El pilotaje

El pilotaje. Apuntes para un libro de texto

44

Trabajo publicado en www.ilustrados.com

La mayor Comunidad de difusin del conocimiento

El pilotaje

Monografa sobre el anlisis de las Cimentaciones sobre pilotes.

Autor: Dr. Ing. Luis Orlando Ibaez Mora.

Indice

1.1 Introduccin.3

1.2 Mtodos para la determinacin de la capacidad de carga y las de formaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.4

1.3 Mtodos para la determinacin de la capacidad de carga y las de formaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.10

1.4 Modelacin matemtica para la determinacin de la capacidad de carga y las de formaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.12

1.5 Modelacin matemtica de las deformaciones en la base de la cimentacin.29

1.6 Modelacin matemtica.33

1.7 Recomendaciones practicas para la modelacin.38

Bibliografa.42

Introduccin.

El objetivo de este trabajo es establecer un estado del arte sobre las metodologas de anlisis y diseo de las cimentaciones sobre pilotes, que nos permita un posterior anlisis sobre el tema. Con este propsito, se presenta de forma simplificada, un estudio y crtica de los diferentes mtodos empleados en la determinacin de la capacidad de carga y las deformaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes. A continuacin, y con un mayor grado de profundizacin, se analiza la modelacin matemtica empleada para la solucin de los mtodos estticos para el clculo de la capacidad de carga, a partir de la modelacin e hiptesis empleadas en ellos, as como tambin se abordan los temas de fallo en grupo, la eficiencia y la friccin negativa. Para el caso de las deformaciones, igualmente se estudian las invariantes a tener en cuenta en el proceso de clculo.

La capacidad de una cimentacin sobre pilotes para soportar cargas o asentamientos excesivos, depende de forma general de: el cabezal, el fuste del pilote, la transmisin de la carga que trasmite el pilote al suelo y los estratos subyacentes de roca o suelo que soportan la carga de forma instantnea. Al colocar un pilote en el suelo, se crea una discontinuidad en el medio segn la forma de instalacin del mismo. Para el caso de pilotes fundidos "in-situ", la estructura de las arcillas se desorganiza y la capacidad de las arenas se reduce. En la hinca, dentro de la zona de alteracin ( 1 Dimetro a 3 Dimetros ) se reduce la resistencia a cortante en arcillas, sin embargo, en la mayora de los suelos no cohesivos se aumenta la compacidad y el ngulo de friccin interna. En el anlisis de la transferencia de la carga, todos los autores, Jimnez Salas[12], Jurase Badillo[14], Sowers[38] coinciden que la carga se trasmite por la punta, a compresin, denominada "resistencia en punta" y por esfuerzo a cortante a lo largo de la superficie del pilote llamada "friccin lateral". Sin embargo en todos los casos no se desarrollan ambas resistencias, y el estado deformacional para alcanzarlas difiere grandemente. Para las arcillas, el aporte a friccin predomina sobre el aporte en punta, no siendo as para el caso de las arenas. La determinacin de los asentamientos, constituye, para estas cimentaciones un problema tericamente muy complejo, por las incertidumbres que surgen al calcular la variacin de tensiones por carga impuesta, y por determinar que porciento de la carga es la que provocar deformaciones.

Finalmente, al analizar estas cimentaciones, no debemos verla como un pilote aislado, sino como un gran conjunto, donde tambin intervienen el cabezal y el suelo adyacente a la cimentacin, y donde el comportamiento de un pilote depender en gran medida de la accin de los pilotes vecinos.

Mtodos para la determinacin de la capacidad de carga y las de formaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.

Para determinar la capacidad de carga en pilotes se han desarrollado frmulas y criterios que pueden agruparse en cuatro clases que se citan a continuacin:

Mtodos Dinmicos.

Ensayos de Penetracin.

Pruebas de Cargas.

Mtodos Estticos. (Teora de la Plasticidad)

a) Mtodos Dinmicos.

Dentro de este mtodo se han desarrollado la frmula de hinca y la ecuacin de onda. SOWERS[38], JUAREZ BADILLO[14], LEON[17], entre otros coinciden en que todos los anlisis dinmicos estn basados en la transferencia al pilote y al suelo de la energa cintica de la maza al caer. Esta realiza un trabajo til forzando al pilote a introducirse en el suelo venciendo su resistencia dinmica. El problema fundamental de las mismas es como calcular las perdidas de energa y la eficiencia mecnica del proceso, por lo que se han desarrollado varias frmulas que se disfrazan bajo la utilizacin de diferentes coeficientes que evalan el comportamiento de los factores que intervienen en el proceso. En algunos casos estas frmulas han permitido predecir con exactitud la capacidad de carga del pilote, pero en otros no, y su uso indiscriminado ha trado como consecuencia, unas veces, la seguridad excesiva, y en otras el fracaso. [38]Como crtica a estas frmulas Jurez Badillo[14] cita que la suposicin de que la resistencia dinmica opuesta al pilote en su punta durante el hincado por impacto es igual a la resistencia que el pilote encontrar en su punta en condiciones de carga esttica. Por otra parte Sowers[29] plantea que sern validas estas expresiones si la resistencia a cortante fuera independiente de la velocidad de aplicacin de la carga. Por lo que en suelos de granos finos y saturados, donde la resistencia depende de la velocidad conque se desarrolle el esfuerzo cortante, no son validas dichas expresiones. Adems [14] se ignora los efectos de cambios de resistencia del suelo en torno al pilote con el tiempo, tan importante en muchos tipos de suelos.

Dentro de las frmulas dinmicas podemos citar, entre otras, la expresin de Hiley [38], Enginnerring News [38], de Dalmag, Gersevanov [25], y las expuestas en [14] [26] y [24] donde se hace una buena recopilacin de estas expresiones incluyendo la expresin de CASE ms completa y moderna.

Teniendo en cuenta lo expuesto en [14] [38], hace ya casi 30 aos, se pudiera concluir que las frmulas dinmicas no representan un mtodo racional para determinar la capacidad de carga de pilotes. Sin embargo en los ltimos 25 aos, con la ayuda de la modelacin matemtica y la instrumentacin electrnica, y la aparicin de acelermetros piezomtricos capaces de registrar los detalles del proceso que ocurre bajo un golpe de maza, estn permitiendo mejorar el entendimiento que exista del proceso de hinca. Para determinar la resistencia a la hinca, se suele utilizar la formula de Case [13] FComo conclusin, podemos plantear que siempre que se cuente con la adecuada instrumentacin electrnica y una correcta modelacin matemtica, se puede estimar la capacidad de carga de las cimentaciones sobre pilotes por mtodos dinmicos.

En este trabajo no se profundiza en estos mtodos, debido en primer lugar a la necesidad de la realizacin de varios ensayos a escala real y a la imposibilidad de contar con la instrumentacin necesaria para registrar los procesos que se generan durante la hinca. Por otra parte ambos limitaciones requieren el uso de tiempo y grandes costos. Existen trabajos precedentes de la modelacin de dinmica de pilotes realizados por Snchez (1994)[35]b) Ensayos de Penetracin.

Los ensayos de penetracin son utilizados frecuentemente para determinar la capacidad soportante de los pilotes. El estado tensional y deformacional en el suelo debido a un pilote cargado con su carga ltima y el de un penetrmetro que se introduce en el suelo son muy similares. Por esta razn se puede establecer una relacin muy estrecha entre la resistencia a penetracin y la capacidad soportante del pilote [19]. En nuestro pas se utilizan los modelos de penetracin del cono holands y los modelos soviticos S-979 y Sp-59 [17]. Un anlisis de las expresiones utilizadas para la determinacin de la capacidad resistente por estabilidad del pilote aislado, nos evidencia, que esta no es ms que la suma del aporte a friccin y en punta, afectados por un factor de escala entre la resistencia en punta del cono de penetracin y la punta del pilote (Un interesante enfoque del problema se desarrollo por BUSTAMENTE y GIANESELLI (1983)[12], basado en la interpretacin de 197 ensayos de carga franceses, en suelos limosos, arcillosos y arenosos.

Visto todo lo anterior, podemos concluir, que los ensayos de penetracin, a pesar del grado de empirismo que encierran (Factores de escala), tienen un gran carcter regional, ya que se obtienen de ensayos realizados en lugares especficos y de aqu su limitacin de aplicacin. Por otra parte, debemos recordar que este mtodo permite determinar la capacidad resistente por estabilidad del pilote aislado, y como hemos visto, el comportamiento de un pilote est estrechamente vinculado a la accin de los pilotes vecinos.

Para poder modelar matemticamente este fenmeno, aunque se pudiera discutir al detalle el fenmeno de penetracin del cono en el suelo, necesariamente se utilizan los factores de escala, por lo que los resultados obtenidos tendran mayor validez en los suelos que se realizan los ensayos del modelo. Por otra parte, al igual que en los mtodos dinmicos, habr que recurrir a ensayos a escala real para validar las expresiones obtenidas, que por su elevado costo se hacen imposibles realizar.

c) Pruebas de Carga.

Existe un consenso generalizado[14][25][38] que el mtodo ms seguro para determinar la capacidad de carga de un pilote, para la mayora de los lugares, es la prueba de carga. Dentro de ella se han desarrollado la prueba de asiento controlado (Controlando el incremento de asiento o a una velocidad de asiento constante) y la prueba con carga controlada (incremento de carga constante en el tiempo o asiento mnimo para un incremento de carga). Este ltimo es el ms usado, ya que permite determinar la carga ultima cuando se ha movilizado la resistencia del suelo que se encuentra bajo la punta y rodeando al pilote.

En esencia, estas pruebas, no son ms que experimentar a escala real, un pilote, para procesar su comportamiento bajo la accin de cargas y determinar su capacidad de carga. Precisamente, su inconveniente fundamental estriba en su elevado costo y en el tiempo requerido para realizarla.

SOWERS[38], recomienda que los resultados del ensayo son una buena indicacin del funcionamiento de los pilotes, a menos que se hagan despus de un perodo de ajustes. JIMENES SALAS [13] muestra preocupacin ya que el pilote de prueba puede representar o no la calidad de los pilotes definitivos, y su experiencia le ha evidenciado que existen casos de pilotes de pruebas ejecutados peor que los definitivos. Otra limitacin [14] radica en que la prueba de carga se realiza generalmente en un solo pilote y conocemos que el comportamiento de un grupo es diferente al de la unidad aislada. De la literatura consultada, la prueba de carga a grupos de pilotes es muy escasa, debido al costo del ensayo, y la magnitud de la carga necesaria para movilizar la prueba.

En nuestra opinin coincidimos con JIMENES SALAS [12], en que las pruebas de carga tienen su lugar en la determinacin de la capacidad de carga del pilote, en el control de la calidad, como tambin lo tienen los registros de hinca, con o sin el empleo del analizador electrnico y las pruebas de integridad de los pilotes.

Como hemos visto, estas pruebas son la mejor forma de obtener la capacidad de carga ltima de un pilote, por lo que en el desarrollo de este trabajo, haremos uso de los resultados ya obtenidos por este mtodo existentes en la literatura internacional (Espaa[12], Francia[21,22]) y en el pas (Obras tursticas en Varadero, Trinidad, as como resultados experimentales de la ENIA), para validar los resultados que obtengamos, es decir, servirn para la calibracin de los modelos propuestos.

d) Mtodos estticos. (Basados en al teora de la plasticidad)

Estas frmulas estn basadas en principios tericos y ensayos, que procuran determinar la capacidad mxima de carga que es capaz de resistir un pilote o grupo de estos en el medio (Suelo). SOWERS [38], JUAREZ BADILLO [14], JIMENEZ SALAS [12][13], la Norma sovitica[26], L Herminier [16], la Norma europea CEN/TC 288 y la CNC 73001, entre otros coinciden en que la capacidad de carga se obtiene de la suma de la resistencia por la punta y por la friccin lateral en el instante de carga mxima:

Qtotal = Qpunta + Qfriccin

Ec. 1.1

Ambos valores estn basados en el estado de esfuerzos alrededor del pilote y en la forma de distribucin del esfuerzo cortante que se desarrolla la falla. Es de sealar que la carga mxima [39] [13] o de falla no necesariamente es igual a la suma de la carga en punta ms la carga por friccin lateral, ya que puede ocurrir que no se movilicen simultneamente la resistencia en punta y la friccin lateral en las diferentes secciones del fuste del pilote (Ver figura 1).

En ensayos reales en la Baha de Algerciras, Espaa se demostr que para arcillas y arenas limosas llega a la punta un 25 a 40 % de la Qfriccin, sin embargo en arenas llega hasta un 40%. Por otra parte varios autores como BRAND (1986) y ROGEL (1987)[33][34] han estudiado el efecto de la esbeltez dentro del estrato resistente en la transmisin de cargas, llegando a plantear que para relaciones Luz / Dimetro = 15 la carga de la punta puede ser del orden del 20 al 25% de la carga total, y en pilotes muy largos con relacin Luz /Dimetro mayores que 30 puede bajar de un 10 a un 20%. En el caso de pilote "in-situ" en arcillas los resultados experimentales pueden compararse con las deducidas de diversas teoras, las elsticas de Paulos[12], las de anlisis elstico mediante el mtodo de elementos finitos, con elementos deslizantes en el fuste (SORIANO y OTEO, 1982) [34][29] y con los modelos de ROGEL et. al. (1982)[12], con Mtodo de Elementos Finitos, elementos de junta y modelo hiperblico. De estos anlisis, es el de ROGEL el que mejor se ajusta, que lleva a cargas en la punta solo superiores al 30 - 40 % cuando la esbeltez es mayor que 20. Como muchos terrenos no son homogneos los resultados obtenidos por SORIANO y OTEO (1982)[12][28], muestran que la carga en punta vara del 25 al 55% de la carga total.

Figura .1.

Mecanismo de transferencia de carga en el pilote.

Respecto a la frmula 1.1, lo que se refiere a Qfriccin puede aceptarse [12][14] [38] la expresin clsica Qfriccin = Hay que sealar que cada una de dichas expresiones matemticas, utilizan factores y coeficientes que se han obtenido a partir de ensayos, para condiciones especficas de suelos, dismiles a las de nuestro pas, por lo que al hacer uso de ellas, se debe dominar su origen y comparar su posible similitud. Antes de exponer las expresiones se hace necesario sealar que todos los autores[12] [14] [26] [38], coinciden en que la capacidad total de un pilote o grupo est dado por tres sumandos, el aporte en punta, la friccin lateral positiva y la lateral negativa, esta ltima para pilotes apoyados en punta o en estratos resistentes y que atraviesen estratos compresibles, que por cualquier efecto se consolidan.

Dentro de los mtodos estticos podemos mencionar los trabajos de Sowers[38], Meyerhoff [38], Jurez Badillo[14], Jimnez Salas [12][13], L Herminier [16], la Norma europea CEN/TC 288, la CNC 73001, etc., dentro de los cuales esencialmente el aporte en punta se obtienen de un anlisis similar al de Meyerhoff de capacidad de carga para las cimentaciones superficiales; y el aporte a friccin depende del mecanismo de falla que se adopte en la cara del pilote.

Como para determinar la capacidad de carga del pilote a travs de mtodos estticos no es necesario el uso de los costosos ensayos y solo requeriremos de ellos para validar nuestros resultados, en lo que resta de este trabajo se profundizar en el anlisis de las mismas, es decir en las hiptesis y modelos que se han utilizado para su obtencin, lo que nos permitir a travs de la modelacin matemtica, y con la utilizacin de softwares basados en mtodos numricos, analizar el comportamiento de las cimentaciones sobre pilotes.

Mtodos para la determinacin de la capacidad de carga y las de formaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.

Es precisamente una de las razones del surgimiento de las cimentaciones sobre pilote el de conseguir asentamientos pequeos. A la hora de calcular los asentamientos debe tenerse en cuenta[12] los dos mecanismos resistentes vistos anteriormente. Puede decirse que, generalmente, se moviliza primero la resistencia por fuste, con asientos del orden de 0.5 al 11% del dimetro del pilote, mientras que se acaba de movilizar la resistencia en punta con asentamientos del orden del 10 a 20 veces la cifra anterior.

Pudiramos definir entonces [38] que el asentamiento de un pilote aislado proviene del acortamiento elstico del fuste del pilote y, en parte, de la distorsin del suelo alrededor del pilote, ms la deformacin de los estratos sobre los que descansa.

MENZEMBACH[20] plantea la idea de que parece ser aceptable el determinar los asentamientos bajo la carga de punta, ya que el rozamiento superficial se moviliza a plenitud bajo deformaciones mucho menores que los de la resistencia en punta. En trabajos del autor de estas pginas [11], se alcanzan resultados similares mediante la modelacin por el Mtodo de los Elementos Finitos [12].

Para calcular los asentamientos podemos citar los siguientes mtodos [11] [12] [14] [38]:

Mtodos empricos para pilotes aislados.

Mtodos de la funcin de transferencia.

Procedimientos elsticos.

Mtodos de VESIC.

Mtodos tericos.

Mtodos experimentales.

Los mtodos empricos estn basados en la recopilacin de ensayos o son una recomendacin de los diferentes autores. Dentro de estos podemos citar a MEYERHOFF (1960) y ASEHEMBRENNER y OLSON(1984)[12].

En el mtodo de la funcin de transferencia, el pilote se discretiza en anillos que apoyan en el terreno a travs de muelles y amortiguadores, de manera que la reaccin del terreno (resistencia del fuste - desplazamiento) sea una lnea de tipo hiperblico (funcin de transferencia). De esta ltima se conocen las propuestas de OTEO y SORIANO (1982) [12], en arcillas medias, CLEMENTE Y BRUMEND (1976) y MEY, OTEO[27], SORIANO y SANCHEZ (1985)[13] en arenas densas.

Los procedimientos elsticos, estn basados en la integracin de las soluciones de Midlin [23] al caso de una fuerza concentrada en el interior de un semi - espacio de Boussinesq. En ellos el pilote y el terreno [13] se consideran por separado y sometidos a fuerzas iguales y contrarias. Su aplicacin es aceptada en arcillas donde se supone con bastante aproximacin que el mdulo de elasticidad es constante con la profundidad. PAULOS y DAVIES, han tenido en cuenta diferentes factores como la compresibilidad del propio pilote, base ensanchada, presencia de un estrato firme prximo a la punta, comportamiento no elstico, ni que el terreno sea istropo o uniforme (lo que contradice, la validez de las soluciones de Midlin) obteniendo buenos resultados. El efecto de grupo puede tenerse en cuenta analizando la interferencia de dos pilotes (estudiando la influencia de las reacciones en un punto de un pilote en los otros) y aplicacin del principio de superposicin.

El mtodo de VESIC[12] [13] para el calculo del asiento de un pilote intenta simplificar diversos sistemas de anlisis en diferencias finitas. En el se establece que el asentamiento de la cabeza de un pilote puede separarse, en el asiento debido a la compresin axial del propio pilote, asiento de la punta causado por la carga que dicha punta aplica sobre el suelo y el asentamiento de la punta causado por las distintas cargas trasmitidas al terreno a lo largo del fuste. Constituye sin dudad alguna, esta el ms completo e integral enfoque, al analizar casi todos los factores que influyen en el clculo de los asentamientos del pilote.

Los mtodos tericos [11], se basan en expresiones clsicas relacionadas con el clculo de las deformaciones en el interior del semi espacio elstico, homogneo e istropo, producto de una fuerza P. Dentro de ellos podemos citar a MIDLIN(1936) y KELVIN(1948). Consideramos que su aplicacin hoy en da no se justifica, ya que estudios realizados [11] evidencian lo alejado de la realidad de los resultados obtenidos.

En los mtodos aproximados se determinan los asentamientos con el uso de expresiones matemticas, similar a las cimentaciones superficiales, solo que se tiene en cuenta la variacin del estado tensional en el interior del semi espacio homogneo, istropo y lineal. En este grupo se destacan los trabajos de HEAFELI y BUCHER (1966)[20], KEZDI (1964), la CNC 73001, SCHULTZE (1953) y la de la propuesta de norma de cimentaciones superficiales [30]. En esta ltima se sustituye el pilote o grupo de pilotes por una cimentacin ficticia, y se aplica la solucin de sumatorias de capas.

Modelacin matemtica para la determinacin de la capacidad de carga y las de formaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.

Si valoramos la situacin actual del diseo de cimentaciones sobre pilotes, en lo se refiere a resistencia, se siguen utilizando las mismas esquemas que antes, con pequeas modificaciones. No ocurre lo mismo respecto a las deformaciones, en donde se han desarrollado muchos trabajos de investigacin ltimamente, en parte porque su conocimiento es esencial para juzgar cualquier situacin del trabajo del conjunto, ya que se acepta la idea [2][13] del pilotaje, como el conjunto de los pilotes, ms el terreno que los rodea.

Con la utilizacin de mtodos estticos, basados en expresiones tericas y ensayos a pequea escala, que sirven como base de todas las metodologas de diseo, resulta ms factible establecer comparaciones, as como evaluar diferentes factores que intervienen en la determinacin de la capacidad de carga.

Modelacin matemtica de la capacidad de carga en el suelo en las cimentaciones sobre pilotes.

Para el calculo de la resistencia por el fuste (Qfriccin) se mantiene de forma general el enfoque occidental, donde coexisten dos mtodos que se han dado en llamar mtodo de las tensiones totales y mtodo de las tensiones efectivas. El primero se apropia a suelos coherentes, y en ellos se toma como resistencia por el fuste la resistencia del terreno a esfuerzo cortante sin drenaje (adherencia), multiplicado por un coeficiente emprico, pero que depende del tipo de terreno, forma de construccin del pilote, etc. En el mtodo de las tensiones efectivas, se toma como resistencia por el fuste la presin sobre el plano horizontal multiplicada por un coeficiente (Analizando la cimentacin como un conjunto, la posibilidad de colaboracin entre los pilotes y su encepado o losa, para soportar las cargas, que antes era totalmente despreciada, se acepta hoy como muy normal, en aquellos casos en que el encepado se hormigona sobre el suelo. COKE (1986)[12], dio cuenta de que ensayos en Londres, demuestran que alrededor de 30 % de la carga esta siendo trasmitida por el encepado, aun cuando en el proyecto se haba supuesto que la carga fuera a ser tomada por los pilotes. El autor de estas pginas [11], en su tesis de Maestra, realiza un estudio sobre el trabajo cabezal - suelo en este tipo de cimentaciones, donde se evidencia la variacin de la carga actuante a nivel del pilote en funcin de la rigidez del cabezal y el mdulo de deformacin del terreno en la cabeza y punta del pilote. Actualmente existen anlisis muy detallados mediante elementos finitos para determinar la distribucin ptima de los pilotes, sin embargo no se ha llegado a presentar en una forma paramtrica que permita su utilizacin sencilla sin necesidad de llevar a cabo el anlisis completo por computacin.

Dentro de toda la problemtica narrada anteriormente, y referido al diseo [12] [14] [38], podemos decir que el problema se centra sobre la capacidad portante del pilote aislado, y sobre su comportamiento respecto al asiento bajo la carga de trabajo nominal (Npilote). El comportamiento del grupo se estima despus mediante el uso de factores de interaccin o de eficiencia derivados de modelos y/o frmulas empricas.

Invariantes para la determinacin de la capacidad de carga en las cimentaciones sobre pilotes.

La capacidad de carga del pilote (Qt) depende del aporte que se genera en la punta (Qp) ms el aporte que se genera a friccin (Qf) en las caras del pilote, corregido por un factor de eficiencia que evala el comportamiento del pilote aislado en el grupo (( ).

La capacidad de carga de una cimentacin sobre pilote depender entonces de:

Las solicitaciones actuantes.

Dimensiones del pilote.

Medio.

Distribucin de pilotes.

Forma de instalacin.

Las solicitaciones actuantes dependen para nuestro caso de:

La solicitaciones externas (Momento, cortante y axial).

Las dimensiones determinan :

Area de la punta.

Permetro del pilote.

Segn el medio (Suelo) se establecer:

Ley de resistencia del material (Resistencia a cortante (S)) y los parmetros que lo caracterizan (C Cohesin, ( - ngulo de Friccin Interna, ( - Densidad)

S = C (Suelos cohesivos)

S = ( (Suelos friccionales)

S = C + ( tan (. (Suelos cohesivos friccionales)

Tipo de falla en el fuste

Falla suelo suelo.

Falla suelo pilote.

Empuje lateral de tierra.

Presin efectiva vertical en la cara del pilote.

Los parmetros que definen el comportamiento del medio (suelo) influyen adems en la presencia de la friccin negativa y el fallo en grupo.

La forma de distribucin de los pilotes influye en:

Fallo en grupo.

Eficiencia del grupo.

La forma de instalacin determina:

Tipo de falla en el fuste:

Falla suelo suelo.

Falla suelo pilote.

Presin efectiva vertical en la cara del pilote (K).

Como paso previo, al anlisis de las expresiones matemticas (basadas en la teora de la Plasticidad) para el clculo de la capacidad de carga, debemos recordar que coexisten dos mtodos de diseo, de forma general aplicada al diseo de las cimentaciones sobre pilotes:

Mtodo del factor de seguridad global.

Mtodo de los estados lmites.

Y1 Fuerzas actuantes

Y2 - Fuerzas resistentes

En el primero de ellos el equilibrio entre fuerzas se establece dividiendo las fuerzas resistentes, con su valor normativo, por un factor de seguridad global. Para el caso de pilotes existen un aporte en punta y otro a friccin, y que como son mecanismos que no se alcanzan al unsono, se acostumbra [12] a utilizar valores diferentes de factor de seguridad para el aporte en punta y a friccin.

El mtodo de los Estados Limites, de gran uso en muchos pases incluido el nuestro, hace nfasis en la carga de hundimiento y el asiento del pilote aislado. JIMENEZ SALAS [12] analiza que "un pilote situado en un grupo transfiere las cargas de una manera diferente a como lo hace el pilote aislado, particularmente cuando el encepado descansa directamente sobre un terreno competente". Es necesario, pues dirigir el nfasis en el proyecto hacia la respuesta global de la cimentacin. En las losas pilotadas, el estado limite sera aquel en que la losa entera penetrara en el terreno, y en este caso, la resistencia al hundimiento del pilote individual tendra muy poco significado. Hoy en da, con la nueva generacin de mtodos analticos, es ms fcil el clculo de las deformaciones, que intentando la interaccin detallada de cada elemento de la cimentacin.

- Pilotes apoyados en roca.

La resistencia en punta para estos casos ser de forma genrica:

Qp = f (Ap, R)

Ap rea de la punta del pilote.

R Resistencia a compresin de los ncleos de roca o de suelo bajo la punta.

R = f(R, dr, RQD)

R Valor promedio de la resistencia limite a compresin axial.

Dr factor de profundidad f(Longitud de empotramiento y el dimetro)

RQD Coeficiente que avala la calidad de la roca.

Matemticamente se expresa :

Qp = Ap R

En estos pilotes como se expresa, el aporte en punta (nico en estos casos) depender del rea en punta del pilote y de la resistencia que presenta el suelo o la roca bajo la punta (Eo a)La Propuesta de Norma [24].

Q*v = R*Ap

Ec. 1.2

Ec. 1.3

Ksq - f(RDQ, espaciamiento de las discontinuidades).

b)Miguel Len [17].

Qv = Ap qu Ksp d

Ec. 1.4

qu - valor promedio de la resistencia limite a compresin axial.

Ec. 1.5

Ec 1.6

E - espaciamiento de las discontinuidades

A - ancho de las discontinuidades.

Para un coeficiente seguridad c)La Norma Sovitica [26].

P = KmRnorAp

Ec 1.7

K m - coeficientes de homogeneidad del suelo y coeficiente de condiciones de trabajo.

Rnor - resistencia normada del suelo por debajo del extremo inferior del pilote.

Rnor = f(Valor medio aritmtico de la resistencia temporal del suelo rocoso a una compresin uniaxial en el estado saturado, profundidad de empotramiento y dimetro del pilote).

Como puede apreciase este valor se obtiene a travs de ensayos a escala reducida para las condiciones antes sealadas.

El anlisis del comportamiento de la roca bajo la accin del pilotaje, en la bibliografa consultada es muy pobre pudindose citar los trabajos de Rivero (1944) [32], a la vez de que no se presentan anlisis basados en la modelacin. La principal dificultad radica en que a diferencia del suelo, el macizo rocoso se modela como un medio discontinuo debida a la presencia de fallas y diaclasas en las rocas. Para otras obras geotecnicas [37] se ha utilizado soluciones que consisten en la modelacin del macizo en funcin de los parmetros geomecnicos de la roca donde se evalan todos las factores anteriores y se alcanzan resultados satisfactorios.

- Pilotes apoyados en suelo.

De las normativas estudiadas para el calculo de la capacidad de carga se destacan las metodologas de la Propuesta de Norma[24], Miguel Len[17], Menzenbach[19], Meyeroff, Brinch - Hasen, Ramn Barbey, R. L. Herminier[16], Sowers[38], BOWLES[5]y Jimnez Salas entre otros.

La determinacin del aporte en punta esta dado por la ley que se asuma como la resistencia a cortante (En suelos Aporte en punta.

El aporte apunta para pilotes apoyados en suelo de forma genrica se expresa como:

Qpunta = F (Ap, qp)

Ap rea de punta del pilote.

Qp resistencia en punta.

El mecanismo de resistencia en punta, se asemeja al de una cimentacin superficial enterrada profundamente. Al igual que los resultados analticos de las cimentaciones poco profundas podemos expresar de forma general:

Ec. 1.8

Esta expresin fue deducida por primera vez por Terzaghi y mejorada por Meyerhoff , donde se establece un mecanismo de falla a travs de espirales logartmicas que siempre se cierran en el caso de pilotes, basado en la mecnica del medio continuo[14]. Para los pilotes, en que B es pequea, frecuentemente se omite el primer termino [38]:

Ec. 1.9

SOWERS [38] de forma acertada plantea lo difcil de precisar cual es el factor de capacidad de carga correcto que debe usarse. Sobre el estudio de estos factores podemos citar los trabajos de Meyerhoff y Berezantzev. El factor de capacidad de carga en arenas, est en funcin de la relacin del ngulo de rozamiento interno (a)La propuesta de Norma [24]:

Ec. 1.10

Para suelo qp - factor de la capacidad de carga, funcin de Nq factor de la capacidad de carga

q* presin efectiva vertical minorada en la punta del pilote por debajo de la profundidad (Zc)

Respecto al calculo de q* y la determinacin de la profundidad crtica profundizaremos ms adelante.

Para suelo C.

qp = Cu*Ncdsc

Ec. 1.11

Nc - coeficiente de la capacidad de carga, funcin del dimetro.

dsc - coeficiente que tiene en cuenta la profundidad, funcin de LE/D.

b)Miguel Len [17]:

Ec. 1.12

Para suelo qp = q Nq

Nq - factor de capacidad de carga funcin de Para suelo C.

Para pilotes hincados, Cu

Ec. 1.13

Para pilotes "in-situ"

Ec. 1.14

Nc - dem al visto anteriormente.

c) Segn Enerst Menzenbach [20]:

Estas expresiones estn basadas en la teora y los resultados de ensayos de laboratorios, y se obtienen del equilibrio de las fuerzas que actan en la superficie de falla de la base del pilote.

Qu = Apqo

qo = CNcPNq + Cu Cohesin no drenada. Se recomienda los valores de Skempton (1959).

El valor de Nc oscila entre 6 y 9, y puede ser obtenido por las expresiones de Skempton (1951) y Gibson (1950)[20].

Nq factor de la capacidad de carga. Segn este autor [20] puede ser utilizados los valores propuestos por Meyerhoff (1961), Berzantsev, Kristofeov y Golubkov (1961).

d) Jimnez Salas [12]:

Qpunta = Abqp

Ec. 1.16

qp = NcbCu

Ncd - Coeficiente que vara entre 6 y 12 y propone el valor de 9.

Estos mtodos solo son aplicables a suelos puramente friccionales o puramentes cohesivos. El aporte en punta, para el caso de suelos cohesivos se reduce a multiplicar el valor de cohesin por un coeficiente que oscila entre 6 y 12, y para el caso de suelos friccionales debido a la magnitud del aporte se recurre a expresiones basadas en mecanismos de falla a travs de espirales logartmicas que siempre se cierran en el caso de pilotes, basado en la mecnica del medio continuo[14]. Queda por validar el comportamiento del aporte en punta para suelos cohesivos y el mecanismo de falla en suelos friccioanles.

Aporte a friccin.

El aporte a friccin que se genera en la caras adyacentes al pilote producida por la falla fustesuelo o suelosuelo puede expresarse de forma genrica como:

Qfriccin = f (Pp, Lp, fo)

Pp permetro del pilote.

Lp Longitud del pilote.

Fo friccin unitaria del estrato.

Para este caso el mecanismo de rotura puede producirse por la superficie de contacto pilote - suelo o suelo - suelo. Para [14] el primer caso la friccin viene dada por la adherencia o friccin en la superficie de contacto y en el segunda a la resistencia al esfuerzo cortante del suelo inmediatamente adyacente al pilote.

a) La propuesta de Norma [24] establece el mecanismo de falla en funcin del tipo de suelo estableciendo de forma general:

Ec. 1.17

Para suelo foi - funcin de (

m - evala el material del pilote.

Ks - coeficiente de empuje (estado pasivo o de reposo)

Para suelo C. (Falla suelo - suelo)

foi = Cu adherencia.

b) Miguel Len [17]:

Ec. 1.18

Para suelo fo - funcin de qp, Para suelo C

fo = En este caso el valor de fo, esta en funcin del valor de Cu, de la forma de instalacin y del empuje que se genere.

c) Menzembach [20]:

Suelo C

Qs =

Autor

MEYERHOFF y MURDOC (1953)0.3

GOLDER (1954)0.7

WHITAKER y COOKE (1966)0.44

ZEEVAERT (1961)0.3

TOMLINSON (1957)0.5

LO y STRAMAC (1964)1

d) Jimnez Salas [12]:

Qf = PpFs =

Para el caso de suelo fs = koko - coeficiente de empuje de reposo.

Pero como resulta difcil evaluar koDe las metodologas vistas anteriormente merece un comentario que valor toma el coeficiente de empuje del suelo (k). Tanto Miguel Len [17] y Menzembach[20] coinciden en tomar k como el estado pasivo de Rankine (IRELAND 1957, MANZUR Y KUFMAN, 1954)[20], suponiendo que producto de la colocacin del pilote en el suelo ("in-situ" o prefabricado) no habr desplazamiento lateral del suelo, algo que evidentemente no ocurre cuando se hinca un pilote, pero que se podra alcanzar con el tiempo. Para el caso de suelos cohesivos (falla suelo - suelo, de forma general) se afecta la cohesin Cu, por un valor Como se ha visto, estas expresiones, son validas para suelos puramente cohesivos (Suelo C) o suelos puramente friccionales (Suelo Si Ceq = C + qfmKstanKs = 1 - senSi

Ec. 1.22

A continuacin veremos un anlisis similar a los anteriores para mtodos donde se toma como resistencia a cortante S = C+Aporte en Punta.

a) Frmula de Meyerhoff :

Ec. 1.23

Nc, Nq, N

Como evidencia esta expresin, es similar a la expresin de capacidad de carga para cimentaciones superficiales, con la diferencia que los factores Nc, Nq, NDel termino q(esfuerzo efectivo en la zona adyacente al pilote) comentaremos ms adelante como ya expresamos anteriormente.

b) Frmula de Brinch Hassen [7]:

Qp = Ap(qNqSqdq + CNcScdc) Ec. 1.24

Sq, Sc - factores que depende da la forma de la seccin de la cimentacin.

dq, dc,- factores que tiene en cuenta la profundidad de la base del cimiento dentro del estrato resistente.

Otros autores engloban los factores de forma y profundidad con los coeficiente de capacidad de carga dando directamente la carga de hundimiento por la punta a suficiente profundidad mediante la expresin:

Qp = Ap (q Nq+C Nc)

Ec. 1.25

Para la obtencin de los valores de Nc y Nq podemos mencionar los trabajos de DE BEER, BUISSMAN y TERZAGHI. De todas las expresiones estudiadas, la de BRINCH - HASSEN, por primera vez, evala la profundidad del pilote dentro del estrato resistente.

c) Ramn Barbey Snchez [4]:

Ec. 1.26

d) R. L. Herminier [16]: Qp = Ap(1.3CNc + e) Bowles [5]: Qp = Ap(1.3CNc +

En resumen, todas las expresiones en forma son similares a la expresin de capacidad de carga de MEYERHOFF, y difieren en la forma de determinar los factores de capacidad de carga, es decir cual es la superficie de falla que se genera en la base de la cimentacin.

Aporte a friccin.

De forma genrica estas expresiones pueden resumirse como:

Qf = Ppfs = funcin (cohesin, tensin horizontal, estado que se considere, ngulo de friccin interna). Falla suelo - suelo.

fs = funcin (cohesin, tensin horizontal, estado que se considere, ngulo de friccin entre el suelo - pilote ). Falla pilote - suelo.

a) La frmula de MEYEROFF establece la siguiente expresin en funcin del mecanismo de falla que se genere en la caras del pilote:

Ec. 1.29

foi - friccin lateral que depende del tipo de falla (suelo - suelo o suelo - pilote)

fo = C+ fo = Ca + Ca - adherencia (funcin de la cohesin)

b) Ramn Barbey Snchez [4]:

Ec. 1.30

fsi = Ca + kf c) La Norma Sovitica [26] diferencia el aporte total en funcin de la forma de instalacin del pilote en el suelo definiendo :

Para pilotes de percusin : P = Km(Rnor Area + Permetro(finorL ) Ec. 1.31

Para pilotes in situ : P = Km(Rnor Area + Permetro(mffinorL ) Ec. 1.32

Rnor Resistencia normada del suelo por debajo del extremo inferior del pilote.

Finor Resistencia normada de una capa del suelo sobre la superficie lateral del pilote.

mf coeficiente que tiene en cuenta las condiciones de trabajo, depende de la forma de colocacin.

SOWERS (1984)[38] y BOWLES (1977)[5] siguen procedimientos similares a los anteriores , definindose el coeficiente de presin de tierra K, en dependencia del emplazamiento del pilote y de la compresibilidad del suelo. Como se puede apreciar vuelve a surgir como interrogante el empuje que se genera alrededor del pilote.

Como conclusiones podemos plantear que las expresiones que consideran la resistencia a cortante del suelo dada por la cohesin y el ngulo de friccin interna son ms abarcadoras, ya que evalan factores como la profundidad dentro del estrato resistente a la vez que se pueden aplicar a suelo cohesivos friccionales muy comunes en la practica ingenieril.

Anlisis de la Profundidad Crtica (Zc) y esfuerzo efectivo en la zona adyacente al pilote (q).

Un detallado anlisis a estos problemas realiza SOWERS (1977)[38] donde se plantea que el valor de q se calcula tericamente como q= Aun por tratar nos quedan tres temas importantes que influyen en la determinacin de la capacidad de carga, los cuales son la eficiencia de grupo, la friccin negativa y el fallo en bloque o grupo.

Eficiencia de grupo (La eficiencia del grupo de pilotes (

Ec. 1.33

Producto de la construccin del pilote se puede afectar el terreno, de forma que compacte extraordinariamente (arenas flojas y medias) o que disminuya apreciablemente su consistencia (arcillas sensibles). Por esta razn[13] la eficiencia de grupo en arcillas es de 0.8 y del orden de 1,5 en arenas medias con igual espaciamiento. La capacidad del grupo aumentar con la separacin entre pilotes, mientras que la capacidad individual, en arcillas no aumenta. En este campo podemos citar los trabajos de VESIC y WHITAKER[13], PRESS (1933)[20], SWIGER(1941)[38], MASTER (1943), CHELLIS (1962) entre otros.

Todos coinciden en definir las siguientes invariantes a la hora de determinar la eficiencia del grupo depende de :

El espaciamiento entre pilotes.

El nmero de pilotes.

El dimetro de los pilotes.

La longitud de los pilotes.

Las propiedades del suelo.

Para la obtencin del valor de eficiencia de grupo, existe amplia bibliografa donde se expresan recomendaciones a partir de modelos y frmulas empricas.

a) SOWERS[38], basado en modelos para pilotes flotantes en arcillas saturadas y arenas suelas, expone que la eficiencia del grupo para un espaciamiento ptimo esta dada por:

Ec. 1.34

n - nmero de pilotes

b) Toms de la Torre [25], basado en modelos, define la eficiencia para los diferentes tipos de suelos:

Suelo Cohesivo.

Cu

Ec. 1.35

Cu Suelo friccional: c) CONVERSE LABARRE [25] de forma emprica establece:

Ec. 1.36

n - nmero de pilotes en una fila.

m - nmero de filas.

d) La Propuesta de Norma [24], tambin de forma emprica define la eficiencia en funcin de la forma de ejecucin, espaciamiento, dimetro y tipo de suelo.

Suelo

Pilotes "in-situ" Sp/D = 3

Suelo CCu

Cu

Ec. 1.37

De acuerdo con el ensayo de modelos, SOWERS [38] expone que las fallas en grupos de pilotes en arcillas ocurre a un espaciamiento de 1.75D para grupos de 2 pilotes y 2.5D para grupos de 16 pilotes, estando la eficiencia Sin duda alguna la determinacin de la eficiencia de grupo es un problema que encierra una gran complejidad ya que para su validacin se requiere de realizar ensayos a escala real, lo que es muy costoso, ms si se tiene en cuenta el nmero de casos posibles a ensayar. Aun as, una modelacin matemtica, o con la ayuda de softwares, necesariamente tiene que partir de un anlisis espacial (3D) para poder evaluar la influencia real del pilote dentro del grupo de pilotes y el comportamiento del suelo que queda atrapado dentro de los pilotes, que en algunos casos se desorganiza (arcillas) o aumenta su compacidad (arenas). Por otra parte y dentro de este proceso estar incluido, el fallo en grupo.

Friccin Negativa.

El fenmeno de la friccin negativa pude describirse como la accin de una nueva carga a lo largo del fuste debido a la consolidacin del suelo adyacente a la cara del pilote. Como los pilotes se movern menos que el terreno circundante, este tender a colgarse de sus fustes, induciendo en aquellos unas tensiones que pueden considerarse producidas por un cierto rozamiento de signo contrario al resistente.

Para esta situacin la condicin de diseo ser:

Npilote + Qfriccin negativa Este efecto se produce cuando el pilote est apoyado en roca y atraviesa un estrato muy compresible.

RAMON BARBEY[4], considera que existe friccin negativa cuando se cumplen simultneamente que:

0.25 0 La Propuesta de Norma [24] considera que la friccin negativa se produce en arcillas muy blandas Cu Evidentemente, siempre que el suelo atravesado por el pilotes sea muy consolidable, la presencia de la friccin negativa a de tenerse en cuenta. Sin embargo los mtodos vistos anteriormente definen el problema para diferentes condiciones de suelo (caractersticas mecnicas) sin tener en cuenta la posible relacin entre la consolidacin del suelo en el fuste y el desplazamiento del propio pilote, as como la consolidacin debida a la disminucin del mato fretico.

Grupo de pilotes y falla en grupo.

SOWERS [38] define que la capacidad de carga del grupo se calcula suponindose que el grupo de pilotes forma una cimentacin gigantesca, cuya base est al nivel de las puntas de los pilotes y cuyo ancho y largo son el ancho y el largo del grupo de pilotes. La capacidad del grupo es la suma de la capacidad de la base de la cimentacin , ms la resistencia a esfuerzo cortante a lo largo de la caras verticales del grupo que forma la cimentacin. Este autor plantea que en ensayos en modelos indican que la capacidad del grupo es siempre ligeramente menor que la calculada, pero la diferencia esta comprendida ampliamente dentro del factor de seguridad.

Para que ocurra el fallo en grupo [12] [24] [38] debe cumplirse que:

- Espaciamiento / Dimetro (SP/D) - Cabezal apoyado al suelo

Suelo casi homogneo.

Sera necesario poder determinar el comportamiento del pilotaje visto como la triloga pilote encepado suelo, ante esta situacin evaluando el mecanismo de fallo que se genera tanto en las caras de la cimentacin como en la base. Sin duda alguna solo un anlisis espacial (3D) podra llevarnos a soluciones veraces.Modelacin matemtica de las deformaciones en la base de la cimentacin.

Para el caso de los asentamientos, despus del Congreso de Montreal (1965)[12], se desarrollaron varios trabajos, con el empleo de la ecuacin de Midlin, integrada numricamente. Sus aplicaciones vienen dadas a terrenos que se comporten como un slido elstico lineal. Como bien plantea JIMENEZ SALAS [12], para suelos granulares, donde el incremento del mdulo de deformacin depende de la profundidad, deba verse con criterios muy restrictivos. RANDOLPH y WROTH[31], realizaron el estudio de las deformaciones alrededor del pilote, trabajos que se complementaron con la modelacin por elementos finitos de FRANK [12]. En ellos se puede apreciar que el terreno alrededor del pilote se deforma como una serie de tubos, con gran aproximacin a cilindros, sin que las deformaciones que se producen en el terreno de la cabeza y de la punta tengan gran importancia sobre los resultados. En estos trabajos no se tuvo en cuenta la variacin de mdulo de deformacin, visto anteriormente, pero se estableci un modelo muy sencillo de interaccin suelo estructura. En 1988, LUKER [12], adopta un modelo hiperblico de comportamiento de suelo y como el gradiente de disipacin de los esfuerzos tangenciales al alejarse de las superficies es muy grande, l define una capa limite, en la cual las deformaciones son grandes, por lo tanto el modulo G de deformacin transversal es bajo. El problema se resuelve con un algoritmo sencillo en diferencias finitas, en forma iterativa, pero queda por ver la determinacin de los parmetros necesarios.

Invariantes para la determinacin de las deformaciones en la base de las cimentaciones sobre pilotes.

La deformacin total depende de:

Deformacin debida a la compresin del propio pilote:

Deformacin debida a la consolidacin del suelo en la punta del pilote.

Deformacin debida a la compresin del propio pilote:

Carga total.

Dimensiones del Pilote (Area de la punta y permetro).

Longitud del pilote.

Ancho o dimetro del pilote.

Modulo de Elasticidad del material del Pilote.

Deformacin debida a la consolidacin del suelo en la punta del pilote.

Carga total.

Carga en el fuste.

Carga en la punta.

Variacin del estado tensional.

Modelo del comportamiento del suelo.

Modelos de comportamiento lineal, elstico, hiperblico.

Parmetros que caracterizan el modelo.

Dimensiones del pilote (rea de la punta).

Ancho o dimetro del pilote.

Aqu el problema bsico es determinar la distribucin de tensiones en el subsuelo debido a la carga de un pilote o grupo de pilotes. MENZENBACH [20] plantea que como la relacin profundidad dimetro del pilote es usualmente alta, es necesario determinar la distribucin de tensiones bajo la base del pilote para un rea que esta actuando dentro del espacio semi - infinito elstico e isotrpico. Debe advertirse que las tensiones bajo una cimentacin profunda son ms pequeas que para un rea cargada que descansa en la superficie del espacio semi - infinito.

El asiento de un grupo exceder al de un pilote aislado que soporte la misma carga que cada uno de los del grupo, a menos que los pilotes se apoyen en roca o en un estrato grueso de suelo incompresible. El asentamiento del grupo se puede calcular suponindose que el grupo representa una cimentacin gigantesca [24].

A continuacin analizaremos las expresiones matemticas para la determinacin del asentamiento en pilotes aislados.

a) MEYERHOFF(1960) plantea:

Ec. 1.37

F = 3.0

es decir, el asentamiento es 1% del dimetro.

b) ASCHENBRENNER y OLSON (1948) [12]S = 0.01D

Ec. 1.38

basado en ensayos de carga.

c) Los procedimientos elsticos establecen [11][12]:

Ec. 1.39

Io - coeficiente en funcin de la longitud y el dimetro.

P - carga vertical.

Es - Modulo edomtrico o de deformacin aparente.

D - dimetro del pilote

d) VESIC [12] plantea que:

W = Ws + Wpp + Wps

Ec. 1.40

Ws - asiento debido a la compresin axial del propio pilote.

Wpp - asiento en la punta debido a la presin por punta.

Wps - asiento en la punta por las cargas trasmitidas por el fuste.

Cs,Cs - coeficientes empricos.

e) BORLAND, BUTLER y DUNCAN (1966)[20] para el caso de arcillas en Londres , consideran un comportamiento lineal del suelo:

Ec. 1.41

f) WHITAKER y COOKE(1966) realizan un anlisis similar:

Ec. 1.42

K1 - coeficiente emprico.

d) KEZDI(1964)[20] determin que para el eje de un rea cargada circular cimentada a profundidad, empleando la ecuacin para la tensin bajo una carga puntual, es valida la expresin:

Ec. 1.43

db- dimetro del pilote.

qb - tensin bajo la base del pilote.

Es - modulo de compresibilidad del suelo.

I1,I2,I3 - factores de influencia.

e) La propuesta de Norma[24] propone convertir la cimentacin sobre pilotes en una cimentacin ficticia con ancho en funcin del tipo de suelo y seguir la misma metodologa que para una cimentacin superficial donde se calculan los asentamientos por la expresin de sumatorias de capas [38]:

Ec. 1.44

S - asentamiento.

H - espesor del estrato que se analiza.

Basado en al ecuacin de MIDLIN podemos citar los trabajos de HEAFELI y BUCHER (1961)[20]. El efecto de grupo, como se ha visto, no solo afecta a la resistencia final de la cimentacin, sino tambin a su deformabilidad. Es decir, afecta totalmente a su comportamiento tenso - deformacional, dada la superposicin de efectos que supone en cada elemento del terreno las tensiones trasmitidas por cada pilote del grupo. Por esta razn algunos autores [13] definen un termino denominado razn de asientos, para estimar el efecto de grupo, consistencias diferentes del terreno, etc. Para su determinacin se recurren a anlisis tericos, considerando un semi - espacio elstico. COOKE y MEYERHOFF (1960) recomiendan expresiones que dependen de la configuracin del grupo.

Como puede concluirse de los anteriores anlisis, cada uno de los mtodos aborda un tpico de la problemtica del calculo de las deformaciones o son validas para situaciones marcadas. Evidentemente con una modelacin ms completa, pudiramos determinar la variacin del estado tensional en la masa de suelo, el porciento de la carga que provoca asentamiento, as como considerar el suelo con un comportamiento del tipo elstico o hiperblico (ms real) y el efecto del grupo de pilotes, en el pilote aislado. Todos estos son problemas no resueltos tericamente, y a los cuales pretendemos dar solucin con el desarrollo de este trabajo.

Modelacin matemtica.

Antes de adentrarnos en este tema definamos el concepto de modelacin que no es ms que... "simplificar o reducir el medio real a uno fsico en el cual sea posible aplicar las ecuaciones constitutivas que gobiernan el problema. Se define como relaciones constitutivas las expresiones matemticas de las leyes fsicas que gobierna el problema que se estudia" [12]. La modelacin es el mtodo de manejo practico o terico de un sistema por medio del cual se estudiar este, pero no como tal, sino por medio de un sistema auxiliar natural o artificial, el cual, desde el punto de vista de los intereses plateados, concuerda con el sistema real que se estudie. Es decir, es el mtodo que opera de forma practica o terica como un objeto, no de forma directa, sino utilizando cierto sistema auxiliar (natural o artificial) el cual se encuentra en una determinada correspondencia objetiva con el objeto modelado y est en condiciones de sustituir el objeto que se estudia en determinadas etapas de la investigacin, permitiendo obtener determinada informacin susceptible de comprobaciones experimentales.

Diferentes autores coinciden que los procedimientos a la hora de resolver un problema SYMBOL 91 \f "Symbol"38SYMBOL 93 \f "Symbol" deben seguir la siguiente secuencia:

1- Identificar el problema en su totalidad y despus simplificarlo, dividindolo en partes y fijando factores significativos.

2- Utilizar las teoras apropiadas con las tolerancias permitidas, impuestas por sus limitaciones.

3- Utilizar modelos fsicos o matemticos cuando se compruebe que las teoras son inadecuadas.

4- Los resultados de los estudios tericos y con medios deben ser interpretadas a la luz de la experiencia.

5- Las lagunas en el conocimiento del problema deben llenarse intuitivamente.

6- Las soluciones deben ser revaluadas y revisadas cuando la observacin del funcionamiento real de la obra demuestre que son inadecuadas.

Problema Real

1.- Modelar la estructura y el Terreno.

2.- Modelar las cargas. ( Concentradas, distribuidas).

3.- Modelar los materiales (Comportamiento).

Definir Mtodo de Solucin.

Teora de la Elasticidad.

Teora de la Plasticidad.

Es necesario conocer :

Es necesario conocer :

a) Ecuaciones fsicas (Ecuacin del modelo del material)a)Ecuaciones fsicas (Resistencia del material en la falla)

b) Ecuaciones de Equilibrio (de fuerza y Momento)b) Ecuaciones de equilibrio ( en la falla)

c) Ecuaciones de Compatibilidad y Geomtricas (Relacin ( - ( )

c) Superficie de falla

Definir Mtodo de diseo

1.- Tensiones Admisibles.

2.- Factor de seguridad Global.

3.- Estados Lmites

Solucin del problema Real

Campo de Aplicacin

1- Diseo

2- Revisin

3- Investigacin

Varios conceptos utilizados en el trabajo a continuacin se explican. Un material es homogneo cuando posee las mismas propiedades en todos los puntos a lo largo de una misma direccin, es istropo, cuando posee las mismas propiedades para todos los puntos en todas las direcciones, continuos, cuando ocupan todo el volumen que a ellos se atribuye (no se toma en cuenta la discontinuidad de la materia). Esto se explica por el hecho de que las dimensiones de las piezas reales son muy superiores a las distancias entre tomos. Basndonos en esta suposicin es que podemos considerar que las deformaciones en el material son ininterrumpidas. Estas suposiciones permiten aplicar el aparato matemtico de las funciones continuas y atribuirle a un elemento infinitesimal las mismas propiedades que posee todo el cuerpo real[12]. La masa semi-infinita o semiespacio es comparable a una extenso y profundo deposito o roca limitada por una superficie horizontal y que se extiendo indefinidamente en todas las direcciones por debajo de dicha superficie[38].

Se define como relaciones constitutivas las expresiones matemticas de las leyes fsicas que gobiernan el problema que se estudia. En el problema de filtracin la relacin constitutiva podr ser la Ley de Darcy que relaciona la velocidad del agua con el gradiente de su potencial. En problemas tensin deformacin la relacin constitutiva podran ser por ejemplo las ecuaciones de la elasticidad lineal[14]. La elasticidad ideal esta presente en aquellos materiales capaces de recuperar sus formas y dimensiones iniciales una vez que cesan las causas que producen su deformacin[38].Si se conoce el comportamiento elemental del material de nuestro dominio, necesitamos procedimientos para extender tal comportamiento a todo el problema y resolver para las condiciones de contorno impuestas. Existen varias alternativas para dar este paso, cada una constituye un mtodo (Analtico, Empricos y Numricos). Los mtodos numricos son aquellos en los que la solucin analtica es inabordable por la complejidad matemtica que requiere y que hoy en da con la ayuda del clculo electrnico se tiene una respuesta rpida. Dentro de estos mtodos podemos citar el Mtodo de las Diferencias Finitas (MDF) y el Mtodo de los Elementos Finitos (MEF). En el primero de ellos es preciso, como paso previo, la formulacin de la ecuacin o sistema de ecuaciones diferenciales que rigen el problema. El principio fundamental del mtodo estriba en sustituir la expresin diferencial por una expresin equivalente en trminos de incrementos finitos de las variables. Todas las variables del problema quedan discretizadas. La discretizacin de las variables geomtricas conduce a una subdivisin del dominio mediante una red ortogonal. La discretizacin de las ecuaciones diferenciales permite obtener expresiones que relacionan los valores de las variables y sus incrementos y por tanto permiten la solucin en forma incremental [3][12].

Hay muchas formas de desarrollar el Mtodo de los Elementos Finitos, como un mtodo especfico dentro del clculo variacional, como un caso particular del mtodo de RITZ-GALERKIN, como una extensin del mtodo de diferencias finitas, como una aplicacin del clculo matricial de estructuras, etc. [12]. Por este mtodo [38] se divide la masa de suelo en distintos elementos en los que la reaccin a la carga de cada uno es equivalente a la porcin del suelo que l representa. Las deformaciones correspondientes a cada elemento son compatibles con las del elemento contiguo, porque estn unidos por los puntos nodales. La reaccin total de la masa se reduce a un sistema de ecuaciones simultneas que satisfaga el equilibrio y compatibilidad para cada elemento. Su aplicacin esta en los modelos de distribucin de esfuerzos en terraplenes que se apoyan en suelos elsticos, simulacin de construccin por capas, en la reaccin de un talud de tierra o roca o la aceleracin horizontal de un terremoto. Tambin puede ser usado en el perodo de transicin entre el comportamiento elstico y plstico del material, empleando tcnicas espaciales si no hay una relacin nica entre esfuerzo y deformacin.

Para el empleo de ambos mtodos ser imprescindible conocer los parmetros que definen el medio que se desea modelar como pudieran ser su geometra y la relacin tensin deformacin. En el campo de la modelacin matemtica podemos citar los trabajos que se desarrollan en la ETS de Oviedo [36] para el caso de cimentaciones superficiales y el modelo matemtico desarrollado en nuestro pas para el caso de la hinca de pilotes.

En la bibliografa consultada Randolph(1994)[31], Abalo (1975)[1],Zequeira[38], entre otros acuden a la utilizacin del Mtodo de los Elementos Finitos y el comportamiento no lineal del suelo[10] para la solucin de problemas tensin deformacin en diferentes obras geotecnicas y en el anlisis del comportamiento de pilotes bajo el efecto de carga horizontal. Como tendencia mundial se aprecia la utilizacin de elementos de deslizantes o interface para modelar la interaccin entre la cara del pilote y el suelo. Los parmetros que caracterizan estos modelos suelen ser muy variables en funcin del tipo de obra y problema a resolver, para el caso de macizos rocosos Rivero (1984)[32] y Soriano(1994)[37] se acude a la friccin en la falla, mientas que para la interface suelo acero o suelo hormign se recurre a valores empricos que oscilan entre o 2/3 de los valores (c y () de los valores obtenidos en el ensayo triaxial [18]En la modelacin del comportamiento real del suelo, las propiedades del mismo son obtenidos de ensayos que en lo posible tratan de reproducir el comportamiento del suelo en el estado de carga de la estructura real que se pretende estudiar. El resultado de estos ensayos muestran que el comportamiento del suelo es no lineal, dependiendo en gran medida de la presin de confinamiento que se tenga. De aqu la aplicacin de modelos de comportamiento no lineal segn Kondner [15], Duncar[8] y Brau 1997[6] cuyo uso viene unido a la aplicacin del MEF.

La utilizacin de diferentes tipologas en la mallas utilizadas en la modelacin es tambin un aspecto que se ha desarrollado en los ltimos aos con la utilizacin de anlisis en tres dimensiones, sin la necesidad de recurrir a simplificaciones que se hacen en los actuales programas que analizan el estado tensional plano. Mestat 1994[21][22] hace una excelente recopilacin de las combinaciones de mallas utilizadas y su aplicacin a cada problema practico.

Recomendaciones practicas para la modelacin.

Una malla de elementos finitos para la solucin de nuestro problema debe tener en cuenta lo esencial de la geometra de la estructura y las capas de suelo que se ponen en evidencia para la solucin de nuestro problema (heterogeneidad de los materiales, presencia de discontinuidad). Pero una malla debe ser en s el fruto de un compromiso entre la capacidad de clculo posible(numero mximo de grados de libertad) y la precisin aceptable sobre los resultados numricos. La malla de compromiso debe ser construida considerando los siguientes puntos.

1 Todas las simetras compatibles con el problema mecnico(geometra, condiciones lmites, cargas) deben ser utilizadas a fin de reducir el tamao del sistema estudiado.

2 La malla debe ser suficientemente fina en las zonas ms solicitadas, quiere decir, en las zonas donde las muy fuertes variaciones de los desplazamientos y las tensiones son considerables. Estas variaciones son coaccionadas ya sea por una carga, o sea por la presencia de una singularidad geomtrica (ngulo brusco, cambio de espesor) sea por los contornos geomtricos de fuerte curvatura (cavidades) sea tambin por las caractersticas mecnicas localmente muy leves o muy fuertes en correspondencia a este medio ambiente (inclusiones, reforzamientos, efectos de la ley de reforzamiento).

3 El tamao de los elementos debe estar, en la medida de lo posible de tal forma que la relacin entre la mayor dimensin del elemento y la menor dimensin este cercana a la unidad. En particular, en las zonas de fuertes gradientes los tringulos tendrn similitud, en lo posible, a los tringulos equilteros, los cuadrilteros a los cuadrados, y los hexaedros a los cbicos, para no introducir perturbaciones en los clculos numricos (distorsin de los elementos).

4 En las zonas menos solicitadas, los elementos de gran tamao son generalmente instalados en el lugar para alcanzar las fronteras exteriores. No hay reglas precisas para establecer l tamao de los elementos, es suficiente argumentar un aumento progresivo regular lejos de las zonas sensibles; Ejemplo/ Doblando la superficie de los elementos adyacentes siguiendo las lneas dirigidas hacia las fronteras.

Para los problemas bidimensionales las mallas automticas pueden ser fcilmente utilizadas, en el mismo grado de la singularidad. En cambio, para los problemas tridimensionales las mallas refinadas son difciles de realizar, pues el tamao de los sistemas matriciales pueden pasar ms all de las capacidades de las computadoras actuales (en caso de los clculos no lineales complejos). En consecuencia con la modelacin es frecuentemente muy aproximada en el caso de problemas tridimensionales que en los bidimensionales. De otra manera se puede decir que las mallas tridimensionales son a veces ms grandes que las bidimensionales.

Caso de pilote aislado en un suelo masivo

Modelo de pilotes en deformacin axial simetrica:

La malla de un pilote aislado, situado en un suelo homogneo semi-infinito debe ser realizada teniendo en cuenta las recomendaciones siguientes:

1 Los lmites verticales de la malla deben ser fijados al menos dos veces la altura o el largo L del pilote y el lmite vertical inferior al menos dos veces el lado L debajo del punto(3L desde la superficie), porque las condiciones a los lmites de los desplazamientos no influyen sobre el comportamiento del pilote.

2 En la interaccin entre el pilote y el suelo (cara y el punto) son representadas para los elementos finitos de interaccin compatibles con los elementos ms utilizados para describir el suelo.

3 La malla de un pilote aislado debe ser relativamente estrecha cuando se acerca a las interacciones, quiere decir, a la punta del pilote y a lo largo de la cara y el fuerte gradiente que puede aparecer.

4 La relacin entre la forma (relacin de la menor dimensin de un elemento con la mayor dimensin) los elementos cerca del pilote deber estar limitado a 1/5.

5 El lado B (segn la direccin horizontal) del primer elemento directamente adyacente al pilote debe estar al menos tal que B=0.1D donde D es el dimetro del pilote. En la figura 1.2) se puede apreciar lo anterior expuesto.

Figura 1.2 Representacin del modelo axial-simtrico para el caso del pilote simple.

Caso de grupo de pilotes:

La modelacin de un grupo de pilotes es un problema muy complejo notablemente a causa de mltiples interacciones y de la geometra tridimensional que se hace en la mayora de los casos considerados. Cuatro posibilidades pueden ser posibles segn el tipo de estudio:

1- Una modelacin verdaderamente tridimensional para un grupo de pilotes con cabezal o sin l, y con posibilidades de aprovechar bien la simetra aparente.

Sin embargo, l nmero elevado de pilotes a veces lleva imposibilitada la elaboracin de un elemento con los pilotes de seccin circular o el mismo ortogonal. Para realizar una modelacin razonable, hay que asimilar los pilotes reales a los pilotes de seccin cuadrada. Esta aproximacin no es justificada En los pilotes que estn bajo la carga vertical o un poco inclinados; las comparaciones con los clculos axialsimtricos son as demostrados y los resultados del desplazamiento son relativamente poco afectados. En cambio por las cargas laterales, esta aproximacin puede conducir a errores no permisibles.

2- Una modelacin local bidimensional por un grupo de pilotes sin cabezal. El modelo es un corte transversal en deformacin plano, bien que cada fila de pilote tiene su propio comportamiento. Esto aveces es posible segn el tipo de carga y la naturaleza de la capa de suelo de reducir el estudio del grupo considerando dos tipos de filas: una fila con pilotes exteriores al grupo y una fila con pilotes interiores al grupo. La utilizacin de la simetra y de las condiciones limites del desplazamiento permanente teniendo en cuenta el desplazamiento entre las filas de pilotes.

3- Una modelacin bidimensional equivalente a un corte vertical comprendidos los pilotes, el cabezal y la estructura. Los pilotes son colocados ms cerca para que sea representado por un muro enterrado de rigidez equivalente. Esta aproximacin es verdadera, muy particular y no es aconsejable.

Bien que las equivalencias bidimensionales muestran muchas aproximaciones y presentan muchas limitaciones(notablemente en lo que concierne los movimientos del suelo en el seno del grupo de pilotes), ellos son tambin frecuentemente utilizados, pues conducen a los modelos numricos menos importantes en trminos de nmeros de nodos y de elementos.

Recomendaciones generales.

La modelacin de las obras geotcnicas para los mtodos de los elementos finitos ha hecho posible un grupo de hiptesis basando la geometra de las obras y de su entorno, los materiales y su comportamiento, las cargas, las condiciones a los lmites y las condiciones iniciales. Estas hiptesis, muchas veces simplificadas(pero que devn respetar los fenmenos mecnicos esenciales)han quedado bajo la responsabilidad del ingeniero encargado del estudio.

La realizacin concreta de este estudio necesita la construccin de la malla de elementos finitos y la utilizacin de un cdigo de clculo. En el nivel de realizacin, hay que poner en obra las tcnicas y ser mucho mejor, por la calidad de los estudios, que de las reglas simples(probablemente depende del tipo de obra) sean a fin de minimizar el papel del utilizarlo en la construccin de la malla.

Los consejos propuestos en este captulo debern posibilitar a los estudiantes en la geotecnia el deseo de iniciar el mtodo de los elementos finitos, realizar los mtodos relativamente satisfactorios tanto en el nivel de duracin de los clculos como en la precisin de los resultados.

Evidentemente, estos consejos estn dados de forma general pues cada obra constituye un caso particular, pero es razonable pensar que su aplicacin sustituida en la forma global de la modelacin y asociada al control de la convergencia no lineal, podra contribuir a llegar a los resultados de los clculos ms ligeros.

Bibliografa

1. Abalo Marcias, Miguel : Teora y aplicaciones del mtodo de los elementos finitos en la ingeniera geotcnica. /. Miguel Abalo Marcias. Revista Ingeniera Civil 4-79. pg 281-297.

2. Alonso, E. : Micropile foundation of a singular building over existing underground structures. /. Ernesto Alonso y J.C. Casanovas. Coloquio Internacional de Cimentaciones Profundas. Paris, 1991.

3. Armas Novoa, R.: Parmetros experimentales de un suelo para un anlisis por elementos finitos. / Rolando de Armas Novoa. La Habana. Revista Ingeniera Civil 5-79.

4. Barbey Snchez, R. : Mecnica de suelos. / Ramn Snchez Barbey. / s.l. , s.n., s.a. / pg. 281-318.

5. Bowles, Joseph E. : Phisical and Geotechnical Properties of Soils. / Joseph E. Bowles. 2da Edicin. New York. Ed. Mac Grau- Hill Books. 1984. 578 pg.

6. Brau J.P.: Estado de las tensiones iniciales en los suelos y clculo por MEF. J.P. Brau y P Berga. / Francia. Boletin de labortaorio de mecnica de suelo # 215. 1997. (Enero -febrero) 15-31pg

7. Brinch Hansen. La capacidad de carga en el suelo. / Brinch Hansen. Revista Ing. Civil # 92. Madrid. 1993. Pg. 93-112.

8. Duncan, J.M. :Nonlinear Analysis of stress and stranin in soils. /. J.M. Duncan y C.Y. Chang. Proceeding, ASCE JSM and F.Dn. Vol 96. 1970. pg 1629-1653.

9. Hassan Tarefi, Ferras : Diseo de cimentaciones sobre pilotes. Algoritmizacin de las metodologas de diseo. / Ferras Hassan Tarefi, Gilberto Quevedo, Luis Ibaez. TD. UCLV. 1996. 80 pg.

10. Horta, Evelio : Algunos hechos en la utilizacin del mtodo de los elementos finitos en Cuba. /. Evelio Horta. Revista Ingeniera Civil 6-75. pg 555-563.

11. Ibaez Mora, L. : Modelacin del suelo y las estructuras. Aplicaciones. / Luis Ibaez Mora. Tesis de Maestra. UCLV. 1997. 91 pg.

12. Jimenez Salas, J. A. : Curso sobre pilotajes y cimentaciones especiales. / Jos Antonio Jimenez Salas. CEDEX. Madrid. 1994. Tomo I y II.

13. Jimenez Salas, J. A. : Geotecnia y cimientos. / Jose Antonio Jimenez Salas. Editorial Rueda. Madrid. Tomos II y III. 1986.

14. Juarez Badillo, Eulalio : Mecnica de suelo. / Eulalio Juarez Badillo y Alonso Rico Rodriguez. Edicin revolucionaria. La Habana . 1969. Tomo I y II.

15. Kondner, R.L. : Hiperbolic Strees-Straning response cohesive soils. /. R.L. Kondner. Procceding ASCE, JSM and F. Dn. Vol 89. SM-1. 1963, pg 115-143.

16. L' Herminier, R. : Mecnica de suelos y dimensionamiento de firmes. / R. L' Herminier. Versin al Espaol de Jose Luis Ortiz. Madrid. Editorial Blume. 1968. 208 pg.

17. Len, Miguel : Mecnica de suelos. / Miguel Len. ISPJAE. Editorial Pueblo y Educacin. 40 pg.

18. Manual: PLAXIS Finite element codo for soil and rock plasticity. Versin 3.0. Edited by P.A. Verner. Holanda. 1998.

19. Menzanbach, Ernest : La capacidad de carga de pilotes y grupos de pilotes. / Ernest Menzanbach. La Habana. CITC. Universidad de la Habana. 1968. 78 pg.

20. Menzanbach, Ernest : La distribucin de presiones en el suelo por carga impuesta. / Ernest Menzanbach. La Habana. CITC. Universidad de la Habana. 1968. 107 pg.

21. Mestat Philipe.: Combinaciones de elementos finitos para las obras geotecnicas. Consejos y recomendaciones. Philipe Mestat./ Francia. Boletin de labortaorio de mecnica de suelo # 212 (Julio- Agosto) 1993. 39-64 pg

22. Mestat Philipe.: Modelos de elementos finitos y problemas de convegancia en el comportamiento no lineal. Philipe Mestad. / Francia. Boletin de labortaorio de mecnica de suelo # 214 (Nov-Dic). 1993. 34-56 pg

23. Midlin, R.D. : Fuerza puntual en el interior de un semiespacio. /. R.D. Midlin. Revista Ingeniera Civil 3-75. pg 263-290.

24. Ministerio de Educacin. Anteproyecto de norma cubana: Cimentaciones sobre pilotes. Mtodos de clculo para el dimensionamiento geotcnico. / Ministerio de Educacin. Cuba. Editorial Pueblo y Educacin. 1989. 50 pg.

25. Moreno, Alfredo : Mtodos para el anlisis y diseo de cimentaciones sobre pilote. Recopilacin bibliogrfica. / Alfredo Moreno y Rolando Lima. TD. UCLV. 1987. 102 pg.

26. Normas Soviticas. Cimentaciones sobre pilotes. / Normas Soviticas. / s.l., s.a. / 1979.

27. Oteo, C : Racalce profundo de un edificio fisurado para el control de asientos. /. Carlos Oteo y J.M. Rein. Revista Arte y Cemento. Marzo 1987. Madrid.

28. Oteo, C : Resistencia y deformacin de los grupos de pilotes verticales con especial consideracin en los esfuerzos alternativos. /. Carlos Oteo. Tesis Doctoral. ETS Caminos, Canales y puertos. Universidad Politcnica de Madrid. 1972.

29. Oteo, C. : Cimentaciones por pilotajes. /. Carlos Oteo. Captulo 3 en Geotecnia y Cimientos. Madrid. Editora Rueda. 1980.

30. Quevedo Sotolongo, G. : Diseo geotecnico de cimentaciones superficiales. Manual del proyectista. / Gilberto Quevedo Sotolongo. UCLV. 1994. 89 pg.

31. Randolhph, M.F. : Application of the failure state in indrained simple shear to the shaft capacity of driver of piles. / M.F. Randolhph and Wroth. Revista Geotechnique. Vol 31. No 1 pg 143-157.

32. Rivero Lage, Cesar : Pilotes en roca. /. Cesar Rivero Lage. Revista Ingeniera Civil 1-84. pg 14-31.

33. Rogel, J.M. : Load transfer along bored piles in stiff clays. /. J.M. Rogel, Carlos Oteo y Antonio Soriano. Proc. Int. Symp. on Deep. Founds on Bored and Anger Piles. 1989. pg 245-251.

34. Rogel, J.M. : Transferencia de carga a lo largo de un pilote excavado en arcillas rgidas. /. J.M. Rogel. Tesis Doctoral Universidad Politcnica de Madrid. 1987.

35. Snchez Rodrguez, A. : Modelo matemtico simplificado para anlisis dinmico de pilotes. / Angel Snchez Rodrguez y Jos Arguelles Parrado. Revista Ingeniera Estructural 2 1982. pg 162 171.

36. Simancas Montoto,O. : Capacidad de carga en cimentaciones Superficiales. / Orlano simancas Montoto.Tesis de Doctorado. ETISIMOde Oviedo.Espaa. 1999. 165 pg.

37. Soriano, A. : Numerical analysis of the behaviour of piles on soft rocks. /. Antonio Soriano y Carlos Oteo. Proc. Int. Symp on Numerical Models in Geomech. Zurich. 1982.

38. Sowers, George B. : Introduccin a la mecnica de suelo y cimentaciones. / George B. Sowers y George F. Sowers. La Habana. Editorial Pueblo y Educacin. 1977. 677 pg.

39. Zequeira, Lino. : El mtodo de los elementos finitos en el caso plano de tensiones. /. Lino Zequeira. Revista Ingeniera Civil 3-73. pg 169-189. EMBED PBrush

EMBED PBrush

Carga

Total

Qt = Qf + Qp

Qp

Qf

Wf Wp (W) Asentamiento

4UCLV. Facultad de Construcciones. Autor: MSc. Ing. Luis Orlando Ibaez Mora.

_944849978.unknown

_982560874.unknown

_982560963.unknown