Derivadas Parciales y Regla de La Cadena Plano Tangente y Plsno Normal

Diapositiva 1Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales.
José R. Narro
ANALISIS MATEMATICO II:
Derivadas parciales sucesivas (o de orden superior)
José R. Narro
Tema 4: Diferenciabilidad de funciones reales de varias variables reales.
José R. Narro
Derivadas parciales
Sea z = f(x, y) una función de dos variables con dominio D. Si mantenemos la variable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x varía, la función f se convierte entonces en función de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b), que denotamos por fx(a, b). Luego por definición se tiene:
fx(a, b) = g´(a) =
®
Análogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que denotamos por fy(a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la función h(y) = f(a, y)
0
y
José R. Narro
*
b
z=f(x, b)
Proyección del corte de z=f(x, y) con y = b sobre el plano ZX
tg b = fx(a, b)
Si consideramos la superficie que tiene por ecuación z = f(x, y), el plano y = b, corta a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente:
fx(a, b) =
José R. Narro
Interpretación geométrica de la derivada parcial
Análogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se obtiene la curva z =f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho punto:
0
y
z
y
a
y=b
Proyección del corte de z = f(x, y) con x = a sobre el plano ZY
José R. Narro
José R. Narro
Plano tangente
Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a, b)) existe obtengamos su ecuación. Dicho plano debe contener a las rectas tangentes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en particular contendrá a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la superficie por los planos x = a, y = b.
Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fy(a, b), luego un vector director de esta recta será de la forma (0, u, v) , siendo
y
v
=f(a,b)
u
, tomando u = 1, se obtiene: v = fy(a, b)
es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (0, 1, fy(a, b)).
_1188745395.unknown
José R. Narro
a
Vector director = (0, 1, fy(a, b))
tg a = fy(a, b)
José R. Narro
b
Vector director = (1, fx(a, b))
z = f(x, b)
Análogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente fx(a, b), luego un vector director de esta recta será de la forma (u, 0, v), siendo
x
v
=f(a,b)
u
, tomando u = 1, se obtiene v = fx(a, b), es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (1, 0, fx(a, b)).
_1188746269.unknown
José R. Narro
Plano tangente y recta normal
En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto :
P(a ,b, f(a, b)) son
p
r
q
r
= (1, 0, fx(a, b), luego un vector perpendicular al plano se obtendrá multiplicándolos vectorialmente
p×q
EMBED Equation.DSMT4
EMBED Equation.DSMT4
Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene por vector característico
xy
(f(a,b),f(a,b),-1)
fx(a, b)(x - a) + fy(a, b)(y - b) – (z – f(a, b)) = 0.
La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuación, en forma paramétrica, será
x
y
José R. Narro
Ejemplo
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x2-y2, en el punto
P(1, 1, 2),así como la ecuación de la recta normal en dicho punto.
En este caso:
fx(x, y) = 6x, fy(x, y) = -2y, (a, b) = (1, 1)
Þ
Luego la ecuación del plano tangente es:
6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0
x=1+6t
José R. Narro
Plano tangente en P(a, b, f(a, b))
x = a
y = b
Recta normal
José R. Narro
José R. Narro
José R. Narro
Función derivada parcial
Si (a, b), es un punto variable lo representaremos por (x, y) y obtendremos el concepto de funciones derivadas parciales:
La derivada parcial de f con respecto de x, la denotamos por fx, y se define así
0
x
para todos los puntos (x, y) donde este límite exista.
La derivada parcial de f con respecto de y, la denotamos por fy, y se define así
0
y
Si z = f(x, y), otras notaciones usuales para las derivadas parciales son
fx(x, y) = zx =
José R. Narro
Derivadas parciales
Como en el cálculo de derivadas parciales una de las variables se mantiene constante, se podrán aplicar las reglas de derivación para funciones de una variable, siempre que esté clara la existencia de esta derivada.
Ejemplo
Siendo f(x, y) = (x2 + y)exy, calcular sus derivadas parciales y evaluarlas en el punto (1,1):
fx(x, y) = 2xexy + (x2 + y)yexy
Þ
Þ
fy(1, 1) = e + 2e = 3e
Se han aplicado directamente las reglas de derivación de funciones de una variable, ya que al fijar una variable la función se convierte en una función derivable por ser el resultado de operar funciones derivables. Esta función admite derivadas parciales en todo punto de R2.
_1187715097.unknown
_1187715177.unknown
José R. Narro
Ejemplo
Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la función
f(x, y) = |x+y|=
x+ysix+y>0
¹
0, existen ambas derivadas parciales, ya que al fijar una variable se obtiene un polinomio que siempre es derivable, siendo
fx(x, y) = 1, fy(x, y) = 1, si x+y>0
fx(x, y) = -1, fy(x, y) = -1, si x+y
£
0
Queda por estudiar cuando el punto P(a, b) si x+y = 0, es decir, b = -a
Þ
®®
==
, que no existe, ya que vale 1 o -1 según que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.
00
y
®®
==
, que no existe, ya que vale 1 o -1 según que h tienda acero por la derecha o por la izquierda.
Luego la función admite derivadas parciales en todos los puntos, salvo en la recta
x + y = 0.
José R. Narro
Ejercicio
Estudiar la existencia de derivadas parciales, para cualquier punto, de la función:
22
xy
si(x,y)(0,0)
José R. Narro
Derivadas parciales sucesivas
Al calcular las derivadas parciales de una función de dos variables se obtienen también funciones de dos variables, a las que se les puede calcular sus derivadas parciales, a las que llamamos derivadas parciales segundas. Este proceso puede seguir obteniéndose las derivadas sucesivas (o de orden superior). Las notaciones mas usuales son:
Derivadas parciales segundas:
2
xx
2
ff
()==f
xxx
e y
¶¶¶
¶¶¶
3) derivando primero respecto de x y luego respecto de y
2
xy
ff
()==f
yxyx
¶¶¶
¶¶¶¶
4) derivando primero respecto de y y luego respecto de x
2
yx
ff
()==f
xyxy
¶¶¶
¶¶¶¶
En las dos notaciones utilizadas se deriva primero respecto a la variable más cercana a f.
_1194882275.unknown
_1194882326.unknown
_1194882357.unknown
_1194882306.unknown
_1187848272.unknown
José R. Narro
f(x, y) =
José R. Narro
32222
y
x
José R. Narro
xyyx
f=f
, igualdad que en general no es cierta, aunque si lo será para la mayoría de funciones que manejemos.
Una condición suficiente para que
xyyx
Teorema (de Schwarz, sobre la permutabilidad de orden de derivación)
Si f está definida en un entorno U de (a, b), y si existen las derivadas parciales fx, fy, fxy en el mismo U, siendo también fxy continua en (a, b) , entonces existe fyx(a, b) y se cumple
xyyx
.
Para más de dos variables el concepto de derivada parcial es análogo. Veamos un ejemplo para tres variables
Ejemplo
f(x, y, z) = x2+y2+z2+exyz
xyz
x
xyz
y
xyz
z
José R. Narro
Regla de la cadena
Estudiemos ahora la regla de la cadena o la derivada de la función compuesta para funciones de dos variables.
Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(t), y = h(t).
Teorema
Sea z = f(x, y) diferenciable en (x, y). Si x = g(t), y = h(t), siendo g y h funciones derivables en t, entonces f es derivable en t, y su derivada es
z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t).
Ejemplo
Siendo z = xy2 – x2, con x = cos t, y = sen t verificamos el resultado anterior calculando z´(t) de dos formas distintas: directamente sustituyendo x, y en función de t y, aplicando el teorema anterior:
z = cos t sen2 t – cos2 t
Þ
z´ = -sen t sen2 t + 2cos t cos t sen t + 2sen t cos t =
= -sen3 t + 2cos2 t sen t + 2sen t cos t
z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t) = (y2 – 2x)(- sen t) + 2xy cos t = (sen2 t – 2 cos t)(- sen t) +
+ 2 cos2 t sen t, que coincide con el resultado anterior.
_1189572384.unknown
José R. Narro
z´(t) = zxx´(t) + zyy´(t)
z
zx
zy
x
y
t
t
José R. Narro
Regla de la cadena
Regla de la cadena para el caso: z = f(x, y), x = g(u, v), y = h(u, v)):
Teorema
Si f es diferenciable en (x, y), existen las derivadas parciales xu, xv, yu, yv en (u, v), entonces existen zu, zv en (u, v) y se verifica:
zu = zxxu + zyyu
zv = zxxv + zyyv
Para funciones de mas de dos variables se obtienen resultados análogos.
Ejercicio
Siendo
22
xy
z=
2
, x = u + v, y = u-v, calcular zu, zv de dos formas distintas:
a) Sustituyendo x e y en función de u y v.
b) Aplicando el teorema anterior.
_1189574168.unknown
José R. Narro
zu = zxxu + zyyu
zv = zxxv + zyyv
José R. Narro
Derivación en forma implicita
El modo de escribir la función de dos variables, hasta ahora, ha sido z = f(x, y), y decimos que z está dada en forma explicita, es decir, despejada en función de x, y.
Otra forma, mas general, de definir z como función de x, y es F(x, y, z) = 0, que se llama forma implícita de definir z como función de x, y (la z no está despejada).
El pasar de la forma explicita a la implcita es inmediato:
z = f(x, y)
Þ
z – f(x, y) = 0, llamando F(x, y, z) = z – f(x, y)
Þ
F(x, y, z) = 0
El pasar de la forma implícita a la explicita, en general, es mas complicado, y a veces, es imposible como se ve con el ejemplo z5x2 + z3y – sen xy = 0.
_1189576050.unknown
José R. Narro
Supongamos que z está definida implícitamente como función de x e y:
F(x, y, z) = 0, considerando F como una función de tres variables: x, y, z, si aplicamos la regla de la cadena a la igualdad F(x, y, z) = 0 , se obtiene:
derivando respecto de x :
x
x
z
-F
z=
F
y
y
z
-F
z=
F
Ejemplo
Siendo z3sen x + zexy – xy = 0, obtener zx, zy aplicando el resultado anterior.
En este caso F(x, y, z) = z3sen x + zexy – xy, luego
Fx = z3cos x + zyexy – y, Fy = zxexy – x, Fz = 3z2sen x + exy.
Por lo que sustituyendo queda:
3xy
x
2xy
José R. Narro
Ejercicio
Con el mismo dato del ejemplo anterior, obtener zx, zy derivando directamente la igualdad z3sen x + zexy – xy = 0 , y considerando que z es función de x e y. Comprobar que el resultado obtenido coincide con el anterior.
José R. Narro
José R. Narro
Como otra aplicación de la derivación implícita, obtengamos la ecuación de plano tangente a al superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, c) cuando esta viene dada en forma implícita F(x, y, z) = 0.
Se obtuvo que esta es:
zx(a, b)(x-a)+zy(a, b)(y-b)-(z-c) = 0
y siendo
)=0
Þ
Luego la recta normal en el punto P(a, b, c) tiene como vector director
(Fx(a, b, c), Fy(a, b, c), Fz(a, b, c)), por lo que su ecuación en forma paramétrica es
x
y
z
José R. Narro
Ejemplo
Obtener la ecuación del plano tangente y de la normal a la superficie
xy
zz
En este caso es F(x, y, z) =
xy
zz
Como consecuencia la ecuación del plano tangente en P es
4log2(x-2)+4log2(y-2)-16log2(z-1) = 0
x=2+t
y=2+t
José R. Narro
Ejercicio
Obtener las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie:
z2+4z+x2 = 0, en los puntos de intersección con el eje OZ.
Sea z = f(x, y) una función de dos variables con dominio D. Si mantenemos la v a-
riable y fija: y = b, siendo b una constante, y suponemos que solo la x varía, la fu n-
ción f se convierte entonces en función de solo la variable x: g(x) = f(x, b). Si g tiene
derivada en a, entonces esta se llama derivada parcial de f respecto de x en(a, b),
que denotamos por f
f
x
(a, b) =
0f(a+h,b)-f(a,b)limhh
Análogamente se define la derivada parcial de f respecta de y en (a, b), y que den o-
tamos por f
y
(a, b), que se obtiene fijando x = a, y obteniendo la derivada en b de la
función h(y) = f(a, y)
b
Proyección del corte de z=f(x, y) con y = b
sobre el plano ZX
(a, b)
Si consideramos la superficie que tiene por ecuación z = f(x, y), el plano y = b, corta
a la superficie en la curva z = f(x, b), que tiene por pendiente en el punto x = a, el
valor de su derivada en dicho punto, que es precisamente:
f
x
(a, b) =
0f(a+h,b)-f(a,b)limhh
Análogamente, si cortamos la superficie por el plano x = a, se o btiene la curva z
=f(a,y), que tiene por pendiente en el punto y = b, el valor de su derivada en dicho
punto:
z
y
a
f
y
Proyección del corte de z = f(x, y)
con x = a sobre el plano ZY
Suponiendo que el plano tangente a la superficie z = f(x, y) en el punto P(a, b, f(a,
b)) existe obtengamos su ecuación. Dicho plano debe contener a las rectas tange n-
tes a la curvas contenidas en la superficie y que pasan por P(a, b, f(a, b)); en part i-
cular contendrá a las rectas tangentes a las curvas que resultan de cortar a la s u-
perficie por los planos x = a, y = b.
Al cortar por x = a, se obtiene la curva z = f(a, y) en el plano ZY, y cuya recta ta n-
gente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente f
y
(a, b), luego un vector direc-
tor de esta recta será de la forma (0, u, v) , siendo
yv=f(a,b)u
(a, b)
es decir, un vector en la dirección de la recta tangente es (0, 1, f
y
a
y
b
x
z = f(x, b)
Análogamente, al cortar por y = b, se obtiene la curva z = f(x, b) en el plano ZX, y
cuya recta tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) tiene por pendiente f
x
(a, b), luego un
vector director de esta recta será de la forma (u, 0, v), siendo
xv=f(a,b)u
x
(a, b), es decir, un vector en la dirección de la recta tangente
es (1, 0, f
(a, b)).
En consecuencia dos vectores directores del plano tangente en el punto :
P(a ,b, f(a, b)) son
p
lar al plano se obtendrá multiplicándolos vectorialmente
p×q
xyf(a,b)i+f(a,b)j-k
Por lo tanto el plano tangente queda definido por el punto P(a ,b, f(a, b)) y tiene
por vector característico
f
x
(a, b)(y - b) – (z – f(a, b)) = 0.
La recta perpendicular al plano tangente en el punto P(a ,b, f(a, b)) se llama recta
normal a la superficie en dicho punto, por lo que su ecuación, en forma paramétr i-
ca, será
Ejemplo
Obtener la ecuación del plano tangente a la superficie z = 3x
2
-y
2
, en el punto
P(1, 1, 2),así como la ecuación de la recta normal en dicho punto.
En este caso:

Luego la ecuación del plano tangente es:
6(x-1)-2(y-1)-(z-2) = 0
x=1+6ty=1-2tz=2-t
Plano tangente
x = a
y = b
Recta normal
P(a, b, f(a, b))
Si (a, b), es un punto variable lo representaremos por (x, y) y obtendremos el co n-
cepto de funciones derivadas parciales:
La derivada parcial de f con respecto de x, la denotamos por f
x
La derivada parcial de f con respecto de y, la denotamos por f
y
Si z = f(x, y), otras notaciones…

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