ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I - Inicial — UFRGS Haffner/aula23.pdf · 7 ENG04030 - AN ÁLISE...

1

ENG04030ENG04030ANANÁÁLISE DE CIRCUITOS ILISE DE CIRCUITOS I

Aulas 23 Aulas 23 –– Circuitos de 1Circuitos de 1ªª ordem: anordem: anáálise lise no domno domíínio do temponio do tempo

Resposta completa de circuitos RL e RC Resposta completa de circuitos RL e RC àà funfunçção ão de excitade excitaçção degrau unitão degrau unitááriorio

SSéérgio Haffnerrgio Haffner

ENG04030 ENG04030 -- ANANÁÁLISE DE CIRCUITOS ILISE DE CIRCUITOS I

SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

Circuito RL Circuito RL –– resposta completa ao degrauresposta completa ao degrausolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial

Circuito com condiCircuito com condiçção inicial ão inicial

EquaEquaçção da malha para ão da malha para tt>0>0 (sentido hor(sentido horáário)rio)

( )( ) ( )

( ) SS

di t di t VRRi t L V i t

dt dt L R

− + = ⇒ = −

( )0 0i t I=

( ) ( )( )0

1

0

S S

t tLV V R

R Ri t I e

−−

= + −

( )

( )

( )

( )( )( ) [ ]

( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

00 0 0

0 00

0 0 0

0

ln

0

ln

ln ln ln

S

S

S

S S

S

VSR

SVSR

S

S

tt t tV

RV tt t tR

V

V V R

R R V

R

i tVR R

t t t tI RL LV

R

di t Rdt

V Li t

R

di x R Rdy i x y

L Li x

i tR Ri t I t t t t

L LI

i te e e

I

−− −

− −−

−=

−

− − = ⇒ − = −

−− −− − − = − ⇒ = −

−

−= ⇒ =

−

∫ ∫

LR

τ =

+

_( )Sv t

( )i t R

L

2


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

Circuito RC Circuito RC –– resposta completa ao degrauresposta completa ao degrausolusoluçção direta da equaão direta da equaçção diferencialão diferencial

Circuito com condiCircuito com condiçção inicialão inicial

EquaEquaçção do não do nóó superior (corrente saindo positiva)superior (corrente saindo positiva)

( )( )

( )( )( )

1 1

s s

dv t dv tC v t I v t RI

dt R dt RC

−+ = ⇒ = −

( )0 0v t V=

( )

( )

( )

( )( )( ) [ ]

( )( ) ( ) ( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )

000 0

0 00

0 0 0

0

1 1ln

0

1

1 1ln

1 1ln ln ln

s

s

s

t t t t

s ttt ts

s

s s

s

v t RIt t t t

V RI sRC RC

s

dv tdt

v t RI RC

dv xdy v x RI y

v x RI RC RC

v t RIv t RI V RI t t t t

RC V RI RC

v t RIe e e

V RI

− − −− −

−

−=

−

− − = ⇒ − = −

−− −− − − = − ⇒ = −

−

−= ⇒ =

−

∫ ∫

( ) ( )( )0

1

0

t tRC

S Sv t RI V RI e

−−

= + − RCτ =

( )Si t R C ( )v t

+

−


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercííciocio

3


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício cio –– resultado 1/2resultado 1/2

Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23a.aula23a.circir


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício cio –– resultado 2/2resultado 2/2

Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23a.aula23a.circir

4


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org



SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org


5


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício cio –– resultado 1/3resultado 1/3Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23b.aula23b.circir


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org


6


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org



SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org


7


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício (suposto paradoxo)cio (suposto paradoxo)

No circuito a seguir, considere que No circuito a seguir, considere que CC11==CC

22==CC e que antes de e que antes de

fechar a chave o capacitor fechar a chave o capacitor CC22

estestáá descarregado e a tensão em descarregado e a tensão em

CC11

éé de de VV. Determinar:. Determinar:

�� a tensão nos capacitores apa tensão nos capacitores apóós o fechamento da chaves o fechamento da chave

�� a carga armazenada em cada capacitor antes e apa carga armazenada em cada capacitor antes e apóós o fechamento s o fechamento

da chaveda chave

�� a energia armazenada nos capacitores antes e apa energia armazenada nos capacitores antes e apóós o fechamento s o fechamento

da chaveda chave

Incluir Incluir RR→→00 no circuitono circuito

( )1

v t

+

−

( )2

v t

+

−

0t =

1C

2C ( )

1v t

+

−

( )2

v t

+

−

0t =

1C

2C

0R →( )i t ( )i t


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org


Para Para tt≥≥00 (ap(apóós fechamento da chave) a corrente no circuito e s fechamento da chave) a corrente no circuito e equaequaçção de ão de

malhamalha são dadas porsão dadas por

Derivando com relaDerivando com relaçção ao tempo, temão ao tempo, tem--sese

( )( ) ( )

( )( ) ( )

1 2 1 20 0

0v t v t v v V

i t iR R R

− −= ⇒ = =

( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )}

( ) ( ) ( )}

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

0

1 20 0

0 0

0

1 10 0 0

2 2

Vt t

t t

v t Ri t v t

i x dx v Ri t i x dx vC C

VRi t i x dx V i t i x dx

C RC R

= =

− + + =

− − + + + + =

+ = ⇒ + =

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )( )

( )0

2 20

td d V di ti t i x dx i t

dt RC dt R dt RC

+ = ⇒ + = ∫

( ) ( )2 2

0

t t

RC RCV

i t i e eR

− −

= =

8


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org


A A potência dissipada na resistência potência dissipada na resistência RR éé dada pordada por

A A energia dissipada na resistênciaenergia dissipada na resistência éé obtida pela integraobtida pela integraçção da potência dissipadaão da potência dissipada

Observar que a Observar que a energia dissipadaenergia dissipada não depende do valor de não depende do valor de RR. Em outras palavras, o . Em outras palavras, o

““custocusto”” de transferir de transferir instantaneamenteinstantaneamente carga de um capacitor para o outro carga de um capacitor para o outro éé constante constante

(não depende do valor de (não depende do valor de RR) e igual ) e igual àà metade da energia inicial.metade da energia inicial.

( ) ( )

22 42

2

t t

RC RCR

V Vp t Ri t R e e

R R

− − = = =

( ) ( )

[ ]

( )

42

0 0

4 42

2

0 0

4

2 2

0

2

4 1 4

4 4

1 10 1

4 4

1

4

t

RCR R

t t

RC RC

t

RC

R

VW p t dt e dt

R

V RCe dt CV e dt

R RC RC

CV e CV

W CV

−∞ ∞

− −∞ ∞

∞−

∞ = = =

− − − − = = =

− −= = −

∞ =

∫ ∫

∫ ∫


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org


A A tensão finaltensão final nos capacitores nos capacitores éé dada pordada por

A A energia inicial e finalenergia inicial e final nos capacitores nos capacitores éé dada pordada por

( ) ( )[ ] ( )}

( ) [ ]

( ) ( )[ ] ( )}

( ) [ ]

2

2

1 1 20 0

0

2

01

20

2

2 2 20 0

0

2

02

1 10

0 12 2 2

1 10 0

0 12 2 2

xV x RC

RC

RC

x

RC

xx RC

RC

RC

x

RC

V V ev i x dx v e dx V V

C C R RC

V V Vv e V V

V V ev i x dx v e dx

C C R RC

V V Vv e

∞−

= −∞ ∞

−

∞−

∞−

= −∞ ∞

−

∞−

− − ∞ = − + = + = +

∞ = + = − + =

∞ = + = + =

− −∞ = = − =

∫ ∫

∫ ∫

( ) ( )

( ) ( )

2

2 2

1 1

2

2

2 2

1 1 10

2 2 2 8

1 10 0

2 2 8

C C

C C

VW CV W C CV

VW W C CV

= ∞ = =

= ∞ =

9


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício (suposto paradoxo) cio (suposto paradoxo) –– resultado 1/2resultado 1/2

�� Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23c.aula23c.circir


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício (suposto paradoxo) cio (suposto paradoxo) –– resultado 2/2resultado 2/2

�� Resultado via Resultado via MicrocapMicrocap: : aula23c.aula23c.circir

10


SH

affn

er20

10

SH

affn

er20

10 ––

haf

fner

@ie

ee.o

rgh

affn

er@

ieee

.org

ExercExercíício proposto (suposto paradoxo)cio proposto (suposto paradoxo)

Verificar como fica a soluVerificar como fica a soluçção deste suposto ão deste suposto

paradoxo (em termos de energia) quando paradoxo (em termos de energia) quando

os capacitores possuem diferentes os capacitores possuem diferentes

capacidades e/ou carregamentos capacidades e/ou carregamentos

diferenciados:diferenciados:

�� capacitores diferentes (C e 2C, por exemplo);capacitores diferentes (C e 2C, por exemplo);

�� carregamento diferenciado (um carregado com carregamento diferenciado (um carregado com

V e outro com 2V);V e outro com 2V);

�� capacitores diferentes e carregamento capacitores diferentes e carregamento

diferenciado.diferenciado.

ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I - Inicial — UFRGS Haffner/aula23.pdf · 7 ENG04030 - AN ÁLISE...

Documents

Transcript of ENG04030 ANÁLISE DE CIRCUITOS I - Inicial — UFRGS Haffner/aula23.pdf · 7 ENG04030 - AN ÁLISE...