Sistemas de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias Lineales ...
ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE 1ER ORDEN
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ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
A. DEFINICION:
Consideremos la ecuación diferencial ordinaria:
𝑎1 𝑥𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑎2 𝑥 𝑦 = 𝑓 𝑥 ………………(1)
Donde 𝑎1, 𝑎2 𝑦 𝑓 son funciones solamente de 𝑥 o constantes.
Supongamos que 𝑎1 𝑥 ≠ 0 entonces, al dividir la ecuación (1) por 𝑎1 𝑥 , se obtiene:
⇨𝑎1 𝑥
𝑎1 𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥+𝑎2 𝑥
𝑎1 𝑥𝑦 =
𝑓 𝑥
𝑎1 𝑥
𝑃 𝑥 𝑄 𝑥
A la ecuación (2) llamaremos Ecuación Diferencial Lineal del Primero Orden en "𝑦"
Si 𝑄 𝑥 = 0, la ecuación (2) toma la forma siguiente:
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 0……………………… . (3)
A la ecuación (3) llamaremos E. D. Lineal Homogénea y es una E. D. de Variable Separable, y susolución es:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 2
𝑦 = 𝐶𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥 ……………………… . (2)
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
Si 𝑄 𝑥 ≠ 0, a la ecuación (2), es decir:𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥
llamaremos E. D. Linenal No homogéna, por lo tanto no es exacta. Su solución se obtieneaplicando el siguiente Factor de Integración:
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 3
𝒚 = 𝒆− 𝑷 𝒙 𝒅𝒙 𝒆 𝑷 𝒙 𝒅𝒙. 𝑸 𝒙 𝒅𝒙 + 𝑪
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1). 𝑥2 + 1 𝑑𝑦 = 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥
SOLUCION
1º Identificar 𝑷 𝒙 𝒚 𝑸(𝒙) de la E.D.⇨ 𝑥2 + 1 𝑑𝑦 = 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑑𝑥
⇨ 𝑥2 + 1𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥
⇨𝑥2 + 1
𝒙𝟐 + 𝟏
𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥
𝒙𝟐 + 𝟏𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 1
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑥3 + 𝑥𝑦 + 𝑥
𝒙𝟐 + 𝟏
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥3
𝒙𝟐 + 𝟏+
𝑥𝑦
𝒙𝟐 + 𝟏+
𝑥
𝒙𝟐 + 𝟏𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑟𝑖𝑏𝑢𝑡𝑖𝑣𝑎
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥=
𝑥𝑦
𝑥2 + 1+𝑥3 + 𝑥
𝒙𝟐 + 𝟏𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥−
𝑥𝑦
𝑥2 + 1=𝒙 𝒙𝟐 + 𝟏
𝒙𝟐 + 𝟏
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥−
𝑥
𝑥2 + 1𝒚 = 𝑥 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
𝑷 𝒙 𝑸 𝒙
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 4
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
2º Aplicar la fórmula cuando 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎
𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ y = 𝑒− −
𝑥𝑥2+1
𝑑𝑥 𝑒
−𝑥
𝑥2+1𝑑𝑥. 𝒙𝑑𝑥 + 𝐶 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑃 𝑥 𝑦 𝑄 𝑥
∗𝟏
⇨ 𝑦 = 𝑒
𝑥𝑥2+1
𝑑𝑥 𝑒
− 𝑥
𝑥2+1𝑑𝑥. 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ ∗1= 𝑥
𝑥2 + 1𝑑𝑥 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜
⇨ 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 1⇨ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
⇨𝑑𝑢
2𝑥= 𝑑𝑥
⇨ ∗1= 𝑥
𝑢
𝑑𝑢
2𝑥=1
2 𝑑𝑢
𝑢=1
2𝐿𝑛 𝑢 =
1
2𝐿𝑛 𝑥2 + 1
⇨ 𝑦 = 𝑒12𝐿𝑛 𝑥2+1 𝑒−
12𝐿𝑛 𝑥2+1 . 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 5
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
⇨ 𝑦 = 𝑒𝐿𝑛 𝑥2+1
12 𝑒𝐿𝑛 𝑥
2+1−12. 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑦𝐿𝑛𝑥 = 𝐿𝑛𝑥𝑦
⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 112 𝑥2 + 1 −
12. 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝐿𝑛𝑥 = 𝑥
⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 112
𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 1+ 𝐶 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝐿𝑛𝑥 = 𝑥
∗2
⇨ ∗2= 𝑥𝑑𝑥
𝑥2 + 1+ 𝐶 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑟 𝑠𝑒𝑝𝑎𝑟𝑎𝑑𝑜
⇨ 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥2 + 1⇨ 𝑑𝑢 = 2𝑥𝑑𝑥
⇨𝑑𝑢
2𝑥= 𝑑𝑥
⇨ ∗2= 𝑥
𝑢
𝑑𝑢
2𝑥+ 𝐶 =
1
2 𝑑𝑢
𝑢+ 𝐶 =
1
2 𝑢−
12𝑑𝑢 + 𝐶 =
1
2
𝑢12
12
+ 𝐶 = 𝑢12 + 𝐶
⇨ ∗2= 𝑥2 + 112 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 112 𝑥2 + 1
12 + 𝐶
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 6
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
⇨ 𝑦 = 𝑥2 + 12+ 𝐶 𝑥2 + 1
⇨ 𝒚 = 𝒙𝟐 + 𝟏 + 𝑪 𝒙𝟐 + 𝟏
2). 𝑥2𝑑𝑦 − 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 3𝑥𝑦𝑑𝑥 = 0
SOLUCION
1º Identificar 𝑷 𝒙 𝒚 𝑸(𝒙) de la E.D.⇨ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 − 3𝑥𝑦𝑑𝑥⇨ 𝑥2𝑑𝑦 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑥𝑦 𝑑𝑥
⇨ 𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥= 𝑠𝑒𝑛2𝑥 − 3𝑥𝑦
⇨𝑥2
𝑥2𝑑𝑦
𝑑𝑥=𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2−3𝑥𝑦
𝑥2𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑥2 + 1
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥+3𝑦
𝑥=𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2𝑑𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐸𝐷 𝑑𝑒 1𝑒𝑟 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛
⇨𝑑𝑦
𝑑𝑥+3
𝑥𝑦 =
𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2
𝑷 𝒙 𝑸 𝒙
2º Aplicar la fórmula cuando 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎
𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 7
𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑃 𝑥 𝑦 = 𝑄 𝑥
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
2º Aplicar la fórmula cuando 𝑸 𝒙 ≠ 𝟎
𝑦 = 𝑒− 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑃 𝑥 𝑑𝑥 . 𝑄 𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑒− 3𝑥𝑑𝑥 𝑒
3𝑥𝑑𝑥.𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑒−3𝐿𝑛𝑥 𝑒3𝐿𝑛𝑥 .𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑒𝐿𝑛𝑥−3 𝑒𝐿𝑛𝑥
3.𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑥−3 𝑥3.𝑠𝑒𝑛2𝑥
𝑥2𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑥−3 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
∗2
⇨ ∗2= 𝑥 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 8
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
⇨ 𝑆𝑒𝑎 𝑢 = 𝑥; 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛2𝑥𝑑𝑥
⇨ 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥; 𝑣 = −1
2𝑐𝑜𝑠2𝑥
⇨ ∗2= −𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
2 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥 + 𝐶
⇨ ∗2= −𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
2
1
2𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶
⇨ ∗2= −𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
4𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶
⇨ 𝑦 = 𝑥−3 −𝑥
2𝑐𝑜𝑠2𝑥 +
1
4𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 𝐶
⇨ 4𝑦 =1
𝑥3−2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4𝐶
⇨ 4𝑥3𝑦 = −2𝑥𝑐𝑜𝑠2𝑥 + 𝑠𝑒𝑛2𝑥 + 4𝐶⇨ 𝟒𝒙𝟑𝒚 + 𝟐𝒙𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 − 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒙 = 𝟒𝑪
ING. LEODAN H. CONDORI QUISPE 9
E. D. LINEALES DE PRIMER ORDEN
1).𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =
2𝑥2 + 2𝑥 − 1
4+ 𝐶𝑒−2𝑥
2). 𝑥𝑦′ + 1 + 𝑥 𝑦 = 𝑒−𝑥 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 = 𝑒−𝑥 1 +𝐶
𝑥
3). 𝑥5 + 3𝑦 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 𝑅𝑝𝑡𝑎. y =𝑥5
2+ 𝐶𝑥3
4).𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 2𝑦 = 𝑥2 + 2𝑥 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =
2𝑥2 + 2𝑥 − 1
4+ 𝐶𝑒−2𝑥
5). 𝑥2 + 9𝑑𝑦
𝑑𝑥+ 𝑥𝑦 = 0 𝑅𝑝𝑡𝑎. 𝑦 =
𝐶
𝑥2 + 9
Resuelva las siguientes E. D
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