Ejercicios Tangente Normal

Lebrecht-DíazLebrecht-Díaz

1.0. UNIDAD I: Dinámica y Cinemática1.0. UNIDAD I: Dinámica y Cinemática

Ejemplo 1Ejemplo 1Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 25 cm de radio. La Una partícula se mueve a lo largo de una trayectoria circular de 25 cm de radio. La posición de la partícula en el círculo varia de la forma: posición de la partícula en el círculo varia de la forma:

cmttS 42 3 Recordatorio: S es la distancia recorrida desde algún instante en el tiempo y se Recordatorio: S es la distancia recorrida desde algún instante en el tiempo y se puede obtener de la siguiente forma:puede obtener de la siguiente forma:

sttt 34242 3

TvscmtS ˆ50)3(/46 2

NTascmtS ˆ100ˆ36)3(/12 2

Mecánica ICF 214Mecánica ICF 214

Hallar la velocidad y aceleración cuando S = 42 cm.Hallar la velocidad y aceleración cuando S = 42 cm.

0

diferenciando encuentro

t

t

r t dr t

dr t dS S dS


Ejemplo 2Ejemplo 2Encontrar la velocidad y aceleración en coordenadas tangente y normal para t = 1 Encontrar la velocidad y aceleración en coordenadas tangente y normal para t = 1 s de una partícula que tiene la posición:s de una partícula que tiene la posición:

ktjtittr ˆ3ˆˆ2)( 32

2

22 4 2 2

ˆˆ ˆ( ) 2 2

( ) 4 4 2 2

2

ˆˆ( ) 2 2

v t i tj t k

v t S t t t t

S t

a t j tk




2 2 2

2

22 2 4 2

24 2 2 2

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ( ) ( ) 2 2 4 2 0 4 4 0

0 2 2

ˆˆ ˆ( ) ( ) 2 4 4

( ) ( ) 2 16 16 4 16 16

( ) ( ) 2 4 4 2 2 2 2

i j k

v t a t t t t t i t j k

t

v t a t t i tj k

v t a t t t t t

v t a t t t t t



3 3 22 2

2

2 2'

22 2

r t t

tr r


2

2

ˆ ˆ ˆ( ) 2 (1) 3

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( ) 2 2 (1) 2 2'

v t ST t T v T

Sa t ST N tT N a T N




Ejemplo 3Ejemplo 3Determine el radio de curvatura de una cuerva en el espacio que corresponde a Determine el radio de curvatura de una cuerva en el espacio que corresponde a una hélice, cuyo vector de posición está determinado por:una hélice, cuyo vector de posición está determinado por:


kpjRseniRr ˆˆˆcos)(

2

2

1'

dSrd

kpdjdRidRsenrd ˆˆcosˆ)(

dpRds 22

kdsdpj

dsd

Ridsd

Rsendsrd ˆˆcosˆ)(

dcte

ds

dS dr


1.0. UNIDAD I: Dinámica y Cinemática1.0. UNIDAD I: Dinámica y CinemáticaMecánica ICF 214Mecánica ICF 214

2 2

2 2

( ) ˆˆ ˆcos

( ) ˆˆ ˆcos

1

( ) 1 ˆˆ ˆcos

dr d d dRsen i R j p k

ds ds ds dsdr d

Rsen i R j pkds dsd

ds R p

drRsen i R j pk

ds R p


Lebrecht - DíazLebrecht - Díaz


2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2 2

2

( ) 1 ˆˆ ˆcos

aplico regla de la cadena

( ) 1 ˆˆ ˆcos

( ) 1 ˆ ˆcos sin

( ) ˆ ˆcos sin

1

( )

d r dRsen i R j pk

ds dsR p

d r d dRsen i R j pk

ds d dsR p

d r dR i R j

ds dsR p

d r R di j

ds dsR p

d

ds R p

d r

2

2 2 2 2 2 2

( )ˆ ˆcos sinR d r R

i jds R p ds R p

Walter Lebrecht D-PWalter Lebrecht D-P


RpR

pRR

dSrd 22

222

2

'


Ejemplo 4Ejemplo 4Una partícula se mueve en el espacio de modo que sus coordenadas cilíndricas Una partícula se mueve en el espacio de modo que sus coordenadas cilíndricas están dadas por:están dadas por:


232 tzttr

Determinar, la velocidad en coordenadas tangente y normal. Determinar, la velocidad en coordenadas tangente y normal.

2

2 2

2 2

2 2

ˆˆ ˆ2 cos 2 sin 3

ˆˆ ˆ2cos 2 sin 2sin 2 scos 6

ˆˆ ˆ2cos 2 sin 2sin 2 cos 6

2 1 9

2 1 9

ˆ2 1 9

r t ti t tj t k

dr t t t dti t t t dtj tdtk

drt t t i t t t j tk

dtdr

S tdt

S t t

v t t T

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