Funcions de Varies Variables
-
Upload
toni-murillo -
Category
Documents
-
view
42 -
download
0
Transcript of Funcions de Varies Variables
Funcions de varies variables
Gisela Pujol
Universitat Politecnica de Catalunya
Curs 2011/12-P
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Index de temes
2. Funcions de varies variables
3. Extrems de funcions
4. Calcul integral
5. Calcul vectorial
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
2. Funcions de varies variables
1 IntroduccioDefinicionsProducte escalar i vectorial
2 Lımits i continuıtatDistancia euclideaDominis i continuıtat
3 DerivacioDerivada direccional, gradient i derivades parcialsDiferenciabilitatRegla de la cadenaDesenvolupament de Taylor
4 Exercicis resolts i proposats
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Def. Operacions
Definicions
Definicio (Funcio o camp escalar)
Es aquella funcio que fa correspondre un escalar a cada vectorf : Rn → R.
Exemple
La temperatura d’una placa laminar ve donada pel camp escalar
T : R2 → R(x , y) → 10− x2 − y 2
A cada punt x = (x , y) de la placa li correspon una temperaturaT (x , y) ∈ R.
Si n = 2, la representacio dels camps escalars es fa a R3. Tambe espoden representar a R2, calculant les corbes de nivell, formades pelspunts x = (x1, . . . , xn) amb valor contant: f (x1, . . . , xn) = C , amb C ∈ Rfixada.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Def. Operacions
Figura: Esquerra. Grafica de la funcio escalar z = T (x , y) = 10− x2 − y 2.Dreta. Corbes de nivell T (x , y) = 5, T (x , y) = 0 i T (x , y) = −13.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Def. Operacions
Definicio (Funcio o camp vectorial)
Es aquella funcio que fa correspondre vector a vector f : Rn → Rm.
Exemple (Camp gravitatori)
La llei de gravitacio de Newton diu que la forca es inversamentproporcional al quadrat de la distancia. Considera el camp gravitatoricreat per una partıcula P(x0, y0, z0), que te certa constant de gravitacioc . La forca que produeix en un punt qualsevol Q(x , y , z) vindra donada
per la funcio−→F :
−→F : R3 → R3
(x , y , z) →(−c x−x0
r2 ,−c y−y0
r2 ,−c z−z0
r2
)on r 2 = (x − x0)2 + (y − y0)2 + (z − z0)2.
La representacio es podra fer quan n + m = 3.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Def. Operacions
Producte escalar i vectorial
Si x = (x1, . . . , xn), y = (y1, . . . , yn) son vectors de Rn definim
producte escalar x · y = x1y1 + · · ·+ xnyn ∈ Rnorma ‖x‖ =
√x · x =
√x2
1 + · · ·+ x2n
distancia d(x, y) = ‖y − x‖ =√
(y1 − x1)2 + · · ·+ (yn − xn)2
cosinus de l’angle cos(x, y) = x·y‖x‖‖y‖
perpendicularitat x ⊥ y⇔ x · y = 0
Si v1 = (x1, y1, z1) i v2 = (x2, y2, z2) son vectors de R3 definim el seuproducte vectorial mitjancant
v1 × v2 =
∣∣∣∣∣∣~i ~j ~kx1 y1 z1
x2 y2 z2
∣∣∣∣∣∣ = (y1z2 − y2z1, x2z1 − x1z2, x1y2 − x2y1).
que te direccio perpendicular a v1 i v2, sentit donat per la regla del“tornavis” i ‖v1 × v2‖ es l’area del paral.lelogram que determinen.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Distancia Dominis i continuıtat
2.2 Lımits i continuıtat
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Distancia Dominis i continuıtat
Distancia a R2
La distancia entre dos punts ve donada per la norma de la seva diferencia:
d(·, ·) : Rn × Rn → [0,∞)
(x, y) → ‖x− y‖
Distancia euclidea
d(x, y) =
√√√√ n∑i=1
(xi − yi )2
a R: d(x , y) = |x − y |a R2: d(x, y) =
√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 amb x = (x1, x2),
y = (y1, y2)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Distancia Dominis i continuıtat
Entorns a R2
Bola: Dδ(x0, y0) = {(x , y) ∈ R2|√
(x − x0)2 + (y − y0)2 < δ}Vora o frontera de Dδ(x0, y0):
∂D = {(x , y) ∈ R2|√
(x − x0)2 + (y − y0)2 = δ}
Entorn. Un subconjunt V ⊂ Rn es un entorn del punt x ∈ Rn siexisteix δ > 0 tal que Dδ(x) ⊂ V .
Dd
x0
y0
d
V
Figura: Esquerra: Bola de centre (x0, y0), on d=δ. Dreta: Entorn V de (x0, y0).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Distancia Dominis i continuıtat
Lımits a R2
Considera un camp escalar f : D ⊂ R2 → R, amb x = (x , y). Fixem unpunt M0 ∈ D. Diem que L es el lımit de f (x) en el punt M0 si es verificala seguent condicio:
∀ε,∃δ tal que si d(x,M0) < δ ⇒ |f (x)− L| < ε
x
y
M0
d
||
Lz
e
Figura: Interpretacio de la definicio de lımit, on e=ε i d=δ.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Distancia Dominis i continuıtat
Domini i Continuıtat
Donada una funcio f : D ⊂ Rn → R definim les nocions seguents:
El domini D de f com el subconjunt dels x ∈ Rn on la formula quedefineix f (x) te sentit.
El grafic de f com
{(x, z) ∈ Rn+1 : x = (x1, . . . , xn) ∈ D ⊂ Rn, z = f (x)} ⊂ Rn+1.
Per cada c ∈ R considerem el conjunt de nivell c de f :
f −1(c) = {(x1, . . . , xn) ∈ D : f (x1, . . . , xn) = c} ⊂ Rn.
La continuıtat de f en un punt a = (a1, . . . , an) ∈ D vecaracteritzada pel fet que lim
x→af (x) = f (a).
Les propietats basiques de les funcions contınues son:
Suma, resta, producte, divisio (fora d’on s’anul.li el denominador) icomposicio de funcions contınues es contınua.Les funcions elementals d’una variable ex , log x , sin x , cos x , . . . soncontınues en el seu domini.Les funcions coordenades xi : Rn → R son contınues.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
2.3 Derivacio
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Derivada direccional
Vector unitari. Diem que u ∈ Rn es un vector unitari si ‖u‖ = 1.
Definicio (Derivada direccional)
Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio, a ∈ D un punt i u vector unitari(‖u‖ = 1). Si la funcio d’una variable t 7→ f (a + t~w) es derivablerespecte de t aleshores definim la derivada direccional de f en el punt asegons la direccio u com
(Duf )(a) =d
dt
∣∣∣t=0
f (a + tu) ,
pendent de la recta tangent de f en el punt a en la direccio u (veurefigura seguent).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Figura: Interpretacio grafica de la derivada direccional d’una funcio en el punta i en la direccio del vector u
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple
Es considera la funcio f (x , y) = x2 + y 2, el punt a = (1, 1) i el vectoru = ( 1√
2, 1√
2) (unitari). Aleshores,
Duf (a) =d
dt
∣∣∣t=0
f
((1, 1) + t(
1√2,
1√2
)
)Primer calculem l’imatge per f :
f
((1, 1) + t(
1√2,
1√2
)
)=
(1 +
t√2
)2
+
(1 +
t√2
)2
= 2 +4√2
t + t2
Per tant, la derivada direccional val
Duf (a) =d
dt
∣∣∣t=0
(2 +4√2
t + t2)
=
(4√2
+ 2t
) ∣∣∣t=0
=4√2
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Derivades parcials
Son d’especial interes les derivadas direccionals en la direccions donadespels eixos de coordenades. Es a dir, en les direccions dels vectors
ei = (0, . . . , 0, 1︸︷︷︸i
, 0, . . . , 0)
Definicio (Derivada parcial)
Dei f = ∂f∂xi
s’anomena derivada parcial de f respecte de xi .
Es calcula derivant f respecte de xi mantenint totes les altres variablesconstants.
Exemple
Sigui la funcio f : R2 → R, f (x , y) = 5x − x2y 2 + 3xy 3. Les sevesderivades parcials son
∂f
∂x(x , y) = 5− 2xy 2 + 3y 3
∂f
∂y(x , y) = −2x2y + 9xy 2
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Derivades parcials d’ordre superior
Sigui f : A ⊂ Rn → R amb derivada parcial respecte a xi en tot puntd’A. En aquest cas, es pot definir la funcio escalar
∂f
∂xi: A ⊂ Rn → R
Si aquesta funcio te una derivada parcial respecte xj en el punt x0,aquesta derivada parcial es nota
∂
∂xj
(∂f
∂xi
)(x0) =
∂2f∂xj∂xi
(x0) si i 6= j
∂2f∂x2
i(x0) si i = j
S’anomena derivada parcial d’ordre 2.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Igualtat de les derivades creuades
Teorema ( de Schwarz)
Sigui f : A ⊂ Rn → R un camp escalar prou diferenciable en x0 ∈ A.Aleshores les derivades segones creuades son iguals:
∂
∂xj
(∂f
∂xi
)(x0) =
∂
∂xi
(∂f
∂xj
)(x0)
Es generalitza a les derivades parcials d’ordre superior.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple
Considera f : R2 → R, f (x , y) = x3y − xy 2. Vegem que es verifica elteorema:
∂f
∂x(x , y) = 3x2y − y 2 =⇒
∂2f
∂y∂x(x , y) = 3x2 − 2y
∂2f
∂x2(x , y) = 6xy
∂f
∂y(x , y) = x3 − 2xy =⇒
∂2f
∂x∂y(x , y) = 3x2 − 2y
∂2f
∂y 2(x , y) = −2x
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Gradient
Definicio
Donat el camp escalar f : Rn → R, es defineix el vector gradient∇f (a) ∈ Rn de f en a com
∇f (a) =
(∂f
∂x1(a), . . . ,
∂f
∂xn(a)
)Propietats del gradient
(i) ∇f (a) es perpendicular a les corbes de nivell (c = f (a)) de f quepassa per a.
(ii) ∇f (x) pot utilitzar-se per a calcular les derivades direccionals de fen x en direccio u (‖u‖ = 1):
Duf (x) = ∇f (x) · u
(iii) ∇f (x) apunta en la direccio de maxima variacio de la funcio f en a:
Duf (x) = ∇f (x) · u = ‖∇f (x)‖ cos(θ) : maxim ⇔ θ = 0 ⇔ u||∇f .
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple
Es considera la funcio f : R2 → R, f (x , y) = x2 + y 2, el punt a = (1, 1) i
el vector u =(
1√2, 1√
2
). Es vol calcular la derivada direccional de f en el
punt a i en la direccio del vector v. Per a fer aixo, s’usara la formula
Duf (a) = ∇f (a) · u
El gradient de f en el punt a es:
∂f
∂x(a) = 2x |(1,1) = 2
∂f
∂y(a) = 2y |(1,1) = 2
=⇒ ∇f (a) = (2, 2)
Aleshores,
Duf (a) = ∇f (a) · u = (2, 2) ·(
1√2,− 1√
2
)= 4
1√2
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Diferenciabilitat d’un camp escalar
Definicio
Una funcio f es diu diferenciable en el punt a = (a1, . . . , an) quanexisteixen totes les rectes tangents de f en a en qualsevol direccio iformen un pla, anomenat el pla tangent de f en a, d’equacio:
z = f (a) +∂f
∂x1(a)(x1 − a1) + · · ·+ ∂f
∂xn(a)(xn − an).
Exercici resolt
Considera f (x , y) = x2 + y 2. Calcula ∆f , increment de f .
Teorema
Existeixen totes lesderivades parcials ison funcions contınues
⇒ f es diferenciable⇒ Existeix ∇f
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Camps vectorials: Matriu diferencial o jacobiana
Si F : A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en x, aleshores l’aplicacio diferencialdF existeix i ve donada per la matriu diferencial
F ′(x) =
∂F1
∂x1(x) · · · ∂F1
∂xn(x)
.... . .
...∂Fm
∂x1(x) · · · ∂Fm
∂xn(x)
de tal manera que
dF (x,h) = F ′(x) · h
Si n = m, el determinant de la matriu F ′(x) s’anomena jacobia i esdenota per JF (x).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Interpretacio de la matriu diferencial
Recordem que si f : I ⊂ R→ R es una funcio diferenciable aleshoresf (x + ∆x) ≈ f (x) + f ′(x)∆x si ∆x ≈ 0. Si dx denota un incrementinfinitesimal de la variable x aleshores es habitual reescriurel’aproximacio anterior com una igualtat
f (x + dx) = f (x) + df (x), on df (x) = f ′(x) dx .
Si f : D ⊂ Rn → R es una funcio diferenciable aleshores
f (x1 + dx1, . . . , xn + dxn) = f (x1, . . . , xn) + df (x),
on df (x) es un increment infinitesimal de f , quantitat escalar
calculada a partir del vector d’increments ~dx = (dx1, . . . , dxn)mitjancant df (x) = (∇f )(x) · d~x .
Si F : D ⊂ Rn → Rm es una aplicacio diferenciable llavorsF (x + ~dx) = F (x) + dF (x), on dF (x) es l’increment vectorial
infinitesimal de f calculat per dF (x) = DF (x) · ~dx .
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Matriu hessiana
Considera el camp escalar f : A ⊂ Rn → R amb derivades segones en elpunt a ∈ Rn.
Definicio
La matriu hessiana de f en un punt a ve donada per
Hf (a) =
∂2f∂x2
1(a) · · · ∂2f
∂xn∂x1(a)
.... . .
...∂2f
∂x1∂xn(a) · · · ∂2f
∂x2n
(a)
i es simetrica respecte de la diagonal principal.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple (cont.)
Anem a calcular la matriu hessiana de f : R2 → R, f (x , y) = x3y − xy 2,en el punt a = (1, 2).
Hf (x , y) =
∂2f∂x2 (x , y) ∂2f
∂y∂x (x , y)
∂2f∂x∂y (x , y) ∂2f
∂y2 (x , y)
=
(6xy 3x2 − 2y
3x2 − 2y −2x
)
En el punt a queda:
Hf (a) =
(12 −1
−1 −2
)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Derivades de funcions composades: regla de la cadena
Siguin f : A ⊂ Rn → Rm i g : B ⊂ Rm → Rp dues funcions vectorials devaries variables reals i sigui x0 ∈ V ⊂ A, on V es un entorn de x0.Se suposa que f (x0) ∈W ⊂ B, on W es un entorn de f (x0) que contef (V ).Se suposa que f es diferenciable en x0 i que g es diferenciable en f (x0).Aleshores, la funcio composada
g ◦ f : A ⊂ Rn → Rp
tambe es diferenciable en el punt x0 ∈ A i
(g ◦ f )′(x0) = g ′(f (x0)) · f ′(x0)
Es a dir,
(g ◦ f )′(x0) =
∂g1
∂y1(f (x0)) · · · ∂g1
∂ym(f (x0))
.... . .
...∂gp∂y1
(f (x0)) · · · ∂gp∂ym
(f (x0))
∂f1∂x1
(x0) · · · ∂f1∂xn
(x0)...
. . ....
∂fm∂x1
(x0) · · · ∂fm∂xn
(x0)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple
Es consideren les funcions f : R2 → R2, g : R2 → R
f (x , y) = (xy , x − y) , g(u, v) = uv + u − v
Es vol calcular la matriu diferencial (g ◦ f )′(1, 0). Es fara de duesmaneres diferents:
(i) En primer lloc, composant ambdues funcions i calculant la matriudiferencial en el punt (1, 0):
(g ◦ f )(x , y) = g(f (x , y)) = g(xy , x − y) = x2y − xy 2 + xy − x + y
d’on(g ◦ f )′(x , y) =
(∂(g ◦ f )
∂x(x , y),
∂(g ◦ f )
∂y(x , y)
)=(2xy − y 2 + y − 1, x2 − 2xy + x + 1
)i per tant
(g ◦ f )′(1, 0) =(2xy − y 2 + y − 1, x2 − 2xy + x + 1
)∣∣(1,0)
= (−1, 3)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple (continuacio)
(ii) La segona opcio es aplicant la regla de la cadena:
f ′(x , y) =
(y x1 −1
)⇒ f ′(1, 0) =
(y x1 −1
)∣∣∣∣(1,0)
⇒ f ′(1, 0) =
(0 11 −1
)g ′(u, v) = (v + 1, u − 1) ⇒ g ′(f (1, 0)) = (v + 1, u − 1)|f (1,0)=(0,1)
⇒ g ′(f (1, 0)) = (2,−1)
Per tant, es te que
(g ◦ f )′(1, 0) = g ′(f (1, 0)) · f ′(1, 0) = (2,−1)
(0 11 −1
)= (−1, 3)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Serie de Taylor
Sigui el camp escalar f : R2 → R diferenciable n cops. Volem calcular elpolinomi que millor aproxima f (x , y) al voltant de a = (a, b). Eldesenvolupament de Taylor ens dona aquest polinomi:
T (f ; a, n) = f (a, b) +
(∂f
∂x(a, b)(x − a) +
∂f
∂y(a, b)(y − b)
)+
+1
2
(∂2f
∂x2(a, b)(x − a)2 +
∂2f
∂xy(a, b)(x − a)(y − b) +
∂2f
∂y 2(a, b)(y − b)2
)+O(3)
Un polinomi de Taylor de segon grau (n = 2) pot escriure’s de maneracompacta:
T (x) = f (a) +∇f (a)(x− a) +1
2(x− a)THf (a)(x− a) + · · ·
on ∇f (a) es el gradient i Hf (a) es la matriu Hessiana en el punt a.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis Der. Parcials Diferenciabilitat Regla de la cadena Taylor
Exemple
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici resolt (2.1)
Es consideren les funcions f , g : R2 → R definides per:
f (x , y) = xy 2 sin
(1
y
), y 6= 0, f (x , y) = 0, y = 0
g(x , y) =1
πex+y +
∫ x
0
t2
√t4 + 1
dt
(a) Calcula les derivades parcials de f i g .
(b) Dedueix que G = F ◦ F , on F = (f , g) : R2 → R2, es diferenciableen el punt (0, 0) i calcula G ′(0, 0).
(c) Calcular Dug(0, 0) con u = (1, 1).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Resolucio
(a) Sigui x0 = (x0, y0) un punt del pla tal que y0 6= 0. Aleshores existeixun entorn V de x0 que no te interseccio amb la recta y = 0 (veureFigura). En tot punt (x , y) de V es te que y 6= 0, per tant la funcio f hiesta ben definida. La funcio f es una combinacio (producte i composicio)de funcions diferenciables, d’on f es diferenciable en V , es a dir, f esdiferenciable en tot punt (x0, y0) si y0 6= 0.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
En aquest cas, les parcials son
∂f
∂x(x0, y0) = y 2
0 sin
(1
y0
)∂f
∂y(x0, y0) = 2x0y0 sin
(1
y0
)− x0 cos
(1
y0
)Si y0 = 0, aleshores la definicio de f canvia en tot entorn U del punto(x0, 0). En aquest cas no es poden calcular les derivades parcialsdirectament. Cal usar la definicio:
∂f
∂x(x0, 0) = De1 f (x0, 0) = lim
t→0
f ((x0, 0) + t(1, 0))− f (x0, 0)
t
= limt→0
f (x0 + t, 0)− f (x0, 0)
t
= limt→0
0
t= 0
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
∂f
∂y(x0, 0) = De2 f (x0, 0) = lim
t→0
f ((x0, 0) + t(0, 1))− f (x0, 0)
t
= limt→0
f (x0, t)− f (x0, 0)
t
= limt→0
x0t2 sin(
1t
)t
= limt→0
x0t sin
(1
t
)= 0
En resum, tenim que les parcials valen:
∂f
∂x(x , y) =
{y 2 sin
(1y
), y 6= 0
0, y = 0
∂f
∂y(x , y) =
{2xy sin
(1y
)− x cos
(1y
), y 6= 0
0, y = 0
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
La funcio g(x , y) es diferenciable en R2 en ser combinacio de funcionsdiferenciables. Es calculen les derivades parcials directament, tenintpresent que
∂
∂x
(∫ x
0
t2
√t4 + 1
dt
)=
x2
√x4 + 1
∂
∂y
(∫ x
0
t2
√t4 + 1
dt
)= 0
Aleshores,
∂g
∂x(x , y) =
1
πex+y +
x2
√x4 + 1
∂g
∂y(x , y) =
1
πex+y
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
(b) Per la regla de la cadena, G = F ◦ F sera diferenciable en el punt(0, 0) si F es diferenciable en (0, 0) i enF (0, 0) = (f (0, 0), g(0, 0)) = (0, 1
π ), cert per ser-ho f i g en (0, 0). Pertant,
G ′(0, 0) = (F ◦ F )′(0, 0) = F ′(F (0, 0)) · F ′(0, 0) = F ′(
0,1
π
)· F ′(0, 0)
d’on
G ′(0, 0) = F ′(
0,1
π
)· F ′(0, 0)
=
(∂f∂x (0, 1
π ) ∂f∂y (0, 1
π )∂g∂x (0, 1
π ) ∂g∂y (0, 1
π )
)·
(∂f∂x (0, 0) ∂f
∂y (0, 0)∂g∂x (0, 0) ∂g
∂y (0, 0)
)
=
(0 0e
1π
πe
1π
π
)·(
0 01π
1π
)
=
(0 0e
1π
π2e
1π
π2
)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici resolt (2.2)
Es consideren les funcions
g(x , y) = 4x − y 2
f (u, v) = (f1(u, v), f2(u, v)) = (uv 2, u3v)
Si h = g ◦ f , calcula la matriu diferencial o matriu jacobiana de h.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Resolucio
Per la regla de la cadena, tenim que
h′(u, v) = (g ◦ f )′(u, v) = g ′(f (u, v)) · f ′(u, v) = g ′(uv 2, u3v) · f ′(u, v)
Les matrius diferencials de g y f son:
g ′(x , y) =(
∂g∂x (x , y) ∂g
∂y (x , y))
=(
4 , −2y)⇒
⇒ g ′(uv 2, u3v) =(
4 , −2u3v)
f ′(u, v) =
( ∂f1∂u (u, v) ∂f1
∂u2(u, v)
∂f2∂u (u, v) ∂f2
∂v (u, v)
)=
(v 2 2uv
3u2v u3
)El producte d’aquestes dues matrius es:
h′(u, v) =(
4 , −2u3v)·(
v 2 2uv3u2v u3
)=(
4v 2 − 6u5v 2 , 8uv − 2u6v)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici resolt (2.3)
Donat el camp escalar f (x , y , z) = x2 + 2xy + zey , calcula el gradient enel punt (1, 2, 0). Quina es l’equacio de la recta normal a la superfıcie enaquest punt?
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Resolucio
El gradient de f es el vector de les derivades parcials:
∇f = (2x + 2y , 2y + zey , ey )
En el punt (1, 2, 0) val
∇f (1, 2, 0) =(5 , 2 , e2
)L’equacio parametrica de la recta de vector director n passant pel punt Pes (x , y , z) = P + λn. En aquest exemple, el vector normal ve donat pelgradientn = (5, 2, e2) i el punt P es P = (1, 2, 0).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici resolt (2.4)
Troba un vector unitari normal a la superfıcie del paraboloide de revolucioz = x2 + y 2 en el punt (2, 1, 5).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Resolucio
Primer cal expressar l’equacio del paraboloide com una funcio de x , y i z :f (x , y , z) = z − x2 − y 2. Sabent que el gradient en un punt correspon alvector perpendicular a la superfıcie, cal calcular primer ∇f (2, 1, 5):
∇f (2, 1, 5) = (−2x ,−2y , 1)∣∣∣(2,1,5)
= (−4,−2, 1)
Per tant, en el punt (2, 1, 5), un vector normal al paraboloide es(−4,−2, 1). L’altre sera el de signe contrari. Ara nomes falta normalitzar:
‖(−4,−2, 1)‖ =√
16 + 4 + 1 =√
21
Un vector normal unitari sera(− 4√
21,− 2√
21, 1√
21
).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici proposat (2.5)
Un astronauta es troba en una situacio compromesa mentre navega aprop de la cara assolellada de Mercuri. La nau es troba al punt decoordenades (1,1,1). La temperatura del casc de la nau ve donada per
T (x , y , z) = e−x2−2y2−3z2
en funcio de les coordenades de posicio(x , y , z) de la nau mesurades en metres terrestres.
(a) En quina direccio ha de viatjar per refredar la nau mes rapidament?
(b) Si la nau viatja a e8 metres per segon, amb quina velocitat baixarala temperatura si viatja en aquesta direccio?
(c) Per desgracia, el metall del casc de la nau s’esquerdara si es refredaa una velocitat mes gran de
√14e2 graus per segon. Descriviu les
possibles direccions en que pot maniobrar per refredar latemperatura sense perill de petar la nau.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici proposat (2.6)
Considera la funcio escalar definida per
f (x , y) =x2 + y 2 − 1
2x.
Calcula la derivada direccional de f (x , y) en (3, 2) en direccio del vector(−1, 2).
Exercici proposat (2.7)
Considera la funcio f (x , y) = xy .
1 Calcula l’increment de la funcio f (x , y):
4f = f (x +4x , y +4y)− f (x , y)
2 Calcula el diferencial de la funcio f (x , y)
3 ¿Es f (x , y) una funcio diferenciable?
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici proposat (2.8)
La potencia consumida en una resistencia electrica ve donada per
P = E 2
R , en watts. Si E = 200V amb un error absolut de ±0.1V iR = 8± 0.2 ohms, ¿quant val la potencia i quin es l’error que es comet?
Exercici proposat (2.9)
1 Considera la superfıcia definida per F (x , y , z) = 3x2 + y 2 − z = 0.¿Quina corba defineix en el pla z = 1?
2 Fes un esquema de la representacio grafica de la superfıcieF (x , y , z) = 0;
3 Calcula el pla tangent a F (x , y , z) = 0 en el punt (1, 2, 5);
4 Considera ara la superfıcie definida per F (x , y , z) = 4. Fes un esbosde la seva representacio grafica i calcula el seu pla tangent en elpunt (1, 2, 9).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici proposat (2.10)
1 Troba els punts de la superfıcie z = 4x + 2y − x2 + xy − y 2 en elsque el pla tangent es paral·lel al pla XY .
2 Siguin g(x , y) = 4x − y2 i f (u, v) = (uv 2, u3v). Si h = (g ◦ f ),calcula la matriu jacobiana de h.
3 Siguin les funcions
f (x , y , z) = (sin(xy + z) , (1 + x2)yz)
g(u, v) = (u + ev , v − eu)
Calcula (g ◦ f )′(1,−1, 1).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Introduccio Lımits i continuıtat Derivacio Exercicis
Exercici proposat (2.11)
En t = 0, una partıcula surt disparada de la superfıcie x2 + 2y 2 + 3z2 enel punt (1, 1, 1) en la direccio normal a la superfıcie a una velocitat de 10unitats per segon. Quan creuara l’esfera x2 + y 2 + z2 = 103?
Solucio: t =√
1470 (√
359− 3)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Local Condicionats
Extrems de funcions
5 Extrems locals
6 Extrems condicionats
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Local Condicionats
Extrems locals o relatius
Definicio (Extrem local)
Sigui f : D ⊂ Rn → R funcio. Diem que x0 ∈ D es un mınim local de fsi existeix δ tal que si x ∈ D i |x0 − x| < δ aleshores f (x) ≥ f (x0). Es diuque es un maxim local de f si f (x) ≤ f (x0).
Definicio (Punt fix o crıtic)
Un punt x0 ∈ D s’anomena punt fix si ∇f (x0) = 0.
Teorema
Sigui f : D ⊂ Rn → R amb parcials segones contınues en D. Si x0 es unpunt fix de f aleshores f te en x0
mınim local si Hf (x0) es definida positiva (tots els valors propis deHf (x0) son positius).
maxim local si Hf (x0) es definida negativa (tots els valors propis deHf (x0) son negatius).
punt de sella si Hf (x0) te vaps positius i negatius.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Local Condicionats
Demostracio.Apliquem Taylor de segon ordre a f (x) al voltant de x0. Com es un puntestacionaria, tenim que ∇f (x0) = 0:
f (x) ∼ T (x) = f (x0) +∇f (x0)︸ ︷︷ ︸0
(x− x0) +1
2(x− x0)Hf (x0)(x− x0)
quan x proper a x0. Per tant,
f (x)− f (x0) ∼ 1
2(x− x0)Hf (x0)(x− x0)
Si 12 (x− x0)Hf (x0)(x− x0) ≥ 0 ⇒ f (x) ≥ f (x0) i x0 es mınim local.
La condicio (x− x0)Hf (x0)(x− x0) ≥ 0 per a tot x (matriu Hf (x0) def.positiva) es pot definir amb diferents criteris. El mes senzill es usar elsvaps, ja que si en una base la matriu te tota la diagonal positiva,multiplicada dos cops per x quedara positiu.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Local Condicionats
Exercici resolt
Calcula els extrems locals de f (x , y) = x3 + y 3 − 3xy .
Primer determinem els punts fixos:
∇f (x) = 0⇒(3x2 − 3y , 3y 2 − 3x
)= (0, 0)
d’on x2 − y = 0 i y 2 − x = 0. Aıllant y de la primera igualtat isubstituınt-la en la segona:
(x2)2 − x = x4 − x = x(x3 − 1) = x(x − 1)(x2 + x + 1) = 0
que te arrels
x1 = 0 , x2 = 1 , x3,4 =1
2± 1
2i√
3
Estem en els reals, per tant nomes tenim en compte les arrels x1 = 0 ix2 = 1. Els punts fixos son (y = x2):
x = 0, y = 0: P(0, 0)
x = 1, y = 1: Q(1, 1)
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Local Condicionats
El segon pas es determinar quins son maxims, mınims o p.s. Per aixo, calcalcular els vaps de la matriu hessiana avaluada en els punts fixos:
Hf (x) =
(6x −3
−3 6y
)
En P(0, 0):
Hf (P) =
(0 −3
−3 0
)⇒ Valors propis: − 3 , 3⇒ Punt de sella.
En Q(1, 1):
Hf (Q) =
(6 −3
−3 6
)⇒ Valors propis: 9 , 3⇒ Mınim local.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Local Condicionats
Extrems condicionats
Estudiar el document adjunt i el capıtol 2 del llibre “Calculo avanzadopara Ingenierıa.Teorıa, problemas resueltos y aplicaciones”.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions
4. Calcul Integral
7 Integracio a RDefinicio i interpretacioMetodes de calcul de primitivesAplicacions
8 Integracio a Rn
Integral dobleDefinicio i interpretacioPrincipi de Cavalieri i teorema de FubiniIntegracio sobre dominis generals
9 AplicacionsArees i volums
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Integral de Riemann
Abans d’introduir el concepte d’integral per una funcio de variesvariables, recordem la definicio d’integral definida per una funcio d’unicasola variable.
(a) Area sota f (x) (b) Area elemental
(c) Aproximacio de l’area to-tal.
Figura: Idea de l’integral en el sentit de RiemannGisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Explicacio de la Figura
Donada f : [a, b]→ R funcio acotada i positiva, es vol determinar l’areaA, limitada per la grafica de f , l’eix d’abscises i les rectes d’equacionsx = a i x = b, com s’indica en la figura anterior (a).Una possible aproximacio de l’area consisteix en efectuar una particio pde l’interval [a, b] en n subintervals d’amplada ∆x :
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
de manera que en cada subinterval, [xi−1, xi ], s’aproxima l’area sota lacorba mitjancant l’area del rectangle d’alcada f (ξi ) on ξi ∈ [xi−1, xi ], i debase el segment [xi−1, xi ], com s’observa en la figura anterior (b) i (c):
∆A = f (ξi ) ·∆x
L’area total que aproxima sera la suma de totes aquestes arees:Arect = Σ ∆A.Es diu que una funcio es integrable si el valor d’aquesta suma esindependent de la manera de la manera de com es fa la particio.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Integracio a R
Sigui f : [a, b] ⊂ R→ R una funcio d’una variable i considerem unaparticio a = x0 < x1 < · · · < xN = b de l’interval [a, b].
Definim la integral definida∫ b
af (x) dx com el lımit quan N →∞
(respecte de totes les particions de [a, b]) de la sumaN∑i=1
f (xi )∆(xi )
de les arees dels rectangles d’alcada f (xi ) i base ∆(xi ) = xi − xi−1.
Interpretem∫ b
af (x) dx com l’area (amb el signe de f ) compresa
entre y = 0, y = f (x), x = a i x = b.
Calculem∫ b
af (x) dx mitjancant la regla de Barrow: si F (x) es una
primitiva de f (x) (i.e. F ′(x) = f (x)) aleshores∫ b
af (x) dx = F (b)− F (a).
Idea: Si definim F (x) :=∫ xaf (t) dt tenim que F (x + h)− F (x) ≈ f (x)h per h ≈ 0. Per
tant F ′(x) = f (x) = F ′(x) i F (x) = F (x) + C . Aixı doncs
F (b)− F (a) = F (b)− F (a) = F (b) =∫ baf (x) dx .
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Metodes de calcul de primitives
Llista de primitives immediates (inversa de la llista de derivades)
Canvi de variables x = f (t), dx = f ′(t) dt (inversa de la regla de lacadena)
Integracio per parts∫
u(x)dv(x) = u(x)v(x)−∫
v(x)du(x) (inversade la derivada d’un producte)
Manipulacions algebraiques:∫
(f + g) =∫
f +∫
g ,∫
c f = c∫
f ,descomposicio de funcions racionals en fraccions simples,...
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Definicio i interpretacio Calcul de primitives Aplicacions
Aplicacions
Calcul d’arees entre dues funcions f2(x) ≥ f1(x):
A =
∫ b
a
(f2(x)− f1(x)) dx
Calcul de volums de revolucio:
V = π
∫ b
a
f (x)2 dx
Calcul de longituds de corbes y = f (x):
L =
∫ b
a
√1 + f ′(x)2 dx
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Integracio doble
Donada f : [a, b]× [c , d ] ⊂ R2 → R, volem determinar el volum limitatper la grafica de f i els plans x = a, x = b, y = c , y = d , como s’indicaen la figura seguent (a) aquı sota.Una primera idea per aproximar el volum consisteix en efectuar particionsdels intervals [a, b] i [c , d ] en n i m subintervals respectivament (veurefigura (b))
a = x0 < x1 < x2 < · · · < xn−1 < xn = b
c = y0 < y1 < y2 < · · · < ym−1 < ym = d
de manera que en cada rectangle, [xi−1, xi ]× [yj−1, yj ], s’aproxima elvolum sota la superfıcie usant el volum del paralelepıped d’alcada f (ξi , ηj)per algun (ξi , ηj) ∈ [xi−1, xi ]× [yj−1, yj ] (veure figura seguent (c)-(d)).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
-1-0,5 y
00,5
1-1
-0,50
x0,51
(a) Volumen sota f (x , y) (b) Particio de la base
(c) Volum elemental
-10-1-0,5-0,5
0,5
00
1
0,50,5
11
1,5
(d) Aproximacio del volum
Figura: Idea de la integral doble
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Integracio a Rn
Sigui f : D ⊂ Rn → R una funcio definida en un “prisma”
D = [a1, b1]× · · · × [an, bn] i considerem particions {x (ki )i }
Ni
ki=0 de cadainterval [ai , bi ].
Definim la integral∫D
f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el lımit quanNi →∞ (respecte de totes les particions) de la suman∑
i=1
Ni∑ki=1
f (x(k1)1 , . . . , x
(kn)n )∆(x
(k1)1 ) · · ·∆(x
(kn)n ) dels volums dels
paral.lelepıpeds d’alcada f (x(k1)1 , . . . , x
(kn)n ) i bases
∆(x(ki )i ) = x
(ki )i − x
(ki−1)i per i = 1, . . . , n.
Interpretem la integral∫D
f (x1, . . . , xn) dx1 . . . dxn com el volum(n + 1)-dimensional (amb el signe de f ) determinatpel prisma D i la grafica de la funcio f (x1, . . . , xn).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Principi de Cavalieri i teorema de Fubini
Principi de Cavalieri: El volum es una integral d’arees (l’area es unaintegral de longituds,...)
Mes concretament, sigui R una regio compacta de R3 i denotem perA(z0) l’area de R ∩ {z = z0}. Llavors el volum de R es igual a
V (R) =∫ b
aA(z) dz on z = a i z = b son els plans horitzontals entre
els quals es troba la regio R.
Mes generalment, aplicant el principi de Cavalieri als plansxn =constant resulta que∫
Dn
f (x) dx1 . . . dxn =
∫ bn
an
∫Dn−1
f (x1, . . . , xn−1,
fixada︷︸︸︷xn ) dx1 . . . , dxn−1
︸ ︷︷ ︸
funcio de la variable xn
dxn,
on Dn−1 = [a1, b1]× · · · × [an−1, bn−1] i Dn = Dn−1 × [an, bn].
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Teorema de Fubini
Iterant aquest proces, podem calcular la integral multiple de f sobre elprisma Dn = [a1, b1]× · · · × [an, bn] mitjancant integrals simples iterades:∫
Dn
f (x) dx1 · · · dxn =
∫ bn
an
(∫ bn−1
an−1
· · ·
(∫ b1
a1
f (x)dx1
)· · · dxn−1
)dxn.
Teorema de Fubini:Si la funcio f es prou regular per que tot hi estigui ben definit(per exemple, si f es contınua) aleshores la integral multiple∫Dn
f (x) dx1 · · · dxn es pot calcular com una integral iteradaamb una ordenacio qualsevol de las variables x1, . . . , xn.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Integracio sobre dominis generals
Questio: Que succeeix si el domini d’integracio D no es un prisma[a1, b1]× · · · × [an, bn]?
Resposta: La situacio es tecnicament mes complicada pero el principi deCavalieri i el teorema de Fubini continuen sent valids. La unica diferenciaes que els extrems d’integracio en les integrals iterades poden dependrede les variables que queden per integrar.
Exemple: Si D = {(x , y) ∈ R2 : a ≤ x ≤ b, g1(x) ≤ y ≤ g2(x)} aleshores∫D
f (x , y) dx dy =
∫ b
a
(∫ g2(x)
g1(x)
f (x , y) dy
)dx .
Si D = {(x , y) ∈ R2 : c ≤ y ≤ d , h1(y) ≤ x ≤ h2(y)} llavors∫D
f (x , y) dx dy =
∫ d
c
(∫ h2(y)
h1(y)
f (x , y) dx
)dy .
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
(a) Funcio definida en la regio D (b) Regio d’integracio
(c) Metode d’integracio
Figura: Integracio sobre regions mes generals
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Exemple
Calcula el volum delimitat por la funcion f (x , y) = x en el dominiodelimitado por las funciones y = 2x y y = x(x − 2).
8
6
4
x
2
043210
a b
! (x)
! (x)
1
2
Figura: Domini d’integracio
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Primer cal trobar els punts d’interseccio de la figura:{y = 2xy = x(x − 2)
⇒ x = 0 , x = 4
Per tant:a = 0 ≤ x ≤ b = 4
Per a un x fixat es te que
φ1(x) = x(x − 2) ≤ y ≤ φ2(x) = 2x
Per tant, per a calcular el volum sota la superfıcie, s’ha de determinar:∫ 4
0
∫ 2x
x(x−2)
f (x , y) dy dx
Aplicant Fubini:∫ 4
0
∫ 2x
x(x−2)
x dy dx =
∫ 4
0
x∣∣∣y=2x
y=x(x−2)dx =
∫ 4
0
x(2x − x(x − 2)) dx
=
∫ 4
0
4x2 − x3 dx =4
3x3 − 1
4x4∣∣∣x=4
x=0=
44
3− 43 ' 21, 3 .
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Canvis de variables
Expresar un domini general D ⊂ Rn de la forma
a1 ≤ x1 ≤ b1,a2(x1) ≤ x2 ≤ b2(x1),
· · ·an(x1, . . . , xn−1) ≤ xn ≤ bn(x1, . . . , xn−1)
pot no ser facil (i ni tan sols possible). Per aixo ens interessara trobarmaneres de “simplificar” l’expressio de D. Un metode per portar a termeaixo es fer un canvi de variables, i.e. considerar una aplicacio diferenciable
g : U ⊂ Rn −→ V ⊂ Rn
(t1, . . . , tn) 7−→ (g1(t1, . . . , tn), . . . , gn(t1, . . . , tn))
amb inversa h = g−1 diferenciable
h : V ⊂ Rn −→ U ⊂ Rn
(x1, . . . , xn) 7−→ (h1(x1, . . . , xn), . . . , hn(x1, . . . , xn))
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Doble Definicio Fubini Dominis generals Canvi de variables
Teorema del canvi de variables per a integrals
Teorema (Canvi de variables)
Si g : U ⊂ Rn → V ⊂ Rn es un canvi de variables if : D ⊂ V ⊂ Rn → R es una funcio aleshores∫
D
f (x) dx1 · · · dxn =
∫g−1(D)
f (g(t)) Jg dt1 . . . dtn
on Jg = | det(dg(t)| s’anomena jacobia del canvi.
Exemples de canvis de variables:
polars de R2: g(r , α) = (r cosα, r sinα) i Jg = r .
polars generalitzades de R2: g(r , α) = (a r cosα, b r sinα) iJg = a b r .
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums
Arees i volums
Si D ⊂ R2 aleshores l’area de D es pot calcular mitjancant
A(D) =
∫D
dA =
∫D
dx dy .
Volum de la regio definida entre z = 0 i la funcio z = f (x , y), ambbase D ∈ R2 es pot calcular mitjancant
V (D) =
∫D
f (x , y)dA =
∫D
f (x , y)dx dy .
Valor promig: f :=
∫ ∫D
f (x , y) dx dy∫ ∫D
dx dy
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums
Exemple
Evaluar∫∫
Dln(x2 + y 2)dxdy donde D es la region en el primer cuadrante
que esta entre los cırculos x2 + y 2 = a2, y x2 + y 2 = b2, siendo0 < a < b.
ResolucioJa que la regio d’integracio es circular, conve utilitzar el canvi de variablea coordenades polars per a simplificar els calculs.∫∫
D
f (x , y)dxdy =
∫∫D′=ϕ−1(D)
f (ϕ(r , θ))|Jg (r , θ)| dr dθ
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Integrals simples Integrals multiples Aplicacions Arees i volums
Aplicant el canvi a polars, la funcio f (ϕ(r , θ)) resulta
f (ϕ(r , θ)) = ln(r 2 cos2 θ + r 2 sin2 θ) = ln(r 2)
D ′ es el conjunt de la figura anterior, ja que θ ∈[0,π
2
]i r ∈ [a, b].∫∫
D
f (x , y)dx dy =
∫∫D′
f (ϕ(r , θ))|Jg (r , θ)| dr dθ =
∫∫D′
r ln(r 2) dr dθ
=
∫ π2
0
∫ b
a
2r ln(r) dr dθ =
∫ π2
0
[r 2 ln(r)− r 2
2
]ba
dθ
=
∫ π2
0
(b2 ln b − b2
2
)−(a2 ln a− a2
2
)dθ
=
[θ
(b2 ln b − a2 ln a− b2
2+
a2
2
)]π2
0
Per tant,∫∫D
ln(x2 + y 2)dx dy =π
2
(b2 ln b − a2 ln a− b2
2+
a2
2
)Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie
5. Calcul Vectorial
10 Integrals sobre corbesParametritzacions de corbes i superfıciesIntegrals de trajectoriaIntegrals de lınia. Circulacio d’un camp
11 Camps conservatius
12 Teorema de Green
13 Integral de superfıcie
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie Parametritzacions Int. traject. Int.lınia
Parametritzacions de corbes de R2
Sigui C ⊂ R2 una corba donada per una equacio f (x , y) = 0.
Definicio: Una parametritzacio de C es una aplicacio diferenciableα : [a, b] ⊂ R→ R2, donada per dues funcions α : t 7→ (x(t), y(t)) talsque f (x(t), y(t)) ≡ 0.
Exemple 0: C = {x2 + y 2 = 1} circumferencia de radi 1. Parametritzacioα : [0, 2π]→ C , t 7→ (cos t, sin t) ja que cos2 t + sin2 t = 1.
Exemple 1: C = {x2 + y 2 = R2} circumferencia de radi R. Podem
reescriure l’equacio com(xR
)2+(yR
)2= 1 i parametritzar C per
α(t) = (R cos t,R sin t).
Exemple 1 general: C = {(xa
)2+(yb
)2= 1} el.lipse de semieixos a, b > 0.
Parametritzacio α : t ∈ [0, 2π]→ (a cos t, b sin t).
Exemple 2: C = {y = x2} parabola. Parametritzacio α : R→ C ,α(t) = (t, t2).Exemple 2 general: C = {y = f (x)} grafica. Parametritzacioα : t ∈ R 7→ (t, f (t)).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie Parametritzacions Int. traject. Int.lınia
Integrals de trajectoria
Si α : [a, b] ⊂ R→ C ⊂ R3, t 7→ α(t), es una parametritzacio d’unacorba C ⊂ R3 aleshores interpretem
t com el temps i dt com a un increment infinitesimal de temps
α′(t) com el vector velocitat i ‖α′(t)‖ com la velocitat escalar
diferencial de longitud dL = ‖α′(t)‖ dt com a un incrementinfinitesimal de longitud (= velocitat per temps infinitesimal)
Si ρ : C → R es una funcio (de densitat lineal d’alguna magnitud fısica)aleshores definim la integral de trajectoria de ρ mitjancant∫ B
A
ρ dL :=
∫ b
a
ρ(α(t)) ‖α′(t)‖ dt,
on A = α(a) i B = α(b).
Per exemple, si ρ = 1 aleshores∫ B
AdL mesura la longitud de l’arc de
corba C entre els punts A i B.
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie Parametritzacions Int. traject. Int.lınia
Integrals de lınia
Si t ∈ [a, b] 7→ α(t) ∈ C es una parametritzacio d’una corba C ⊂ R3 i~F : R3 → R3 es un camp vectorial aleshores definim
diferencial (vectorial) de desplacament com d~L = α′(t) dt.
vector tangent unitari ~t = α′(t)‖α′(t)‖ .
la integral de lınia de ~F sobre C mitjancant∫ B
A
~F · ~dL :=
∫ b
a
~F (α(t)) · α′(t) dt =
∫ B
A
(~F ·~t) dL
(“suma” de les parts tangents Ft := ~F ·~t de ~F al llarg de C ).
Es defineix el treball efectuat per una forca ~F sobre C com la diferenciad’energia cinetica T = 1
2 mv 2 entre els extrems de C :
T (B)− T (A) =
∫ b
a
d
dtT (α(t)) dt =
∫ b
a
~F (α(t)) · α′(t) dt =
∫ B
A
~F · ~dL,
d
dtT (α(t)) =
1
2m
d
dt
(α′(t) · α′(t)
)= mα′′(t) · α′(t) = ~F (α(t)) · α′(t).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie
Camp conservatiu i funcio potencial
Si C es una corba tancada i orientada, l’integral de lınia∫C~F · ~dL
s’anomena la circulacio de ~F al llarg de C .
Un camp de forces ~F es diu conservatiu o potencial quan el treballrealitzat sobre un camı qualsevol nomes depen dels seus extrems.Equivalentment, C tancada ⇒
∫C~F · ~dL = 0.
Si ~F = ∇f llavors ~F (α(t)) · α′(t) = ddt f (α(t)) i per tant
T (B)− T (A) =
∫ B
A
~F · ~dL =
∫ b
a
d
dtf (α(t)) dt = f (B)− f (A)
i el camp ~F es conservatiu.
Si ~F = ∇f llavors la quantitat E = T − f (l’energia total) es
constant al llarg de la trajectoria. Definim (l’energia) potencial de ~F
com V = −f de manera que ~F = −∇V .
Teorema: ~F conservatiu ⇔ ~F = −∇V ⇔ rot ~F := ∇× ~F = 0
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie
Teorema de Green
Aquest teorema relaciona una integral de lınia al llarg d’una corbatancada simple C del pla R2 amb una integral doble sobre la regio D quedelimita C = ∂D.
Teorema de Green (formulacio classica):
Si ~F = (P(x , y),Q(x , y)) es un camp vectorial diferenciable sobre unaregio D ⊂ R2 aleshores orientant C = ∂D positivament tenim∫
C
~F · ~dL =
∫C
P dx + Q dy =
∫D
(∂Q
∂x− ∂P
∂y
)dx dy .
Exemple: Si ~F = (−y , x) aleshores ∂Q∂x −
∂P∂y = 2 i per tant∫
∂D
~F · ~dL = 2 A(D).
Gisela Pujol Funcions de varies variables
Corbes Camps conservatius Green Int. superficie
Integral de superfıcie
Volem calcular el fluxe que produeix un lıquid que es mou a velocitat−→V (t), en travessar una superfıce S :
Φ =
∫S
−→V (t) ·
−→ds
on−→ds =
−→N · ds, sent
−→N el vector normal a la superfıcie.
Calcul de la int. de superfıcie
Camp vectorial−→V (x , y , z).
Superfıcie S definida per z = f (x , y), amb (x , y) ∈ D, domini de R2.
Pas 1. Calcular el vector normal a la superficie z = f (x , y):
g(x , y , z) = z − f (x , y) = 0⇒−→N = ∇g = (−∂x f ,−∂y f , 1)
Pas 2. Φ =∫S
−→V (t) ·
−→ds =
∫∫D
−→V (x , y , f (x , y)) ·
−→N dA, amb dA = dx dy .
Gisela Pujol Funcions de varies variables