

Cos


Los valores de ngulos ms simples a obtener, son los valores siguientes: 0, 90, 180, 270, 360.Como se observa en la figura 3, el seno toma los valores de 0, 1, 0,1, 0 respectivamente para estosprimeros ngulos.


7/53

2.1. El valor del seno para algunos ngulos comunes 6

1 0.5 0.5 1

1

0.5

0.5

1

0

Sen00

1 0.5 0.5 1

1

0.5

0.5

1

90

Sen901

1 0.5 0.5 1

1

0.5

0.5

1

180

Sen1800

1 0.5 0.5 1

1

0.5

0.5

1

270

Sen2701

1 0.5 0.5 1

1

0.5

0.5

1

360

Sen3600

Figura 3: El valor del seno para 0, 90, 180, 270, 360.

En las siguientes subsecciones calcularemos el valor explcito del seno para otros ngulos comunes.Se trabajaran esencialmente dos tringulos, el tringulo rectngulo de 30 y 60 como ngulos internos,y el tringulo rectngulo isosceles de 45.


8/53

2.2. El valor del seno para 30 7


El valor del seno en = 30 se calcula considerando los tringulos ACB, ABD en crculo

unitario como se muestra en la figura 4:

1. El ngulo BAC es el ngulo de 30.

2. El ngulo ACB , es de 90, porque el tringulo ACB es rectngulo.

3. Por lo tanto el ngulo B, es de 60.

4. Tambin el ngulo D, es de 60, derivado del reflejo del tringulo ACB .

5. As el tringulo ABD es equiangular, por lo tanto equiltero.

6. Entonces el lado DB tiene como longitud 1.

7. Como el ngulo es de 30, entonces el segmento AC biseca al lado BD, entonces la longitud de

BC es 12

.

8. Lo anterior muestra que el seno de 30 es1

2.

A

B

C

D

30

1

2

Sen30

Figura 4: Sen(/6) = sen(30) =1

2.

2.3. El valor del seno para 45El valor del seno en = 45, se calcula al considerar el tringulo ACB , en el crculo unitario como

se muestra en la figura 5:

1. El ngulo A es el ngulo de 45.

2. El ngulo C, es de 90, porque el tringulo ACB es rectngulo.


9/53



4. Por lo tanto el tringulo ABC es isosceles.

5. Entonces el lado AC tiene la misma longitud del lado BC.

6. Por el teorema de pitgoras, |AC|2 + |BC|2 = 1, pero |AC| = |BC|, es decir 2|BC|2 = 1,entonces |BC| es 1

2.

7. Lo anterior quiere decir que el seno de 45 es

2

2, multiplicando por

22

a1

2.

A

B

C45

2

2

Sen45

Figura 5: sen(/4) = sen(45) =

2

2.


El valor del seno en = 60, se calcula al considerar el tringulo ACB en el crculo unitario comose muestra en la figura 6:

1. El ngulo A es el ngulo de 60

.

2. El ngulo C, es de 90, porque el tringulo ACB es rectngulo.


4. Entonces, del tringulo de la figura 4, del seno de 30, tenemos que el lado |AC| = 12

.


10/53


5. Por el teorema de pitgoras, |AC|2 + |CB |2 = 1, pero |AC| = 12

, entonces |CB |2 = 1 14

, lo

que implica que |CB |2

=

3

4 , o sea |CB | =

3

2 .


3

2.

A

B

C60

3

2

Sen60

Figura 6: sen(/3) = sen(60) = 32

.


El valor del seno en = 120, se calcula considerando el tringulo ACB en el crculo unitariocomo se muestra en la figura 7:

1. En seno del ngulo 120, es la longitud del segmento |BC|.2. El ngulo A es de 60.


4. El tringulo ACB es congruente al ACB del caso 60.

5. Por lo tanto |BC| =

3

2


3

2.


11/53


A

B

C 120

3

2

Sen120

Figura 7: sen(2/3) = sen(120) =

3

2.


El valor del seno en = 135, se calcula considerando el tringulo BC A en el crculo unitariocomo se muestra en la figura 8:



4. El tringulo BC A es congruente al BC A del caso 45.


2

2


2

2.


12/53


A

B

C135

2

2

Sen135

Figura 8: sen(3/4) = sen(135) =

2

2.


El valor del seno en = 150, se calcula considerando el tringulo BC A en el crculo unitariocomo se muestra en la figura 9:



4. El tringulo BC A es congruente al BC A del caso 45.


2

2


2

2.


13/53


AC 150

1

2

Sen150

Figura 9: Sen(5/6) = Sen(150) =1

2.


14/53



El valor del seno en = 210, se calcula considerando el tringulo en el crculo unitario como se

muestra en la figura 10:

1. En seno del ngulo 210, es la longitud del segmento |BC|. En este caso la longitud es negativa.2. El tringulo a considerar es congruente al caso de 30

3. Lo anterior quiere decir que el seno de 210 es 12

.

AC 210

1

2

Sen210

Figura 10: Sen(7/6) = Sen(210) = 12

.


15/53



El valor del seno en = 225, se calcula considerando el tringulo en el crculo unitario como se

muestra en la figura 11:



.

A

B

C225

2

2

Sen225

Figura 11: Sen(5/4) = Sen(210) =

2

2.


16/53



El valor del seno en = 240, se puede calcular considerando el tringulo en el crculo unitario como




3

2.

A

B

C 240

3

2

Sen240

Figura 12: Sen(4/3) = Sen(240) =

3

2.


17/53







3

2.

A

B

C300

3

2

Sen300

Figura 13: Sen(4/3) = Sen(240) =

3

2.


18/53







2

2.

A

B

C315

2

2

Sen

315

Figura 14: Sen(7/4) = Sen(315) =

2

2.


19/53







.

A

B

C

330

1

2

Sen330

Figura 15: Sen(7/4) = Sen(315) =

2

2.


20/53

2.14. Construccin de la grfica del seno 19

2.14. Construccin de la grfica del seno

La construccin de la grfica del seno se puede realizar de la manera como se muestra paso a pasoen las siguientes figuras. Se considera que la funcin es continua y derivable, es decir que no hay saltosen la grfica y la lnea de la funcin es una curva. En esta construccin debe observarse que la lneaazul en el crculo se mueve girando varios ngulos que al trasladarlos a la lnea del eje x estos ngulosse convierten nmeros reales. La grfica que se forma (la lnea roja) se dibuja de manera continua, cosaque podemos suponer libremente aqu. Finalmente debemos observar que de esta manera dibujamos lagrfica del seno en el intervalo de ngulos [0, 360] o equivalentemente [0, 2], sin embargo esto mismolo podemos extender a todos los ngulos. El periodo de 2 del seno se sigue por la periodicidad delcrculo.

0

2

3

2

2

30

1

1

1

2

Sen30

6

Figura 16: sen(30) = sen(/6) =1

2.

0

2

3

2

2

45

1

1

2

2

Sen45

4

Figura 17: sen(45) = sen(/4) =

2

2

.


21/53


0

2

3

2

2

60

1

1

3

2

Sen60

3

Figura 18: sen(60) = sen(/3) =

3

2.

0 3

2

2

90

1

1

1

Sen90

2

Figura 19: sen(90) = sen(/2) = 1.

0

2

3

2

2

120

1

1

3

2

Sen120

2

3

Figura 20: sen(120) = sen(2/3) =

3

2.


22/53


0

2

3

2

2

135

1

1

2

2

Sen135

3

4

Figura 21: sen(135) = sen(3/4) =

2

2.

0

2

3

2

2

150

1

1

1

2

Sen150

5

6

Figura 22: sen(150) = sen(5/6) = 1

2 .

0

2

3

2

2

180

1

1

0

Sen180

Figura 23: sen(180) = sen() = 0.


23/53


0

2

3

2

2

210

1

1

1

2

Sen210

7

6

Figura 24: sen(210) = sen(7/6) = 12

.

0

2

3

2

2

225

1

1

2

2

Sen225

5

4

Figura 25: sen(225) = sen(5/4) = 2

2 .

0

2

3

2

2

240

1

1

3

2

Sen240

4

3

Figura 26: sen(240) = sen(4/3) =

3

2.


24/53


0

2

2

270

1

1

1

Sen270

3

2

Figura 27: sen(270) = sen(3/2) = 1.

0

2

3

2

2

300

1

1

3

2

Sen300

10

6

Figura 28: sen(300) = sen(5/3) =

32 .

0

2

3

2

2

315

1

1

2

2

Sen315

7

4

Figura 29: sen(315) = sen(7/4) =

2

2.


25/53


0

2

3

2

2

330

1

1

1

2

Sen330

11

6

Figura 30: sen(330) = sen(11/6) = 12

.

0

2

3

2

360

1

1

0

Sen360

2

Figura 31: sen(360

) = sen(2) = 0.

Finalmente la grfica del seno queda de la siguiente manera:

2

2 3

2

2 5

2

3

1

1 Perodo

Amplitud

Figura 32: sen(x).


26/53

2.15. Propiedades bsicas de la funcin sen(x) 25

2.15. Propiedades bsicas de la funcin sen(x)

De la grfica de la funcin seno podemos inferir algunas de sus propiedades bsicas, como las sigu-ientes:

1. La funcin seno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [1, 1]

sen(x) : R [1, 1].

2. La funcin seno es impar, es decir sen(x) = sen(x).3. La funcin seno tiene un periodo 2, es decir sen(x) = sen(x + k2).

4. La funcin seno esta acotada por 1, es decir |sen(x)| 1.

5. La funcin seno tiene mximos (el 1) en x =

2+ 2k, k Z.

6. La funcin seno tiene mnimos (el 1) en x = 32

+ 2k, k Z.


27/53

3La funcin cos(x)En esta seccin haremos lo que corresponde para la funcin coseno.

Observacin 1 Es muy importante observar que con el trabajo hecho para la funcin seno, es posiblecalcular una gran cantidad de valores similares para otras funciones trigonomtricas como cos, tan,cot, sec, csc. Lo que hay que hacer es simplemente usar las relaciones de tringulos rectngulos.

De la definicin del coseno y siguiendo la misma figura de como se calcul el seno para valorescomunes, obtenemos los siguientes valores.

1

Sen Cos

Cos

Sen



28/53

3.1. El valor del coseno para valores comunes 27

Observacin 2 De la figura 33 observamos lo siguiente: el seno"de un ngulo es igual al coseno"delngulo complementario (su suma es 90). Es decir

sen() = cos(90 )

cos() = sen(90 )ya que sen() = cos() y cos() = sen() con + = 90.

De hecho podemos usar esta relacin y los valores obtenidos del seno para obtener los valores delcoseno, como se hace en la siguiente subseccin.

3.1. El valor del coseno para valores comunes

Aunque de manera didctica podemos deducir los valores del coseno de la misma manera que seobtuvieron los del seno, a partir de las figuras. Aqu lo haremos usando las frmulas de la observacin 2,por dos razones, la primera: evitar aumentar el nmero de figuras y la segunda: para mostrar una maneradiferente en la obtencin de los valores del coseno.

Adems podemos considerar ngulos negativos, por definicin los ngulos negativos giran en sentidocontrario (en sentido a las manecillas de un reloj) a los ngulos positivos (en sentido contrario a lasmanecillas de un reloj).

Crculo Unitario

1

Sen

Sen

Figura 34: El valor del seno y seno.


29/53

3.2. Grfica de la funcin coseno 28

cos() = sen(90 )cos(0) = sen(90 0) = sen(90) = 1

cos(90

) = sen(90

90

) = sen(0

) = 0cos(180) = sen(90 180) = sen(90) = 1cos(270) = sen(90 270) = sen(180) = 0cos(360) = sen(90 360) = sen(270) = 1

cos(30) = sen(90 30) = sen(60) =

3

2

cos(45) = sen(90 45) = sen(45) =

2

2

cos(60) = sen(90 60) = sen(30) = 12

cos(120) = sen(90 120) = sen(30) = 12

cos(135) = sen(90 135) = sen(45) = 22

cos(150) = sen(90 150) = sen(60) =

3

2

cos(210) = sen(90 210) = sen(120) =

3

2

cos(225) = sen(90 225) = sen(135) =

2

2

cos(240) = sen(90 225) = sen(150) = 12

cos(300) = sen(90 300) = sen(210) = 12

cos(315) = sen(90 315) = sen(225) =

22

cos(330) = sen(90 330) = sen(240) =

3

2

3.2. Grfica de la funcin coseno

De la teora general de grficas y con la frmula cos() = sen(90 ) podemos obtener la grficade la funcin coseno. Es la misma grfica que el seno pero recorrida sobre el eje x, 90, es decir /2 (vertutorial sobre grficas).

Hay varias formas de constatar que la grfica de la funcin coseno es la misma grfica que la funcinseno recorrida /2. Lo que hay que mostrar es que cos(x) = sen(x 90).

1. Sabemos que cos(x) = sen(90 x), pero la funcin seno es impar, es decir sen(90 x) = sen(x 90). Por tanto para obtener la grfica del coseno hay que tomar la grfica del seno

recorrerla 90 y hacer una reflexin respecto del eje x.


30/53

3.2. Grfica de la funcin coseno 29

2

2

3

2

2 5

2

3

1

1

sen(x)

2

2

3

2

2 5

2

3

1

1

sen(x 90)

2

2

3

2

2 5

2

3

1

1

sen(x 90)

2. Otra forma de ver la relacin del seno y el coseno se deriva del tringulo unitario donde se puede

observar la relacin de tringulos semejantes que hay entre el que se forma con un ngulo y conel ngulo + 90. De hecho la grfica la podemos tambin obtener recorriendo la grfica del seno90 a la izquierda.


31/53

3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x) 30

90Sen

Sen90

Cos

Figura 32: Cos(x).

Por todo lo anterior, la grfica del coseno queda de la siguiente forma:

2

2 3

2

2 5

2

3

1

1 Perodo

Amplitud

Figura 32: Cos(x).

3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x)

De la grfica de la funcin coseno podemos inferir algunas de las propiedades bsicas, como lassiguientes:

1. La funcin coseno tiene dominio R y rango (imagen del dominio) al intervalo [1, 1]

cos(x) : R [1, 1].

2. La funcin coseno es par, es decir cos(x) = cos(x).


32/53

3.3. Propiedades bsicas de la funcin cos(x) 31

3. La funcin coseno tiene un periodo 2, es decir cos(x) = cos(x + k2).

4. La funcin coseno esta acotada por 1, es decir

|cos(x)

| 1.

5. La funcin coseno tiene mximos (el 1) en x = 2k, k Z.6. La funcin coseno tiene mnimos (el 1) en x = k, k Z.


33/53

4La funcin tan(x)las propiedades bsicas de la funcin tangente se pueden derivar de su definicin.

tan(x) =sen(x)

cos(x)De la siguiente figura se tiene que los tringulos OAB y OCD son semejantes, por lo tanto se

cumple la relacinAB

OA=

CD

OC. Por otra parte la definicin de la funcin tangente dice que tan() =

sen()

cos()=

AB

OA, por la anterior igualdad tan() =

CD

OC, pero OC = 1, entonces tan() = CD. De la

misma manera, si consideramos el tringulo OBE es semejante, de hecho igual al tringulo OCD,esto quiere decir que la tangente es tambin la longitud del segmento BE.

O A

B

C

D

E

Sen

Cos

Tan

El valor del seno y coseno del crculo unitario.


34/53

4.1. El valor de la Tangente para valores comunes 33

4.1. El valor de la Tangente para valores comunes

Los valores comunes de la funcin tangente pueden ser derivados inmediatamente de la definicin

y de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos puedenverse en la tabla del resumen de valores.

4.2. Grfica de la funcin tan(x)

2

0

2

Obtencin de la grfica de la tangente.


35/53

4.3. Propiedades bsicas de la funcin tan(x) 34

2

2

3

2

2

3

2

1

1

2

3

Perodo

Grfica de la funcin tangente.

4.3. Propiedades bsicas de la funcin tan(x)

A partir de la grfica de la funcin tangente podemos inferir algunas de las propiedades bsicas, comolas siguientes:

1. La funcin tangente no esta definida en los puntos x =

2+ k con k Z.

2. La funcin tangente tiene dominioR

{x

|x =

2

+ k

}y rango (imagen del dominio) a los reales

R

tan(x) : R {x|x = 2

+ k} R.

3. La funcin tangente es impar, es decir tan(x) = tan(x).4. La funcin tangente tiene un periodo , es decir tan(x) = tan(x + k).

5. La funcin tangente no esta acotada.

6. La funcin tangente no tiene mximos.

7. La funcin tangente no tiene mnimos.


36/53

5La funcin cot(x)Las propiedades bsicas de la funcin tangente se pueden derivar de su definicin.

cot(x) =1

tan(x)=

cos(x)

sen(x)

5.1. Grfica de la funcin cot(x)

2

2

3

2

2

3

2

1

1

2

3

Perodo

Grfica de la funcin cotangente.

5.2. El valor de la cotangente para valores comunes

Los valores comunes de la funcin cotangente pueden ser derivados inmediatamente de la definiciny de los valores correspondientes del seno y coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos puedenverse en la tabla del resumen de valores.


37/53

5.3. Propiedades bsicas de la funcin cot(x) 36

5.3. Propiedades bsicas de la funcin cot(x)

A partir de la grfica de la funcin cotangente podemos inferir algunas de las propiedades bsicas,como las siguientes:

1. La funcin cotangente no esta definida en los puntos x = k con k Z.2. La funcin cotangente tiene dominio R {x|x = k} y rango (imagen del dominio) a los realesR

tan(x) : R {x|x = k} R.

3. La funcin cotangente es impar, es decir cot(x) = cot(x).4. La funcin cotangente tiene un periodo , es decir tan(x) = tan(x + k).

5. La funcin cotangente no esta acotada.

6. La funcin cotangente no tiene mximos.7. La funcin cotangente no tiene mnimos.


38/53

6La funcin sec(x)las propiedades bsicas de la funcin secante se pueden derivar de su definicin.

sec(x) =1

cos(x)

6.1. Grfica de la funcin sec(x)

2

2

3

2

2

3

2

1

1

2

3

Perodo

Grfica de la funcin secante.

6.2. El valor de la secante para valores comunes

Los valores comunes de la funcin secante pueden ser derivados inmediatamente de la definicin yde los valores correspondientes del coseno. Con objeto de no repetir los valores, estos pueden verse en latabla del resumen de valores.


39/53

6.3. Propiedades bsicas de la funcin sec(x) 38

6.3. Propiedades bsicas de la funcin sec(x)

A partir de la grfica de la funcin secante podemos inferir algunas de las propiedades bsicas, comolas siguientes:

1. La funcin secante no esta definida en los puntos x =

2+ k con k Z.

2. La funcin secante tiene dominio R{x|x = 2

+ k} y rango (imagen del dominio) a los realesR (1, 1)

tan(x) : R {x|x = 2

+ k} R (1, 1).

3. La funcin secante es par, es decir sec(x) = sec(x).4. La funcin secante tiene un periodo 2, es decir tan(x) = tan(x + 2k).

5. La funcin secante no esta acotada.6. La funcin secante no tiene mximos globales, pero en los intervalos

((2k + 1) 2

, (2k + 1) +

2)

se alcanza el mximo local 1 en (2k + 1).7. La funcin secante no tiene mnimos globales, pero en los intervalos

((2k) 2

, (2k) +

2)

se alcanza el mnimo local 1 en (2k).


40/53

7La funcin csc(x)las propiedades bsicas de la funcin cosecante se pueden derivar de su definicin.

sec(x) =1

sen(x)

7.1. Grfica de la funcin csc(x)

2

2

3

2

2

3

2

1

1

2

3

Perodo

Grfica de la funcin cosecante.

7.2. Propiedades bsicas de la funcin csc(x)

A partir de la grfica de la funcin cosecante podemos inferir algunas de las propiedades bsicas,como las siguientes:

1. La funcin cosecante no esta definida en los puntos x = k con k Z.


41/53

7.2. Propiedades bsicas de la funcin csc(x) 40

2. La funcin cosecante tiene dominio R {x|x = k} y rango (imagen del dominio) a los realesR (1, 1)

csc(x) : R {

x|x = k

} R

(

1, 1).

3. La funcin cosecante es impar, es decir csc(x) = csc(x).4. La funcin cosecante tiene un periodo 2, es decir csc(x) = csc(x + 2k).

5. La funcin cosecante no esta acotada.

6. La funcin cosecante no tiene mximo global, pero tiene mximos locales1, en (3 + 4k)2

.

7. La funcin cosecante no tiene mnimo global, pero tiene mnimos locales 1, en(1 + 4k)

2.


42/53

8Resumen de valores comunesgrados radianes sen cos tan cot sec csc

0 0 0 1 0 no existe 1 no existe

30

6

1

2

3

2

1

3 32

3 2

45

4

2

2

2

21 1

22

22

60

3

3

2

1

2

3

13

22

3

90

21 0 no existe 0 no existe 1

1202

3

3

21

2

3 13

2 23

1353

4

2

2

2

21 1 2

2

22

1505

6

1

2

3

2 1

3

3 2

3

2

180 0 1 0 no existe 1 no existe

2107

6 1

2

3

2

13

3 2

32

2255

4

2

2

2

21 1 2

2 2

2

2404

3

3

21

2

3

13

2 23

2702

3 1 0 no existe 0 no existe 1

30010

6

3

2

1

2

3 13

2 23

315

7

4

2

2

2

2 1 12

2 2

2330

11

6 1

2

3

2 1

3

32

32

360 2 0 1 0 no existe 1 no existe


43/53

9Relaciones trigonomtricassen cos tan cot sec csc

sen

1

cos2

tan

1 + tan2

1

1 + cot2

sec2 1

sec

1

csc

cos

1 sen2 1

1 + tan2

cot

1 + cot2

1

sec

csc2 1

csc

tansen

1 sen2

1 cos2

cos

1

cot

sec2 1

1

csc2 1

cot

1 sen2

sen

cos

1 cos2 1

tan

1

sec2 1

csc2 1

sec1

1 sen2

1

cos

1 + tan2

1 + cot2

cot

csc

csc2 1

csc1

sen

1

1 cos2

1 + tan2

tan

1 + cot2

sec

sec2 1


44/53

10Funciones trigonomtricas inversasTodas las funciones trigonomtricas antes mencionadas tienen inversa en un intervalo donde la funcin sea biyec-

tiva.

10.1. La funcin arc senLa funcin arcsen esta definida en el intervalo [1, 1].

arcsen : [1, 1] [2

,

2].

10.2. Grfica de la funcin arc sen

1 1

2

2

Grfica de la funcin arcoseno.


45/53

10.3. La funcin arccos 44

10.3. La funcin arc cosLa funcin arccos esta definida en el intervalo [

1, 1].

arccos : [1, 1] [0, ].

10.4. Grfica de la funcin arc cos

1 1

2



46/53

10.5. La funcin arctan 45

10.5. La funcin arctanLa funcin arctan esta definida en R.

arctan : R [2

,

2].

10.6. Grfica de la funcin arctan

1 1

2

2

Grfica de la funcin arcotangente.

10.7. La funcin arccotLa funcin arccot esta definida en R.

arccot : R (2

, 0) (0, 2

).

10.8. Grfica de la funcin arccot

1 1

2

2

Grfica de la funcin arcocotangente.


47/53

10.9. La funcin arcsec 46

10.9. La funcin arcsecLa funcin arcsec esta definida en R.

arcsec : R [0, 2

) ( 2

, ].

10.10. Grfica de la funcin arcsec

1 1

2

Grfica de la funcin arcosecante.

10.11. La funcin arccscLa funcin arccsc esta definida en R.

arccsc : R [2

, 0) (0, 2

].

10.12. Grfica de la funcin arccsc

1 1

2

2



48/53

11La funcin a sen(bx + c) + d


49/53

12La funcin a cos(bx + c) + d


50/53

13La funcin a tan(bx + c) + d


51/53

14Funciones hiperblicas


52/53

15Identidades trigonomtricas


53/53

16AplicacionesSolicite informacin acerca de la versin comple-

ta de este documento de 100 hojas.

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