Equacions i sistemes de primer grau - Amazon Web...

19

2Equacions i sistemes de primer grau

Equacions de primer grau amb una incògnita. Resolució

1. a) Llegeix atentament l’endevinalla numèrica següent i resol-la començant amb tres nombres diferents:

Pensa un nombre.Suma-li 5.Multiplica el resultat per 3.Resta-li el doble del nombre que has pensat.Resta-li 15.

Què observes?

b) Escriu la igualtat que correspon a l’endevinalla de l’apartat anterior: anomena a el nombre que has pensat i tradueix per ordre cada frase al llenguatge algèbric. La igualtat que obtindràs és una identitat.

c) Practica una mica amb l’endevinalla següent. Pensa un nombre.Suma-li 1.Eleva la suma al quadrat.Resta-li 1.Resta-li el doble del nombre que has pensat.

Quin nombre obtens?

Escriu la identitat corresponent.

d) Determina si les igualtats següents són identitats o no.

2x �5x −3x : 2x �5�3x :

2(m�1)�3�2m�1: 2(m�1)�3��1:

:a�

a2

�a3

�116

a�a2

�a3

�11a

6:

Una identitat és una igualtat algèbrica que es compleix per a qualsevol valor numèric que assignem a la lletra o a les lletres que apareixen en els seus membres.

6553_Mates3_Q_02.indd 19 04/04/11 15:40

20

Equacions i sistemes de primer grau 2

2. a) Donada la igualtat 3(m + 1) – 5 = 4 + 2(m – 1):

Substitueix m per 4 a cada membre de la igualtat i fes els càlculs.

Substitueix m per –4 a cada membre de la igualtat i fes els càlculs.

Què observes?

b) Comprova quins dels valors següents són solució de l’equació 3x2 + 5x = 4 + x.

x = –2.

x = 5.

x =

23

.

x = –1.

c) Comprova que x = 3 és una solució de l’equació (x – 1)(x + 2)(x – 3) = 0 i busca’n dues solucions més.

d) Busca quins nombres són solució de les equacions següents i indica quines equacions són equivalents:

A. 6 + x = 12 B. 24 = 3x C.

x �45

�2

D.

369

�x4

E. 2(x + 2) = 16 F. x2 – 6 = 30

G. x + 10 = 2x – 2 H. 20 = 2x + 4 I. x(x + 2) = 80

Una equació és una igualtat algèbrica que només es compleix per a un valor deter-minat de la lletra (incògnita) que apareix en els seus membres.

El grau d’una equació fa referència a l’exponent al qual està elevada la incògnita.

La solució d’una equació és el valor numèric de la incògnita que veri� ca la igualtat algèbrica.

Si dues equacions tenen les mateixes solucions, direm que són equivalents.

6553_Mates3_Q_02.indd 20 04/04/11 15:40

21


3. a) Agrupa tots els termes amb la incògnita en un membre de l’equació i tots els termes numèrics en l’altre i determina la solució de les equacions següents:

3�5x �1�2x

17�2�3x

6x �45�9

x �2�7x �0

5x �2�1�7x �12

24�24 x �24�25x

b) Aplica la propietat distributiva per treure els parèntesis i transposa termes per resol-dre les equacions següents:

3 x �2( ) � 4 �7 x � 4( )

5 x �3( ) �10

1�3x � 4 x �5� 4 � x( )

15x �5 x �1( ) �120 �5x

7 �3 2� x( ) − 3x � 9 �2 x

4 �2 x �3( ) �13�5 x � 4( )

c) Per resoldre les equacions següents, aplica la propietat fonamental de les fraccions

equivalents (si

ab

�cd

, llavors es veri� ca que a · d = b · c).

x �14

�x �2

3

x �13

�2x �4

5

5�2x �x �3

2

x �1x �1

�2

Resoldre una equació de primer grau amb una incògnita és trobar el valor numèric de la incògnita que veri� ca la igualtat.

6553_Mates3_Q_02.indd 21 04/04/11 15:40

22


4. a) Per resoldre l’equació següent:

x − 62

�x �5

4�

1� x6

.

• Calcula el mínim comú múltiple dels denominadors:

• Multiplica els dos membres de l’equació pel m. c. m. dels denominadors:

• Resol l’equació equivalent sense denominadors:

• Quantes solucions te l’eqüació?

b) Resol les equacions següents multiplicant-les pel m. c. m. dels denominadors:

2x5

�1� x �13

x �37

�x �1

2�

314

x �22

�x �3

3− x �4

4�0

c) Aplica la propietat distributiva per treure els parèntesis i multiplica pel m. c. m. dels denominadors per resoldre les equacions següents:

x �23

�x �3

2�

5 1�2x( )6

2 x �1( )9

�2 3� x( )

3� 4

2 x �1( )�x �3

2�

1�2x6

Una equació de primer grau amb una incògnita té sempre una única solució o bé no en té.

6553_Mates3_Q_02.indd 22 04/04/11 15:40

23


d) Efectua primer les potències i els productes per resoldre les equacions següents:

x �2( ) x �2( )�3� x �1( ) x �4( )

10� x 2 � 4 x� x �3( )2

x �2( )2� x �2( ) x �3( )� x −2

4 x 3� x( )��3x � 2x �3( )2

1� x( ) 2x �5( )� x �4( ) 3�2x( )

e) Aïlla la lletra x de les fórmules següents:

Ax �B�C A� xB�C A�B( x �C )

Ax �B �C A( x �B)�C A� x �B�C

A� x �B A�Bx �C A�B� x

f ) Aïlla la lletra y de les fórmules següents:

yA

�B A�by

y � AB

�C

A� yB

�CA�By

C�D A�

B�CyD

A( y �B)C

�DA

y �B�C A�

By

�C

6553_Mates3_Q_02.indd 23 04/04/11 15:40

24


Equacions de primer grau amb dues incògnites

5. a) En la igualtat x + 2y = 6, substitueix x pel valor que s’indica i calcula en cada cas el valor de y:

x = 0

x = 2

x = –1

x = 4

x = –6

b) Completa la taula, representa grà� cament les cinc solucions de l’equació de l’apartat a) i dibuixa la recta que les conté:

Solució equació x + 2y = 6 Punt

x = 0 y =

x = 2

x = –1

x = 4

x = –6

c) Busca cinc punts que siguin solució de l’equació 2x + y = 5 i representa’ls grà� cament:

Solució equació 2x + y = 6 Punt

x = y =

Una equació de primer grau amb dues incògnites és una igualtat del tipus ax + by = c, en què a, b i c són nombres racionals tals que a i b són diferents de zero, i x i y són les incògnites.

Les equacions d’aquest tipus tenen un nombre il·limitat de solucions, les represen-tacions grà� ques de les quals són punts que pertanyen a una mateixa recta.

-1

-7-6-5-4-3-2-1

1234567

-2-3-4-5-6-7 7654321

-1

-7-6-5-4-3-2-1

1234567

-2-3-4-5-6-7 7654321

6553_Mates3_Q_02.indd 24 04/04/11 15:40

25


Sistemes de dues equacions de primer grau amb dues incògnites.Resolució grà� ca

6. a) Completa la taula de solucions per a cada equació i representa grà� cament les so-lucions als mateixos eixos.

2x + y = 7 Punt

x = 1 2 · 1 + y = 7 y =

x = 3

x – y = –1 Punt

x = 0

x = –2

b) Busca dues solucions de cada equació i resol grà� cament el sistema format per les equacions x – y = –4 i 6x – y = 1.

x – y = –4 Punt

x =

x =

6 x – y = 1 Punt

x =

x =

La solució del sistema és el punt P ( , ).

c) Resol grà� cament el sistema

3x � y �5

x �2y � 4

.

Punt

x =

x =

Punt

x =

x =

La solució del sistema és el punt P ( , ).

Resoldre un sistema de dues equacions de primer grau amb dues incògnites consisteix a trobar els valors d’aquestes incògnites que veri� quen a la vegada les dues equacions.

Quan trobem la solució del sistema a partir de la representació grà� ca de les solucions de cadascuna de les equacions, diem que hem resolt el sistema grà� cament.

-1

-7-6-5-4-3-2-1

1234567

-2-3-4-5-6-7 7654321

-1

-7-6-5-4-3-2-1

1234567

-2-3-4-5-6-7 7654321

-1

-7-6-5-4-3-2-1

1234567

-2-3-4-5-6-7 7654321

6553_Mates3_Q_02.indd 25 04/04/11 15:40

26


Tipus de sistemes

7. a) Representa grà� cament les equacions 3x + y = 2, 6x + 2y = 4 i 3x + y = –1.

Punt

x =

x =

Punt

x =

x =

Punt

x =

x =

Com són les rectes corresponents al sistema

3x � y �2

6x �2y � 4

?

Com són les rectes corresponents al sistema

3x � y �2

3x � y ��1

?

b) Determina el valor de m en cada cas perquè les solucions siguin les indicades:

x �2y �5

mx �4 y �10

Té in� nites solucions.

x �3y �5

x �my �10

No té solució.

x �2y �5

x � y �m

Solució: x = 1, y = 2.

En representar en una mateixa grà� ca les solucions de les dues equacions de primer grau amb dues incògnites que formen el sistema, podem trobar-nos amb tres situa-cions diferents:

Les dues rectes es tallen en un punt: el sistema té una única solució i diem que és compatible determinat.

Les dues rectes són paral·leles: les dues rectes no tenen cap punt en comú, el sistema no té solució i diem que és incompatible.

Les dues rectes són coincidents: el sistema té un nombre il·limitat de solucions i diem que és compatible indeterminat.

-1

-7-6-5-4-3-2-1

1234567

-2-3-4-5-6-7 7654321

6553_Mates3_Q_02.indd 26 04/04/11 15:40

27


Resolució algèbrica de sistemes d’equacions de primer grau

8. a) Resol aquests sistemes seguint les indicacions donades en cada pas:

x �2y ��6

3x � y ��4

Multiplica la segona equació per 2:

Suma les dues equacions:

Troba el valor de x:

Substitueix aquest valor a la primera equació i troba y:

5x �2y �1

4 x �3y �10

Aïlla x de les dues equacions:

Iguala les dues expressions de x:

Resol l’equació i troba el valor de y:

Substitueix aquest valor en una de les expressions de x:

x � y ��4

6x � y �6

Aïlla x de la primera equació:

Substitueix x en la segona:

Resol l’equació i troba el valor de y:

Substitueix aquest valor en l’expressió aïllada de x:

b) Resol els sistemes següents per reducció eliminant la incògnita que s’indica:

5x �2y �13

3x �7y �2

(Elimina x.)

x � y �0

2x �4 y �6

(Elimina y.)

Utilitzem tres mètodes algèbrics per resoldre sistemes d’equacions: els mètodes de reducció, igualació i substitució.

Podem trobar-nos amb una d’aquestes tres situacions:

Sistema compatible determinat: ax = b o cy = d amb a ≠ 0 i c ≠ 0.

Sistema compatible indeterminat: 0x = 0 o 0y = 0.

Sistema incompatible: 0x = b o 0y = d amb b ≠ 0 i d ≠ 0.

6553_Mates3_Q_02.indd 27 04/04/11 15:40

28


c) Resol els sistemes següents per igualació aïllant la incògnita que s’indica:

x �3y ��1

3x �4 y �2

(Aïlla x.)

2x � y �3

5x � y �9

(Aïlla y.)

d) Resol els sistemes següents per substitució aïllant la incògnita que s’indica:

3x � y �3

x �2y �11

(Aïlla x de la segona.)

5x � y �7

3x �2y �12

(Aïlla y de la primera.)

e) Efectua les operacions que calgui en cada equació i expressa-la de la forma ax + by = c; després, utilitza el mètode indicat per resoldre algèbricament el sistema:

Reducció

4 x �3 y �1( )�5

3( y �1)�2x �1

Substitució

x �2y �1

2x �13

�2y �3

2�

52

Igualació

3x �22

� y ��1

y �22

� x �1

f ) Resol el sistema següent amb el mètode que prefereixis:

x �13

�y �2

5�

115

2x �3 2� x( )

2�

5y2

�2( y �2)�32

6553_Mates3_Q_02.indd 28 04/04/11 15:40

29


Resolució de problemes

9. a) Dos nombres sumen 45 i la diferència entre el doble del més petit i el triple del més gran és 50. Quins nombres són? Fem-ho per passos:

• Considera les incògnites: nombre més petit ⇒ x nombre més gran ⇒ y

• Tradueix al llenguatge algèbric les frases següents:

«Els dos nombres sumen 45»:

«La diferència entre el doble del més petit i el triple del més gran és 50»:

• Resol, emprant el mètode que vulguis, el sistema format per les dues equacions anteriors:

• Comprova que la solució del problema és coherent amb l’enunciat i escriu-la:

Els dos nombres són i

b) Una prova consta de 20 qüestions. Per cada qüestió contestada correctament, un alumne té 3 punts, però per cada qüestió no contestada o incorrecta, en perd 2. Al � nal de la prova aconsegueix 30 punts. Quantes qüestions contesta correctament?

• Considera les incògnites: Qüest. correctes ⇒ Qüest. incorrectes ⇒

• Tradueix al llenguatge algèbric:

La frase que fa referència al nombre de qüestions:

La frase que fa referència als punts de la prova:

• Resol el sistema:

• Comprova la solució i escriu-la: Contesta correctament qüestions.

Per resoldre un problema utilitzant mètodes algèbrics:

Escriu quines són les incògnites i assigna una lletra a cadascuna. Tradueix cada frase al llenguatge algèbric. Resol el sistema d’equacions. Comprova que les solucions són coherents amb l’enunciat. Escriu la solució del problema.

6553_Mates3_Q_02.indd 29 04/04/11 15:40

30


c) Volem barrejar dos tipus de vi, un de 5,20 €/L i un altre de 6,20 €/L, per obtenir 100 litres de vi que tingui un preu de 6 €/L. Quants litres de cada tipus hem de barrejar?

• Incògnites: L de vi del primer tipus ⇒ L de vi del segon tipus ⇒


La frase que fa referència al nombre de litres:

La frase que fa referència al preu:


• Solució: Hem de barrejar L del primer tipus de vi i L del segon.

d) Les dues xifres d'un nombre sumen 10. Si se n’inverteix l’ordre, s’obté un nombre 36 unitats més gran. De quin nombre es tracta?

• Xifra de les desenes ⇒ Xifra de les unitats ⇒

• Nombre que busquem ⇒ 10 +


La suma de les dues xifres del nombre és 10:

La diferència entre el nombre amb les xifres invertides i el nombre inicial és 36:


• Solució: Es tracta del nombre

e) En un hotel hi ha 120 habitacions, de les quals algunes són dobles i la resta individuals. En total hi ha 195 llits. Quantes habitacions hi ha de cada tipus?• Incògnites: habitacions individuals ⇒ habitacions dobles ⇒


La frase que fa referència al nombre d’habitacions:

La frase que fa referència al nombre de llits:


• Solució: Hi ha habitacions individuals i dobles.

6553_Mates3_Q_02.indd 30 04/04/11 15:40

31


10. a) Indica clarament quines són les incògnites i resol aquests problemes:

• En Carles ha comprat a l’estanc 52 segells de correus: uns per a l’estranger, que costen 65 cèntims, i uns altres per al país, que costen 0,35 €. Si en total ha pagat 25,40 €, quants segells ha comprat de cada classe?

• Tenim monedes de 50 ct. i 20 ct. En total tenim 68 monedes i 23,2 €. Quantes monedes de cada tipus tenim?

• Una botiga d’esports ha venut 60 raquetes de pàdel de competició el preu origi-nal de les quals era de 240 € cadascuna, amb un descompte del 20 % en unes i d’un 30 % en les altres, i ha ingressat 11 088 €. Quantes raquetes ha venut amb el 30 % de descompte?

b) Un professor de tennis reparteix pilotes entre els alumnes per fer un entrenament. En dóna 3 a cada un i en sobren 12. Com que vol que cada alumne en tingui 5, calcula que ha de comprar 18 pilotes més. Quants alumnes són?

c) Quan 32 professors de matemàtiques arriben a un congrés, l’organitzador observa que falten 14 persones perquè el nombre d’assistents sigui el triple dels que hi havia inicialment. Quantes persones hi ha ara a la reunió?

6553_Mates3_Q_02.indd 31 04/04/11 15:40

32


Activitats

1. De quina de les equacions següents és solució x = 2?

a) 3(x + 1) – 2 = 4x

b) 5 – 2(x + 2) = 2x

c) 6(x – 2) + 2x = 4

d) 2x – 4 = –(x + 5)

2. Si una de les solucions de l’equació

mx – 4y = 2 és x = 0 i y =

�

12

, podem assegurar que:

a) m = 1

b) m = 0

c) m = 2

d) m pot ser qualsevol nombre.

3. La recta que conté les solucions de l’equació 3x – 2y = 5 passa pel punt:

a) A 0, 52

b) B(1, 1)

c) C(9, 2)

d) D(–1, 4)

4. Considera el sistema

x �2y �2

mx �4 y ��4

a) Si m = 0, és incompatible.

b) Si m = –2, és compatible indeterminat.

c) Mai no serà compatible determinat.

d) Sempre serà incompatible.

5. La traducció al llenguatge algèbric de la frase «La base b d’un rectangle és el doble que l’altura a, i el seu perímetre és 78 cm» pot ser:

a ) 2b � a � 78

b )2b � a

2b �2a � 78

c )b � 2a

2a �2b � 78

d ) 2b �2(2b )� 78

6. Resol l’equació:

35

⋅ x �33

�

x �53

�1�x �210

Escriu aquí el resultat � nal.

7. Resol l’equació:

x �3( )2� x �2( ) x �2( )�6 x �4( )


8. Resol el sistema:

x �12

� y

2x �13

�2y �3

2�

52


9. El perímetre d’un quadrat després d’augmentar 5 cm el costat és 168 cm. Quant mesura el costat del quadrat ini-cial?


10. A la cantina de l’institut venen entre-pans de pernil a 1,20 € i entrepans de formatge a 1,10 €. En un matí han venut 56 entrepans i la recaptació ha estat de 64,60 €. Quants entrepans han venut de cada classe?


6553_Mates3_Q_02.indd 32 04/04/11 15:40

Equacions i sistemes de primer grau - Amazon Web...

Documents

Transcript of Equacions i sistemes de primer grau - Amazon Web...