ENERGIA ESPECÍFICA Y TIRANTE CRÍTICO

FREDDY JIMÉNEZ VARGAS

ALEXANDER LIMA ELLES

VICTOR SOLANO

JORGE LOBO

TRABAJO PRESENTADO EN LA ASIGNATURA LABORATORIO DE HIDRÁULICA

INGENIERO: BLADIMIR SALCEDO

UNIVERSIDAD DE LA COSTA CUC

FACULTAD DE INGENIERÍAS

BARRANQUILLA – ATLÁNTICO

30/09/2013

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

1. Introducción………………………..………………………………………….….…3

2. Objetivos………………………..……………………………...…………………....4

2.1. General………………….………………………………..……………………..4

2.2. Específicos…………….…………………………………………………....….4

3. Marco teórico………………….…………………….………………….........…..5-7

4. Equipos…………………………………………………………………………..8-10

5. Procedimiento……………………………………………………………………..11

6. Cálculos y procedimientos matemáticos……………………………………12-17

7. Análisis de resultados…………………………………………………………….18

8. Conclusión……………….……………………………………..…………..….......19

9. Bibliografía……………….………………………………………..……………….20

10. Anexos……………………………………………………………………………...21

OBJETIVOS

General

Hallar la energía específica mínima de la grafica 𝑌 𝑣𝑠 𝐸𝑠.

Específicos

Saber de dónde sale la ecuación de la profundidad critica 𝒀𝒄.

Aprender a calcular la energía especifica mínima por medio de la curva de la

grafica 𝑌 𝑣𝑠 𝐸𝑠.

Analizar la gráfica cuando en la profundidad crítica esta se encuentra la energía mínima.

INTRODUCCIÓN

En hidráulica de canales, el régimen que presenta una corriente es crítico, cuando la

energía específica con la que circula el agua es mínima. Nos enfocaremos en la

aplicación de la ecuación de energía, cuando la energía está medida con respecto al

fondo del canal.

Analíticamente es posible predecir el comportamiento del agua en el canal rectangular, y

poder comprobar que tanto se aproxima la teoría a la realidad observada

experimentalmente.

En la experiencia de la energía especifica en canales, se trabajó con un caudal

constante, en cada sección de una canalización rectangular, obtuvimos un tirante y con

este un valor de energía específica, moviéndose el agua de mayor a menor energía con

un gradiente, en este caso, coincide con la pendiente de energía.

A partir de estos tirantes podemos determinar la relación existente entre la energía

especifica en un canal rectangular y tirante; asimismo comprobar mediante cálculos

teóricos valores de energía mínima y tirantes críticos.

MARCO TEÓRICO

La experiencia se trata de relacionar la energía específica de un canal rectangular con el

tirante, con el objetivo de hallar la energía especifica mínima donde tenemos la

profundidad critica hallada con la ecuación del 𝑌𝑐

ENERGÍA ESPECÍFICA:

La energía total en una sección cualquiera de un flujo se expresa por medio de la suma

de las energías de posición y cinética, es decir:

𝐻 = 𝐸𝑝𝑜𝑠𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛 + 𝐸𝑐𝑖𝑛𝑒𝑡𝑖𝑐𝑎 = [𝑍 +𝑃

𝛾] +

𝑉2

2𝑔

Entonces la Energía Especifica está definida como la energía por unidades de peso

(𝑚𝑘𝑔

𝑘𝑔), luego, considerando el fondo del canal como plano de referencia (𝑍 = 0), y como

la carga de presión en el fondo del canal está dado por el tirante, 𝑌 =𝑃

𝛾

Mediante la ecuación de la energía específica se pueden resolver los más complejos

problemas de transiciones cortas en las que los efectos de rozamiento son despreciables.

Quedándonos la ecuación de la energía especifica de la siguiente manera.

𝐸𝑠 = 𝑌 +𝑉2

2𝑔

Donde;

𝐸 ∶ Energía específica.

𝑌 ∶ Profundidad de la lámina del líquido.

𝑉 ∶ Velocidad media del flujo.

𝑔 ∶ Aceleración de la gravedad.

Y como de la ecuación de continuidad tenemos que el caudal (𝑄 = 𝐴𝑉), ahora

despejando la velocidad tenemos que.

𝑉 =𝑄

𝐴

En un canal rectangular el Área es base por altura, siendo en nuestra figura (ℎ = 𝑦)

entonces: 𝐴 = 𝑏 ∗ 𝑦

Ahora remplazando la velocidad (𝑉) y el Área de un rectángulo (𝐴) en la ecuación de

energía específica tenemos:

𝐸 = 𝑌 +𝑄2

2𝑔𝑏2𝑦2

Para canales rectangulares, se utiliza el caudal por unidad de ancho, 𝑞 = 𝑄/𝑏, la

ecuación anterior se transforma así:

𝐸 = 𝑌 +𝑞2

2𝑔𝑦2 ⇒ 𝐸 = 𝑌 +

𝑞2

2𝑔𝑦−2

𝑞 ∶ Caudal por unidad de ancho.

𝑏 ∶ Ancho de la solera del canal.

Suponiendo que Q es constante y A es función del tirante, la energía especifica es función

únicamente del tirante, y su variación se muestra en la siguiente figura:

Diagrama de energía especifica.

En la figura anterior se presenta un valor mínimo de la energía específica para una única

profundidad crítica 𝑌𝑐. Para valores de energías específicas mayores que la mínima, el

flujo se puede realizar con dos profundidades diferentes 𝑌1 < 𝑌𝑐 ó 𝑌2 > 𝑌𝑐. Teniendo en

cuenta que para caudal constante la velocidad varía inversamente con la profundidad. El

tirante correspondiente al mínimo de la curva se denomina tirante crítico, por lo que la

rama superior de la curva es la rama subcrítica (tirantes mayores que el tirante crítico) y la

rama inferior de la curva es la rama supercrítica (tirantes menores que el tirante crítico).

Energía mínima: Es la energía mínima o crítica con que un cierto gasto puede fluir en un

canal y es el límite entre el flujo subcrítico y supercrítico, tal como se puede apreciar en la

figura anterior. Para calcular la energía mínima derivamos la ecuación de la energía

específica con respecto a tirante 𝑌:

𝑑𝐸

𝑑𝑌= 0

𝑑𝐸

𝑑𝑌= 1 +

𝑞2

2𝑔(−2)𝑦−3 ⇒ 0 = 1 +

𝑞2

2𝑔(−2)𝑦−3

⇒ 0 = 1 −2𝑞2

2𝑔𝑌3=

2𝑞2

2𝑔𝑌3= 1

Ahora vamos a despejar a 𝑦 = 𝑌𝐶:

𝑌𝐶3 =

𝑞2

𝑔= 𝑌𝑐 = √

𝑞2

𝑔

3

Ahora como yo sé que 𝑞 = 𝑄/𝑏, puedo escribir la profundidad critica 𝑌𝑐.

𝒀𝒄 = √𝒒𝟐

𝒈

𝟑

= 𝒀𝒄 = √𝑸𝟐

𝒈𝒃𝟐

𝟑

La energía mínima para una sección rectangular se puede calcular por medio de la

siguiente ecuación:

𝐸𝑚𝑖𝑛 = 𝑌𝑐 +𝑄2

2𝑔𝐴2= 𝑌𝑐 +

𝑏2𝑌𝑐3

2𝑔𝑏2𝑌𝑐2 = 𝑌𝑐 +

𝑌𝑐

2

𝐸𝑚𝑖𝑛 =3𝑌𝑐

2

EQUIPOS

CANAL HIDRÁULICO MULTIPROPÓSITO

DESCRIPCIÒN

Es un pequeño canal abierto, de longitudes de 2,5 m o 5,0 m, con los lados

transparente de acrílico para observar el trabajo del flujo. El canal está equipado

con un tanque de entrada de PVC, y está diseñado para descarga libre en el

Banco Hidráulico.

El canal de flujo está montado en un marco rígido, y se puede inclinar mediante el

uso de un calibrado, que permite obtener la pendiente exacta para ajuste del

canal.

El tanque de entrada incorpora un aquietamiento con disposición para difundir el

flujo de agua antes de entrada al canal, asegurando un flujo uniforme. El nivel del

agua en la sección de trabajo se controla ajustando la altura del vertedero de

descarga. Así mismo, se incluyen tomas para manómetros en el lecho y puntos de

fijación para modelos. En el borde superior del canal tiene una cinta métrica la cual

nos permite ubicar con precisión en milímetros y tubos de Pitot en los lugares

requeridos. El canal fue diseñado para usarse con el Banco Hidráulico de

Servicios Comunes, que cuenta con una bomba, una válvula reguladora de caudal

y un tanque calibrado para hacer mediciones caudal volumétrico.

Este accesorio sirve para mostrar los principios de mecánica de los fluidos

aplicados a estructuras montadas en canales hidráulicos abiertos.

BANCO BASICO HIDRAULICO CON ACCESORIOS

DESCRIPCIÒN

El equipo debe funcionar como un sistema modular desarrollado para investigar

experimentalmente diferentes aspectos de la teoría hidráulica. Esta unidad debe

ser diseñada como un módulo de servicio portátil y autónomo para la gama de

accesorios con los que trabaja.

El Banco debe estar fabricado en plástico de bajo peso, resistente a la corrosión y

debe contar con ruedas que le permitan desplazamiento. La parte superior del

banco incorpora un canal abierto con canales laterales que le deben servir de

apoyo al accesorio que se está ensayando. Llenar con agua limpia, no requiere

conexión permanente.

Este banco debe incluir un cilindro medidor que permita medir caudales muy

pequeños y nos permite hallar los flujos ya sea en canales abiertos o cerrados.

CALIBRADOR

Se usa para medir la longitud del vertedero.

CRONÓMETRO

Un cronómetro es un reloj de precisión que se emplea para medir fracciones

de tiempo muy pequeñas teniendo un registro de fracciones temporales más

breves, como milésimas de segundo, este nos sirve para tomar el tiempo de un

caudal, en un volumen determinado.

PROSEDIMIENTO

1- En el canal de pendiente variable se mide el ancho del fondo del canal, se gradúa

a una pendiente y se toman las medidas de los tirantes (𝑌), que se puede medir

con el vernier.

2- Se hace pasar un caudal constante, el cual se debe de calcular tomándose el

volumen (𝑣) que se conoce por la experiencia a un tiempo (𝑡) que se toma con el

cronómetro por medio de la medición.

3- Se incrementa lentamente la pendiente del canal y se miden los tirantes en el

canal, tomando cada medición y se, repite lo mismo para al menos 5 pendientes

diferentes.

4- Luego con el caudal calculado y hallando el área de una canal rectangular, puedo

calcular las velocidades en los 5 tirantes tomados.

5- Entonces con el caudal, la gravedad específica y el ancho del canal puedo hallar la

profundidad crítica, 𝑌𝐶.

6- Hallamos la velocidad para cada tirante o altura y luego con la velocidad conocida

hallo la cabeza de velocidad.

7- Con todos los datos obtenidos puedo hallar la Energía específica 𝐸𝑠 y determinar

por medio de la grafica 𝑌 𝑣𝑠 𝐸𝑠 la Energía especifica mínima.

CÁLCULOS Y PROCEDIMIENTO MATEMÁTICO

Datos obtenidos en el laboratorio de hidráulica en la Universidad de la Costa,

CUC.

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 5 𝑙𝑖𝑡𝑟𝑜𝑠

𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 4,7 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Sabiendo que:

𝐶𝑎𝑢𝑑𝑎𝑙 = 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛

𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜

𝑄 = 𝑉

𝑇

Reemplazando tenemos:

𝑄 = 5

4,7= 1,06383 𝑙

𝑠⁄

𝑄 ≫ 1063 𝑐𝑚3

𝑠⁄

Donde en esta experiencia nuestro caudal permanece constante.

𝑦1 = 1,8 𝑐𝑚

𝑦2 = 2,3 𝑐𝑚

𝑦3 = 2,6 𝑐𝑚

𝑦4 = 3,4 𝑐𝑚

𝑦5 = 4,1 𝑐𝑚

1.

𝐴𝑟𝑒𝑎1 = 𝑏 ∗ 𝑦1

𝐵 = 7,61 𝑐𝑚

𝑦 = 1,8 𝑐𝑚

𝐴 = 7,61 ∗ 1,8

𝐴 = 13,698 𝑐𝑚2

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑1 = 𝐶𝑎𝑢𝑙𝑑𝑎𝑙

𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑉1 = 𝑄

𝐴

Reemplazando

𝑉1 = 1063 𝑐𝑚3

𝑠⁄

13,698 𝑐𝑚2

𝑉1 = 77,60256972 𝑐𝑚𝑠⁄

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑1:

𝑉2

2𝑔=

( 77,60256972)2

2 ∗ 981= 3,069397975 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 𝑦 + 𝑉2

2𝑔

𝐸𝑠 = 1,8 𝑐𝑚 + 3,0693 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 4,86 𝑐𝑚

2.

𝐴𝑟𝑒𝑎2 = 𝑏 ∗ 𝑦2

𝐵 = 7,61 𝑐𝑚

𝑦 = 2,3 𝑐𝑚

𝐴 = 7,61 ∗ 2,3

𝐴 = 17,503 𝑐𝑚2

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑1 = 𝐶𝑎𝑢𝑙𝑑𝑎𝑙

𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑉2 = 𝑄

𝐴

Reemplazando

𝑉2 = 1063 𝑐𝑚3

𝑠⁄

17,503 𝑐𝑚2

𝑉2 = 60,7325 𝑐𝑚𝑠⁄

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑2:

𝑉2

2𝑔=

( 60,7325)2

2 ∗ 981= 1,8799 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 𝑦 + 𝑉2

2𝑔

𝐸𝑠 = 2,3 𝑐𝑚 + 1,8799 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 4,17 𝑐𝑚

3.

𝐴𝑟𝑒𝑎2 = 𝑏 ∗ 𝑦3

𝐵 = 7,61 𝑐𝑚

𝑦 = 2,6 𝑐𝑚

𝐴 = 7,61 ∗ 2,6

𝐴 = 19,786 𝑐𝑚2

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑3 = 𝐶𝑎𝑢𝑙𝑑𝑎𝑙

𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑉3 = 𝑄

𝐴

Reemplazando

𝑉3 = 1063 𝑐𝑚3

𝑠⁄

19,786 𝑐𝑚2

𝑉3 = 53,7248 𝑐𝑚𝑠⁄

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑2:

𝑉2

2𝑔=

( 53,7248)2

2 ∗ 981= 1,4711 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 𝑦 + 𝑉2

2𝑔

𝐸𝑠 = 2,6 𝑐𝑚 + 1,4711 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 4,0711 𝑐𝑚

4.

𝐴𝑟𝑒𝑎2 = 𝑏 ∗ 𝑦4

𝐵 = 7,61 𝑐𝑚

𝑦 = 3,4 𝑐𝑚

𝐴 = 7,61 ∗ 3,4

𝐴 = 25,874 𝑐𝑚2

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑1 = 𝐶𝑎𝑢𝑙𝑑𝑎𝑙

𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑉4 = 𝑄

𝐴

Reemplazando

𝑉4 = 1063 𝑐𝑚3

𝑠⁄

25,874 𝑐𝑚2

𝑉4 = 41,0837 𝑐𝑚𝑠⁄

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑2:

𝑉2

2𝑔=

( 41,0837)2

2 ∗ 981= 0,8602 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 𝑦 + 𝑉2

2𝑔

𝐸𝑠 = 3,4 𝑐𝑚 + 0,8602 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 4,26 𝑐𝑚

5.

𝐴𝑟𝑒𝑎5 = 𝑏 ∗ 𝑦5

𝐵 = 7,61 𝑐𝑚

𝑦 = 4,1 𝑐𝑚

𝐴 = 7,61 ∗ 4,1

𝐴 = 31,201 𝑐𝑚2

𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑5 = 𝐶𝑎𝑢𝑙𝑑𝑎𝑙

𝐴𝑟𝑒𝑎

𝑉5 = 𝑄

𝐴

Reemplazando

𝑉5 = 1063 𝑐𝑚3

𝑠⁄

31,201 𝑐𝑚2

𝑉5 = 34,0694 𝑐𝑚𝑠⁄

𝐶𝑎𝑏𝑒𝑧𝑎 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑2:

𝑉2

2𝑔=

( 34,0694 )2

2 ∗ 981= 0,5916 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 𝑦 + 𝑉2

2𝑔

𝐸𝑠 = 4,1 𝑐𝑚 + 0,5916 𝑐𝑚

𝐸𝑠 = 4,69 𝑐𝑚

Error

𝐸 = |𝑦𝑡𝑒𝑜−𝑦𝑚𝑒𝑑

𝑦𝑡𝑒𝑜|*100

Entonces tenemos:

𝐸 = |2,7−2,6

2,7|*100

𝐸 = 3,7 %

Todos los resultados obtenidos anteriormente los podemos ver de una

manera organizada en la siguiente tabla.

ID Vol. T Caudal

𝒄𝒎𝟑

𝒔

Área 𝒄𝒎𝟐 Yc Velocidad 𝒄𝒎𝒔⁄ Cabeza de V.

(𝒄𝒎)

Es (𝒄𝒎) Error

( % )

1 5 4,7 1061 13,698

1,8 77,6025

3,06939

4,869397

3,70

2 17,503

2,3 60,7324 1,87993 4,179933

3 19,786 2,6 53,7248 1,47113 4,071131

4 25,874 3,4 41,0837 0,86028 4,260281

5 31,201 4,1 34,0694 0,59160 4,691603

GRAFICA

Análisis de resultado

Nuestro Ymedido es aproximadamente de 2,6 cm, en este punto antes mencionado es

donde la energía se hace mínima como lo podemos apreciar en la gráfica.

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

4

4,5

4 4,2 4,4 4,6 4,8 5

Yc

Es

Y Vs Es

Y (cm)

CONCLUSIÓN

Con base en el análisis y los resultados mostrados se concluye que las

profundidades críticas se pueden llevar a la curva de energía específica. Y

calculando la profundidad crítica podemos hallar la energía específica mínima,

esto hablando del procedimiento matemático. De la experiencia en el laboratorio

podemos concluir que la energía especifica depende de la velocidad del caudal

con la variación de pendiente, obteniendo así diferentes tirantes, para poder

calcular la velocidad.

Al graficar la curva correspondiente de energía específica para la sección

considerada en el canal y para un caudal constante, en cualquier punto de la curva

la ordenada o eje y corresponde a la profundidad y la abscisa o eje x corresponde

a la energía específica, representada teóricamente en la suma de la altura de

presión y la altura de velocidad.

Sin embargo, es válido anotar que en los procedimientos experimentales es

sumamente importante tener siempre presente los errores sistemáticos, y de

acuerdo a las medidas que se tomen para reducirlos, igualmente se verá

reflejado en gran parte el éxito de la experiencia.

BIBLIOGRAFÍA

POTTER, Merle C, WIGGERT, David C. Mecánica de fluidos 2da

Edición, Editiorial prentice Hall México.

VEN TE CHOW, Hidráulica de Canales Abiertos. Editorial McGraw –

Hill,1994.

http://hidraulica.umich.mx/laboratorio/images/man_pdf/5o/5_p3.pdf

ANEXO