2 Equacions i sistemes de primer grauspain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/...2...

21. Equacions de primer grau

amb una incògnita.

Resolució

2. Equacions de primer grau

amb dues incògnites

3. Sistemes de dues

equacions de primer grau

amb dues incògnites.

Resolució gràfi ca

4. Tipus de sistemes

5. Resolució algèbrica

de sistemes d’equacions

de primer grau

6. Resolució de problemes

A mitjan segle IX, el matemàtic àrab Muhammad ibn Musa al-Hwarizmi va publicar a Bagdad, la capital de l’imperi islàmic, el llibre Hisab a-jabr w’al-muqabala. Aquest text va representar el naixement de l’àlgebra i l’origen del nom d’aquesta branca de les matemàtiques. La seva infl uència en el desenvolupament de l’àlgebra a tot Europa, a partir del segle X, va ser molt gran.

La paraula al-jabr es refereix a dos dels passos que fem quan procedim a resoldre equacions:

• la transposició de termes d’un membre a l’altre de la igualtat

• la multiplicació dels dos membres per un mateix nombre per aïllar la incògnita

La paraula al-muqabala indica:

• la reducció dels termes semblants en els dos membres d’una equació

D’aquesta manera, al-jabr i al-muqabala unides per w’, que vol dir «i», donaven nom al procediment de resolució d’equacions i van ser l’antecedent de la nostra paraula àlgebra.

Equacions i sistemes de primer grau

OBJECTIUS

• Resoldre equacions de primer grau amb una in-cògnita.

• Reconèixer una equació de primer grau amb dues incògnites, trobar-ne solucions i representar-les en un sistema de coordenades cartesianes.• Identifi car un sistema de dues equacions amb dues incògnites i classifi car-lo d’acord amb les se-ves solucions.

• Resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites utilitzant el mètode gràfi c o qualsevol dels mètodes algèbrics.

• Aplicar les equacions i els sistemes d’equacions de primer grau a la resolució de problemes.

QÜESTIONS

• Digues si les igualtats algèbriques següents són identitats o equacions.

Justifi ca les respostes:

a) (x – 3)2 = x2 + 9 b) x + 6 = –2

c) 2 · (x – 7) = 2x – 14 d) (x + 4) · (x – 4) = x 2 – 16

• Determina per a quin valor de a es verifi quen les igualtats següents:

a) 8 : a = –4 b) 9 – 0,1a = 8 c) a : 48 = –1

• Expressa en llenguatge algèbric les igualtats que es dedueixen d’aquests

enunciats:

a) Si restem 9 del triple d’un nombre, obtenim el doble del mateix nom-

bre.

b) La suma de dos nombres enters consecutius és 5.

c) El triple de la suma de dos nombres és 21.

• Determina tres parells de nombres racionals que verifi quin l’equació

x + y = 12.

• Multiplicant per 9 l’edat de l’avi Manel i sumant 790 al resultat, obtenim

l’any en què Colom va descobrir Amèrica. Quants anys té l’avi Manel?

• Jo tinc dos anys més que la meva germana i entre tots dos tenim els ma-

teixos anys que dies té el mes de febrer quan no és any de traspàs. Quina

edat tinc? I la meva germana, quina edat té?

40

2 EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

1. Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució

Observa les igualtats següents:

6 · 3 + 4 : (–4) = (–2)2 – 13 · (–1) igualtat numèrica

(x – 3)2 = x2 – 6x + 9 igualtats algèbriques o literals

3x – 4 = 2

Ja saps que la primera igualtat és numèrica i que les altres dues igualtats són igualtats algèbriques o literals, ja que en un dels dos membres o bé en tots dos hi apareixen expressions algèbriques.

La igualtat algèbrica (x – 3)2 = x2 – 6x + 9 es verifi ca per a qualsevol valor de x. Es tracta d’una identitat.

La igualtat algèbrica 3 · (a + b) = 3a + 3b també és una identitat, ja que es compleix per a qualssevol valors numèrics que assignem a a i a b.

Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol

valor numèric que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els

seus membres.

La igualtat algèbrica 3x – 4 = 2 només es verifi ca per a x = 2, ja que 3 · 2 – 4 = 2. No existeix cap altre valor de x que transformi aquesta igualtat algèbrica en una igualtat numèrica. Es tracta d’una equació.

3x – 4 = 2 és una equació de primer grau amb una sola incògnita, la x. El grau d’una equació fa referència a l’exponent al qual està elevada la incògnita. En aquest cas és 1, per això és una equació de primer grau. Té només una solució, x = 2.

Aquesta equació és una igualtat algèbrica que només es compleix per a un determi-nat valor de la lletra que apareix en els seus membres. La incògnita d’aquesta equació és la lletra que hi ha escrita a la igualtat algèbrica. x = 2 és la solució d’aquesta equació, ja que és el valor numèric de la incògnita que verifi ca la igualtat algèbrica.

Propietats de les igualtats

Totes les igualtats verifi quen sempre aquestes dues propietats:

• Si sumem un mateix nombre als dos membres d’una igualtat, s’obté una nova igualtat.

• Si multipliquem els dos membres d’una igualtat per un mateix nombre diferent de zero, s’obté una nova igualtat.

En el cas de les equacions, l’aplicació d’aquestes propietats ens permet transfor-mar qualsevol equació en una altra de més senzilla que té la mateixa solució que l’equació inicial, i que diem que és equivalent a la primera.

Si x = y x + a = y + a

Si x = y x · a = y · a, on a ≠ 0

2EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAU

41

Primer membre Segon membre

Obtenim la mateixa solució. A partir d’ara, utilitzarem la transposició de termes sempre que es tracti de resoldre una equació de primer grau amb una incògnita, ja que resulta un mètode més senzill i més curt.

Les equacions 5x – 1 = 2x – 10 i 3x = –9 són equivalents, perquè tenen la mateixa solució: x = –3.

Dues equacions són equivalents si tenen la mateixa solució.

Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor

numèric de la incògnita que verifi ca la igualtat.

Solucions

Així, el procediment per resoldre una equació es basa a aplicar les propietats de les igualtats, que ens permeten obtenir equacions equivalents més senzilles. Sempre és possible transformar l’equació inicial en una altra d’equivalent del tipus ax = b,on x sigui la incògnita i a i b siguin dos nombres enters.

En resoldre l’equació ax = b, ens podem trobar amb tres situacions diferents:

• Si a ≠ 0, l’equació té una única solució: x = ba

.

• Si a = 0 i b ≠ 0, l’equació és de la forma 0x = b. No hi ha cap valor numèric de xque verifi qui aquesta igualtat. En aquest cas, l’equació no té solució.

La podem resoldre aplicant les propietats de les igualtats que aca-bem de veure.

Sumem 1 i restem 2x als dos mem-bres, per aconseguir que els termes en x quedin tots en un membre i que els nombres quedin a l’altre.

5x – 1 + 1 – 2x = 2x – 10 + 1 – 2x

5x – 2x = –10 + 1

Reduïm els termes semblants:

3x = –9

Dividim entre 3 els dos membres per trobar la solució de l’equació o,

és el mateix, multipliquem per 1

3:

3x3

= – 9

3

x = –3

A la pràctica, això equival a fer una transposició de termes, és a dir, passar el 2x del segon membre al primer i el –1 del primer membre al segon, de manera que quan es canvia un terme de membre, cal canviar-lo de signe:

5x – 2x = –10 + 1

3x = –9

Finalment, el coefi cient de x, 3, que multiplica el primer membre, passa al segon membre dividint, i d’aquesta manera s’obté la solució de l’equació:

x = –9

3

x = –3

ResolucióObserva aquesta equació:

5x – 1 = 2x – 10

Si a = 0 i b = 0,llavors 0x = b no té solució

42


• Si a = 0 i b = 0, obtenim una igualtat del tipus 0x = 0. Aquesta igualtat es verificaper a qualsevol valor de x, ja que qualsevol nombre multiplicat per zero dóna coma resultat zero. Així doncs, no és una equació, és una identitat.

Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solu-

ció o bé no en té.

Sempre podem esbrinar si hem resolt correctament una equació: només calsubstituir la incògnita de l’equació inicial pel valor numèric que hem obtingutcom a solució, efectuar els càlculs corresponents als dos membres de la igualtati comprovar que es verifica.

x = –3 és la solució de l’equació 5x – 1 = 2x – 10, ja que verifica la igualtat. Fixa’t-hi:

5 · (–3) – 1 = –15 – 1 = –16

2 · (–3) – 10 = –6 – 10 = –16

Vegem com es resolen algunes equacions de primer grau amb una incògnita.Fixa’t bé en els passos que cal seguir per resoldre-les correctament.

• Resolem l’equació 5 – 3 · (x + 6) = 7 · (x – 1).

Primerament, apliquem la propietat distributiva als dos membres de la igualtat:

5 – 3x – 18 = 7x – 7

Transposem els termes i reduïm els termes semblants:

–3x – 7x = –7 – 5 + 18 –10x = 6 x =6

–10= –

3

5

La solució de l’equació és x = –3

5.

• Ara resoldrem l’equació2 · (x – 1)

9–

6 + 2x3

= 4.

Apliquem la propietat distributiva per treure el parèntesi:

2x – 2

9–

6 + 2x3

= 4

Tot seguit busquem el m. c. m. dels denominadors. Es dedueix fàcilment queés 9. Si multipliquem els dos membres de l’equació per 9, obtenim una equacióequivalent sense denominadors:

9 · (2x – 2

9–

6 + 2x3 ) = 9 · 4 (2x – 2) – 3 · (6 + 2x) = 36

Apliquem novament la propietat distributiva, transposem termes i reduïm elstermes semblants:

2x – 2 – 18 – 6x = 36 2x – 6x = 36 + 2 + 18 –4x = 56 x =56

–4= –14

L’equació té com a solució x = –14.

• Observa l’equació (x – 2)2 – (x + 2) · (x – 3) = x – 2.

Per resoldre-la, cal realitzar en primer lloc les operacions indicades en el primermembre.

Hem de desenvolupar el quadrat d’una diferència. A més, cal anar amb compteamb el signe menys que precedeix el segon parèntesi. Així:


43

x2 – 4x + 4 – (x2 – 3x + 2x – 6 ) = x – 2

x2 – 4x + 4 – x2 + 3x – 2x + 6 = x – 2

Obtenim termes amb x2: sembla que aquesta equació sigui de segon grau.

Transposem els termes semblants:

x2 – 4x – x2 + 3x – 2x – x = –2 – 4 – 6

En el primer membre apareix x2 – x2, que és zero. Així, obtenim:

–4x = –12 x = –12

–4 = 3

La solució és x = 3.

activitats resoltes

1. Resol les equacions:

a) 2

3 · (1

2x –

1

4 ) –3

5 · ( x

3 + 5) = 4 · (1

5x –

1

2 )Apliquem la propietat distributiva per treure parèntesis i simplifi quem sem-pre que sigui possible:

1

3x –

1

6 –

x5

– 3 =4

5x – 2

x3

–1

6 –

x5

– 3 = 4x5

– 2

El mínim comú múltiple dels denominadors es pot deduir fàcilment: és 30. Multipliquem els dos membres de l’equació per 30 per obtenir una equació equivalent sense denominadors:

10x – 5 – 6x – 90 = 24x – 60

Transposem termes, reduïm els termes semblants i aïllem la incògnita:

10x – 6x – 24x = –60 + 5 + 90 –20x = 35 x = 35

–20 =

–7

4

La solució de l’equació és x =–7

4.

b)x2

+ 1

3x –

5x + 30

6 = 0

Per obtenir una equació equivalent sense denominadors multipliquem els dos membres de l’equació pel mínim comú múltiple dels denominadors, que és 6.

3x + 2x – 5x – 30 = 0

3x + 2x – 5x = 30 0x = 30

No hi ha cap valor de x que multiplicat per zero doni 30. Aquesta equació no té solució.

c) 4

x – 1=

3

x – 2

Es tracta d’una equació en forma de proporció. Per tant, podem aplicar la propie-tat fonamental de les fraccions equivalents per tal de treure els denominadors:

siab

=cd

, llavors es verifi ca que a · d = b · c.

Així: 4

x – 1 =

3

x – 23 · (x – 1) = 4 · (x – 2)

Cal que recordis els pro-ductes notables o identi-tats notables:

Quadrat d’una suma:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

Quadrat d’una diferència:

(a – b)2 = a2 – 2ab + b2

Suma per diferència:

(a + b) · (a – b) = a2 – b2

1

3x =

x3

Recorda?

!

44


2. Equacions de primer grau amb dues incògnites

Considerem la igualtat x + 2y = 4. Es tracta d’una equació de primer grau ambdues incògnites, ja que els exponents de les incògnites x i y són iguals a la unitat.Els valors numèrics de x i y que satisfan la igualtat són les solucions de l’equació.

Quantes solucions té aquesta equació? Com les podem trobar? Podem recórreral tempteig, però aquest procediment és força llarg i pesat. És més pràctic donarvalors numèrics qualssevol a una de les dues incògnites, normalment la x, i deter-minar els valors numèrics corresponents de l’altra incògnita, y, que verifiquen laigualtat.

– Si x = 0 0 + 2y = 4 2y = 4 y = 2

– Si x = –1 –1 + 2y = 4 2y = 5 y =5

2– Si x = 2 2 + 2y = 4 2y = 2 y = 1

– Si x = –2 –2 + 2y = 4 2y = 6 y = 3

– Si x = 4 4 + 2y = 4 2y = 0 y = 0

Observa que les incògnites x i y poden prendre qualsevol valor numèric que siguiun nombre racional. Per tant, no hi ha cap més restricció per als valors numèricsde les incògnites x i y que la que estableix l’equació. No acabaríem mai de trobar-ne solucions.

Cada solució d’aquesta equació està formada per un parell de nombres x i y, on elvalor de la incògnita y depèn del valor que hem assignat a la incògnita x.

Ara resolem l’equació:

3x – 3 = 4x – 8 3x – 4x = –8 + 3 –x = –5 x = 5

La solució de l’equació és x = 5.

2. Aïlla la lletra x en cadascuna de les igualtats següents:

a) ax – 1 = bx + 2

b) ax + c = d – bx

a) Primer transposem els termes que contenen x al primer membre de la igual-tat:

ax – 1 = bx + 2 ax – bx = 2 + 1

Tot seguit, traiem factor comú x x · (a – b) = 3

Ara, aïllem la x x =3

a – b

b) Procedim de la mateixa manera que en l’apartat anterior:

ax + c = d – bx ax + bx = d – c

x · (a + b) = d – c x =d – ca + b


45

x = 0, y = 2

x = –1, y =5

2

x = 2, y = 1

x = –2, y = 3

x = 4, y = 0

Atès que x pot prendre qualsevol valor numèric i a cada valor de x li corresponun valor de y, podem afirmar que l’equació x + 2y = 4 té un nombre il·limitat desolucions.

Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del ti-

pus ax + by = c, on a, b i c són nombres racionals tals que a i b són diferents

de zero i x i y són les incògnites.

Les equacions d’aquest tipus tenen un nombre il·limitat de solucions.

Podem donar una interpretació gràfica de les solucions d’una equació de primergrau. Per fer-ho, començarem representant les solucions obtingudes en un siste-ma de coordenades cartesianes. Assignarem a cada solució de l’equació, formadaper un parell de nombres x i y, el punt del pla de coordenades (x, y). En el nostrecas, per a les cinc solucions trobades, tindrem aquests cinc punts:

Solució equació x + 2y = 4 Coordenades del punt

x = 0, y = 2 P1 (0, 2)

x = –1, y = 5

2P2 (–1, 5

2 )x = 2, y = 1 P3 (2, 1)

x = –2, y = 3 P4 (–2, 3)

x = 4, y = 0 P5 (4, 0)

Quan representem aquests cinc punts en un sistema de coordenades cartesianes,observem que els cinc punts estan alineats.

Si busquem unes quantes solucions més, i representem les coordenades delspunts gràficament, veurem que els nous punts obtinguts també estan alineatsamb els que ja havíem representat.

Quan representem gràficament en un sistema de coordenades cartesianes les so-lucions de l’equació x + 2y = 4, obtenim una sèrie de punts que pertanyen a lamateixa recta. Cada solució de l’equació es pot representar per un punt d’aquestarecta. De la mateixa manera, cada punt de la recta té unes coordenades (x, y), elsvalors de les quals són una solució de l’equació donada.

En general, qualsevol equació de primer grau amb dues incògnites té un

nombre il·limitat de solucions, la representació gràfica de les quals són

punts que pertanyen a una mateixa recta.

Aquestes són cinc de les moltes

solucions que verifiquen l’equació

x + 2y = 4.

0

P4 (–2, 3)

P5 (4, 0)

P1 (0, 2)P2 (–1, 5)2 P3 (2, 1)

y

xx + 2y = 4

46


activitats resoltes

3. El restaurant Can Tripaire té un menjador per a 40 comensals. El dia de la Festa Major, 40 persones dinen al menjador, distribuïdes en taules de 4 i 2 persones. Quantes taules plenes de cada tipus hi pot haver al menjador?

Si llegim l’enunciat detingudament, veiem que tenim dues incògnites per esbrinar: el nombre de taules per a quatre persones i el nombre de taules per a dues persones. El problema és que només tenim una condició: el nombre de persones que hi ha en total al menjador és 40.

Anomenem:

x nombre de taules de 4 places Hi ha 4x comensals en taules de 4.

y nombre de taules de 2 places Hi ha 2y comensals en taules de 2.

Segons l’enunciat, escrivim la igualtat 4x + 2y = 40.

El nombre de taules de cada tipus no pot ser un nombre qualsevol. Per tant, aquesta igualtat és una equació, perquè només es verifi ca per a uns determinats valors de x i de y.

Es tracta d’una equació de primer grau amb dues incògnites.

Com podem trobar els valors numèrics de x i y que verifi quen aquesta igualtat? És a dir, com podem obtenir la solució o les solucions d’aquesta equació? Podem recórrer al tempteig, però hem de tenir en compte que x i y només poden ser nombres naturals.

Si considerem, per exemple, x = 7, aleshores:

4 · 7 + 2y = 40 28 + 2y = 40 2y = 12 y = 6

Així, x = 7 i y = 6 és una solució de l’equació 4x + 2y = 40. Per tant, també és una resposta possible al problema, ja que 4 · 7 + 2 · 6 = 28 + 12 = 40, i a més, tant 7 com 6 són nombres naturals. Podem afi rmar que al menjador hi pot haver 7 taules de 4 places i 6 taules de 2 places.

També són solucions de l’equació els parells de valors següents:

x = 2 i y = 16 x = 3 i y = 14

x = 6 i y = 8 x = 4 i y = 12

x = 5 i y = 10 x = 8 i y = 4

Fixa’t que no hi ha cap altre parell de valors més que també pugui ser solució de l’equació.

Aquest problema té més d’una solució possible. Per saber quantes taules de cada tipus hi ha realment al menjador, l’enunciat ens hauria de donar una altra condició per al nombre de taules de 4 i 2 places.

Per exemple, ens podria dir que hi ha el doble de taules de dues places que de quatre places.

Segons aquesta segona condició, de totes les solucions possibles només n’hi ha una que verifi qui les dues condicions a la vegada:

x = 5, y = 10

És a dir, hi ha 5 taules de 4 persones i 10 taules de 2 persones.


47

3. Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites. Resolució gràfica

Com podem saber si les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8 tenen alguna solució encomú?

Un mètode podria consistir a buscar unes quantes solucions de cadascuna de lesdues equacions i veure si n’hi ha alguna que les verifica alhora. Aquest mètodeno és gaire aconsellable, ja que podem passar-nos molta estona buscant aquestparell de valors i no trobar-los, encara que existeixin.

Podem representar gràficament les solucions de les dues equacions en un mateixsistema de coordenades cartesianes. D’aquesta manera, si tenen una solució encomú, les dues rectes es tallaran en un punt, les coordenades del qual seran solu-ció de cadascuna de les dues equacions.

Atès que es tracta de representar una recta en cada cas, ens limitarem a trobarnomés dues solucions per a cada equació, perquè una recta queda determinadasi se’n coneixen dos punts.

x + 2y = –1

x = 1 1 + 2y = –1 2y = –2 y = –1

x = –3 –3 + 2y = –1 2y = 2 y = 1

Els dos punt que hem de representar són: A1

(1, –1), A2

(–3, 1).

2x – y = 8

x = 5 10 – y = 8 –y = –2 y = 2

x = 0 0 – y = 8 –y = 8 y = –8

Els dos punt que hem de representar són: B1

(5, 2), B2

(0, –8).

Les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8 tenen una solució en comú,perquè les rectes que contenen les seves solucions es tallen en unsol punt. Podem determinar quina és aquesta solució observanten la gràfica quines són les coordenades d’aquest punt comú a lesdues rectes.

Tal com podem veure en la gràfica, el punt d’intersecció és P (3, –2).

Comprovem que, efectivament, x = 3 i y = –2 és la solució comuna a les dues equa-cions donades:

x + 2y = –1 2x – y = 8

3 + 2 · (–2) = 3 – 4 = –1 2 · 3 – (–2) = 6 + 2 = 8

Les equacions x + 2y = –1 i 2x – y = 8, considerades alhora, constitueixen un siste-ma de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.

L’escrivim:x + 2y = –1

on x = 3 i y = –2 és la solució del sistema.2x – y = 8

Dos punts determinen una recta.

48


Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògni-

tes consisteix a trobar els valors d’aquestes incògnites que verifi quen a la

vegada les dues equacions.

Quan trobem la solució del sistema a partir de la representació gràfi ca de les so-lucions de cadascuna de les equacions, diem que hem resolt el sistema gràfi ca-ment.

activitats resoltes

4. Resol gràfi cament el sistema2x – y = 3

2x + y = –3.

Representem gràfi cament les solucions de les dues equacions en un mateix sistema de coordenades cartesianes. Tal com hem fet abans, ens limitarem a trobar només dues solucions per a cada equació.

2x – y = 3

x = 2 4 – y = 3 –y = –1 y = 1

x = –1 –2 – y = 3 –y = 5 y = –5

Els dos punts que hem de representar són: A1 (2, 1) i A

2 (–1, –5).

2x + y = –3

x = 1 2 + y = –3 y = –5

x = –3 –6 + y = –3 y = 3

Els dos punts que hem de representar són: B1 (1, –5) i B

2 (–3, 3).

Representem-ho gràfi cament:

Les dues rectes es tallen en el punt P (0, –3).

Comprova que, efectivament, x = 0 i y = –3 és la solució comuna a les dues equacions donades.


49

4. Tipus de sistemes

En representar en una mateixa gràfi ca les solucions de les dues equacions de pri-mer grau amb dues incògnites que formen el sistema, podem trobar-nos amb tres situacions diferents. Tot seguit les estudiem.

Les dues rectes es tallen en un punt

3x – 2y = 8

4x + y = 7

3x – 2y = 8

x = 4 12 – 2y = 8 –2y = –4 y = 2

x = 0 0 – 2y = 8 –2y = 8 y = –4

Hem de representar els punts: A1 (4, 2) i A

2 (0, –4).

4x + y = 7

x = 3 12 + y = 7 y = –5

x = 0 0 + y = 7 y = 7

Hem de representar els punts: B1 (3, –5) i B

2 (0, 7).

Les dues rectes es tallen en un punt. Les coordenades del punt en què es tallen són la solució del sistema. Aquest sistema d’equacions té una única solució. Diem que és compatible determinat.

Les dues rectes són paral·leles

x + y = 7

x + y = –2

x + y = 7

x = 0 0 + y = 7 y = 7

x = 4 4 + y = 7 y = 3

Hem de representar els punts: A1 (0, 7) i A

2 (4, 3).

x + y = –2

x = 1 1 + y = –2 y = –3

x = 0 0 + y = –2 y = –2

Hem de representar els punts: B1 (1, –3) i B

2 (0, –2).

Les dues rectes no tenen cap punt en comú. El sistema no té solu-ció. Diem que és incompatible.

De fet, només cal fi xar-se en el sistema proposat per veure que no pot tenir solució. Si dos valors numèrics x i y sumen 7, és impos-sible que aquests mateixos valors verifi quin també la condició de sumar –2.

Sistema compatible determinat

Les dues rectes es tallen en un punt.

El sistema té solució única.

Sistema incompatible

Les dues rectes són paral·leles.

El sistema no té solució.

O

y

x

3x – 2y = 8

4x + y = 7

50


Les dues rectes són coincidents

x – y = 3

–2x + 2y = –6

x – y = 3

x = 0 0 – y = 3 –y = 3 y = –3

x = –2 –2 – y = 3 –y = 5 y = –5

Representem els punts A1 (0, –3) i A

2 (–2, –5).

–2x + 2y = –6

x = 0 0 + 2y = –6 2y = –6 y = –3

x = 4 –8 + 2y = –6 2y = 2 y = 1

Hem de representar els punts B1 (0, –3) i B

2 (4, 1).

Podem veure fàcilment que les dues equacions són equivalents. La segona equació s’obté de multiplicar tots els termes dels dos membres de la primera per –2. És per aquest motiu que en repre-sentar-les obtenim la mateixa recta.

Qualsevol solució de la primera equació és solució de l’altra, i també del sistema. Per tant, es tracta d’un sistema amb un nombre il·limitat de solucions. Diem que és compatible indeterminat.

En defi nitiva, en la resolució de qualsevol sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites, només ens podem trobar amb un dels tres casos que hem analitzat.

Abans de resoldre un sistema cal observar-lo bé, ja que molt sovint els sistemes compatibles indeterminats i els incompatibles es poden identifi car a cop d’ull. En cas que no sigui així, segur que el sistema és compatible determinat.

Sistema compatible indeterminat

Les dues rectes són coincidents.

Nombre il·limitat de solucions.

activitats resoltes

5. Determina el valor numéric de a i b en els sistemes d’equacions següents, perquè les solucions siguin les indicades en cada cas:

a) x + ay = 12

2x – by =12Solució: x = 8, y = 1.

b) 3x – by = 1

ax + 4y = 3 No té solució.

c) 2x + 3y = 4

ax + by = 12Té infi nites solucions.

a) Per trobar a i b, podem substituir en les dues equacions la x per 8 i la y per 1. Així:

8 + a = 12 a = 4

2 · 8 – b = 10 16 – b = 10 –b = –6 b = 6

Per a a = 4 i b = 6, el sistema té solució x = 8 i y = 1.

b) El sistema no té solució, és incompatible. Les dues rectes que resulten de la representació gràfi ca de les solucions respectives són paral·leles. Podem identifi car els valors de a i de b mentalment.

Així, si prenem a = –3 i b = 4, obtenim un sistema incompatible. També obtenim un sistema incom-patible per als valors a = 3 i b = –4.

c) Si ha de tenir infinites solucions, el sistema ha de ser compatible indeterminat, és a dir, les dues rectes que resulten de la representació gràfica de les solucions respectives han de ser coincidents. Podem esbrinar mentalment els valors de a i de b.

Atès que 12 és el triple de 4, llavors donem els valors a = 6 i b = 9, i obtenim dues equacions equivalents, la segona de les quals s’obté de multiplicar tots els termes dels dos membres de la primera per 3.


51

5. Resolució algèbrica de sistemes d’equacions de primer grau

Ja hem vist que un sistema de dues equacions amb dues incògnites sempre es pot resoldre gràfi cament. La representació gràfi ca ens informa si existeix o no un punt de tall entre les dues rectes representades, és a dir, ens indica si el sistema té una única solució, si té un nombre il·limitat de solucions o bé no té solució.

Si es tracta d’un sistema amb una única solució, la representació gràfi ca no ens proporciona amb exactitud les coordenades del punt de tall de les dues rectes, és a dir, la solució del sistema, especialment quan una de les coordenades o bé totes dues no són nombres enters. Podem tenir difi cultats a l’hora de donar la solució del sistema amb precisió, encara que treballem amb paper mil·limetrat. En tot cas, ens proporciona una solució aproximada del sistema.

Podem evitar aquesta difi cultat utilitzant els mètodes algèbrics per resoldre sistemes. Tots tres persegueixen el mateix objectiu: transformar el sistema de dues equacions amb dues incògnites en un altre d’equivalent en el qual una de les equacions tingui una sola incògnita. Es tracta dels mètodes que anomenem dereducció, igualació i substitució.

Tot seguit resoldrem per aquests tres mètodes algèbrics el sistema:

2x – y = 3

4x + 3y = –4

Mètode de reducció

Aquest mètode de resolució es basa en una propietat que hem utilitzat molt so-vint: es tracta de sumar membre a membre dues igualtats per obtenir una altra igualtat.

Cal aconseguir que, quan sumem membre a membre les dues equacions que for-men el sistema, en resulti una equació amb una sola incògnita. Això només succe-eix quan els coefi cients d’una de les dues incògnites són nombres oposats.

En cas que sigui així, perfecte. Però, quan no és així, llavors cal multiplicar els dos membres d’una de les equacions o bé de totes dues pel nombre o els nombres convenients per aconseguir el nostre objectiu.

Ho apliquem al sistema: 2x – y = 3

4x + 3y = –4

Si multipliquem per 3 la primera equació, obtenim una equació equivalent a l’anterior i aconseguim que els coefi cients de y siguin dos nombres oposats:

2x – y = 3

4x + 3y = –4

multipliquem per 3 6x – 3y = 9

4x + 3y = –4 la primera equació

10x + 0y = 5

Així, sumant membre a membre les equacions, obtenim una equació amb una sola incògnita: 10x = 5

a = b

+ c = d

a + c = b + d

52


Aquesta equació i una altra qualsevol del sistema formen un nou sistema equiva-lent a l’original.

2x – y = 3

4x + 3y = –4

2x – y = 3

10x = 5

2x – y = 3

x = 1

2

Aquests tres sistemes són equivalents.

Ara substituïm la x per 1

2 a la primera equació del sistema, per trobar la y:

2 ·1

2 – y = 3

x = 1

2

1 – y = 3

x = 1

2

–y = 2

x = 1

2

y = –2

x = 1

2

La solució del sistema és x = 1

2 i y = –2.

Comprovem les solucions:

2x – y = 3

4x + 3y = – 4

2 ·1

2 – (–2) = 1 + 2 = 3

4 · 1

2 + 3 · (–2) = 2 – 6 = – 4

Mètode d’igualació

Aquest mètode consisteix a aïllar la mateixa incògnita, la que resulti més fàcil, de cadascuna de les equacions, i a igualar les expressions obtingudes en cada cas.

Aquestes expressions es poden igualar, perquè el valor de la incògnita ha de ser el mateix en les dues equacions del sistema.

Apliquem-ho al sistema: 2x – y = 3

4x + 3y = – 4

Aïllem x en totes dues equacions:

2x – y = 3

4x + 3y = – 4

2x = 3 + y4x = – 4 – 3y

x = 3 + y

2

x = –4 – 3y

4

Igualem les dues expressions obtingudes:

3 + y2

= –4 – 3y

46 + 2y = –4 – 3y 5y = –10 y = – 2

Ja hem aconseguit una equació de primer grau amb una incògnita, en aquest cas y. Aquesta equació forma amb qualsevol de les anteriors un sistema equivalent a l’original.

y = –2

4x + 3y = –4

y = –2

4x + 3 · (– 2) = –4

y = –2

4x – 6 = –4

y = –2

4x = 2

y = –2

x = 1

2


2 i y = –2.

Si a = b i a = c, aleshores b = c.


53

Mètode de substitució

En aquest cas, aïllem una de les incògnites d’una de les dues equacions i subs-tituïm l’expressió obtinguda per a aquesta incògnita en l’altra equació. Això és possible perquè el valor de la incògnita ha de ser el mateix en les dues equacions del sistema.

Evidentment, en aquest cas també és recomanable aïllar la incògnita que resulti més fàcil. Per exemple, podem aïllar y de la primera equació:

2x – y = 3

4x + 3y = – 4

–y = 3 – 2x4x + 3y = – 4

y = –3 + 2x4x + 3y = – 4

Ara substituïm aquesta expressió en la segona equació del sistema, i obtenim una equació de primer grau amb una sola incògnita, x. Procedim com en els dos mèto-des anteriors:

4x + 3 · (–3 + 2x) = –4 4x – 9 + 6x = –4 10x = 5 x = 1

2

x = 1

2

y = –3 + 2x

x = 1

2

y = –3 + 2 · 1

2

x = 1

2

y = –3 + 1

x = 1

2

y = –2


2 i y = –2.

La solució del sistema no depèn del mètode triat per resoldre’l. Per tant, podem triar el mètode que ens convingui més.

En resoldre algèbricament un sistema, podem trobar-nos amb una

d’aquestes tres situacions:

Sistema compatible determinat:

ax = b o cy = d amb a ≠ 0 i c ≠ 0

Sistema compatible indeterminat:

0x = 0 o 0y = 0

Sistema incompatible:

0x = b o 0y = d amb b ≠ 0 i d ≠ 0

Fins ara, tots els sistemes que hem resolt eren de la forma:

ax + by = c dx + ey = f

amb a, b, c, d, e i f nombres enters.

Però, de la mateixa manera que en les equacions de primer grau amb una incòg-nita, podem trobar sistemes les equacions dels quals tinguin parèntesis, denomi-nadors, etc.

54


activitats resoltes

6. Resol el sistema següent:

3 · (x – 2y)

5 =

x – 10

3x – 1

2 –

y + 3

3 = x – y

Primerament, apliquem la propietat distributiva per treure el parèntesi de la primera equació:

3x – 6y5

= x – 10

3x – 1

2 =

y + 3

3 = x – y

Multipliquem els membres de cada equació pel m. c. m dels denominadors respectius i obtenim el sistema equivalent:

3 · (3x – 6y) = 5 · (x – 10)

3 · (x – 1) – 2 · (y + 3) = 6 · (x – y)

Ara tornem a aplicar la propietat distributiva, fem la transposició de termes i reduïm els termes semblants per tal d’arribar a obtenir un sistema equivalent més senzill, del tipus que hem resolt fi ns ara.

9x – 18y = 5x – 50

3x – 3 – 2y – 6 = 6x – 6y

4x – 18y = –50 2x – 9y = –25

–3x + 4y = 9 –3y + 4y = 9

Fixa’t que hem dividit els dos membres de la primera equació per 2.

Per resoldre el sistema pel mètode de reducció, podem multiplicar la primera equació per 3 i la segona per 2:

6x – 27y = – 75

–6x + 8y = 18

\ –19y = –57

–19y = –57 y = 3

–3x + 4y = 9 –3x + 4y = 9

y = 3 y = 3 y = 3

–3x + 12 = 9 –3x = –3 x = 1

La solució del sistema és x = 1 i y = 3.

x + y + z = 6

7. Resol el sistema: 3x – y + 2z = 7

2x + 3y – z = 5

Resoldre aquest sistema consisteix a trobar els valors de x, y i z que verifi quen alhora aquestes tres igualtats. Es tracta d’un sistema de tres equacions de primer grau

amb tres incògnites. El podem resoldre utilitzant els mètodes explicats anteriorment. Fem servir el mètode de reducció, que és el més fàcil i ràpid. Fixa’t-hi:

Sumem la primera i la tercera equacions i obtenim una nova equació equivalent a les anteriors, que re-laciona la x i la y.

x + y + z = 6

2x + 3y – z = 5

3x + 4y / = 11

Sumem la segona equació amb la tercera, multipli-cant prèviament la segona equació per 2. Obtenim una nova equació equivalent a les anteriors i que també relaciona la x i la y.

3x – y + 2z = 7 3x – y + 2z = 7

2x + 3y – z = 5 4x + 6y – 2z = 10

7x + 5y / = 17

Ara podem resoldre el sistema format per les dues noves equacions obtingudes, multiplicant la primera equació per 7 i la segona per –3:

3x + 4y = 11 21x + 28y = 77

7x + 5y = 17 –21x – 15y = –51

/ 13y = 26 y = 2

Sustituïm y per 2 a la primera equació:

3x + 8 = 11 3x = 3 x = 1

Ja sabem que x = 1 i y = 2. Per determinar el valor de z, podem substituir x i y en qualsevol de les tres equacions inicials. Escollim la primera, ja que és més senzill:

x + y + z = 6 1 + 2 + z = 6 z = 3

La solució del sistema és:

x = 1, y = 2 i z = 3.

Comprovem que aquesta solució verifi ca les altres dues equacions inicials:

3x – y + 2z = 7 3 · 1 – 2 + 2 · 3 = 3 – 2 + 6 = 7

2x + 3y – x = 5 2 · 1 + 3 · 2 – 3 = 2 + 6 – 3 = 5

Fixa’t que hem aplicat el mètode de reducció tres ve-gades. Les equacions escollides en cada cas podien haver estat unes altres, però això no fa variar la so-lució del sistema. Convé triar sempre les que reque-reixen menys transformacions.

Ja veus que no hi ha una única manera de resoldre aquest sistema. També podríem haver resolt el siste-ma utilitzant el mètode de substitució o el d’igualació, però el procediment és força més complicat.


55

6. Resolució de problemes

Els sistemes d’equacions poden ser molt útils a l’hora de plantejar la resolució demolts problemes en què apareixen dues incògnites. De la mateixa manera quesucceix amb els problemes que resolem mitjançant una equació de primer grauamb una incògnita, en primer lloc haurem de traduir l’enunciat del problema alllenguatge algèbric.

A diferència de les equacions, en el cas dels sistemes haurem de determinar duesincògnites, de manera que també caldran dues equacions per arribar a trobar elvalor nùmeric de cada incògnita.

Resoldrem alguns problemes per veure-ho millor.

– En Joan Andreu ven dues classes de cafè: cafè natural a 4,50 €/kg i cafè tor-refacte a 3,20 €/kg. Quants quilograms de cafè de cada tipus ha d’agafar peraconseguir una barreja amb un preu de venda que resulti a 4 €/kg, si la barre-ja ha de contenir 3 kg més de cafè natural que de torrefacte i el propietari dela botiga no vol tenir pèrdues ni beneficis en aquesta operació?

Primer de tot, cal determinar les incògnites. Anomenem:

x nombre de quilograms de cafè natural

y nombre de quilograms de cafè torrefacte

La primera condició: a la barreja hi ha d’haver 3 kg més de cafè natural que detorrefacte. Plantegem l’equació: x = y + 3

Com que no vol obtenir ni pèrdues ni beneficis, llavors cal que es verifiqui aques-ta segona condició: l’import de la venda dels x kg de cafè natural i dels y kgde cafè torrefacte separadament ha de ser igual a l’import de la venda dels(x + y) kg de barreja.

Això ens porta a plantejar aquesta segona equació:

4,50x + 3,20y = 4 · (x + y)

Com que cal que aquestes dues condicions es verifiquin a la vegada, escrivim elsistema que resulta de considerar les dues equacions plantejades anteriorment:

x = y + 3

4,5x + 3,2y = 4 · (x + y)

Operem per tal d’obtenir sistemes equivalents:

x = y + 3 x = y + 3

4,5x + 3,2y = 4x + 4y 0,5x – 0,8y = 0

Resolem el sistema per substitució:

x = y + 3 x = y + 3 x = y + 3

0,5 · (y + 3) – 0,8y = 0 0,5y + 1,5 – 0,8y = 0 –0,3y = –1,5

x = y + 3

y = –1,5

–0,3

x = y + 3

y = 5

x = 5 + 3

y = 5

x = 8y = 5

La solució del sistema és x = 8 i y = 5.

56


En definitiva, en Joan Andreu ha d’agafar 8 kg de cafè natural i 5 kg de cafè tor-refacte per obtenir una barreja que costi 4 €/kg.

Comprovem-ho: 8 – 5 = 3

4,5 · 8 + 3,2 · 5 = 36 + 16 = 52

4 · (8 + 5) = 4 · 13 = 52

Aquest problema també es pot resoldre amb una sola equació. Fixa’t que siconsiderem la primera condició del problema podem anomenar:

x – 3 nombre de quilograms de cafè torrefacte

x nombre de quilograms de cafè natural

Si tenim en compte la segona condició del problema, aleshores podem plante-jar l’equació següent:

4,5x + 3,2 · (x – 3) = 4 · (x + x – 3)

Resolem l’equació:

4,5x + 3,2x – 9,6 = 4 · (2x – 3) 7,70x – 9,6 = 8x – 12

7,70x – 8x = –12 + 9,6 –0,30x = –2,4 x = 8

Calen 8 kg de cafè natural i 5 kg de cafè torrefacte per fer la barreja a 4 €/kg.

La resposta al problema no depèn del mètode emprat per resoldre’l.

Et recomanem, però, que si la informació de l’enunciat del problema ho permet,utilitzis per resoldre’l el plantejament d’una equació amb una sola incògnita.

Ja has vist que alguns problemes es poden resoldre indistintament mitjançant unaequació de primer grau amb una incògnita o bé mitjançant un sistema de duesequacions de primer grau amb dues incògnites. Tot depèn de si una de les condi-cions del problema permet relacionar de manera senzilla les dues incògnites o no.

Vegem un exemple de problema que és millor resoldre mitjançant un sistemad’equacions.

– Un nombre consta de dues xifres que sumen 6. Si sumem la tercera partd’aquest nombre i la sisena part del que resulta d’invertir l’ordre de les sevesxifres, obtenim 15. Quin és aquest nombre?

En fer la traducció algèbrica, cal anar amb molt de compte: cal diferenciar moltclarament entre el que és el nombre i el que són les seves xifres.

Vegem-ho amb un exemple:

Si agafem el nombre 45, està format per dues xifres, 4 i 5. Les dues xifres sumen4 + 5 = 9, però cal tenir present que el valor d’una xifra en un nombre depènde la posició que hi ocupa. D’aquesta manera, el nombre 45 es pot escriure així:45 = 4 · 10 + 5 · 1, ja que 4 és la xifra de les desenes i 5 és la xifra de les unitats.

Per tant, si representem per x la xifra de les desenes i per y la de les unitats, tenim:

Primera condició: la suma de les xifres és igual a 6 x + y = 6.

Segona condició: la suma de la tercera part del nombre amb la sisena part delque resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres és igual a 15.

Cal diferenciar:

Nombre de dues xifres: xy

Les xifres del nombre: x i y

Valor del nombre: 10x + y

També podríem anome-nar:

x + 3 quilograms de cafè natural

x quilograms de cafè torrefacte


57

Continuant amb l’exemple anterior, si invertim l’ordre de les xifres del nombre 45 obtenim el nombre 54. En general, quan invertim l’ordre de les xifres d’un nombre de dues xifres, la xifra de les desenes passa a ser la xifra de les unitats i a l’inrevés. Per tant, si x representa la xifra de les desenes i y, la de les unitats, el nombre que busquem es pot representar per l’expressió 10x + y, i el que resulta d’invertir l’ordre de les xifres, per 10y + x.

Segons l’enunciat, es verifi ca que:

10x + y3

+ 10y + x

6 = 15

Com que les dues condicions s’han de complir simultàniament, escrivim el siste-ma format per les dues equacions plantejades i el resolem:

x + y = 6

10x + y3

+ 10y + x

6 = 15

x + y = 6

20x + 2y + 10y + x = 90

x + y = 6

21x + 12y = 90

x + y = 6

7x + 4y = 30

Resolem el sistema per reducció multiplicant la primera equació per –7:

–7x – 7y = –42

7x + 4y = 30

x + y = 6

–3y = –12

x + y = 6

y = 4

x + 4 = 6

y = 4 _______________

/ –3y = –12

x = 2

y = 4

El nombre de dues xifres que verifi ca les condicions de l’enunciat és 24.

Comprovem-ho: 2 + 4 = 6 24

3+

42

6= 8 + 7 = 15

Fixa’t que en aquest cas, ateses les condicions de l’enunciat, no hem tingut més remei que plantejar un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògnites.

activitats resoltes

8. La base d’un rectangle és 3 cm més gran que l’altura. Si augmentem en 2 cm la longitud de la base i l’altura d’aquest rectangle, la seva àrea aug-menta en 26 cm2. Quines són les dimensions del rectangle inicial?

Hem de trobar les dues dimensions del rectangle: la base i l’altura. Tenim dues incògnites, però les podem expressar utilitzant-ne una de sola, perquè hi ha una condició que les relaciona: la base del rectangle mesura 3 cm més que l’altura.

Podem anomenar x la longitud de la base o bé la longitud de l’altura. El resultat fi nal és independent d’aquesta tria. Si decidim que x és la mesura de l’altura expressada en centímetres, aleshores la base farà 3 cm més i, per tant:

x mesura de l’altura en centímetres

x + 3 mesura de la base en centímetres

Com que es tracta d’un problema geomètric, és aconsellable dibuixar-ne les fi gures.

58


Això ens ajudarà a visualitzar millor la situació que planteja el problema.

També cal que les unitats de mesura siguin cohe-rents. Si no és així, hem de fer les transformacions necessàries.

En el nostre cas, les longituds estan expressades en centímetres, i l’àrea, en centímetres quadrats. Per tant, no cal fer transformacions.

Si augmentem en 2 cm la base i l’altura del rectangle inicial, n’obtenim un altre de més gran, les dimensions del qual seran:

x + 2 mesura de l’altura en centímetres

x + 5 mesura de la base en centímetres

Com que l’enunciat del problema diu que en augmentar les dimensions del rectangle inicial obtenim un rectangle més gran que té 26 cm2

més que l’anterior, ja tenim la condició: l’àrea del rectangle gran menys l’àrea del rectangle petit és igual a 26 cm2.

Per trobar l’àrea d’un rectangle només cal multiplicar les seves dues dimensions. Per tant:

Àrea del rectangle petit, A1 = x · (x + 3)

Àrea del rectangle gran, A2 = (x + 2) · (x + 5)

Ara plantegem l’equació:

A2 – A

1 = 26 cm2

(x + 2) · (x + 5) – x · (x + 3) = 26

x2 + 5x + 2x + 10 – x2 – 3x = 26 4x = 16 x = 4

L’altura del rectangle mesura 4 cm, i la base, 7 cm.

Comprovem-ho:

Àrea rectangle gran:

A2 = (x + 2) · (x + 5) = 6 · 9 = 54 54 cm2

Àrea rectangle petit:

A1 = x · (x + 3) = 4 · 7 = 28 28 cm2

A2 – A

1 = 54 cm2 – 28 cm2 = 26 cm2

Podríem haver anomenat x la base del rectangle, i x – 3, l’altura. El valor d’aquesta x ens donaria un resultat diferent, però les dimensions del rectangle serien les mateixes i, per tant, l’àrea també.

Aquest problema també es pot resoldre mitjançant el plantejament d’un sistema d’equacions de primer grau amb dues incògnites. Per exemple, si anomenem x la longitud de la base del rectangle inicial i y l’altura, plantegem el sistema següent:

x = y + 3

(x + 2) · (y + 2) – xy = 26

Comprova que la solució d’aquest problema no depèn del mètode emprat per resoldre’l.

9. Dos nombres enters sumen 45. Si dividim l’un per l’altre, obtenim 2 de quocient i 6 de residu. Quins són aquests nombres?

Primera condició: si els dos nombres sumen 45, podem anomenar x el primer, i 45 – x, el segon.

Segona condició: si dividim l’un per l’altre, obtenim 2 de quocient i 6 de residu.

x 45 – x x = (45 – x) · 2 + 6

6 2

Resolem l’equació:

x = (45 – x) · 2 + 6 x = 90 – 2x + 6 3x = 96

x = 32

Si x = 32, llavors 45 – x = 45 – 32 = 13.

Els dos nombres són 32 i 13.

10. Busca una fracció equivalent a 4

5 tal que si restem

cinc unitats de cadascun dels seus dos termes

resulti una nova fracció equivalent a 3

4.

Anomenem x el numerador de la fracció buscada i yel denominador.

Així, la fracció és xy

.

Primera condició: la fracció és equivalent a 4

5:

xy

= 4

5


59

Segona condició: si restem cinc unitats al numerador i del denominador d’aquesta fracció, la nova fracció

resultant és equivalent a 3

4:

x – 5

y – 5 =

3

4

Les dues condicions s’han de verifi car alhora. Plan-tegem el sistema:

xy

= 4

5

x – 5

y – 5 =

3

4

5x = 4y

4 · (x – 5) = 3 · (y – 5)

5x – 4y = 0 5x – 4y = 0

4x – 20 = 3y – 15 4x – 3y = 5

Resolem el sistema per reducció, multiplicant la primera equació per 4 i la segona per –5:

20x – 16y = 0

–20x + 15y = –25

\ – y = –25

–y = –25 y = 25

5x = 4y 5x = 4 · 25

y = 25

x = 20

La fracció xy

és 20

25.

Comprovem-ho: 20

25 =

4

5;

20 – 5

25 – 5=

15

20 =

3

4.

11. En Joan té dues germanes: la Maria i la Carme. Es-brina les edats de cadascú sabent que en Joan té 2 anys més que la Maria, que les edats de la Carme i la Maria sumen 26 anys i que la Carme té 6 anys menys que en Joan.

L’enunciat fa referència a tres persones l’edat de les quals desconeixem. Podem representar per:

x: edat d’en Joan

y: edat de la Maria

z: edat de la Carme

Fixa’t que l’enunciat ens planteja tres condicions:

– En Joan té 2 anys més que la Maria:

x – y = 2

– Les edats de la Carme i la Maria sumen 26 anys:

y + z = 26

– La Carme té 6 anys menys que en Joan:

x – z = 6

Amb aquestes tres condicions, plantegem un sis-tema de tres equacions de primer grau amb tres incògnites.

Apliquem el mètode de reducció per resoldre el sistema:

x – y = 2

y + z = 26

x – z = 6

Sumem membre a membre la primera equació i la segona, per obtenir una equació equivalent a les anteriors que relacioni la x i la z:

x – y = 2

y + z = 26

x / + z = 28

Sumem membre a membre l’equació obtinguda i la tercera equació del sistema:

x + z = 28

x – z = 6

2x / = 34 x = 17

Substituïm x en la primera equació per trobar y:

x – y = 2 17 – y = 2 y = 15

Substituïm y en la segona equació per trobar z:

y + z = 26 15 + x = 26 z = 11

La solució del sistema d’equacions és:

x = 17, y = 15 i z = 11.

Les edats dels tres germans són: en Joan té 17 anys, la Maria en té 15 i la Carme, 11.

60


Proposades

1. Donades les igualtats següents, indica en cada cas si es tracta d’una identitat o d’una equació. En el cas que sigui una equació, troba’n la solució.

a) 3 · (x + 1) = 2 · (x – 2)

b) (a – 5) · 2 + 3 · (2a – 1) = 2a – 13

c) x + 2x5

= 5x3

d) p2 – 25 = (p + 5) · (p – 5)

2. Indica quin dels valors proposats per a x és solució de cadascuna de les equacions següents:

a) 2 · (x + 1) – 5x = 3 – 2 · (x – 1)

x = 3 x = 3

4x = –3

b)1

2 · (x – 2) + 2 · (3 – x) = 8

x = 1

2x = –2 x = 0

3. Resol les equacions següents:

a) 7 + 3 · (2 + x) – 3x = 2x + 9

b) 2,5 – x = 6 · (1

3 – 1,5x)

c)x – 3

2 –

x – 17

= –1

d)x – 3

2 –

1 – 2x6

= –2 · (1 – x)

e) (2x – 5) · (1 – x) = (4 – 2x) · (x – 1

2 )f) –3 · (x + 3)

4 =

5 · (x – 1)

2

4. Aïlla x en cadascuna de les igualtats següents:

a) ax + b = 0 b) ax + b = x

c)ax

= bc

d)–1

a =

1

x


a) 1 – (3x – 2) – 2 · (x – 1) = 5 · (1 – 2x)

b) x + 5 · (x + 3) = 3 · (2x + 4)

c)2x + 4

5 =

x – 13

d) (x + 1)2 – x2 = 9

e) (x – 2) · (x + 2) = x · (x – 1)

f) (x – 2) · x – x2 = 0

g)1

2x +

x3

– 5

6x – 5 = 0

6. Troba quatre solucions per a cadascuna de les equacions següents:

a) 3x – 4y = 1 b) x – 3y = 0

c) –x + y = –1 d) 4x – 5y = –20

7. Esbrina si els valors de x i y donats són solució de cadascuna d’aquestes equacions:

a) 3x – 7y = 4 x = 0 y = 7

4b)

1

2x + y = 7 x = 2 y = 6

c) x – y = 9 x = 10 y = –1

d) 5x – 1 = y x = 1

5 y = 0

8. Indica quins dels parells de valors següents són solució de l’equació 7x – 3y = 4:

a) x = 4, y = –8 b) x = 1, y = 1

c) x = 2

7, y = –

2

3

9. En representar gràfi cament les solucions d’una equació de primer grau amb dues incògnites, hem obtin gut aquesta recta. Indica quatre solucions d’aquesta equació.

10. Esbrina, sense dibuixar-la, si la recta que resulta de representar gràfi cament les solucions de l’equació 2x – 3y = 11 passa per cadascun dels punts següents:

a) P1 (4, 1) b) P

2 (–1,13

3 )

c) P3 (0,

–11

3 ) d) P4 (4, –1)

Activitats

O x

y


61

11. Troba tres solucions de l’equació 4x – 6y = 10 i comprova que també són solucions de l’equació 2x – 3y = 5. Sabries esbrinar el motiu d’aquesta coincidència?

12. Representa gràfi cament les solucions de l’equació –6x + y = 7. Quin és el nombre mínim de solucions que cal trobar per fer-ne la representació gràfi ca? Justifi ca’n la resposta.

13. La representació gràfi ca d’una equació de primer grau amb dues incògnites passa pels punts P

1(2, –3) i P

2(–4, 2). Representa gràfi cament

algunes de les moltes altres solucions d’aquesta equació.

14. Resol gràfi cament els sistemes d’equacions següents:

a)x – 2y = –7

4x – y = 0b)

2x – 2y = 6

x – y = 3

c)x + y = 5

3x – 3y = 9d)

x – 2y = 0

2x + y = 0

e)3x – 2y = 3

x + y = 6f) y – x = 0

2x + y = 3

15. Sabem que el sistema 2x + 5y = 7

4x – py = 14és com pati-

ble indeterminat. Quin és el valor de p?

16. Troba el valor de m i n perquè x = 1, y = 2 sigui la

solució del sistema 2x + y = n

4x – y2

= m

17. Indica de quin tipus és cadascun dels sistemes següents, sense fer-ne la representació gràfi ca:

a)6x + 15y = 21

2x + 5y = 7b)

x + y = 8

2x + 2y = 5

c)3x + y = –5

x – y = –3d)

x – 2y = 4

–x + 2y = –4

18. Resol per reducció els sistemes següents:

a)x – y = 5

x + y = 3b)

x + y = 25

2x – y = 35

c)–3x + 6y = –9

x + 7y = –3d)

x – 3y = 10

3x + 4y = 4

19. Resol per igualació els sistemes següents:

a)2x – y = 1

7x – 9y = –2b)

x – 6y = 4

2x – 3y = 11

c)x – 3y = 1

5x + 3y = –13d)

2x + 3y = 4

6y + 4x = 9

20. Resol per substitució els sistemes següents:

a)2x – 3y = –2

4x + 5y = 40b)

5x – y = 23

3y – x = –13

c)2x + 3y = 15

–3y – 2x = 9d)

y – 3x = 0

3x – y = 0

21. Resol pel mètode més adequat els sistemes se-güents:

a)4y – 3 · (x – 2) = –10

3 · (x – y) – 8 = 2x – y

b)

x + 2

3=

y – 5

6

2 · (x + 2) = y – 5

c)

x + y + z = 9

27x + 9y + 3z = 93

8x + 4y + 2z = 36

d)

7x + y + 3z = 52

4x – 5y + 6z = 13

x + 15y – 9z = 52

22. En temporada de rebaixes, en Jordi compra un microones i li fan un descompte del 12 %. Si paga 237,60 €, quin era el preu de venda del microones abans de les rebaixes?

23. La raó entre dos nombres és 5

3. Si restem 10 al

primer i sumem 10 al segon, la raó s’inverteix. Quins són aquests nombres?

24. Una garrafa és plena de vi. Se’n treu la tercera part i, després, la meitat del que hi queda. Si en fi nalitzar la segona extracció encara queden 24 L a la garrafa, quina quantitat de vi hi havia al prin-cipi?

25. Un pare té actualment 5 vegades l’edat del seu fi ll. D’aquí a tres anys, la seva edat només serà quatre vegades superior. Quina edat té ara cadascú?

Activitats

62

2 EQUACIONS I SISTEMES DE PRIMER GRAUActivitats

Reforç

1. Els nombres 1

2, –

5

3, –1 i 0 són les solucions de

les equacions següents. Relaciona cada equació amb la seva solució:

a) 6 · (x – 1) = x + 3 · (x – 2)

b) 2x + 1 = x + 3

2

c) 4 – 2 · (x + 3) = 13 – 5 · (x + 4)

d) 3 + (x – 1) · (x + 4) = (x +2) · (x – 2)


a) 3 · (x – 3) – 4 · (2 – 3x) = 2 · (1 – 2x)

b)2

3 · ( x

5 – 3) = 2 · ( x

3 –

1

2 ) –x5

c)x – 2

2 –

x – 4

4 –

x – 3

3 = 0

d)3

2x + 5 =

1

x – 1

e) 5 + x2 = (x – 2)2

f ) (3x – 2) · 8 – 4 · (5 + 6x) = 6 · (4 – x)

g) 10 – x2 = 4x – (x – 3)2

h) x + 4

3 – 2 · (x – 5) = –5 · ( x

15–

2

5 ) 3. Esbrina si els valors de x i y proposats són solució

de cadascuna de les equacions següents:

a) 7x + 2y = 26

x = – 1

7i y = 13 x =

27

7i y = –

1

2

b) 2x – 5y = –1

x = 0 i y = 5 x = –5 i y = – 9

5

26. Dos nombres sumen 70. Si dividim el més gran en-tre 10 i el més petit entre 3 i sumem els quocients, el resultat és 14. Quins són aquests nombres?

27. Si augmentem en 3 cm el costat d’un quadrat, obtenim un altre quadrat l’àrea del qual supera en 51 cm2 la del quadrat original. Quant mesura el costat del primer quadrat?

28. Divideix el nombre 571 en dues parts tals que si dividim la gran entre la petita s’obtingui 3 de quocient i 87 de residu.

29. Un comerciant compra dos rellotges per 3 000 € i els ven per 3 225 €. Quant ha pagat per cada re-llotge, si en la venda del primer hi ha guanyat el 20 % i en la del segon hi ha perdut el 5 %?

30. La diferència entre dos nombres és 9. Si dividim l’un entre l’altre, obtenim 2 de quocient i 3 de re-sidu. Quins són aquests nombres?

31. L’import de dues factures puja 2 750 €. Si en l’una ens haguessin fet un descompte del 5 %, i en l’al-

tra, del 10 %, hauríem pagat 2 550 €. Determina l’import de cada factura.

32. Quina és l’edat dels pares de la Mariona sabent que el pare té tres anys més que la mare i que la setena part de l’edat del pare més la desena part de l’edat de la mare és 15.

33. En una taula d’un bar es consumeixen 3 cafès i 2 ensaïmades i es paguen 7,60 €. En una altra tau-la consumeixen 2 cafès i 3 ensaïmades i paguen 8,40 €. Quin és el preu d’un cafè en aquest bar? I d’una ensaïmada?

34. En un parc hi ha pins, avets i alzines. Quants exemplars de cada espècie hi ha al parc, si sabem que el nombre d’avets i de pins junts suma 27, que el nombre d’avets i d’alzines junts és 22 i que el nombre de pins i d’alzines junts és 25.

35. En Marc ha fet tres exàmens de matemàtiques. La suma de les tres notes és 18. La primera nota su-pera la segona en dos punts. La diferència entre la tercera nota i la segona és d’un punt. Quines són les notes obtingudes pel Marc si la nota d’un examen és de 10 punts com a màxim?


63

Activitats

4. Troba cinc solucions per a cada una de les equa-cions:

a) 2x – 2y = 0

b) 3x + y = 20

c) 2x – y = 5

d) 3x + 2y = 10

e) x – 4y = 12

5. Troba el valor de m perquè l’equació 5x – my = 18 tingui com a solució x = 3 i y = 1.

6. Representa en una mateixa gràfi ca algunes de les solu cions de les equacions –4x + y = 9 i –3x + y = 7. Tenen cap solució en comú? Comprova la teva resposta resolent algèbricament el sistema d’equacions.

7. Digues de quin tipus són els sistemes següents:

a)2x + 5y = 7

4x + 10y = 14b)

x – y = 7

–2x + 2y = 0

c)x – y = 4

2x – y = 8d)

x + y = 7

x – y = 1

8. Troba el valor de m perquè el sistema següent si-gui incompatible:

2x + y = 5

4x + 2y = m

Comprova la solució resolent el sistema algèbri-cament.

9. Resol per igualació els sistemes següents:

a)–2x + y = 11

4y + 3x = 22b)

–7y + 2x = 3

–4x + 14y = 2

c)x – y = –2

6x = 5y

10. Resol per substitució els sistemes següents:

a)2x + 3y = 2

–6y – 6x = 1b)

2x – y – 3 = 0

3 · (x – 2) = x + y

c)2x – y = yy = 1,5x + 7

11. Resol per reducció els sistemes següents:

a)–5x + 9y = 4

2x – 7y = –5b)

2x3

+y2

=11

6

y – x = 5

2

c)13x + 19y = 32

39x – 7y = 32

12. Resol algèbricament els sistemes següents:

a)3x – 4y = 13

y + 15

= x – 3

2

b)

x2

=y9

x – y – 14 = 0

c)2 · (x + 2) – y = –5

x + 2 = y – 5

2


a)x – 2y = –10

xy

= 3

4

b)

x – 12

–y + 3

3 = x – y

x + y3

= 2

c)

2x + y – z = 7y – z = 1

3z – y = 1

d)

x + y = 1y + z = 9

x + y + z = 0

14. Per una bicicleta rebaixada el 8 % hem pagat 115 €. Quin era el preu abans de la rebaixa?

15. Troba dos nombres enters consecutius que sumin 60.

16. El perímetre d’un rectangle fa 28 cm. Calcula l’àrea d’aquest rectangle sabent que una de les seves dimensions és 4 cm més gran que l’altra.

17. Determina una fracció tal que, en sumar 2 al seu numerador, es transformi en 1, i en sumar 5 al de-

nominador, s’obtingui una fracció equivalent a 1

2.

18. Un pare té 49 anys, i el seu fi ll, 26. Quants anys fa que l’edat del pare era el doble de la del fi ll?

Ampliació+

64


1. Aïlla la lletra x en cadascuna de les igualtats se-güents:

a) 2ax = ax + 3b

b) qx + 2x – a = 3x + 2c

c) x – a5

– (2x – a10 ) = 3x –

a4

+ 4x – 37a20

2. Resol:

a)3

–2 · (2 + 3x)=

2

–4 · (x + 3)

b) (2x + 1)2 – (2x – 1)2 = 208

c)1 +

x2

1 – x2

=

5

3

d) –9 · (x + 4) · (x – 5) = 3x · (2 – 3x)

e) 1

3 · (3x + 1) –

x + 3

5 –

x – 2

10 = x + 5

f)x +

1

2

3 –

2x – 1

4 = 0

g) 1+ 1

x + 1

2 = 1 +

1

1 + 1

3

h)x – 3

x – 4 =

x – 5

x – 6

3. Troba el valor de m perquè l’equació:

x + 2

3 –

m · (1 – 2x)

6 =

x – 3

2

tingui com a solució x = –2.

4. Representa en una mateixa gràfi ca algunes de les solucions de les equacions següents:

x – y = 4 x + 2y = 10 x + y = 0

Determina les coordenades dels tres vèrtexs del triangle que determinen les rectes representades corresponents.

5. La representació gràfi ca de l’equació ax + by = 15 passa pels punts de coordenades P

1(2, –1) i

P2(–2, –29). Troba els valors de a i b.

6. Sigui el sistema: x – 2y = 8

mx – 4y = 16

Quin ha de ser el valor de m perquè el sistema sigui compatible indeterminat?

19. La Mercè té 20 monedes a la seva guardiola, unes de 50 cèntims i unes altres de 20 cèntims. Quan-tes monedes té de cada tipus si sumen un total de 5,50 €?

20. Un nombre consta de dues xifres que sumen 9. Troba’l sabent que supera en 9 unitats el nombre que resulta d’invertir l’ordre de les seves xifres.

21. Per tancar una fi nca rectangular, s’utilitzen 1 300 m de fi lat. Calcula les dimensions del terreny sabent que si tingués 100 m menys de llargada i 100 m més d’amplada, seria quadrat.

22. Un comerciant té dues classes de sucre de canya, l’una a 2 €/kg i l’altra a 2,50 €/kg. Quants quilo-grams de cada classe ha de barrejar per obtenir 80 kg de sucre a 2,20 €/kg si no pretén guanyar ni perdre diners en l’operació?

23. Uns pantalons i una americana valen 210 €. Quin és el preu de cada peça de roba si el preu dels

pantalons és 3

7del de l’americana?

24. En Martí té una gallina, un gos i un gat. Ajuda’l a esbrinar el pes de cada animal si sap que la galli-na i el gos pesen conjuntament 10 kg; el gos i el gat, 11 kg, i la gallina i el gat, 7 kg.

25. Busca dos nombres tals que si sumes 7 al primer, obtens el segon, i si afegeixes 3 al segon, obtens el doble del primer.

26. En una parada del mercat hi ha llebres i galls dindi. Si en total es compten 23 caps i 68 potes, quantes llebres i quants galls dindi tenen per vendre?


65

Activitats

7. Considera el sistema: x – y = 4

3x – 3y = m

Quins valors pot tenir m perquè el sistema sigui incompatible?


a)

x – 7

11–

y – 6

3 = x – y – 1

x + y – 2x – y + 1

= 11

2

b)

x – 2

y + 1 = 5

(x – 2)2 – 3y = x2 – 24

c)

1

x+

1

y= 5

1

x –

1

y = –1

d)

2

x+

3

y = 2

7

x –

6

y =

3

2

9. Resol els sistemes d’equacions següents:

a)

x2

–y3

+ z = 7

x + y2

+ z3

= 11

x3

+ y – z2

= 5

b)

x + 2y5x + 6z

=7

9

3x + 4zx + 2y

= 8

7

x + y + z = 128

10. La diferència entre dos nombres naturals és 4 i la diferència entre els seus quadrats és 384. Quins són aquests nombres?

11. En una fracció, el denominador és 4 unitats més gran que el numerador. Si afegim 24 unitats al nu-merador, la fracció que en resulta és igual a la inver-sa de la fracció original. Quina és aquesta fracció?

12. Un venedor ha fet un viatge amb cotxe. Ha dividit el trajecte en dues etapes: en la primera ha con-sumit la meitat de la benzina que tenia al dipòsit, i en la segona, la meitat de la que hi quedava. Si al dipòsit de l’automòbil hi han quedat encara 10 L de carburant, quants litres de benzina ha consu-mit en cada etapa? Quants quilòmetres ha recor-regut en total si el cotxe consumeix una mitjana de 6,25 L cada 100 km?

13. Dos comerciants compren, respectivament, 90 i 100 llaunes de conserva a 3 € la unitat. El primer les ven 0,50 € més cares que el segon, però els dos hi guanyen el mateix quan les venen. Troba el preu de venda que ha establert cada comerciant.

14. Les edats d’una mare i el seu fi ll sumen 83 anys. Quan la mare tenia l’edat del fi ll, les seves edats sumaven 33 anys. Esbrina l’edat de cadascun.

15. Esbrina l’edat del pare de la Gemma sabent que el nombre que expressa els anys que té és 6 ve-gades la suma de les seves dues xifres, i que fa 9 anys la seva edat s’expressava amb les mateixes xifres que les de l’edat que té ara.

16. El perímetre d’un rectangle fa 22 cm. En augmen-tar 3 cm una de les dimensions del rectangle i 2 cm l’altra, la seva àrea augmenta 32 cm2. De-termina les longituds dels costats d’aquest rec-tangle.

17. Esbrina la quantitat de diners que tenen tres per-sones sabent que si afegim al que té la primera la meitat del que tenen les altres dues juntes, re-sulten 150 €; si afegim al que té la segona la mei-tat del que tenen les altres dues juntes, obtenim 165 €; sumant el que té la tercera i la meitat del que tenen les altres dues juntes, resulten 185 €.

18. Un lladre fuig a 70 km/h, i 90 km més enrere el persegueix un policia a 85 km/h. Quan i on l’atra-parà?

19. Els costats d’un triangle mesuren 13 cm, 14 cm i 17 cm. Amb centre als seus tres vèrtexs dibuixem tres circumferències que són tangents entre si, dues a dues. Determina els radis de les circumfe-rències.

66


Avaluació

Indica quina resposta és la correcta.

1. La solució de l’equació x + 3

2 –

1 + x6

= 2x + 3

3 és:

a) 1

b) –4

c) 0

d) cap de les anteriors

2. Si x és un nombre parell, aleshores la tercera part del nombre parell anterior a x és:

a) 3 · (x – 2)

b)x – 2

3

c)x – 1

3

d)x3

3. La diferència entre dos nombres naturals és 4 i la diferència entre els seus quadrats, 384. Quina equació ens pot ajudar a trobar aquests nombres?

a) x2 – (x + 4)2 = 384

b) x2 – (x – 4)2 = 384

c) (x – 4)2 – x2 = 384

d) x2 + (x – 4)2 = 384

4. La igualtat

(x + 2) · (x – 2) = (x – 3) · (x + 1) + 2x – 1:

a) És una equació, però no té solució.

b) No és equació, és una identitat.

c) És una equació de solució x = 0.

d) És una equació de solució x = 3.

5. Si la diferència entre dos nombres és 500 i el gran l’anomenem x, l’altre nombre es pot representar per:

a) 500 – x

b) x – 500

c) x + 500

d) 250

6. Una solució de l’equació 7x + 2y = 26 és:

a) x = 2, y = 7

b) x = 0, y =13

2

c) x = 3, y = 5

2

d) x = 4, y = –2

7. La recta que resulta de representar gràfi cament les solucions de l’equació 2x – 3y = 11 passa pel punt:

a) P (1, –4)

b) Q (0,11

3 )

c) R (0,11

2 )d) S (4, –1)

8. Una de les solucions de l’equació 5x – by = 18 és x = 3 i y = 1. Podem afi rmar que:

a) b = 1

3

b) b = 3

c) b = –3

d) b = 0


67

Activitats

9. La solució del sistema x – y = 7

2x + 3y = 1 és:

a) x = 4, y = –3

b) x = 22

5, y = –

13

5

c) x = 0, y = 7

d) x = 22

5, y =

13

5

10. Sabem que el sistema 2x + y = 5

4x + 2y = pés incom pa -

tible.

Podem afi rmar que:

a) p = 10

b) p pot ser qualsevol nombre excepte 10.

c) p pot ser qualsevol nombre parell.

d) p pot ser qualsevol nombre senar.

Indica si les afi rmacions següents són certes o falses:

1. Una igualtat sempre té dos termes.

2. Si aïllem x en la igualtat a · (x + b) = c, obtenim:

x = c – ba

3. La igualtat x3

+ x4

= 7x12

és una equació.

4. Si aïllem x en la igualtat 1

ax =

bc

, obtenim:

x = cab

5. L’edat d’un pare de família és el triple de la del seu fi ll, i d’aquí a 16 anys només serà el doble. Quants anys té cadascú?

Podem trobar l’edat del fi ll resolent l’equació 3x + 16 = 2 · (x + 16).

6. Les dues rectes que resulten de representar gràfi -cament les dues equacions d’un sistema es tallen en el punt P (3, –2).

Pot ser que una de les equacions sigui 4x – 2y = 15.

7. Una solució de l’equació –3x – y = –7 és:

x = – 1

2, y = –

11

2

8. El sistema d’equacions 2x – y = 4

4x – 2y = 8és in com-

patible.

9. En Jordi té monedes de 5 cèntims i de 20 cèn-tims. Si en total disposa de 26 monedes i d’1,70 €, quantes monedes de cada tipus té? Podem trobar la resposta resolent el sistema:

x + y = 26

5x + 20y = 170

10. El sistema d’equacions 2x + 4y = 7

x + 2y = 8 és compatible

indeterminat.

2 Equacions i sistemes de primer grauspain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/...2...

Documents

Transcript of 2 Equacions i sistemes de primer grauspain-s3-mhe-prod.s3-website-eu-west-1.amazonaws.com/bcv/...2...