EB Talgebra Boleanaema2

TEMA 2lgebra booleana y puertas lgicas

Tema 2: lgebra booleana y puertas lgicas

1) Introduccin BB1, Cap 4 (Introduccin)2) lgebra de Boole BB1, Cap 4, Ap 4.1, 4.2, 4.33) Concepto de funcin lgica y tabla de verdad. BB1, Cap 4, Ap: 4.3.1,

4.3.2

4) Funciones lgicas bsicas y puertas lgicas. BB1, Cap 4, Ap: 4.3.7, 4.4, 4.4.1, 4.4.2, 4.4.3, 4.4.4, 4.4.5, 4.4.7

5) Operadores completos NAND / NOR BB1, Cap 4, Ap 4.3.7: Pgs 138 139 // BB1, Cap 5, Ap 5.2: Pgs 188 191

BB1) Estructura de Computadores I (Gestin y Sistemas), Carlos de Mora Buenda y otros, UNED, 1 Edicin 3 reimpresin, 2004, ISBN 843624642X

1. Introduccin

2. lgebra de Boole

3. Concepto de funcin lgica y tabla de verdad

4. Funciones lgicas bsicas y puertas lgicas

5. Operadores completos NAND / NOR

Bibliografa:REF: Estructura y Tecnologa de Computadores I (Gestin de Sistemas)AUTOR: Carlos de Mora y otros.PGs: Captulo 4


3ETC TEMA 2: lgebra Booleana y Puertas LgicasManuel Bjar Domnguez

1. Introduccin BLOQUE 1: CODIFICACIN DE LA INFORMACIN

Tema 1: Representacin de la informacin. Aritmtica y Representacin binaria

BLOQUE 2: FUNDAMENTOS DE ELECTRNICA DIGITAL Tema 2: lgebra booleana y puertas lgicas Tema 3: Diseo de circuito combinacionales Tema 4: Circuitos combinacionales bsicos Tema 5: Diseo de circuitos secuenciales Tema 6: Circuitos secuenciales bsicos

BLOQUE 3: COMPUTADOR ELEMENTAL SMPLEZ Tema 7: Smplez. Modelo Estructural Tema 8: Smplez. Modelo Funcional (Parte I) Tema 9: Smplez. Modelo Funcional (Parte II) Tema 10: Smplez. Modelo Funcional (Parte III) Tema 11: Smplez. Modelo Estructural detallado Tema 12: Smplez. Modelo Procesal

BLOQUE 4: MICROPROCESADOR MOTOROLA 68000. Tema 13: Motorola 68000. Modelo Estructural y generalidades. Tema 14: Motorola 68000. Modelo Funcional (Parte I). Tema 15: Motorola 68000. Modelo Funcional (Parte II). Tema 16: Motorola 68000. Modelo Funcional (Parte III). Tema 17: Motorola 68000. Modelo Procesal. Tema 18: Motorola 68000. Perifricos.

ALTO NIVEL

BAJO NIVEL

MICROREAL


1. Introduccin

Distintos niveles de abstraccin

FSICA DE ESTADO SOLIDOMATERIALES SEMICONDUCTORES

DISPOSITIVO

CURVAS V/I

LEYES DE LA ELECTRICIDADCOMPONENTES ELECTRNICOS

CIRCUITO ELECTRNICO

LGEBRA DE BOOLEPUERTAS LGICASCIRCUITO LGICO

BUSES

MEMORIAS

MICROPROGRAMAALUs

MICROINSTRUCCIONESREGISTROSMICROMAQUINA

PROGRAMA

CONV. REPRESENTACIN INFORMACIN

INSTRUCCIONES

LENGUAJE MAQUINACPUMAQUINA CONVENCIONAL

LLAMADAS AL 5.0. + LENGUAJE MAQUINA

MAQUINA OPERATIVA

LENGUAJES DE ALTO NIVELMAQUINA SIMBLICA

LENGUAJECOMPONENTESNIVEL

ALTO NIVEL

BAJO NIVEL

ETC 1)

1)

2)

3)


1. Introduccin


1. Introduccin

El objetivo de los siguientes temas (2 a 6) es disear circuitos que realicen funciones generales (suma, comparacin, etc.).

Las entradas y salidas de nuestros circuitos son cables cuyos niveles de tensin/intensidad son traducidos a valores binarios (0,1).

Los valores binarios (0,1) en los circuitos estarn asociados a: Valores numricos decimales:

110 (sin signo) 6 (decimal) | 110 (signo-magnitud) -2 (decimal) Valores lgicos (VERDADERO,FALSO)

1 (binario) VERDADERO | 0 (binario) FALSO

Utilizamos operadores lgicas para especificar los circuitos: Si se deben dar 2 condiciones a la vez OPERADOR Y (AND) Si slo se deben dar 1 de las 2 condiciones OPERADOR O (OR)


1. Introduccin

EJEMPLO 1 (Interruptores A y B / Luces 1,2 y 3)

Si pulso A y B no est pulsado -> Accionar Luz 1 Si pulso B y A no est pulsado -> Accionar Luz 2 Si pulso A o B -> Accionar Luz 3

VERDADERO = 1 // FALSO = 0

Si pulso A y B no est pulsado (A=1 Y B=0) -> Accionar Luz 1 (L1=1) Si pulso B y A no est pulsado (A=0 Y B=1) -> Accionar Luz 2 (L2=1) Si pulso A o B (A=1 O B=1) -> Accionar Luz 3 (L3=1)

EJEMPLO 2 (Sumador de 3 bits)

Entradas: 3 (011) y 2 (010) -> Salida: 5 (101)

1. Introduccin

2. lgebra de Boole







2. lgebra de Boole.

Herramienta matemtica que posteriormente servir de base en el anlisis y sntesis de circuitos digitales.

El lgebra de Boole es una estructura matemtica que se construye a partir de un conjunto de elementos sobre los que se definen unos operadores que permiten realizar operaciones en ellos, estableciendo unos postulados o axiomas que relacionan tanto al conjunto de elementos como al conjunto de operadores.

El lgebra de Boole Bivalente est definida sobre un conjunto con dos elementos B = {0, 1} y las operaciones suma lgica + (OR) y producto lgico (AND).

lgebra de Boole Bivalente-> Operaciones lgicas, Circuitos digitales


2. lgebra de Boole.

Operaciones lgebra de Boole Bivalente

Elementos lgebra de Boole Bivalente

B = {0, 1}


2. lgebra de Boole.

POSTULADO IV Cada operacin es distributiva con respecto de la otra:

POSTULADO V Existe un elemento complementario:

a + a = 1a . a = 0POSTULADO VI

En el conjunto B existen al menos 2 elementos diferentes.

POSTULADO I El conjunto B es cerrado con respecto a las 2 operaciones:

POSTULADO II Existe un elemento identidad en las 2 operaciones:

a + 0 = aa . 1 = aPOSTULADO III

Las dos operaciones cumplen la propiedad conmutativa:Postulados

Sobrecualesquiera

elementos a,b,cpertenecientes a B


2. lgebra de Boole.

POSTULADO I El conjunto B es cerrado con respecto a las 2 operaciones:

Se cumple el primer postulado ya que el conjunto B es cerrado para las dos operaciones definidas.

COMPROBACINPOSTULADOS

EN LGEBRA

BIVALENTE

POSTULADO II Existe un elemento identidad en las 2 operaciones:

a + 0 = aa . 1 = a

Los postulados segundo y tercero se pueden comprobar directamente observando las tablas de la diapositiva anterior.

POSTULADO III Las dos operaciones cumplen la propiedad conmutativa:


2. lgebra de Boole.

COMPROBACINPOSTULADOS

EN LGEBRA

BIVALENTE

POSTULADO IV Cada operacin es distributiva con respecto de la otra:

POSTULADO V Existe un elemento complementario:

a + a = 1a . a = 0


2. lgebra de Boole.

PRINCIPIO DE DUALIDAD Sea E una igualdad entre dos expresiones booleanas. Sea ED otra igualdad obtenida a partir de E , intercambiando los

operadores + y ., y los elementos de identidad 0 y 1. Si E es una igualdad que se verifica para cualquier valor de sus

variables, ED, denominada dual de E, tambin lo es.

TEOREMAS (Consecuencia de Postulados)

LEY DE IDEMPOTENCIA Para cualquier elemento a en un lgebra de Boole, se verifica que:

OPERACIONES CON ELEMENTOS IDENTIDAD Para cualquier elemento a en un lgebra de Boole, se cumple que:


2. lgebra de Boole.

UNICIDAD DEL COMPLEMENTO El complemento de cada elemento es nico.

TEOREMAS (Consecuencia de Postulados)

LEY DE INVOLUCIN Para cualquier elemento a en un lgebra de Boole, se verifica que:

LEY DE ABSORCIN Para cada par de elementos a y b de un lgebra de Boole se verifica

que:

LEY DE MORGAN En un lgebra de Boole se verifica que:


2. lgebra de Boole.

EJEMPLO 1: DEMOSTRACIN LEYES DE MORGAN


2. lgebra de Boole.

EJEMPLO 2: DEMOSTRACIN LEYES DE MORGAN


2. lgebra de Boole.

COMPARACIN: LGEBRA DE BOOLE vs NMEROS REALES

En el lgebra de Boole No se incluye la propiedad asociativa. La propiedad distributiva es doble:

Del operador AND con respecto al OR a (b + c) = a b + a c

Del operador OR con respecto al AND. a + (b c) = a + b a + c

Se define el operador complemento lgico. No hay tiene operaciones de sustraccin ni divisin.

1. Introduccin

2. lgebra de Boole







Se define una funcin lgica como una correspondencia entre Bny B, de tal forma que:

EJEMPLO: Funcin lgica f = a (b+c) Variable a valores posibles: 0 y 1. Variable b valores posibles: 0 y 1. Variable c valores posibles: 0 y 1. Funcin lgica f valores posibles: 0 y 1.

3. Concepto de Funciones Lgica y de Tabla de verdad

Se define una variable lgica como un smbolo, por ejemplo a, que representa a cualquiera de los elementos B del lgebra de Boole bivalente.

EJEMPLO: Variable a valores posibles: 0 y 1.

VARIABLES LGICAS

FUNCIONES LGICAS

B = {0, 1} suma lgica + (OR) producto lgico (AND).



EJEMPLOS DE VARIABLES Y FUNCIONES LGICAS

El valor de una funcin se determina sustituyendo las variables por sus valores en la expresin algebraica y aplicando las reglas definidas para las operaciones + y .

EVALUACIN DE EXPRESIONES DE LGEBRA DE BOOLE

Se procede igual que en el lgebra ordinaria, de izquierda a derecha, realizando las operaciones segn el siguiente orden: parntesis, complemento, operador . y por ltimo el operador +.



Forma de representacin alternativa a las funciones lgicas.

Indican el valor que toma la funcin para cada una de las combinaciones de las entradas.

TABLAS DE VERDAD

1. Introduccin

2. lgebra de Boole







4. Funciones lgicas bsicas y puertas asociadas.

Las 24 posibles tablas de verdad con 2 variables lgicas son:

FUNCIONES CONSTANTES

FUNCIONES VARIABLES SIMPLES



FUNCIONES CON OPERACIN PRODUCTO



FUNCIONES CON OPERACIN SUMA



FUNCIONES CON OPERACIN PRODUCTO Y SUMA



TABLA RESU

MEN



La implementacin de funciones lgicas se realiza mediante dispositivos electrnicos denominados puertas lgicas (o digitales), siendo stas los componentes bsicos de la electrnica digital.

FUNCIONAMIENTO DE UNA PUERTA LGICA

Las puertas lgicas son circuitos que proporcionan como salida unos niveles de tensin en funcin de los niveles de tensin en sus entradas.

PUERTALGICA

V1 (4,5 voltios)

V2 (4,9 voltios)V3 (3,9 voltios)

CONCEPTO DE PUERTA LGICA

213 VVV =??



TIPOS DE LGICA (segn asignacin rangos de tensin) Segn a qu valor lgico se asocien los rangos de tensin, existen los

siguientes tipos de lgica digital: Lgica positiva: Rango tensiones altas > 1 lgico Lgica negativa: Rango tensiones altas -> 0 lgico

Se definen 2 rangos de tensin para clasificar los niveles de tensin que hay en las entradas y salidas de una puerta lgica. Rango tensiones alto: normalmente asociado al 1 lgico. Rango tensiones bajo: normalmente asociado al 0 lgico.

RANGOS DE TENSIONES



Por tanto, mediante la definicin anterior, las entradas y salidas de las puertas lgicas (en principio, valores analgicos de tensin) podrn ser entendidas como 0 y 1 (valores digitales).

PUERTALGICA

V1 (4,5 voltios) -> 1 lgico



Definiendo en el ejemplo anterior: Rango tensiones alto (2,5 v 5 v) -> 1 lgico Rango tensiones bajo (0 v - 2,5 v) -> 0 lgico

EXISTIRAN OTRAS POSIBLES FUNCIONES ASOCIADA A ESTA PUERTA?

213 VVV =

02.5

5



PUERTAS LGICAS NORMALIZADAS EN DISEO DIGITAL

Entre todas las funciones en la tabla (Conjunto de Funciones Lgicas de dos Variables Lgicas), las que realmente se implementan de forma normalizada en el diseo digital son: AND / OR NAND / NOR NOT / SEGUIDOR XOR / XNOR

Como es lgico suponer, cada una de las Funciones Lgicas de dos Variables Lgicas mencionadas anteriormente podra ser extrapolada para n variables de entrada (implementndose tambin de forma normalizada en el diseo digital). EJ: Puerta AND de 3 entradas



La tecnologa empleada caracteriza ciertos parmetros fsicos: Velocidad de propagacin de las seales, Niveles de tensin de funcionamiento / Consumo de energa Tamao o el coste de los dispositivos.

Las puertas lgicas se clasifican en familias (cada una con una tecnologa asociada). Los elementos de una familia tienen valores similares para los parmetros fsicos comentados anteriormente.

FAMILIAS DE PUERTAS LGICAS



EJEMPLOS DE CARACTERIZACIN DE FAMILIA TTL

Correspondencia tensiones/niveles lgicos (familia de circuitos integrados TTL)

Retardos en puertas lgicas(nanosegundos en familia TTL)


CRONOGRAMA


FUNCIN LGICA PUERTA LGICA ANDSMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta AND vale 1 slo si todas y cada una de las variables de entrada son simultneamente 1.

La funcin AND realiza la operacin de producto lgico, siendo su smbolo algebraico . Se lee por o tambin y.

baf =



PUERTA LGICA ANDCIRCUITOS COMERCIALES



PUERTA LGICA ANDEJEMPLO DE APLICACIN

Circuito para habilitar o inhabilitar el paso de una seal de reloj (tren de impulsos) mediante una entrada de control (habilitacin).


CRONOGRAMA


SMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta OR vale 1 si una cualquiera de sus variables de entrada vale 1.

La funcin OR realiza la operacin de suma lgica, siendo su smbolo algebraico +. Se lee ms o tambin o.

FUNCIN LGICA PUERTA LGICA ORbaf +=



PUERTA LGICA OREJEMPLO DE APLICACIN

Circuito que active una sirena S cuando cualquiera de los sensoressituados en tres ventanas (seales A, B, C) y una puerta (seal D), detecten una intrusin.

OTRA POSIBLE DISEO:PUERTA OR DE 4 ENTRADAS


CRONOGRAMA


SMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida es el complemento de la entrada, es decir, si la entrada vale 0 la salida vale 1 y si la entrada vale 1 la salida vale 0.

La funcin NOT realiza la operacin de complementacin lgica.

FUNCIN LGICA PUERTA LGICA NOTaf =



PUERTA LGICA NOT (Inversora)EJEMPLO DE APLICACIN

Circuito que realice el complemento a uno de un nmero binario de ocho bits.


CRONOGRAMA


SMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida es igual a la entrada. La funcin seguidor no realiza ninguna

operacin lgica sobre la entrada, se justifica su utilizacin en aquellas aplicaciones en las que se requiere aumentar la corriente para excitar a dispositivos que as lo requieran.

FUNCIN LGICA PUERTA LGICA BUFFERaf =


CRONOGRAMA


SMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta NAND vale 0 slo si todas y cada una de las variables de entrada son simultneamente 1.

La funcin NAND realiza la operacin de complementacin del producto lgico.

FUNCIN LGICA PUERTA LGICA NANDbaf =



PUERTA LGICA NANDEJEMPLO DE APLICACIN

Se quiere disear un circuito que detecte cundo alguno de los 2 depsitos se encuentra por debajo del 20 % de su capacidad, visualizndose en un led de color rojo esta situacin.

Sensores de nivel de lquidos:1 si depsito por encima del 20 %.


CRONOGRAMA


SMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta NOR vale 1 slo si todas y cada una de las variables de entrada son simultneamente 0.

La funcin NOR realiza la operacin de complementacin de la suma lgica.

FUNCIN LGICA PUERTA LGICA NORbaf +=



PUERTA LGICA NOREJEMPLO DE APLICACIN

Sistema que indica si un coche circula con las puertas mal cerradas. El sistema de deteccin del estado de las puertas p de un automvil

entrega un nivel bajo si se encuentra alguna puerta mal cerrada. La seal m presenta nivel bajo si el coche supera los 10 Km/h.


CRONOGRAMA


SMBOLO

TABLA DE VERDAD

La salida de una puerta XOR vale 1 cuando el nmero de entradas con valor igual a 1 sea impar y su salida vale 0 en caso contrario.

Para el caso particular de puertas XOR de dos entradas, su salida vale 1 cuando las variables de entrada tomen valores distintos.

FUNCIN LGICA PUERTA LGICA XORbaf =



PUERTA LGICA XOR

CIRCUITOS COMERCIALES

EQUIVALENCIA

1. Introduccin

2. lgebra de Boole








CONJUNTO DE OPERADORES FUNCIONALMENTE COMPLETO

Un conjunto de operadores es funcionalmente completo, si cualquier funcin lgica se puede expresar mediante los operadores de este conjunto.

{, +, -} es funcionalmente completo. {, -} (NAND) es funcionalmente completo. {+, -} (NOR) es funcionalmente completo.

Los operadores NOR y NAND (funcionalmente completos) son los ms empleados.

yx + yx NOR NAND



EQUIVALENCIA DE (NOT, AND, OR) CON OPERADOR COMPLETO NAND

f = b + a puede ser expresado con operadores NAND (leyes de Morgan)

bbaabababaf ==+=+=

EJEMPLO: f = b + a puede ser expresado con operadores NOR (leyes de Morgan)

babababaf +++=+=+=



EJEMPLO (OPERADOR COMPLETO NAND)

Diseo sin restricciones Diseo slo con NAND

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