Ecuaciones diferenciales lineales

Ecuaciones diferenciales lineales de orden n Una ecuación diferencial lineal de orden n es una expresión del tipo

donde y son funciones arbitrarias.

Esta ecuación es una ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantes.

an(x)dny

dxn+ an − 1(x)

dn − 1y

dxn − 1+ .... + a1(x)

dy

dx+ a0(x)y(x) = b(x)

an(x), an−1(x), ... a1(x), a0(x) b(x)

La ecuación quecorrespondealcaso,eslaecuacióndiferencialhomogénea.b(x) = 0

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ ....+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y(x) = 0 ,

Un caso particular es cuando todas las funciones son constantes; es decir

andny

dxn+ an−1

dn−1y

dxn−1+ ....+ a1

dy

dx+ a0y(x) = b(x)

an(x), an−1(x), ... a1(x), a0(x)

Análogamente, a la ecuación es lacorrespondienteecuacióndiferencialhomogénea.

andny

dxn+ an−1

dn−1y

dxn−1+ ....+ a1

dy

dx+ a0y(x) = 0

Ecuación diferencial homogénea Consideramos la ecuación diferencial homogénea (EDH)

Notación Definimos el operador diferencial que permite escribir la EDH simplemente como

D = an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ ....+ a1(x)

d

dx+ a0(x) = 0 ,

Dy(x) = 0

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ ....+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y(x) = 0 ,

Teorema ISea un conjunto de m funciones , soluciones de la EDH, es decir

∀k = 1, ...m, Dfk(x) = 0 ,

f1(x), f2(x), · · · , fm(x), [fk(x), k = 1, · · ·m]

entonces, una combinación lineal de estas funciones donde los coeficientes son números reales (o complejos) es también solución de la EDH, es decir verifica

λk, (k = 1...m)

Dg(x) = 0

g(x) = λ1f1(x) + λ2f2(x) + · · ·+ λmfm(x) =m∑

k=1

λkfk(x),

DemostraciónDado que

Dg(x) = D[λ1f1(x) + λ2f2(x) + ...+ λmfm(x)]

= [an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ ....+ a1(x)

d

dx+ a0(x)][λ1f1(x) + λ2f2(x) + ...+ λmfm(x)]

= D[λ1f1(x)] +D[λ2f2(x)] + ...+D[λmfm(x)]

= λ1Df1(x) + λ2Df2(x) + ...+ λmDfm(x)

Definición: Operadores lineales Hemos visto que el operador diferencial verifica D[λ1f1(x) + λ2f2(x)] = λ1Df1(x) + λ2Df2(x)

D

A los operadores que verifican esta propiedad se les llama Operadores lineales.

que se anula ya que las funciones son, por hipótesis, soluciones de la EDH, es decir verifican

∀k = 1, ...m, Dfk(x) = 0 ,

= 0

f1(x), f2(x), · · · , fm(x), [fk(x), k = 1, · · ·m]

g(x) = λ1f1(x) + λ2f2(x) + · · ·+ λmfm(x) =m∑

k=1

λkfk(x),

Ejemplo

Consideremos la ecuación diferencial d2y

dx2+ y = 0

de la cual se conocen dos soluciones

f1(x) = cos(x)

f2(x) = sin(x)

⇒ d2f1dx2

+ f1(x) = 0

⇒ d2f2dx2

+ f2(x) = 0

Construimos ahora una combinación lineal de ambas g(x) = λ1cos(x) + λ2sin(x)

d

dxg(x) =

d

dx[λ1cos(x) + λ2sin(x)] = −λ1sin(x) + λ2cos(x)

d2

dx2g(x) =

d

dx[−λ1sin(x) + λ2cos(x)] = −λ1cos(x)− λ2sin(x)= −g(x)

Podemos comprobar directamente que verifica la ecuación diferencial de partida

df1dx

= −sin(x),d2f1dx2

= −cos(x) = −f1(x)

d2f2dx2

= −sin(x) = −f2(x)df2dx

= cos(x),

por lo tanto, también verifica la ecuación diferencialg(x)

Independencia lineal de funcionesDefiniciónSea un conjunto de funciones, , definidas en el intervalo Sedicequeestasfuncionessonlinealmenteindependientes,silaecuacióndondeesunconjuntodenúmerosreales(ocomplejos),no:eneotrasoluciónquelatrivial:.

[a, b]

λk [k = 1, 2, ...m]

∀x ∈ [a, b], λ1f1(x) + λ2f2(x) + ...+ λmfm(x) = 0,

∀k, λk = 0

A veces la condición anterior se escribe mediante la función idénticamente nula , definida como:

0(x)

0(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]

Lacondicióndelinealidadentoncesseescribesimplementecomo

λ1f1(x) + λ2f2(x) + ...+ λmfm(x) = 0(x) ⇒ λk = 0, ∀k

Estacondiciónesmuysemejantealadefinicióndeelementos(vectores)linealmenteindependientesenunespaciovectorial.

Dehecho,elconjuntodelasfuncionesdefinidasenunintervalodadocons:tuyeunespaciovectorialdedimensióninfinita,dondesepuedendefinirloselementoscaracterís:cosdelosespaciosvectorialestalescomobases,productoescalar,etc.

f1(x), f2(x), · · · , fm(x), [fk(x), k = 1, · · ·m]

NotaApesardequeformalmenteseanmuysemejanteslasecuaciones

λ1f1(x) + λ2f2(x) + ...+ λmfm(x) = 0 [2]

λ1f1(x) + λ2f2(x) + ...+ λmfm(x) = 0(x) [1]

representanproblemasmuydiferentes.Lasolucióndelaecuación[1]consisteenelconjuntodecoeficientes,quehacenquelacombinaciónlinealdelasfuncionesdelaizquierdaseanuleentodoelintervalodedefinicióndelasfunciones.Esteproblemasiempre:enealmenosunasolución:latrivial.

λk [k = 1, 2, ...m]

∀k, λk = 0

Lasolucióndelaecuación[2]sonloscerosdelafunción,esdecirencontrarlosvaloresdexparaloscualeslacombinacióndelaizquierdaseanula.

Ejemplo:Consideremoselconjuntodetresfunciones f1(x) = x2, f2(x) = x, f3(x) = 1

ElTeoremafundamentaldelálgebraimplicaquelaúnicasolucióneslatrivial:.Esdecir:lasfuncionessísonlinealmenteindependientes.

λ1 = λ2 = λ3 = 0

[1] ⇒ λ1x2 + λ2x+ λ3 = 0(x)Laecuaciónimplicacalcularλ1,λ2,λ3

Laecuaciónsuponecalcularlosvaloresdexquelaverifican:[2] ⇒ λ1x2 + λ2x+ λ3 = 0

Lacondicióndelaindependencialinealhayqueinterpretarlaenelsen:dodelaecuación[1].Silaúnicasoluciónresultaserlatrivial,entonceslasfuncionessonlinealmenteindependientes

Haydosvalores(ceros):

x± =−λ2 ±

√λ22 − 4λ1λ3

2λ1

∈ R

Ejemplo IEstudiarsilasfuncionessonlinealmenteindependientesenelintervalo[0,2π].

f1(x) = cos(x), f2(x) = sin(x)

Buscamoslassoluciones‐‐delaecuaciónλ1 cos(x) + λ2 sin(x) = 0(x)λ1,λ2

λ1 = λ2 = 0Deformaquelaúnicasolucióneslatrivial: Sonlinealmenteindependientes

Ejemplo IIEstudiarsilasfuncionesysonlinealmenteindependientesenelintervalo[0,2π].

f1(x) = cos(x), f2(x) = sin(x) f3(x) = eix ≡ cos(x) + i sin(x)

Buscamoslassoluciones‐‐delaecuación[1]λ1,λ2,λ3 λ1 cos(x) + λ2 sin(x) + λ3eix = 0(x)

Estaecuaciónsepuedeescribircomo:

0(x) = λ1 cos(x) + λ2 sin(x) + λ3[cos(x) + i sin(x)]

= [λ1 + λ3] cos(x) + [λ2 + iλ3] sin(x)

deformaquelaecuación[1]admitesolucionesnotrivialesdelaforma:

λ1 = −λ3

λ2 = −iλ3

Nosonlinealmenteindependientes

EstasoluciónesvalidaElproblema:eneunnúmeroinfinitodesoluciones.∀λ3. ⇒

Suponiendo,estaecuaciónpuedereescribirsecomo,queobviamenteno:enesolución.

λ2 != 0 tan(x) = −λ1

λ2, ∀x ∈ [0, 2π]

La solución general de una ecuación de orden n es el conjunto de funciones que verifica la ED Depende de n constantes arbitrarias - - que deben determinarse en cada caso por medio de las condiciones de contorno.

y(x) = f(x,C1, C2, ....Cn)

C1, C2, ....Cn

Solución general de una ecuación diferencial (ED)

Unaecuacióndiferenciallinealhomogéneadeordenn:enensolucionespar:culareslinealmenteindependientes.

Teorema II

Seaunconjuntodensolucioneslinealmenteindependientes.fk(x), k = 1, 2...n

Lafunciónasídefinidaverifica:g(x)

1.‐Essolucióndelaecuacióndiferencial(TeoremaI)2.‐Dependedenconstantesarbitrarias,.αk, k = 1, 2...n

g(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + ...+ αnfn(x)

Elteoremaimplicaquecualquierotrasolución‐‐noesindependiente,oloqueeslomismo,quesepuedeescribircomocombinaciónlinealdelasfunciones

g(x)fk(x)

[1]

Porlotanto[1]eslasolucióngeneraldelaecuaciónhomogénea.

Definición: Sistemafundamentaldesoluciones.Sellamasistemafundamentaldesolucionesdeunaecuaciónlinealhomogéneadeordennacualquierconjuntodensolucioneslinealmenteindependientes.Cualquiersolucióndelaecuacióndiferencialhomogéneasepuedeescribircomocombinaciónlinealdelassolucionesdelsistemafundamental.

Ejemplo III Sea la ecuación diferencial de 3er orden

Para ver que estas tres funciones forman un sistema fundamental de soluciones, debemos comprobar que son linealmente independientes, es decir, demostrar que la única solución de la ecuación

d3y

dx3− 2

d2y

dx2− dy

dx+ 2y = 0 [1]

de la cual conocemos tres soluciones particulares

f1(x) = ex

f2(x) = e−x

f3(x) = e2x

df1dx

= ex ≡ f1(x)d2f1dx2

= f1(x)d3f1dx3

= f1(x)

df2dx

= −e−x ≡ −f2(x)d2f2dx2

= f2(x)

[1] ⇒ −f2(x)− 2f2(x) + f2(x) + 2f2(x) = 0(x)

[1] ⇒ f1(x)− 2f1(x)− f1(x) + 2f1(x) = 0(x)

df3dx

= 2e2x ≡ 2f3(x)d2f3dx2

= 4f3(x)d3f3dx3

= 8f3(x)

[1] ⇒ 8f3(x)− 8f3(x) + 2f3(x) + 2f3(x) = 0(x)

λ1f1(x) + λ2f2(x) + λ3f3(x) = 0(x) ⇒ λ1ex + λ2e

−x + λ3e2x = 0(x)

es la trivial λ1 = λ2 = λ3 = 0

d3f2dx3

= −f2(x)

Ejemplo III (continuación) La condición de independencia lineal, , se puede escribir de forma más manejable mediante el cambio de variable

λ1ex + λ2e

−x + λ3e2x = 0(x)

De nuevo el Teorema Fundamental del Algebra implica que la única solución es la trivial.

u ≡ ex

λ1u+ λ2u−1 + λ3u

2 = 0

u−1[λ1u2 + λ2 + λ3u

3] = 0(u) ⇒ [λ1u2 + λ2 + λ3u

3] = 0(u)

f1(x) = ex f2(x) = e−x f3(x) = e2x

Por lo tanto el conjunto de funciones forma un sistema fundamental de soluciones.

La solución general de la ecuación diferencial [1] es pues

g(x) = α1ex + α2e

−x + α3e2x

Criterio de Independencia lineal de funciones. ElWronskiano

DefiniciónSea un conjunto de funciones, , definidas en el intervalo . Se define la función , llamada Wronskiano como [a, b] W (x)

W (x) ≡ W [f1, f2, ...fn] =

∣∣∣∣∣∣∣∣

f1 f2 · · · fnf ′1 f ′

2 · · · f ′n

· · · · · · · · · · · ·f ′(n−1)1 f ′(n−1)

2 · · · f ′(n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣

donde usamos la notación f ′lk ≡ dlfk

dxl

Nótese que el signo del Wronskiano de un sistema de funciones depende del orden en que las consideremos, y es por tanto arbitrario.

f1(x), f2(x) · · · , fn(x), [fk(x); k = 1, 2, . . . , n]

CorolarioLa solución general de una EDLH de orden n se puede escribir como una combinación lineal de n soluciones particulares, , cuyo Wronskiano no sea idénticamente nulo.

fk(x); k = 1, 2, . . . , n

TeoremaSea un conjunto de m funciones, , definidas en el intervalo . La condición suficiente y necesaria para que las funciones sean linealmente independientes es que el Wronskiano no sea idénticamente nulo.

[a, b]fk(x); k = 1, 2, . . . , n

Aplicación Abramowitz&Stegun:Handbookofmathema:calfunc:ons

Aplicación Abramowitz&Stegun:Handbookofmathema:calfunc:ons

Ejemplo IV

Investigar la independencia de las funciones estudiando el Wronskiano del sistema.

f1(x) = cos(x), f2(x) = sin(x)

W (x) = W [f1, f2] =

∣∣∣∣f1 f2f ′1 f ′

2

∣∣∣∣ =∣∣∣∣cos(x) sin(x)− sin(x) cos(x)

∣∣∣∣ = cos2(x) + sin2(x) = 1

por lo tanto ambas funciones son linealmente independientes.

Ejemplo V Investigar la independencia de las funciones y estudiando el Wronskiano del sistema.

f1(x) = cos(x), f2(x) = sin(x) f3(x) = eix

W (x) = W [f1, f2, f3] =

∣∣∣∣∣∣

f1 f2 f3f ′1 f ′

2 f ′3

f ′21 f ′2

2 f ′23

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

cos(x) sin(x) eix

− sin(x) cos(x) ieix

− cos(x) − sin(x) −eix

∣∣∣∣∣∣

= −

∣∣∣∣∣∣

cos(x) sin(x) eix

− sin(x) cos(x) ieix

cos(x) sin(x) eix

∣∣∣∣∣∣

Tal como habíamos visto, las funciones no son linealmente independientes

= 0

el determinante tiene dos filas iguales, por lo tanto es nulo.

Ejemplo VI Comprobar que la solución general de la ecuación diferencial homogénea de 3er grado se puede escribir como la combinación lineal donde , y

d3y

dx3− 2

d2y

dx2− dy

dx+ 2y = 0 [1]

f1(x) = ex f2(x) = e−x f3(x) = e2x

Hemos comprobado (transparencia 10) que las funciones dadas son soluciones de [1], por lo tanto es suficiente probar que las tres funciones son linealmente independientes.

Calculamos el Wronskiano del sistema:

W (x) = W [f1, f2, f3] =

∣∣∣∣∣∣

f1 f2 f3f ′1 f ′

2 f ′3

f ′21 f ′2

2 f ′23

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

ex e−x e2x

ex −e−x 2e2x

ex e−x 4e2x

∣∣∣∣∣∣

= −4e2x + 2e2x + e2x − (−e2x + 2e2x + 4e2x)= −6e2x

g(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + α3f3(x) [2]

La función dada por [2] es pues una combinación 3 funciones linealmente independientes, tantas como el orden de la ecuación, y es por lo tanto la solución general de [1] .

g(x)

Ecuación diferencial completa. Solución general Consideramos la ecuación diferencial completa de orden n (EDC) obiensimplementeDy = b(x)

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = b(x) [1]

donde D ≡ an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

d

dx+ a0(x)

DemostraciónLa función -y por lo tanto también la solución [2]- depende ya de n constantes arbitrarias.yGH(x)

Por lo tanto es suficiente con demostrar que [2]- es también solución de la completa. El operador es un operador lineal D ⇒ D[α1f1(x) + α2f2(x)] = α1Df1(x) + α2Df2(x)

DAplicamos a la función [2] el operador Dy = D[yGH(x) + yPC(x)]= D[yGH(x)] +D[yPC(x)] = b(x)

La función es una solución de la EDC [1] y depende de n constantes arbitrarias: es pues la solución general de la EDC.

y(x) = yGH(x) + yPC(x)

Teorema IIILa solución general de la EDC [1] se puede escribir como

donde y(x) = yGH(x) + yPC(x)

es la solución general de la ecuación diferencial homogénea: yGH(x) D yGH(x) = 0D yPC(x) = b(x) es una solución particular de la ecuación diferencial completa yPC(x)

[2]

Corolario Dos soluciones particulares de la ecuación completan difieren simplemente en una solución de la ecuación homogénea.

Sean e dos soluciones diferentes de una ecuación diferencial lineal completa de orden n.

y1(x) y2(x)

Si el conjunto de n funciones constituye un sistema completo de soluciones, según el teorema anterior las dos soluciones e pueden escribirse como

fk(x); k = 1, 2, . . . , ny1(x) y2(x)

y1(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + · · ·+ αnfn(x)︸ ︷︷ ︸+yPC(x)

y2(x) =︷ ︸︸ ︷β1f1(x) + β2f2(x) + · · ·+ βnfn(x)+yPC(x)

yGH(x)

de forma que la diferenciay1(x)− y2(x) = [α1 − β1]f1(x) + [α2 − β2]f2(x) + · · ·+ [αn − βn]fn(x)

es también solución de la homogénea.

= γ1f1(x) + γ2f2(x) + · · ·+ γnfn(x) γk = αk − βk, k = 1, 2, · · · , n

Ejemplo Calcular la solución general de la ecuación diferencial

d2y

dx2+ y = x

Buscamos primero dos soluciones y de la EDH, que sean linealmente independientes.

f1(x) f2(x)

f1(x) = sin(x)

f2(x) = cos(x)

Una solución particular de la completa es yPC(x) = x

Comprobamos que es una solución de la EDCyPC(x) = x

d

dxyPC(x) = 1 d2

dx2yPC (x) = 0 ⇒ d2yPC

dx2+ yPC = x

que ya hemos visto que son linealmente independientes; es decir que forman un sistema fundamental de soluciones.

La solución general de la completa es

verifica la EDC

y(x) = α cos(x) + β sin(x) + x

α βdonde y son don constantes.

Teorema IV

Sean las ecuaciones diferenciales lineales

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = φ1(x) Dy = φ1(x)

an(x)dny

dxn+ an−1(x)

dn−1y

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

dy

dx+ a0(x)y = φ2(x) Dy = φ2(x)

de las cuales se conocen dos soluciones, y , es decir F1(x) F2(x)

DF1(x) = φ1(x)

DF2(x) = φ2(x)

entonces la función es solución de la ecuaciónF (x) = αF1(x) + βF2(x)

DemostraciónEste resultado es consecuencia directa de la linealidad del operador diferencial .D

DF = D[αF1(x) + βF2(x)]= αDF1(x) + βDF2(x)

DF = αφ1(x) + βφ2(x)

= αφ1(x) + βφ2(x)

Aplicación Sea el conjunto de ecuaciones diferenciales lineales

DFk(x) = φk(x); k = 1, 2, · · ·donde es el operador lineal de orden n D

D ≡ an(x)dn

dxn+ an−1(x)

dn−1

dxn−1+ · · ·+ a1(x)

d

dx+ a0(x)

y un conjunto de funciones linealmente independientes.φk(x); k = 1, 2, · · ·

Entonces el teorema anterior implica que la solución de la ED para una combinación lineal de las funciones φk(x) DF (x) = α1φ1(x) + α2φ2(x) + · · · =

∑

k

αkφk(x)

resulta ser la misma combinación lineal de las soluciones:

F (x) = α1F1(x) + α2F2(x) + · · · =∑

k

αkFk(x)

Existen conjuntos de funciones –llamadas bases del espacio de funciones- que permiten escribir cualquier función como combinación lineal de dichas funciones.

Por lo tanto es suficiente conocer las soluciones de la ED para los elementos de la base, para conocer la solución para todos las funciones que se obtienen como combinación lineal.

En esta base se puede escribir fácilmente funciones diferenciables; el coeficiente k-simo de la combinacion lineal está dado por la derivada de ese orden (Serie de Taylor).

Uno de estos conjuntos –bases- lo constituye el conjunto de las potencias: φk(x) = xk; k = 0, 1, · · ·

La dificultad estriba en el hecho de que la base contiene un número infinito –numerable- de elementos.

Aplicación (continuación)

Otra base útil para escribir funciones en el intervalo [a,b] es la constituida por el conjunto de funciones

ψk(x) = cos[2π

b− akx], k = 0, 1, · · ·

φk(x) = sin[2π

b− akx], k = 1, 2, · · ·

que permite escribir como una combinación lineal suya incluso funciones que presentan fuertes discontinuidades, tales como funciones escalón (o de Heaviside), la función delta y sus derivadas, etc.

Esto quiere decir que si conocemos la solución de nuestra ED para los elementos de la base, también se conoce la solución para cualquier función que seamos capaces de escribir como combinación lineal de los elementos de la base.

ξk(x) = ei[2πb−akx], k = · · ·− 2,−1, 0, 1, 2, · · ·