Presentacin de PowerPoint

FACULTAD DE INGENIERA DE MINAS GEOLOGA Y METALURGIA

ESCUELA PROFESIONAL:INGENIERA DE MINAS

CURSO:MATEMTICA III

TEMA:Divergencia y Rotacional,

Coordenadas cilndricas y esfricas

INTEGRANTES:- Rodrguez Robles Erik

- Salvador Jara Paul

- Veramendi Santos Yaez J.

DOCENTE:Lic. Leiva Bernuy Rubn

Semestre acadmico:2014 II

CICLO:III

HUARAZ ENERO 2015

UNASAM

AO DE LA DIVERSIFICACIN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIN

DIVERGENCIA, ROTACIONAL,

COORD. CILNDRICAS Y ESFRICAS

DIVERGENCIA DE UNA FUNCION VECTORIAL

Si una funcin vectorial es = (f1,f2,f3) , donde f1,f2,f3 son funciones escalares, entonces el producto escalar de la funcin vectorial y el vector simblico es decir: se denomina la divergencia de la funcin vectorial y se denota por div() =: es decir:

TEOREMA

Si y son dos funciones vectoriales, mostrar que

DEMOSTRACION

Si y entonces se tiene:

TEOREMA

Si es una funcin escalar, entonces la divergencia del gradiente de es

DEMOSTRACION

Como

La divergencia del gradiente se escribe como . Entonces se escribe como . Al operador le llamamos el Laplaciano, es decir:

Laplaciano = entonces se tiene:

DEFINICION

Una funcin escalar se dice armnica si es continua, tiene segundas derivadas continuas y satisface a la ecuacin de Laplace.

Mostrar que funcin , donde es una funcin armnica siempre que

ROTACIONAL DE UNA FUNCIN VECTORIAL

Si una funcin vectorial , donde son funciones escalares con primeras derivadas continuas entonces su producto vectorial o cruz con el vector simblico es:

PROPIEDADES

Sean y funciones vectoriales entonces

Sea una funcin escalar con segundas derivadas continuas entonces

Sea una funcin vectorial con segundas derivadas continuas entonces

Sean y funciones vectoriales, entonces

Ejemplo.Hallar el rotacional de

COORDENADAS CILINDRICAS

A las coordenadas cilndricas de un punto p del espacio denotaremos por p(r,,z) donde (r,) es la coordenada polar de la proyeccin de p sobre el plano polar y z es la distancia dirigida del plano polar al punto p.

Un punto p del espacio tiene dos representaciones una en coordenadas Cartesianas p(x,y,z) y la otra en coordenadas cilndricas p(r,,z). La relacin que existe entre las coordenadas cartesianas y las coordenadas cilndricas es:; ; z=z.

Donde las coordenadas cilndricas r, son las coordenadas polares del punto (x, y, 0) en el plano XY, que es la proyeccin ortogonal del punto p sobre el plano XY.

Calculando el Jacobiano de las coordenadas cilindricas:

Ejm. Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para cada una de las siguientes superficies cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas cilndricas e identifique la superficie. A) r=6cos

COORDENADAS ESFRICAS

En un sistema de coordenadas esfricas se tiene: un plano polar y un eje Z perpendicular al plano polar con el origen del eje Z en el polo del plano polar.

A las coordenadas esfricas de un punto del espacio denotaremos por , en donde es el ngulo polar de la proyeccin de p en el plano polar y es el ngulo entre la direccin positiva del eje Z y el radio vector .

La relacin entre las coordenadas cartesianas y esfricas es: , , , , ,

.

Calculando el Jacobiano de las coordenadas esfricas se tiene:

Ejm. Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas para cada una de las siguientes superficies cuyas ecuaciones se han expresado en coordenadas esfricas e identifique la superficie. a) psen=4

GRACIAS