ENERGIA ESPECIFICA MOMENTO

323

Energía específica y momentaCapítulo VII

CAPITULO VIIENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA

7.1 Energía específica

La energía de la corriente en una sección determinada de un canal es igual a la suma deltirante, la energía de velocidad y la elevación del fondo con respecto a un plano horizontal dereferencia arbitrariamente escogido y se expresa así

Energía = zg

Vy ++

2

2

α (7-1)

y es el tirante, α el coeficiente de Coriolis, V la velocidad media de la corriente en la

sección considerada, z la elevación del fondo con respecto a un plano de referencia.

Si tomamos como plano de referencia el fondo del canal, la energía así calculada se denomina

energía específica y se designa con la letra E . Esta definición significa z = 0.

gV

yE2

2

α+= (7-2)

La energía específica es, pues, la suma del tirante y la energía de velocidad. Como estáreferida al fondo va a cambiar cada vez que éste ascienda o descienda.

Obsérvese que las definiciones anteriores no implican necesariamente condiciones normales.Puede, por ejemplo, calcularse la energía específica para una sección que forma parte de un

324

Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales

movimiento gradualmente variado, siempre y cuando el flujo pueda considerarse como paraleloy aceptarse una distribución hidrostática de presiones, que son los supuestos fundamentalesde la ecuación 7-1.

La energía específica se interpreta gráficamente así

Estamos considerando que la pendiente del canal es cero (horizontal), o muy pequeña. Enconsecuencia, es indiferente que el tirante se mida vertical o normalmente al fondo.

Hemos visto en el capítulo I que en muchos casos se justifica considerar que el coeficiente deCoriolis es igual a la unidad. Entonces,

gV

yE2

2

+= (7-3)

es la ecuación de la energía para este caso particular.

Esta ecuación puede también expresarse en función del gasto Q y el área A de la sección

transversal, que es una función del tirante y ( AQV = ).

2

2

2gAQ

yE += (7-4)

En esta ecuación se ve con claridad que hay tres variables involucradas: energía específica,gasto y tirante

2Vg2

Línea de energía

yFondo (plano de referencia)

α

E

Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica

325


( )QE,öy = (7-5)

Para poder discutir y analizar esta función consideraremos sucesivamente la constancia decada una de las dos variables del segundo miembro de la ecuación 7-5.

Así, si aceptamos que el gasto es constante

( )Ey φ= (7-6)

Pero si la energía es constante,

( )Qy φ= (7-7)

7.2 Energía específica a gasto constante

Discusión de la curva yE −

La ecuación de la energía específica a gasto constante puede ser graficada colocando en el

eje de abscisas los valores de la energía específica y en el eje de ordenadas los del tirante y ,

tal como se ve en el Figura 7.2.

Empezaremos por discutir las asíntotas de la ecuación 7-4,

2

2

2gAQ

yE +=

que evidentemente son

0=− yE ; 0=y

Es decir, que las dos asíntotas están constituidas por una recta a 45º ( yE = ) y por el eje deabscisas. Es claro que si la pendiente del canal no es cero entonces dicha asíntota no estáa 45º. Es decir, que si la pendiente del canal es lo suficientemente grande como para tenerseque tomar en cuenta, entonces no es lo mismo medir el tirante vertical o normalmente alfondo.

Examinemos el mínimo de la ecuación 7-4 que corresponde a

0=dydE

326


Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante (Curva yE − )

Tirante

y

g2

V22

2y RIO

CRISIS

TORRENTE

VcV < F < dEdy

0 < < 11

Q = CONSTANTEdE

= 0dy

2 gcV

2

yc

2 g1V 2

y1

y2

Emin

1V

g2

2

y1= + = + 2y22 g

V 2

E

TORRENTE RIO

y1

= +E y2 gV 2

Energía Específica

F =V = cV 1 = 1g

Q 2 T

A3

F >VV > c

dE< 01 dy45º

E = y

= +E2Vy

g2

y1e son tirantes alternos

Vg2

2

F > 1

y2

V1

g2

2c

E E1 2( = )

> (flujo supercrítico) ( < )y y1 c

y y( > )VV2 c< (flujo subcrítico) F < 1

g2 2 g 2

2 2

c

Si < no hay flujo posible del gastoE E Qmin

Q

g

T2

< 13A

A

2

g

Q> 13

T

327


y a partir de la ecuación 7-4 se obtiene

dydA

gAQ

dydE

3

2

1−= (7-8)

Esta expresión es aplicable a una sección transversal cualquiera, como la que se ve en lafigura

Para cada valor del tirante y , que es

variable, hay un valor del área A y un

valor del ancho superficial T . El áreaes

( ) ( )∫=y

dyyTyA

0

Al diferenciar esta expresión se llega a

TdydA =

Luego,

dydAT = (7-9)

Siempre se cumple que la derivada del área con respecto al tirante es igual al ancho superficial.Evidentemente que esta igualdad también es válida para un conducto abovedado. Obsérveseen el cuadro “Elementos geométricos de diversas secciones” (Tabla 6.11) que para todas lassecciones se cumple la ecuación 7-9. Reemplazando este valor en la ecuación 7-8 se obtiene

3

2

1gA

TQdydE −= (7-10)

Si esta ecuación se iguala a cero nos da el mínimo valor de la energía con que puede escurrir

un gasto Q en un canal dado y que corresponde a las condiciones críticas

01 3

2

=−=gA

TQdydE

y

dy

T

A

328


o bien,

TA

gQ 32

= ó 13

2

=gA

TQ (7-11)

que es la condición general de flujo crítico en cualquier sección transversal.

Es interesante notar que la ecuación 7-11, de condición general de crisis, puede hacerse

adimensional al dividir ambos miembros por 5L .

5

3

5

2

TLA

gLQ = (7-11a)

siendo L una magnitud lineal característica de la sección (ancho, diámetro, etc.).

Hasta el momento hemos establecido que la ecuación de la energía específica tiene dosasíntotas y un mínimo. Por lo tanto tiene dos ramas tal como se ve en la Figura 7.2.

La rama superior corresponde al régimen denominado RIO. En él siempre se cumple que

13

2

<gA

TQ

La rama inferior corresponde al régimen denominado TORRENTE. En él siempre se cumpleque

13

2

>gA

TQ

El régimen crítico, que separa los ríos de los torrentes, corresponde a (ec. 7-11)

13

2

=gA

TQ

La velocidad y el tirante que corresponden a la energía mínima se denominan críticos.

De esta última ecuación se obtiene

TAgAQ =

329


El tirante hidráulico se definió en el capítulo I como,

TA

d =

es decir, como la relación entre el área de la sección transversal y el ancho superficial. Luego,

gdAQ =

o bien,

gdTAgV ==

que es la velocidad que corresponde al mínimo contenido de energía y que se denomina

velocidad crítica cV (en cualquier sección transversal).

cc gdTAgV == (7-12)

Desde el punto de vista de la consistencia en la notación quizá sería más conveniente que en

las ecuaciones 7-11, 7-12 y otras se escriba en lugar de A , cA y en lugar de T , cT , etc. Por

comodidad se omiten los subíndices, pero debe entenderse claramente que los valores de

A , T y otros que corresponden al mínimo contenido de energía son necesariamente críticos.

Si no hubiéramos considerado que el coeficiente de Coriolis es igual a 1, entonces la velocidadcrítica sería

cc dg

Vα

= (7-13)

De la ecuación 7-12, para 1=α , se obtiene que

22

2cc d

gV = (7-14)

Significa esta ecuación que en un régimen crítico la energía de velocidad es igual a la mitaddel tirante hidráulico (para cualquier sección). Es claro que las expresiones 7-11, 7-12 y 7-14son absolutamente equivalentes.

330


Se observa en la Figura 7.2 que para un valor dado de la energía específica, superior a lamínima, pueden presentarse dos tirantes diferentes.

El mayor de ellos corresponde a un régimen de río. Se caracteriza porque la velocidad siemprees menor que la crítica. Por eso se llama régimen subcrítico. El menor de ellos correspondea un régimen de torrente. Se caracteriza porque la velocidad siempre es mayor que la crítica.Por eso se llama régimen supercrítico.

De acuerdo a las definiciones anteriores se comprende de inmediato que

gV

yE ccmin 2

2

+= (7-15)

Más adelante veremos que la proporción en la que se distribuye la energía mínima entretirante y energía de velocidad depende de la forma de la sección transversal.

Los tirantes 1y e 2y , uno de torrente y otro de río, que corresponden a la misma energía

específica se denominan alternos.

Introducción del Número de Froude

Veamos como el número de Froude es útil para distinguir los tres regímenes anteriormentepresentados.

El número de Froude es un indicador del tipo de flujo y describe la importancia relativa de lasfuerzas gravitacionales e inerciales. Su definición general es

TAgV

gdVF == (7-16)

Si la velocidad V de la corriente es igual a la crítica, entonces

1==c

c

gd

gdF (7-17)

Llegándose así a la importante conclusión que en un régimen crítico el número de Froude esigual a 1.

331


En un río la velocidad de la corriente es menor que la crítica y, por lo tanto, el número deFroude es menor que 1.

En un torrente la velocidad de la corriente es mayor que la crítica y, por lo tanto, el número deFroude es mayor que 1.

Examinemos nuevamente la ecuación 7-10

3

2

1gA

TQdydE −=

Al introducir AQV = se obtiene

TA

g

VdydE 2

1−= (7-18)

Pero, (ec. 7-16)

TA

g

VF =

De donde,

21 FdydE −= (7-19)

Si el número de Froude es igual a 1 (condiciones críticas) entonces,

0=dydE

(7-20)

Condición que es precisamente la de energía mínima.

Si el número de Froude es menor que 1 (régimen subcrítico) entonces,

10 <<dydE

(7-21)

332


Propagación de una onda superficial

Examinemos otra interpretación de los regímenes de corriente antes descritos

Si en la superficie libre de un canal se produce una onda superficial ésta adquiere una celeridad

c , es decir, una velocidad con respecto a la corriente que aproximadamente es igual a

gyc = (7-22)

Siendo y la profundidad de la corriente.

Resulta evidente que la condición paraque un onda pueda remontar la corrientees que su celeridad sea mayor que lavelocidad de la corriente.

En un torrente siempre se cumple quela velocidad media de la corriente es

mayor que gy (sección rectangular).

De acá que los torrentes se caracterizan porque una onda superficial no puede remontar lacorriente.

En cambio, en los ríos si es posible que un onda superficial remonte la corriente.

En el régimen crítico la velocidad de la corriente es igual a la celeridad de la onda y ésta

permanece estacionaria, ( Vc = ).

Ríos y torrentes

Los ríos se caracterizan por tener pequeña velocidad y gran tirante (régimen subcrítico).

En cambio, en los torrentes la velocidad es grande y el tirante pequeño (régimen supercrítico):la mayor parte de la energía específica corresponde a energía de velocidad.

La conclusión que obtenemos es que la relación E

gV 22

describe el régimen de la corriente.

La relación E

gV 22

es fija para el régimen crítico, pero depende de la forma de la sección.

En los torrentes la variación del tirante y la energía específica es de signo contrario: si aumentael tirante disminuye la energía específica. Esto se ve claramente en la Figura 7.2 y en laFigura 7.2a.

yV

c - V c + V

333


En cambio en los ríos la variación es del mismo signo.

Esta es una propiedad importante de ríos y torrentes que será muy útil para la discusión delos perfiles de la superficie libre cuando se presente, por ejemplo, pequeñas gradas de fondoque implican un cambio en la energía específica.

Propiedades de la curva de la Energía Específica (Figura 7.2)

Aunque las características de la ecuación de la Energía Específica, a gasto constante, hansido analizadas y discutidas en las páginas anteriores, se presenta a continuación, en formade resumen, sus principales características.

i) La curva yE − (energía específica – tirante, a gasto constante) tiene dos ramas: una

superior que corresponde al régimen de río y otra inferior que corresponde a los torrentes.

ii) En un torrente, dydE es negativo, y en un río es positivo, (menor que 1).

iii) La curva yE − tiene dos asíntotas que son yE = ; 0=y .

iv) La curva yE − tiene un mínimo que corresponde al mínimo contenido de energía,

0=dydE . Se define por las ecuaciones 7-11, 7-12, ó 7-14.

El tirante y la velocidad que corresponden al mínimo contenido de energía se denominancríticos.

v) Para cualquier contenido de energía superior a la mínima existen dos puntos sobre lacurva: uno corresponde a un río y el otro a un torrente. Los tirantes respectivos, que secaracterizan por tener la misma energía específica, se denominan alternos.

vi) Para la energía específica mínima sólo hay un flujo posible: el crítico.

vii) En la zona superior de la curva yE − la velocidad siempre es menor que la crítica (flujo

subcrítico).En la rama inferior la velocidad de la corriente es siempre superior que la crítica (flujosupercrítico).

viii) En un río el número de Froude es menor que 1. En un torrente, mayor que 1. En la crisises 1.

ix) Una onda superficial puede remontar la corriente en un río, pero no en un torrente.

334


x) En un río un aumento del tirante implica un aumento de la energía específica 0>dydE .

En cambio, en un torrente un aumento del tirante implica una disminución de la energía

específica 0<dydE

.

Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante

Ejemplo 7.1 Probar que la sección de un canal en la cual el flujo es crítico puede ser expresada en la

forma siguiente

g

Qyx

32

232 =

Donde “x” es la mitad del ancho superficial e “y” es la distancia de la superficie del agua a la línea de

energía.

Solución. Sea T el ancho superficial y V la velocidad media de la corriente. Entonces,

2T

x = g

Vy

2

2

=

Como el problema establece que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación fundamental 7-11

y

E

RIO

TORRENTE

∆y

∆E

∆Ey∆

En un río las variaciones de

E e y son del mismo signo y

del mismo orden de magnitud.

En un torrente las variaciones de

E e y son de diferente signo y

de diferente orden de magnitud.45º

T

A

g

Q 32

=

335


Siendo en este caso,

xT 2= gy

Q

V

QA

2==

Reemplazando los valores de A3 y de T en el segundo miembro de la ecuación 7-11 se verifica la

expresión propuesta.

Podría haberse usado como condición de crisis la ecuación 7-12.

7.3 Sección rectangular

Condiciones críticas

En cualquier sección transversal en la que el flujo es crítico debe cumplirse la ecuación 7-11ó la 7-12, ya que son equivalentes. Partamos de esta última ecuación

TA

gVc =

expresión en la que cV es la velocidad crítica, A el área de la sección transversal, T el

ancho superficial.

Tal como lo señalamos antes, siendo el flujo crítico se sobreentiende que A es cA y T es

cT .

En una sección rectangular la relación TA (tirante hidráulico) es igual al tirante. Luego,

cc gyV = (7-23)

que es la ecuación de la velocidad crítica en una sección rectangular. De esta ecuación seobtiene de inmediato

22

2cc y

gV = (7-24)

Esta última ecuación significa que en un régimen crítico en sección rectangular la energía develocidad es igual a la mitad del tirante crítico.

336


La energía que corresponde a las condiciones críticas es

gV

yE cc 2

2

+=

Este valor de la energía es el mínimo en la curva yE − , tal como se ve en la Figura 7.2.

Combinando las dos últimas ecuaciones se obtiene

Eyc 32= (7-25)

Eg

Vc

31

2

2

= (7-26)

Esta es, pues, la proporción en la que se distribuye la energía, en condiciones críticas, en uncanal rectangular. Al respecto puede leerse nuevamente el comentario hecho después depresentar la ecuación 7-15.

Se puede obtener fácilmente una expresión para el tirante crítico en función del gasto recordandoque

Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular

yE

c

c

31

E

3E2

2Vg2

337


cc y

qAQ

V ==

cc gyV =

q es el gasto específico, es decir, el gasto por unidad de ancho. La última expresión

corresponde al sistema métrico.

En general, la energía específica de un canal rectangular es

gV

yE2

2

+=

Si dividimos ambos miembros por el tirante y , se llega a

gyV

yE

21

2

+=

Introduciendo el número de Froude gyV

F = se obtiene

21

2FyE += (7-28)

Si esta expresión se combina con la ecuación 7-19, se obtiene,

yE

dydE 23−= (7-29)

Nótese que si en la ecuación 7-28 hacemos 1=F esto significa condiciones críticas, y se

obtiene cyE23= , tal como se demostró anteriormente.

Lo mismo se podrá hacer en la ecuación 7-29. Las condiciones críticas están dadas por

oo

o32

3

2

467,0 qgq

yc == (7-27)

338


0=dydE , obteniéndose también cyE

23= .

Expresión adimensional de la energía específica (Figura 7.4)

La expresión que nos da la energía específica en un canal rectangular cuyo gasto específico

es q , se obtiene de inmediato a partir de 7-4

2

2

2gyq

yE += (7-30)

Dividiendo ambos miembros por el tirante crítico cy se obtiene

ccc ygyq

yy

yE

2

2

2+=

Pero, en una sección rectangular

3

2

gq

yc =

ó lo que es lo mismo,

32cgyq = (7-31)

Reemplazando se obtiene

2

2

2yy

yy

yE c

cc

+= (7-32)

que es la expresión adimensional de la energía específica en un canal rectangular. La ecuación7-32 puede también tomar la forma siguiente

2

2

31

32

yy

yy

EE c

cmin

+= (7-32a)

339


Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular

RIO

CRISIS

TORRENTE

45º

E = ycyy

Ec

y

Ecy yc

yyc

y 2

22= +

yc E=

32

0 1 21,5 3

1

2

3

340


Variación del gasto con el tirante a energía específica constante

El análisis hecho hasta ahora ha sido considerando gasto constante y energía específicavariable en función del tirante.

Vamos a examinar ahora la posibilidad mencionada en la ecuación 7-7

( )Qy φ= , para energía constante

La ecuación de la energía específica en un canal rectangular es

2

2

2gyq

yE +=

De acá podemos despejar el gasto específico q

( )yyEgq −= 2 (7-33)

Siendo la energía específica constante se tendrá que para cada valor del tirante y hay un

valor correspondiente del gasto. Por lo tanto habrá un valor del tirante que produzca el gastomáximo

0=dydq

( ) ( ) 0212 2

121

=

−−−= − yyEyEg

dydq

De donde,

Ey32=

Se obtiene así que el gasto es máximo cuando el tirante es los 2/3 de la energía específica.Esta es precisamente la ecuación 7-25 obtenida al examinar las condiciones críticas en uncanal rectangular. Luego, pues, el gasto es máximo cuando las condiciones son críticas.

El gasto máximo en un canal es el que corresponde a las condiciones críticas

23

cccc byggybyAVQ ===

341


Pero, en un canal rectangular Eyc 32=

Luego,como bQ

q = se obtiene

23

23

32

Egq

= (7-34)

En el sistema métrico

23

704,1 Eq = (7-35)

Este es el gasto máximo que puede transportar un canal con un contenido de energía específicadado. La representación gráfica de la ecuación 7-33 aparece en la Figura 7.5.

Ejemplo 7.2 En un canal rectangular de 4 m de ancho se ha determinado que las ondas superficiales

remontan la corriente con una velocidad de 2,2 m/s y son arrastradas por la corriente con una velocidad

de 3,0 m/s. Hallar el gasto en el canal.

Solución. Sea V la velocidad de la corriente en el canal y c la celeridad de las ondas superficiales.

Entonces,

c - V = 2,2

c + V = 3

De donde,

c = 2,6 m/s y V = 0,4 m/s

A partir de la ecuación 7-22 obtenemos que

g

cy

2

= = 0,69 m

El gasto es Q =AV = 2,76 x 0,4 = 1,10 m3/s

Como las ondas pueden remontar la corriente esto significa que el número de Froude es menor que 1

y que la velocidad media de la corriente es menor que la crítica, como puede fácilmente comprobarse.

(F= 0,15).

Si la onda se produce en la dirección de la corriente su velocidad sería de 2,6 + 0,4 = 3,0 m/s, pero si la

onda se produce contra la corriente su velocidad sería 2,6 - 0,4 = 2,2 m/s.

342


Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante

RIO

CRISIS

TORR

ENTE

= 1F

R < 1F

F>

1T

= 0dy

dq

q = 2g(E - y) y

3

q = 1,704 E 2

qmax

q2V

2 gR

Vc

2g

2

VT

2g

2

23c

y = y

(sección rectangular)

yR

E

q

max

maxq < q

q = 1,704 E 23

(sección rectangular)

y

q

= (1 + 1 + )y

T

Ty

4FR

28FR

2yR

y

y= (1 + 1 + )

8

T4 FT

2

FR T2

Los subíndices R y T se

refieren a río y torrente

343


Ejemplo 7.3 En un canal rectangular el gasto específico es de 1 m3/s/m. Presentar una tabla quemuestre la variación de la energía específica y de otros parámetros descriptivos de la corriente enfunción del tirante, para valores comprendidos entre 1,50 m y 0,10 m.

Solución. Asignaremos sucesivamente valores al tirante. Para cada uno de ellos se puede calcular elárea, la velocidad media, la energía de velocidad y la energía específica.

Conviene calcular en primer lugar el tirante crítico. Por ser una sección rectangular usamos la ecuación7-27

3

2

gqyc = = 0,4673 m (0,47 aprox.)

En la tabla se ha considerado cuatro tirantes mayores que el crítico y cuatro menores. (Ver Figura 7.6y Tabla 7.1). La velocidad crítica puede calcularse como gasto entre área, o usando la ecuación 7-23

cc gyV = = 2,14 m/s

La energía mínima es 0,7009 m. Esta es la mínima energía con la que puede establecerse un régimen de1 m3/s/m en un canal rectangular.

( ) 7009,0214,24673,0

2

=+g

cy gVc 22 E (mínima)

Para cualquier valor de la energía superior a 0,7009 m puede establecerse dos tipos de escurrimiento(ríos y torrentes).

Los ríos tienen tirantes mayores que el crítico y velocidades menores que la crítica (régimen subcrítico).

Los torrentes tienen tirantes menores que el crítico y velocidades mayores que la crítica (régimensupercrítico).

Los tirantes que corresponden al mismo contenido de energía específica se denominan alternos.

Así por ejemplo, con una energía de 1,48 m puede haber dos escurrimientos

a) Un río, con un tirante de 1,46 m y una velocidad de 0,685 m/s (como esta velocidad es menor quela crítica el régimen es subcrítico).

El número de Froude es menor que 1 y los valores de dydE son positivos, pero menores que 1.

344


b) Un torrente, con un tirante de 0,20 m y una velocidad de 5 m/s (como esta velocidad es mayor que

la crítica el régimen se denomina supercrítico). El número de Froude es mayor que 1 y los valores

de dy

dE son negativos.

Como los tirantes 1,46 m y 0,20 m corresponden a la misma energía específica (1,48 m) se dice que son

tirantes alternos. Obsérvese que satisfacen la expresión propuesta en el ejemplo 7.4.

En los ríos al disminuir el tirante disminuye la energía específica.

En cambio en los torrentes al disminuir el tirante aumenta la energía específica.

Así por ejemplo, al pasar de un tirante 0,30 m a otro 0,20 la energía específica aumenta de 0,87 m a 1,48 m.

En cambio en un río al disminuir el tirante de 1,46 m a 1,00 m la energía específica disminuye de 1,48 a

1,05 m.

Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3

yc

1 m

Tirantes alternos

RIO

CRISIS

TORRENTE45º

E = y

y

E

cy

0 1,00 2,001,50 2,50

1,00

2,00

(m)

0,50

1,50

0,50

(0,20)

(1,46)

0,7009

1,48

(m)

2gcV

2

0,4673 0,2336

q = 1 m /s/m3

0,17 (Número de Froude)0,18

0,32

0,69

1,001,26

1,94

3,57

345

Energía específica y momentaCapítulo VIITA

BLA

7.1

EJE

MP

LO 7

.3 (

= 1

m3 /s

/m)

346


Para ilustrar la diferencia entre ríos y torrentes se ha calculado para cada tirante, la celeridad de una

pequeña onda superficial.

En la Tabla 7.1 se muestra para el rango de valores solicitado, la variación de la energía específica y de

otros parámetros descriptivos de la corriente en función del tirante.

Ejemplo 7.4 Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos y1 e y2 y el

tirante crítico yc la siguiente relación

3

21

22

212

cyyy

yy=

+

Solución. Por ser y1 e y2 tirantes alternos corresponden a flujos que tienen la misma energía específica

g

Vy

g

Vy

22

22

2

21

1 +=+

Introduciendo el gasto específico q (gasto por unidad de ancho) se obtiene

22

2

221

2

1 22 gy

qy

gy

qy +=+

Pero en un canal rectangular

3

2

g

qyc =

Luego,

22

3

221

3

1 22 y

yy

y

yy cc +=+

Efectuando las operaciones indicadas se llega fácilmente a

3

21

22

212

cyyy

yy=

+

En el ejemplo 7.3 hay 2 tirantes alternos, 0,20 m y 1,46 m (pues ambos corresponden a la misma energía

específica). A modo de comprobación

( ) ( )1027,0

66,146,120,02

22

=

que es prácticamente igual al cubo del tirante crítico.

347


7.4 Sección parabólica

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente)

TA

gVc =

Por propiedades geométricas de la parábola se sabe que el área transversal es igual a los 2/3del área del rectángulo circunscrito

TyA c32=

reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene

cc gyV32= (7-36)

o bien,

cc gyV32=

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal parabólico. De acá se obtiene

32

2cc y

gV = (7-37)

yc

T

A

348


Esta ecuación puede compararse con la ecuación 7-24. Combinando la ecuación 7-37 con ladefinición de energía específica en condiciones críticas se obtiene

Eyc 43= (7-38)

Eg

Vc

41

2

2

= (7-39)

En la Figura 7.7 se ve la distribución de la energía específica en un canal parabólico, encondiciones críticas.

El gasto máximo que puede escurrir con una energía dada es el que corresponde a lascondiciones críticas. Su expresión para un canal parabólico es

cc gyTyQ32

32=

A cV

23

21

23

32

cyTgQ

= (7-40)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial se tiene

TQ

q =

Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico

2Vg2

yE

c

c

41 E

4 E3

349


23

21

23

32

cygq

= (7-41)

De donde, en el sistema métrico

32

701,0 qyc = (7-42)

El gasto máximo con energía específica constante es el que corresponde a las condicionescríticas

23

1067,1 Eq =

(7-43)

Ejemplo 7.5 Demostrar que el tirante crítico en una sección parabólica es

41

21

41

41

16427

g

Q

pyc

= (7-44)

Considerar que la ecuación de la parábola es pyx 22 =

Solución.

La expresión general para las condiciones

críticas viene dada por la ecuación 7-11

T

A

g

Q 32

=

Por ser una parábola el área es

TyA c32=

Por condición de parábola

( )cc y

T

y

T

y

xp

822

2

222

===

c

2T

py= 2

cy( , )

y

T

x

2xy

23

43

7039,1

= Eq

350


De donde,

cpyT 8=

cc pyyA 832=

Reemplazando en la ecuación general de crisis se obtiene (ec. 7-44)

41

21

41

41

16427

g

Q

pyc

=

que es la expresión propuesta.

7.5 Sección triangular.

En cualquier sección transversal en condiciones críticas debe cumplirse la ecuación 7-11 (ola 7-12 que es su equivalente).

TA

gVc =

En el triángulo el área es

TyA c21=

Reemplazando esta ecuación del área en la expresión general de la velocidad crítica (7-12) seobtiene

yc

T

A1

z

351


cc gyV21= (7-45)

o bien,

cc gyV21=

que es la ecuación de la velocidad crítica en un canal triangular. De acá se obtiene

42

2cc y

gV = (7-46)

ecuación que puede compararse con la 7-24 y la 7-37.

Combinando la ecuación 7-46 con la definición de energía específica en condiciones críticasse obtiene

Eyc 54= (7-47)

Eg

Vc

51

2

2

= (7-48)

ecuaciones que muestran la proporción en la que se distribuye la energía específica encondiciones críticas en un canal triangular tal como se ve en la Figura 7.8.

Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular

yc

2 gV 2

c

54 E

E

51

E

352


El gasto en condiciones críticas es el gasto máximo.

cc gyTyAVQ21

21==

23

21

23

21

cyTgQ

= (7-49)

Si denominamos gasto específico q al gasto por unidad de ancho superficial TQq =

23

21

23

21

cygq

=

de donde, en el sistema métrico

23

7920,0 Eq = (7-50)

o bien,

32

9346,0 qyc = (7-51)

Se demuestra fácilmente que en un canal triangular en condiciones críticas el tirante es

4,02,02

=zQ

gyc (7-52)

siendo z el talud.

Como ilustración podríamos señalar que en un canal triangular de 90º ( z = 1) el tirante críticoen el sistema métrico es

4,07277,0 Qyc =

Veamos, sólo a título ilustrativo, otro método para obtener las condiciones críticas en uncanal triangular.

La energía específica es

gV

yE2

2

+=

De donde,

353


( )yEgV −= 2

Designemos por z el talud de la sección triangular. Su área es

2zyA =

Luego,

( )yEgzyAVQ −== 22

Para las condiciones críticas el gasto es máximo. Luego

0=dydQ

De acá se obtiene inmediatamente

Eyc 54=

verificando así la ecuación obtenida anteriormente y comprobando una vez más que lascondiciones críticas implican energía mínima para gasto constante y gasto máximo paraenergía constante.

Nota.En algunas de las ecuaciones en las que aparece la aceleración de la gravedad se hareemplazado ésta por su valor 9,8 m/s2, restringiendo así su uso al sistema métrico.

Sin embargo, como las fórmulas genéricas están dadas, es posible utilizarlas en cualquiersistema de unidades. Debe, sin embargo, observarse en que casos se ha reemplazadopreviamente el citado valor de la gravedad.

7.6 Sección trapecial

c

T

A1z

b

y

354


En cualquier sección transversal en régimen crítico debe cumplirse que (ec. 7-12)

TA

gVc =

En una sección trapecial se tiene, por consideraciones geométricas, las siguientes expresiones

( )yzybA +=

zybT 2+=

que al reemplazarse en la ecuación de la velocidad crítica dan

( )c

ccc zyb

yzybgV

2++= (7-53)

o bien,

cc

cc gy

zybzyb

V2+

+=

Como el primer radical siempre es menor que 1 se tiene que en un canal trapecial la velocidadcrítica es menor que la que tendría un canal rectangular del mismo tirante.

Esta es la expresión general de la velocidad crítica en un canal trapecial. Obsérvese que si

b = 0 se obtiene la velocidad crítica en una sección triangular y si z = 0 se obtiene la velocidad

crítica en una sección rectangular.

Si hubiéramos partido de la ecuación 7-11

TA

gQ 32

=

se tendría que las condiciones críticas en un canal trapecial están dadas por

( )g

Qzyb

yzyb

c

cc233

2=

++

(7-54)

Las ecuaciones 7-53 y 7-54 son equivalentes. Para resolver cualquiera de ellas se debe

355


recurrir a tanteos. Si el ancho en la base b y el talud z son datos, entonces se debe suponer

valores para el tirante hasta encontrar uno que satisfaga la ecuación 7-53 (ó la 7-54).

Se puede también obtener otra expresión para las condiciones críticas si expresamos el áreadel trapecio de la siguiente manera

cyTb

A2+=

valor que reemplazado en la ecuación 7-12 da

cc yTTb

gV2+= (7-55)

De donde,

EbT

Tbg

Vc

++=

52

2

(7-56)

EbT

Tyc +

=5

4 (7-57)

Obsérvese que siempre se cumple

EEbT

TE

54

54

32 <

+<

cy : (Rectángulo) (Trapecio) (Triángulo)

Esta figura muestra la proporción en la que se distribuye la energía en un canal trapecial encondiciones críticas. (Se observa que es función del talud).

cy

E

E

g2

2Vc

b + T

4T

5T + b

5T + bE

356


Veamos a título ilustrativo una expresión para el tirante crítico en un canal trapecial obtenidaa partir de la consideración de que en condiciones críticas el gasto es máximo.

La energía específica es

gV

yE2

2

+=

La velocidad es

( )yEgV −= 2

El gasto es

( ) ( )yEgyzybQ −+= 2 (7-58)

La condición crítica corresponde a gasto máximo (siendo constante la energía)

0=dydQ

Luego de derivar la ecuación 7-58 e igualar a cero y operar se obtiene

( ) 02435 2 =−−+ bEyzEbzy cc (7-59)

que es una expresión general para las condiciones críticas en un canal trapecial. Si en esta

expresión hacemos b = 0 se obtiene las condiciones críticas para un canal triangular y si

hacemos z = 0 se obtienen las condiciones críticas para un canal rectangular..

Si z no es cero se puede resolver la ecuación 7-59 llegando a

zbzEbEzbzE

yc 109161634 222 +++−= (7-60)

Abaco de Ven Te Chow

Ven Te Chow en su libro “Open-channel Hydraulics” presenta un gráfico (Figura 7.9) quepermite el cálculo rápido del tirante crítico. La precisión es la que corresponde a un métodográfico. Si se desea un cálculo más preciso puede usarse para obtener un valor aproximadoy luego proseguir con la ecuación 7-53 ó 7-54.

Para el cálculo, Ven Te Chow introduce una variable auxiliar Z que es

357


gQ

Z = (7-61)

Se entra al gráfico con el valor de 5,2b

Z y se obtiene el valor de

byc para cada valor del talud

z , (Figura 7.9).

Ejemplo 7.6 Hallar el tirante crítico para un caudal de 10 m3/s en un canal trapecial cuyo ancho en la

base es de 0,50 m. El talud es 3.

Solución. Si partimos de la expresión general g

Q

T

A 23

= se tiene, luego de reemplazar el gasto, que

TA 2,103 =

Luego,

( ) ( ) cccc yyyzybA 35,0 +=+=

cyT 65,0 +=

( ) ( )ccc yyy 65,02,1035,0 32 +=+

Para resolver esta ecuación procedemos por tanteos (o cualquier otro método numérico) obteniéndo

el valor del tirante crítico yc = 1,098 ≈ 1,10 m. Luego se puede calcular, a modo de comprobación y

análisis, otros valores:

2,5b

Z

b

yz

cy

bc

358

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canales

A = 4,18 m2

Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow)

0,00019

0,001 0,01 0,1 1432 765

0,01

10

0,02

0,030,04

0,060,080,1

0,2

1,00,80,6

0,40,3

2

1086

43

100,001 0,01 0,1 1

2,5D

Z

z = 2,0z = 2,5z = 3,0z = 4,0

z = 1,0z = 0,5

z = 0

(rectangular)

circular

Dy

y

b

1z

D

ób

y

100

(Secciones circulares)

(Secciones trapeciales)2,5b

Z

5 6 72 3 4 9 976432 5 976432 5 976432 5

z = 1,5

c

yc

359


A = 4,18 m2

Vc = 2,39 m/s,

g

Vc

2

2

= 0,29 m

g

VyE c

c 2

2

+= = 1,39 m

Obsérvese que también se cumple que cc gdV =

T

Ad c = = 0,59 m 59,08,9 ×=cV = 2,40 m/s

Se aprecia que Eyc 79,0= valor intermedio entre el rectángulo (2/3) y el triángulo (0,8) y casi igual a

este último, pues la figura es casi triangular.

También hubiéramos podido hacer el cálculo a partir del gráfico de Ven Te Chow.

Entonces,

19,3==g

QZ 18

5,2=

b

Z

De donde, (Figura 7.9),

2,2=b

yc yc = 1,10 m

A modo de comprobación se puede verificar que los valores obtenidos satisfacen las ecuaciones 7-47,

7-48 y 7-60.

0,29 m

1,10 m

0,50 m

31

21 % E

79 % E

Línea de energía

E = 1,39 m

360

Arturo RochaH

idráulica de tuberías y canalesTABLA 7.2

SECCIONES CRITICAS (g

VyE cc 2

2

+= )

(Sistema métrico)

RECTANGULO PARABOLA TRIANGULO TRAPECIO

E32 E

43 E

54 E

bTT+5

4

32

467,0 q 32

701,0 q 32

935,0 q 322467,0 q

TbT+

TIRANTE CRITICO cy

214

1

1456,0 Qp ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

52

728,0 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

zQ

zbzEbEzbzE

109161634 222 +++−

ENERGIA DE VELOCIDAD g

Vc

2

2

E31

E41

E51

EbTbT++

5

VELOCIDAD CRITICA cV cgy cgy816,0 cgy707,0 cgyT

bT2+

GASTO MAXIMO maxq 23

704,1 E 23

107,1 E 23

792,0 E 232

3

5854,8 E

bTTb⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

++

cy = 2x 2 py

T

b1

zz

1

T T T

yc

yc

yc

q =QT

361


7.7 Sección circular y otras secciones

Como en cualquier sección transversallas condiciones críticas vienen dadas porla ec. 7-11 ó 7-12. Consideremos laprimera de ellas

TA

gQ 32

=

En una sección circular el área es (ec.6-37)

( )θθ sen2

2

−= rA

Teniendo en cuenta las ecuaciones 6-43 y 7-9 se obtiene

( )

2sen

cos1θ

θ−== rdydA

T (7-62)

Esta última expresión es equivalente a la que aparece en la Tabla 6.11.

Reemplazando en la ecuación 7-11 se obtiene

( )( )

( )( ) 2

sencos1sen

82sen

cos1sen

8

35362 θθθθθ

θθθ

−−=

−−= r

rr

gQ

Haciendo 2D

r =

( )

( )θ

θθθ

cos12

sensen

2

3

8

52

−

−

= Dg

Q (7-63)

Esta ecuación puede compararse con la ec. 7-11a

Teniendo en cuenta consideraciones trigonométricas se puede sustituir

D

θyc

362


2sen2

2sen

cos1 θθθ =−

(7-64)

Luego,

( ) 25

21

23

4

2sen2

sen2

Dg

Q

−=θ

θθ (7-65)

En el sistema métrico

( ) 25

21

23

2sen

sen1383,0 DQ

−=θ

θθ (7-66)

Esta última expresión, en el sistema métrico, es la que da las condiciones críticas en unatubería circular parcialmente llena, la que hidráulicamente es un canal.

Dada una tubería de diámetro D se puede calcular para cada valor del gasto el correspondiente

ángulo θ que da condiciones críticas.

El tirante crítico es

−=

2cos1

2θDyc (7-67)

La ecuación 7-65 expresa que para las condiciones críticas existe una función

( )θφ=25

D

Q (7-68)

El gráfico de la Figura 7.10 permite resolver rápidamente la ecuación 7-65. Este gráfico datambién las condiciones críticas para otros conductos abovedados.

También puede emplearse el gráfico de Ven Te Chow (Figura 7.9) .

363

Energía específica y mom

entaC

apítulo VII

Ejem

plo 7.7 En un conducto circular el gasto es de 2 m3/s, el diám

etro es 1 m. C

alcular

Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas

D/2

DD/2

D

y y y

31 2 4

DD/2

y

0 1 2 3 4 5 6

0,25

0,50

0,75

1,00

1,25

1,50

0

0,10

0,20

0,30

0,10 0,20 0,30

12

34

4

3

2

1

yc

D

D

Q5/2

4 5 6

D

364


a) tirante críticob) velocidad críticac) energía mínimad) ángulo en el centro

Solución. Vamos a usar la Figura 7.10

225 =

D

Qo

oo yc = 0,81 m

A partir de la ecuación 7-67 encontramos el ángulo en el centro correspondiente

−=

2cos1

2θD

yc

2cos1

5,081,0 θ

−= θ = 256º 38’

θ = 4,4791 rad

El área es

( ) ( )9729,04791,4225,0

2

2

+=−= θθ senr

A

A = 0,6815 m2

Podría haberse obtenido el mismo resultado a partir de la Tabla 6.7

D

y = 0,81, 2D

A = 0,6815 o

oo A = 0,6815 m2

La velocidad crítica es

6815,02

==A

QVc = 2,93 m/s o

oo

g

Vc

2

2

= 0,44 m

La energía mínima es E = 0,81 + 0,44 = 1,25 m

Hay también la posibilidad de usar el gráfico de Ven Te Chow

g

QZ = = 0,64 ;

25

D

Z= 0,64 o

oo yc = 0,80 m

Podría también resolverse este problema sin ninguno de los dos gráficos mencionados. Siempre es

aplicable el método de tanteos (o cualquier otro método numérico) en secciones para las que no exista

gráficos especialmente preparados.

7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica

365


Mientras la velocidad de la corriente sea baja lo más probable es que estemos lejos de lascondiciones críticas.

Pero, cuando la pendiente es grande o cuando haya revestimientos muy lisos se puedeconseguir velocidades altas y acercarse o igualar las condiciones críticas.

En principio no hay inconveniente, desde el punto de vista puramente hidráulico, en tener unrégimen supercrítico. Las dificultades se originan en la necesidad de mantener el revestimientoy, por ejemplo, dar servicio a lo largo del canal.

Lo que si debe evitarse es el régimen crítico. En condiciones críticas el tirante normal es igualal tirante crítico. La pendiente correspondiente se llama pendiente crítica.

Cuando la pendiente es crítica la superficie libre es ondulada e inestable. Pequeñas variacionesde la energía específica dan lugar a perturbaciones e inestabilidades en el escurrimiento. Seproduce oleaje y “pequeños saltos imperfectos”.

Estas oscilaciones de la superficie libre no son recomendables, pues obligan a un borde libremayor.

Este problema ha sido estudiado, entre otros, por José Gandolfo, quien recomienda que unacondición de diseño sea

+≥

+

c

cc T

Ay

gV

y2

05,12

2

(7-69)

Cambiando la notación se podría escribir

+≥

205,1 c

c

dyE (7-70)

La pendiente crítica se calcula igualando la velocidad crítica (ec. 7-12) con una ecuación de lavelocidad normal. (Manning, Chezy, etc).

TAgVc =

nSR

V21

32

=

Igualando ambas expresiones se obtiene

366


TAgnSR c =

2

1

3

2

de donde,

34

2

R

nTA

gSc = (7-71)

que es la ecuación de la pendiente crítica, si se usa la fórmula de Manning.

Si hubiéramos empleado, por ejemplo, la ecuación de Chezy, entonces la pendiente críticasería

TP

Cg

Sc 2= (7-72)

En un canal muy ancho se puede considerar sin mayor error que el perímetro es igual al

ancho superficial, TP = .

entonces la ec. 7-72 queda reducida a

2Cg

Sc =

pero, 2

8C

gf = , de donde,

fgC 82 = , siendo f el coeficiente de fricción de Darcy. Luego,

8f

Sc = (7-73)

Ejemplo 7.8 En un canal rectangular de 1,80 m de ancho fluye un gasto de 5 m3/s. La rugosidad es de

0,018 (Kutter). ¿Cuál debe ser la pendiente para que se establezca un flujo crítico normal?

Solución. Como las condiciones deben ser críticas la velocidad es

cc gyV = (ec. 7-19)

Como el flujo debe ser normal, su velocidad se puede calcular por la fórmula de Manning, la que debe

ser igual a la crítica para cumplir la condición del problema de tener a la vez un tirante que sea crítico

y sea normal.

367


cgyn

SR =21

32

De donde,

El tirante crítico es según la ec. 7-27

3

2

g

qyc = = 0,92 m

El radio hidráulico correspondiente es 0,46 m. Reemplazando valores se obtiene

( )( )3

4

2

34

2

46,0

018,092,08,9 ×==

R

ngyS c

c = 0,0082

cS = 0,0082

Esta pendiente se denomina pendiente crítica. Es la que separa los ríos de los torrentes.

Lo que significa que en este canal se establece, con una pendiente de 0,0082, un movimiento uniforme,

cuyo tirante es igual al tirante crítico.

Si este canal tuviera una pendiente mayor que 0,0082 se establecería un flujo torrencial (supercrítico).

Ejemplo 7.9 En un canal de concreto

frotachado el gasto es de 3,86 m3/s. La

sección transversal es la mostrada en la

figura. Calcular: a) el tirante crítico y la

energía específica correspondiente, b) la

pendiente para que se establezca un flujo

crítico normal.

Solución.

a) La condición general de crisis es 5204,123

==g

Q

T

A

2

21

21

cc yTyA ==cyT =

De donde,

88

563c

c

c y

y

y

T

A==

c

T

A

45º

y

368


8

5cy

= 1,5204 ooo yc = 1,648 ≈ 1,65 m

358,186,3

==A

QVc = 2,84 m/s

g

V

2

2

= 0,412 ≈ 0,41 m

E = 1,65 + 0,41 = 2,06 m

Podría emplearse la ecuación 7-52,

4,02,04,02,0

5,086,322

=

=

gz

Q

gyc = 1,648 ≈ 1,65 m

siendo,

5,02

102

21 =+

=+

=zz

z

b) S es Sc cuando la velocidad correspondiente es la crítica

n

SRVV c

c

21

32

==

2cc yyP += = 3,9835 m

9835,33613,1

==P

AR = 0,3417 m

( )

015,0

3417,084,2

21

32

==c

c

S

V

Obteniéndose finalmente,

Sc = 0,0076

369


7.9 Pendiente crítica mínima (Pendiente límite, LS )

En un canal de geometría dada se puede establecer para cada gasto la pendiente críticacorrespondiente. De todas las pendientes críticas posibles hay, para determinada sección,

una que es la mínima. Se le llama pendiente límite ( LS ).

Si bien es cierto que el concepto de pendiente crítica mínima no parece tener mayor interéspráctico se presenta acá para favorecer el esclarecimiento teórico.

Examinemos en primer lugar un canal rectangular.

En general la pendiente crítica es (ec. 7-71)

34

2

R

nTA

gSc =

Para un canal rectangular es

( )31

34

34

2 2

c

cc

y

yb

b

gnS +==(7-74)

La pendiente crítica mínima se obtiene a partir de 0=c

c

dydS

Al derivar la ecuación 7-74 con respecto a y , igualar a cero y resolver se obtiene

cyb 6= (7-75)

de donde,

cyP 8= (7-76)

cyb

R43

8== (7-77)

que son las ecuaciones para el cálculo de la sección transversal correspondiente a la pendiente

límite LS .

Introduciendo la ecuación 7-75 en la 7-74 se llega a

3

1

2

38

b

gnS L = (7-78)

370


Si hubiéramos usado la ecuación de Chezy, entonces

234Cg

SL =

(7-79)si ahora introducimos el coeficiente de Darcy (ec. 3-2),

2

8C

gf = se llega a

6f

SL = (7-80)

El gasto que corresponde a la pendiente límite es

25

6 cygQ = (7-81)

Examinemos ahora una sección trapecial. La expresión general de la pendiente crítica es(ec. 7-71)

TA

PgnSc

31

34

2=

La pendiente límite se obtiene a partir de 0=c

c

dydS , teniendo en cuenta que

cyzbP 212 ++=

( ) cc yzybA +=

czybT 2+=

Reemplazando, derivando e igualando a cero, se obtiene después de algunas simplificaciones

dydT

dydP

PT

TA

34

2

−= (7-82)

que es la expresión general del área en un canal trapecial con pendiente crítica mínima. Si en

esta última expresión se hace z = 0 se obtiene 26 cyA = que es lo correcto para un canal

rectangular.

371


Ejemplo 7.10 Para un canal rectangular de 2,4 m de ancho, cuyo coeficiente de rugosidad de Kutter es

0,014, calcular la pendiente límite así como las características del escurrimiento para estas condiciones.

Solución. La pendiente límite SL, es decir la menor pendiente crítica posible es

(ec. 7-78)31

2

67,2b

gnSL = = 0,0038

Luego,

6b

yc = = 0,40 m

g

qyc

2

= ooo 3

cgyq = = 0,792 m3/s/m

(ec. 7-81) Q = 1,9 m3/s

cc gyV = = 1,98 m/s

Como verificación calculamos la velocidad media (condiciones normales)

n

SRV

21

32

= = 1,98 m/s

n

RC

61

= = 58,4 m1/2/s

2

8C

gf = = 0,0229

60229,0=LS = 0,0038

7.10 Transiciones

Como una aplicación del concepto de energía específica vamos a estudiar el perfil de lasuperficie libre en un canal en el que hay un cambio en la sección transversal. Este cambiopuede originarse en una pequeña grada de fondo, positiva o negativa, según que el fondoascienda o descienda. Las transiciones se originan también por un cambio en el ancho delcanal y se llaman contracciones si el ancho disminuye y expansiones si aumenta. Para elestudio del perfil de la superficie libre en una transición suponemos que la pérdida de carga es

372


despreciable. En consecuencia, cualquiera que sea la transición se tendrá que entre dossecciones 1 y 2 la ecuación de la energía es

ag

Vy

gV

y ++=+22

22

2

21

1 (7-83)

siendo a la altura de una grada (positiva o negativa). Si no existiera una grada de fondo,

entonces 0=a . La grada positiva significa una disminución de la energía específica y la

grada negativa un aumento. En ambas secciones debe cumplirse la ecuación de continuidad.

QAVAV == 2211

Si el ancho es constante y el cambio de la superficie libre se origina en una grada se observaen las Figuras 7.11, 7.12, 7.13 y 7.14 los perfiles, esquemáticos, de la superficie libre envarios casos.

La conclusión general es que, a gasto constante, una disminución de la energía específicasignifica una disminución del tirante en los ríos y un aumento del tirante en los torrentes. Porel contrario, un aumento de la energía específica significa un aumento del tirante en los ríos yuna disminución en los torrentes.

El valor máximo que puede tener una grada positiva, sin alterar la línea de energía, es el quecorresponde a un flujo crítico sobre ella. (Figura 7.15)

Curva yE − para diferentes caudales

Obsérvese en la Figura 7.16 como es que para diferentes valores del gasto se obtiene una

familia de curvas yE − . Es evidente que para un canal rectangular la recta que une el origen

con los vértices de las curvas tiene una pendiente igual a 2/3 (cada vértice corresponde a la

condición crítica del respectivo caudal).

373


Figura 7.11 Grada positiva en un río

Figura 7.12 Grada negativa en un río

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E2

a

Línea de energía

qE1 y1 y

2

E2

E 1

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c

E (Energía específica antes de la grada) y +1

1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un río una disminución de la

energía específica, a gasto constante,

implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y

y1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

qE 1

y2

y1

E1

E 2

a

y

Río (subcrítico, V <V ) y > yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un río un aumento de la


implica un aumento del tirante.

45º

E

1

E y +2 g2 2

2V 2

374


Figura 7.13 Grada positiva en un torrente

Figura 7.14 Grada negativa en un torrente

1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q

E1

y1

y2

E1

E2

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E - a1 2

Luego, E > E2 1

Del gráfico de la energía específica y < y2 1

En un torrente un aumento de la


implica una disminución del tirante.

45º

E

1

y

y1

2 gV 2

1

yc

2Vg2

2

y2

E 2

a

Línea de energía

q

E 1

y2 y

1

E 2

E 1

a

y

Torrente (supercrítico, V >V ) y < yc 1 c


1Vg2

2

Ecuación de la energía (1-2) E = E + a1 2

Luego, E < E2 1

Del gráfico de la energía específica y > y2 1

En un torrente una disminución de la


implica un aumento del tirante.

45º

E

1

375


Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva

Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales

2 gV 2

1

cVg2

2

yc

E min

a

Línea de energía

q

E

E min

E

a

y

Si a es máximo, la energía específica E = E + aC min max

sobre la grada debe ser mínima E = y + cVg2

2

El máximo valor de la grada, sin alterar

las condiciones aguas arriba, corresponde

a condiciones críticas (energía mínima).

45ºmax

V2 g

22

1y

y2

RIO

TORRENTE

RIO

max

TORRENTE

E

min c

y

45º

q < q < qE = y

V2 g

2

E = y +

1q

min

q2

3q

1 2 3

pendiente = 2/3(canal rectangular)

E (1)

321

E (2)min

E (3)min

376


Ejemplo 7.11 En un canal rectangular el ancho se reduce de 4 a 3 m y el fondo se levanta 0,25 m (grada

positiva). Aguas arriba la profundidad de la corriente es 2,80 m. En la zona contraída la superficie libre

desciende 0,10 m. Calcular el caudal, dibujar el perfil de la superficie libre y el gráfico de la energía

específica. Calcular también cual es el máximo valor que podría tener la grada para que circule el mismo

gasto sin alterar la línea de energía. ¿Cuál sería en este caso la depresión de la superficie libre?

Solución.

Aplicamos la ecuación de la energía entre las secciones 1 y 2 que corresponden a los anchos de 4 y 3 m,

respectivamente

25,02

45,22

80,22

22

1 ++=+g

V

g

V

Por continuidad,

2,114 11

1

Q

y

Q

A

QV ===

35,73 2

2

Q

y

QV ==

Reemplazando en la ecuación de la energía se obtiene

Q = 13,64 m3/s

Efectuando las operaciones indicadas se tiene que

1V = 1,22 m/s; 2V = 1,86 m/s;g

V

2

21

= 0,08 m;g

V

2

22

= 0,18 m

4,0 m 3,0 mq = 3,41 m /s/m1

3 q = 4,55 m /s/m23

Línea de energía0,08 m

0,10 m

y = 1,28 mc2

2,45 m2,63 m

0,25 m

cy = 1,06 m1

2,88 m 2,80 m3Q = 13 ,64 m /s

45º

2,80 m

2,88 m

1,06 m

1,59 m

1,06 m 0,53 m

E

y

377


De donde,

g

VyE

2

21

11 += = 2,88 m

g

VyE

2

22

22 += = 2,63 m

Como referencia se puede calcular los números de Froude y los tirantes críticos

1F = 0,23 ; 2F = 0,38 ; 1cy = 1,06 m ; 2cy = 1,28 m

Obsérvese que el gasto específico q cambia al pasar a la zona contraída.

El máximo valor a de la grada corresponde a condiciones críticas sobre ella. Como el tirante crítico es

1,28 m y la sección es rectangular la energía específica es cy23

, o sea, 1,92 m. La ecuación de la energía

es

maxmin1 aEE +=

2,88 = 1,92 + maxa

maxa = 0,96 m

La depresión de la superficie libre es 0,56 m

7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energíaespecífica

Si al extremo de un canal se produce una caída como la mostrada en la Figura 7.17, hay uncambio de régimen: se pasa de un movimiento uniforme a un movimiento gradualmente variado,y por último, sobre el plano de la grada hay un movimiento rápidamente variado.

En una sección cualquiera ubicada aguas arriba la energía es E . Al desplazarnos hacia la

caída la energía específica va disminuyendo hasta llegar a minE , (lo que ocurre teóricamente

sobre el plano de la grada y corresponde a condiciones críticas).

Sobre la grada el tirante no puede ser menor que el crítico pues esto implicaría un aumento deenergía.

Sobre la grada la energía es mínima, pero el tirante que hay sobre ella no es el tirante críticoque se obtendría al aplicar las ecuaciones hasta ahora establecidas. Ello se debe a que sobreel plano de la grada el movimiento es rápidamente variado y por lo tanto no es aceptable lasuposición de una distribución hidrostática de presiones.

378


Rouse, determinó que para canales de pequeña pendiente la profundidad crítica es 1,4 vecesel tirante sobre la grada.

El tirante crítico, calculado con las fórmulas usuales, se ubica a una distancia de cy3 a cy4 ,

aproximadamente, aguas arriba de la grada.

7.12 Fuerza Específica (Momenta)

La segunda Ley del movimientode Newton dice que el cambiode la cantidad de movimiento porunidad de tiempo es igual a laresultante de las fuerzasexteriores.

Consideremos un canal con unflujo permanente cualquiera y unvolumen de control limitado pordos secciones transversales 1 y2, la superficie libre y el fondodel canal, tal como se ve en laFigura 7.18.

Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento (segunda ley del movimiento de Newton)entre las secciones 1 y 2 se obtiene

( ) fFWsenPPVVQ −+−=− θββρ 211122 (7-84)

Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la EnergíaEspecífica

L

y1

y2

Wsenθ

P1 P2

Q

Ff

1 2

Figura 7.18 Gráfico para la deducción de la ecuaciónde la Fuerza Específica.

y

E

yc

≈ 3,5yc

ENERGIAMINIMA

E min

379


expresión en la que: ρ densidad del fluido; Q gasto; β coeficiente de Boussinesq; Vvelocidad media; P fuerza hidrostática; W peso; fF fuerza debida a la fricción; θ ángulo

que corresponde a la pendiente del canal; L longitud; W senθ componente del peso en la

dirección del escurrimiento; y es el tirante.

En la ecuación 7-84 se ha considerado una distribución hidrostática de presiones lo que esválido para el movimiento uniforme y aproximadamente válido en el movimiento gradualmentevariado. En consecuencia, las secciones 1 y 2 deben escogerse de tal manera que en cadauna de ellas sea aplicable la ley hidrostática.

Obsérvese que la ecuación 7-84 es diferente a la ecuación de la energía.

En la ecuación de la cantidad de movimiento están involucradas las fuerzas exteriores, entanto que en la ecuación de la energía se expresa la disipación de energía interna.

Analicemos la ecuación de la cantidad de movimiento para un canal horizontal en el que el

volumen de control tenga peso y fricción despreciables y en el que 121 == ββ . Entonces la

ecuación 7-84 se reduce a

( ) 2112 PPVVQ −=− ρ (7-85)

La fuerza hidrostática P es Ayγ , siendo y la profundidad del centro de gravedad.

Introduciendo este valor de la fuerza hidrostática en la ecuación 7-85 y haciendo algunos

reemplazos se llega a

222

2

111

2

AygAQ

AygAQ +=+ (7-86)

Como los dos miembros son análogos se puede escribir

AygAQ +

2

= constante = Fuerza Específica = Momenta (7-87)

que es la ecuación de la Fuerza Específica o Momenta.

Cada uno de los dos términos de la ecuación de la Fuerza Específica es dimensionalmenteuna fuerza por unidad de peso de agua.

380


gAQ 2

es la cantidad de movimiento del fluido que pasa por la sección, por unidad de tiempo y

por unidad de peso.

Ay es la fuerza hidrostática por unidad de peso.

A la suma de ambos términos se le llama Fuerza Específica o Momenta

El gráfico de la Fuerza Específica es

Se observa que para una Fuerza Específica dada hay dos tirantes posibles 1y e 2y . Los

tirantes que corresponden a la misma Fuerza Específica se denominan conjugados.

En el mismo gráfico se aprecia que la Fuerza Específica tiene un mínimo

( ) ( )0

..2

2

=+−=dy

AyddydA

gAQ

dyEFd

De donde, luego de un desarrollo matemático, se obtiene que

Figura 7.19 Fuerza Específica

RIO

TORRENTE

y2

F. E.Fuerza específica

(Momenta)

yc

y1

M

yTirante F. E. mínima

ec. 7-87

381


22

2 dg

V =

que se puede comparar con la ecuación 7-14.

Obteniéndose así la importante conclusión que la Fuerza Específica mínima corresponde acondiciones críticas.

Como una aplicación de la ecuación de la Fuerza Específica a un caso particular se puedeexaminar un canal rectangular en el que

bqQ = ; 11 byA = ; 22 byA =

21

1

yy = ;

22

2

yy =

siendo b el ancho del canal.

Efectuando estos reemplazos en la ecuación 7-86 y operando se llega luego de algunassimplificaciones a

( )2121

2

21

yyyygq += (7-88)

Pero, en un canal rectangular el tirante crítico es

3

2

gq

yc =

valor que sustituido en 7-88 nos da

( )21213

21

yyyyyc += (7-89)

Siendo 1y e 2y tirantes conjugados (es decir que tienen la misma Fuerza Específica).

382


7.13 Salto hidráulico

El salto hidráulico es el paso violento de un régimen supercrítico a uno subcrítico con grandisipación de energía. También se le llama resalto. Esquemáticamente se ve en la Figura 7.20.

fhEE += 21 ( ) ( )21 .... EFEF =

La Fuerza Específica es la misma antes del salto y después del salto. Por lo tanto 1y e 2y

son tirantes conjugados. La energía específica disminuye de 1E a 2E .

Salto hidráulico en un canal rectangular

Partimos de la ecuación 7-88

( )2121

2

21

yyyygq +=

Se divide ambos miembros por 31y , y luego de algunas sustituciones se llega a

+=

1

2

1

2

1

21 1

21

yy

yy

gyV

De donde,

+=

1

2

1

221 1

21

yy

yy

F

Figura 7.20 Salto hidráulico

2 g

2E

2V2

y2

fh = (∆E)1-2

RIO

TORRENTESALTO

1y

g2

2V1

E1

Línea de energía

383


De acá se obtiene una ecuación en 1

2

yy

02 21

1

2

2

1

2 =−+

F

yy

yy

Resolviendo esta ecuación se obtiene

( )18121 2

11

2 −+= Fyy

(7-90)

Que es la ecuación de un salto hidráulico en un canal rectangular. La relación entre los

tirantes conjugados 1

2

yy es función exclusiva del número de Froude incidente

( )11

2 Fyy ϕ=

Este resultado es sumamente importante para los estudios en modelo hidráulico.

Basta con tener el mismo número de Froude en el modelo y en el prototipo para que, si es quehay suficiente turbulencia en el modelo, haya similitud.

El salto hidráulico es un movimiento rápidamente variado, con fuerte curvatura de las líneas decorriente. Se caracteriza por la gran disipación de energía. Se puede describir como el pasoviolento de un régimen supercrítico a uno subcrítico.

El salto hidráulico es un fenómeno tridimensional que presenta grandes fluctuaciones de lavelocidad y de la presión en cada punto; es decir que tiene un alto grado de turbulencia, lo quese traduce en una alta capacidad de mezcla. En un salto hidráulico se produce también laincorporación de aire a la masa líquida.

El salto produce oleaje, que se propaga hacia aguas abajo.

Para la elaboración de un modelo matemático del salto hidráulico es necesario hacer muchassimplicaciones. Así por ejemplo, la ecuación 7-90 es sólo una aproximación, una representaciónesquemática, del modo como ocurren los fenómenos.

Sin embargo, cuando se estudia estructuras muy grandes, no se puede despreciar los efectosde las fluctuaciones instantáneas de la presión. Las presiones consideradas como un promediotemporal son en este caso de poca utilidad.

384


En un salto hidráulico es posible que las fluctuaciones instantáneas de presión tengan valorestan altos, que de no tomarse en cuenta en los cálculos podrían conducir a la falla total de laestructura.

Lopardo, investigador argentino, cita lo ocurrido con las presas: Blustone, Calyton, Alamogordo,Glendo, Bonneville, señalando que “estos ejemplos son más que suficientes para llamar laatención de los proyectistas acerca de la necesidad de conocer con mayor aproximación lassolicitaciones variables”.

Las fluctuaciones son esencialmente aleatorias. Se pueden describir por medio de su frecuenciay amplitud.

Tipos de salto

En función del número de Froude y según el U. S. Bureau of Reclamation se distingue lossiguientes tipos de salto

1=F Flujo crítico, no hay salto

7,11 << F “salto ondular” (la superficie libre presenta ondulaciones)

5,27,1 << F “salto débil”. La disipación de energía es pequeña

5,45,2 << F “salto oscilante”. Se produce el efecto de chorro. Hay ondas superficiales

95,4 << F “salto permanente o fijo”. Buena disipación de energía (45 - 70 %)

9>F “salto fuerte”. Gran disipación de energía (85 %)

Pérdida de energía en el salto

La perdida de energía en el salto hidráulico se define así

+−

+=

gV

yg

Vyh f 22

21

1

22

2 (7-91)

expresión que aplicada a un canal rectangular da lugar luego de algunas pequeñastransformaciones a

( )21

312

21 4 yyyy

EEhE f

−=−==∆ (7-92)

385


Eficiencia

Se denomina eficiencia de un salto hidráulico a la relación entre la energía específica despuésdel salto y la que hay antes de él.

( )( )2

12

1

21

23

21

1

2

281418

FFFF

EE

++−+=

(7-93)

La pérdida de energía relativa es

11

21EE

EE ∆=− (7-93a)

Altura del salto ( ih )

La altura del salto se define como la diferencia entre los tirantes después y antes del salto

( 12 yyhi −= )

Se demuestra fácilmente que

2

3812

1

21

1 +−+

=F

F

Ehi

(7-94)

Longitud del salto ( L )

La longitud del salto depende de muchos factores (pendiente del canal, número de Froude,etc.). Aproximadamente se tiene que

( )129,6 yyL −= (7-95)

En algunos casos para fijar el salto y disminuir su longitud se colocan dados o bloques.

Oleaje

En un salto hidráulico se producen ondas que se propagan hacia aguas abajo. Sus alturas y

periodos dependen del número de Froude incidente. Se designa como SH a la altura

significativa (promedio del tercio superior). Lopardo y Vernet han encontrado que

( )161

11

−= Fy

H S (7-96)

Para 71 ≤F

386


Ejemplos de salto hidráulico

Línea de energía

g2V1

2

y1

h = E - Ef 1 2

g2V 2

2

2y

L

Canal

ColchónDispipador

Rápida

1y 2

y

Vertedero Oleaje

yn

yn

yn

Línea de energía

y1ay2

E

Compuerta

y1

yny

S

Para vencer un desnivel se construye una

rápida. Al final de ella debe disiparse

la energía. El salto hidráulico actúa como

un disipador de energía

a)

b)

En un río se costruye una presa derivadora

(barraje) para elevar el nivel del agua

en época de estiaje. La energía se disipa

por medio de un salto hidráulico.

c)

Si en un canal se coloca una compuerta

que deja una abertura en la parte inferior

se produce aguas abajo un salto hidráulico.

En la figura se observa el llamado

salto hidráulico libre.

d)

Si el tirante normal aguas abajo es mayor

que y se produce el llamado salto

hidráulico ahogado.2

(y es el tirante normal aguas abajo)n

387


7.14 Descarga por una compuerta de fondo

Como una aplicación del concepto de energía específica examinaremos brevemente el flujo através de una compuerta plana de fondo.

Consideremos un fondo plano e ignoremos la pérdida de carga.

La energía específica en una sección ubicada inmediatamente aguas arriba de la compuertadebe ser igual a la energía específica en otra sección ubicada inmediatamente aguas abajo.

Sea a la abertura de la compuerta, cc el coeficiente de contracción. Entonces acy c=2 . La

ecuación de la energía específica es

gV

yg

Vy

22

22

2

21

1 +=+

Por cierto que debe cumplirse la ecuación de continuidad

QAVAV == 2211

Estas dos ecuaciones permiten resolver totalmente el flujo bajo la compuerta.

Evidentemente que si la pérdida de carga es importante habrá que tomarla en cuenta

fhg

Vy

gV

y ++=+22

22

2

21

1

En ambos casos se ha supuesto que el coeficiente de Coriolis es igual a 1.

La descarga bajo una compuerta sumergida puede tener diversas características, según las

Figura 7.21 Descarga por una compuerta de fondo

Línea de energía

a y2

E

21

g2V

V 2

g22

y1

388


condiciones de aguas abajo. Ellas son

a) No se forma salto

b) Se forma un salto libre

c) Se forma un salto sumergido (ahogado)

Ejemplo 7.12 Aplicando el teorema de la cantidad de movimiento y la ecuación de continuidad para el

análisis de un salto hidráulico sumergido, como el que puede ocurrir a la salida de una compuerta en

un canal rectangular, demostrar que se cumple la siguiente expresión

−+=

1

222

2

121yy

Fyys

Siendo ys el tirante inmediatamente aguas abajo de la compuerta, y1 la abertura de la compuerta, y2 el

tirante aguas abajo del salto, q el gasto por unidad de ancho, F2 el número de Froude aguas abajo del

salto. Despréciese la fricción en el canal.

Solución. Por continuidad, 2211 yVyV = . Aplicando la ecuación de la cantidad de movimiento (ec. 7-

85) entre las secciones 1 y 2 (ver Figura d, ejemplos de salto hidráulico).

( )1221 VVQPP −=− ρ

Reemplazando la fuerza hidrostática P e introduciendo la ecuación de continuidad se obtiene

( ) ( )122222

2

21

VVyVg

yys −=−γ

γ

Efectuando algunas sustituciones y operaciones se llega a

( )122

222

2

121

VVy

V

gy

y s −=

− γγ

−=−

2

1222

2

2

121V

VF

y

y s

Obteniéndose finalmente la expresión propuesta.

389


PROBLEMAS PROPUESTOS

(Capítulo VII)

1. En un canal rectangular de 3 m de ancho circula un caudal de 7,5 m3/s. Calcular el tirantecrítico, la velocidad y la energía correspondiente. Verificar que se cumplen las ecuaciones7-25 y 7-26.

2. Demostrar que un canal rectangular que conduce un gasto Q en condiciones críticas, debetener un tirante igual a los 3/4 del ancho para que el perímetro sea mínimo.

3. En un canal rectangular se tiene los siguientes datos

Q = 12 m3/s ; b = 6 m ; S = 0,315 n = 0,0125

Calcular

a) el tirante normalb) la energía específica correspondiente al flujo uniforme

c) el gasto máximo que podría ser transportado con la energía calculada en b

Verificar que se cumple la ecuación 7-14.

4. En un canal rectangular la energía especifica es 2,3 m. Hacer una tabla y graficar los diferentesvalores que puede tomar el tirante en función del gasto. Hallar la altura de río y de torrente paraq = 4 m3/s/m. ¿Cuál es el gasto máximo que puede ser conducido?

5. Se tiene un canal rectangular de 8 m de ancho y rugosidad 65 de Strickler. ¿Cuál será lapendiente crítica, el tirante normal correspondiente y la energía específica mínima cuando elgasto sea de 6 m3/s?

Si este canal tuviera una pendiente mayor que la crítica ¿qué tipo de flujo se establecería enél? (¿Río o torrente?) ¿Por qué?

6. En un canal rectangular el tirante es 0,75 m y la velocidad es de 1,15 m/s. Se deja caer unapiedra en el canal. Calcular las velocidades de propagación, hacia aguas arriba y aguasabajo, de las ondas superficiales producidas.

7. Demostrar que en un canal rectangular se cumple entre los tirantes alternos 1y e 2y la

siguiente relación 22

21

22

2

1

++=

FF

yy

390


8. Demostrar que en un canal rectangular de máxima eficiencia hidráulica la pendiente

crítica es 24,6943

1

2 f

y

n

c

= ( g = 9,8 m/s2)

9. Demostrar que en un canal rectangular en condiciones críticas son aplicables, en el sistemamétrico, las siguientes ecuaciones

a) 23

13,3 cmax yq = b) 21

21

56,213,3 mincc EyV ==

c) d)

e)

10. En un canal parabólico la velocidad crítica es de 3,95 m/s. El gasto es de 12 m3/s. ¿Cuál es laecuación de la parábola. Mostrar que se cumplen las ecuaciones 7-11, 7-38, 7-39 y 7-44.

11. Demostrar que en un canal de sección parabólica cuya ecuación es yx 162 = , la energíaespecífica mínima es 0,3611 21Q .

12. Hallar el tirante crítico para elcanal de la figura. El gasto es de8 m3/s. ¿Cuál es la energía quecorresponde a las condicionescríticas? Demostrar que secumplen las ecuaciones 7-14,7-56 y 7-57.

13. Un canal trapecial revestido en concreto tiene un coeficiente C de Chezy igual a 55 m1/2/s yconduce un gasto de 10 m 3/s (talud 45º; ancho en el fondo 2,5 m). Calcular para qué pendientese establecerá un movimiento uniforme con el mínimo contenido de energía. Si en estascondiciones de pendiente crítica se presenta un gasto menor que 10 m3/s, ¿qué tipo de flujose establecerá?

14. Un gasto de 28 m3/s escurre en un canal trapecial (b = 3 m, z = 2, n = 0,017). Calcular lapendiente crítica y el tirante crítico. ¿Qué porcentaje de la energía mínima corresponde a laenergía cinética? Demostrar que se cumple la condición dada por el ejemplo 7.1.

yc

45º 60º

2,20 m

3 27,0 maxmin qE =

3max c q2,14V =

3 2467,0 maxc qy =

391


15. ¿Cuál debe ser la pendiente del canalmostrado en la figura para que seproduzca un movimiento uniformecon el mínimo contenido de energíapara un gasto de 3,5 m3/s, y sabiendoque la rugosidad del contornocorresponde a G = 0,46 en la fórmulade Bazin?.

Si por una razón u otra el contorno fuera más rugoso de lo señalado, indicar que tipo de flujose presentaría con la pendiente crítica calculada.

16. Se tiene un canal trapecial cuyo ancho en la base es de 4 m. El talud es de 45º. La longitud delcanal entre los puntos A y B es de 1 000 m. La cota del punto A es 864,30 m y la cota del puntoB es 863,70 m. El gasto es de 10 m3/s. Considerar que el coeficiente n de Kutter es 0,020.

Calcular

a) el tirante normal

b) el tirante crítico

c) la pendiente crítica

d) la pendiente crítica para un tirante normal de 1 m y el gasto correspondiente

(Las cotas están medidas sobre la superficie libre).

17. En un canal trapecial los taludes tienen una inclinación z = 4/3. El canal es de concreto( n = 0,015). La pendiente es 0,004. Si el canal está trabajando en condiciones de máximaeficiencia hidráulica, hallar

a) el caudal, de forma tal que la energía específica sea mínima y el valor de dicha energía

b) la energía específica cuando el gasto sea de 15 m3/s

18. Un canal trapecial revestido en concreto ( C = 60 m1/2/s) conduce un gasto de 8 m3/s

a) establecer si este flujo es un río o un torrente

b) ¿Cuál debería ser la pendiente para que conduciendo el mismo gasto, éste sea crítico?

(Talud 60º ; tirante 0,80 m; ancho en el fondo 3 m)

19. Demostrar que los resultados del ejemplo 7.6 son compatibles con la ecuación 7-60.

20. Un canal trapecial tiene un ancho en el fondo de 2,80 m. El talud es de 45º. El gasto es de 8 m 3/s.Determinar si el flujo es torrencial o tranquilo. El tirante es 1,80 m.

c

45º

3,00 m

y

392


21. Calcular la altura de río y de torrente quepodrían producirse en el canal cuya secciónaparece en la figura, para un gasto de 6,5m3/s y una energía específica de 3,14 m.Calcular también para cada uno de los dosregímenes, el número de Froude y elcorrespondiente valor de dydE en la curva

yE − . Dibujar la curva yE − y verificartodos los valores calculados, así como lascondiciones críticas.

22. ¿Cuál debe ser el ancho en la base de un canal trapecial cuyo talud es 2 para que un gasto de30 m3/s dé un tirante crítico normal de 1,25 m?

23. Demostrar que el tirante crítico en un sección triangular es

(ec. 7-52)4,02,0

2

=zQ

gyc

24. En un canal triangular el tirante es de 0,40 m. La velocidad es de 2,50 m/s.¿Cuál es la energía específica? ¿Cuáles son el tirante y la velocidad cuando con la mismaenergía el gasto es máximo? ¿Cuál debe ser al ángulo en el vértice para que este gastomáximo sea de 321,8 l/s?.

25. Demostrar que la velocidad crítica en un canal triangular de 90º ( z = 1) es

2,08883,1 QVc =

26. Para el canal mostradoen la figura ¿Cuál es eltirante crítico para ungasto de 12 364 l/s?¿Cuál debe ser elcoeficiente n de Kutterpara que con unapendiente de 0,0022 seestablezca un flujocrítico normal?

c

1:2

1,50 m1:1

1:1

90º

y

1

1,00 m

0,25

393


27. En un canal de sección circular de 3 m de diámetro fluye un gasto de 15 m3/s, con un tirantede 1,20 m. Hallar el tirante alterno, el número de Froude correspondiente a cada uno de losregímenes, el tirante crítico, la velocidad crítica y la energía mínima para que escurra el gastomencionado. Verificar que se cumple las ecuaciones 7-66 y 7-67. Como comprobaciónhacer el cálculo con la Figura 7.10.

28. Un acueducto de sección cuadrada, una de cuyas diagonales es vertical, lleva un gasto de6 m 3/s con un mínimo contenido de energía. ¿Cuánto debe medir el lado L del cuadradopara que el tirante sea el 75 % del tirante máximo? ¿Cuál es la energía?

29. Demostrar que a energía constante, para un mismo gasto, hay dos regímenes posibles: río ytorrente. Entre los tirantes respectivos debe cumplirse que

++=

2

2 8114 R

R

R

T

FF

yy

o bien,

++=

2

2 8114 T

T

T

R

FF

yy

RF y TF son los números de Froude para río y torrente. ¿Qué ocurre cuando RF = TF =1?

30. Un canal rectangular pasa de una sección de 1,20 m de ancho a otra de 1,80 m de ancho,por medio de una transición suave en las paredes del canal. El fondo no sufre ningunaalteración. El gasto es de 2,1 m3/s. El tirante en la segunda sección es de 1,15 m. Hallar eltirante en la primera sección, considerando que aguas arriba hay un régimen subcrítico.Dibujar el perfil de la superficie libre.

31. En un canal rectangular de flujo torrencial cuyo tirante es de 0,40 m y la velocidad es2,75 m/s se desea saber cual debe ser la sobreelevación de una grada de fondo para que seproduzca un régimen crítico.

32. Un canal rectangular muy ancho conduce un gasto de 4 m3/s/m. Calcular cual es lamáxima sobreelevación que puede tener una grada de fondo para no afectar las condicionesde aguas arriba. El tirante normal es 2,50 m.

33. Por un canal rectangular de 5 m de ancho escurre un caudal de 10 m3/s. En el canal seproduce un resalto hidráulico. Si el número de Froude antes del resalto es 10 veces mayorque el que hay después del resalto, hallara) el tirante crítico b) el tirante antes del resaltoc) el tirante después del resalto d) la fuerza específica (momenta)e) la energía disipada en el resalto f) la potencia del resalto en HP

394


34. En un canal rectangular de 2 m de ancho se produce un salto hidráulico en el cual la disipaciónde energía corresponde a una potencia de 31,2 HP. El tirante inicial es 0,60 m. Hallar el tirantedespués del salto y el gasto.

35. En un canal rectangular de 5 m de ancho se produce un salto hidráulico que disipa el 40 % dela energía. Si el gasto es de 20 m3/s, hallar los tirantes antes y después del salto.

36. Demostrar (detalladamente, fundamentando cada paso) que en un canal rectangular en elque se produce un salto hidráulico, cuyos tirantes conjugados son 1y e 2y , se cumple que

2381

21

21

1

12

+−+

=−F

FE

yy

siendo 1E y 1F la energía específica y el número de Froude antes del salto.

37. En un canal rectangular cuyo tirante normal es de 1,50 m se coloca una compuerta que dejaen el fondo una abertura de 0,50 m. El coeficiente de contracción del tirante en la compuertaes de 0,6. Calcular la fuerza que soporta la compuerta por unidad de ancho del canal. Noconsiderar la fricción.

38. En un canal rectangular de 0,75 m de ancho se ha colocado una compuerta plana verticalque descarga por el fondo una vena líquida cuya altura es de 0,25 m y que luego forma unresalto. Aguas arriba de la compuerta la altura del agua es de 0,10 m. Calcular

a) el caudal b) la fuerza sobre la compuertac) la altura conjugada del resalto d) la energía disipadae) la pendiente que debería tener el canal aguas abajo del salto ( n = 0,015)f) la altura y la eficiencia del salto

No considerar la fricción.

39. Dibujar para un canal rectangular las siguientes curvas

a) yE − para q = 5 m3/s/mb) yEF −.. para q = 5 m3/s/mc) yq − para E = 4 m

Calcular los mínimos o máximos en cada caso. Considerar en el intervalo 80,20 ≤≤ y m,valores de y∆ = 0,50 m.

40. Demostrar que en un canal rectangular la Fuerza Específica (Momenta) es

22

21

ygyq +

ENERGIA ESPECIFICA MOMENTO

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