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Mathematica FS-321

Ajustes de Datos, Análisis

Vectorial y Sistemas de

Coordenadas.

Elaborada por:Miguel Ángel Serrano

Slide 2 of5 Objetivos:

Una vez familiarizado con operaciones básicas en el programa Mathematica se quiere que

el estudiante maneje:

Ajustes de datos, es de importancia debido a que en el transcurso del laboratorio usaremos

esta herramienta computacional para tratar los datos experimentales que se tomen.

Análisis Vectorial, de esta manera se podra trabajar con los campos eléctricos y magnéticos

que se encuentran al principio del curso.

Realizar cambios entre los sistemas de coordenadas en los cuales trabajan en el curso.

2 Ajuste_y_Coordenadas.nb

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Ajustes de Datos

Usualmente al hacer la toma de datos de un experimento, estos vienen en pares de datos,

a partir de la teoría que describe los datos nosotros podemos relacionarlos a travez de una

función, ya sea lineal, exponencial, senoidal, etc. En esta sección aprenderemos a manipu-

lar dichos datos con el uso del programa.

Ajuste Lineal:

En un experimento destinado a medir la velocidad del sonido en aire (el sónido producido

tenía una frecuecia de 3400 Hz). En dicho experimento se media la distancia desde el

parlante hasta el punto donde se produce una figura de Lissajous en un osciloscopio digi-

tal.

Los datos tomados siguen la siguiente ecuación lineal:

d=n*l

Tomamos n (el número de figura producida) como coordenada x, d (la distancia donde se

produce) como coordenada y. Se hará un ajuste lineal para determinar la pendiente (que

equivale a la longitud de onda) para posteriormente calcular la velocidad del sonido en

aire.

datos = 881, 10<, 82, 19.8<, 83, 30<, 84, 40<, 85, 50.4<,

86, 61.3<, 87, 71.2<, 88, 82.3<, 89, 91<, 810, 102.3<, 811, 109.2<<;

A = ListPlot@datosD

2 4 6 8 10

20

40

60

80

100

Ajuste = LinearModelFit@datos, n, nD

FittedModelB -0.103636 + 10.1309 nF

Clear@fD; f@n_D = 10.131 ∗ n − 0.104;

Ajuste_y_Coordenadas.nb 3

B = Plot@f@nD, 8n, 0, 11<D

2 4 6 8 10

20

40

60

80

100

Los gráficos anteriores se mirarian mejor si estuvieran unidos para, ademas seria bueno

que fueran de distintos colores para poder comparar de mejor manera.

Al representar cantidades físicas estos gráficos se ven incompletos, debemos titular los

nombres de los ejes, ademas de poner las unidades respectivas.

G = Plot@f@nD, 8n, 0, 11<, PlotStyle → RedD;

Show@A, G, AxesLabel → 8"n", "dHcmL"<D

2 4 6 8 10

n

20

40

60

80

100

dHcmL

Finalmente podemos encontrar la velocidad del sonido multiplicando v=l*f

v = 10.1131 ∗ 10^H−2L ∗ 3400

343.845

Dado que la longitud de onda es un dato experimental, es necesario encontrar su incer-

tidumbre. Esto se puede hacer usando el programa, pero es exclusivo del comando Linear-

ModelFit.

Mathematica nos puede proporcionar la incertidumbre relativa, y basta con un despeje

para poder calcular la incertidumbre absoluta.

∆λ = 10.131 ∗ Ajuste@"CoefficientOfVariation"D

0.162738

Esto significa que el valor medido de l es:

l=10.1 ±0.2 cm

Y propagando el error para encontrar la incertidumbre de la velocidad:

v=343 ±6 m/s

4 Ajuste_y_Coordenadas.nb

Esto significa que el valor medido de l es:

l=10.1 ±0.2 cm

Y propagando el error para encontrar la incertidumbre de la velocidad:

v=343 ±6 m/s

Ajustes no lineales:

Los comportamientos de femómenos físicos no siempre se pueden modelar como una

función lineal. Sin embargo, si nosotros sabemos el modelo que sigue el fenómeno físico,

podemos utilizar el programa para encontrar dicho ajuste con el comando FindFit.

Ejemplo: Suponga que tenemos un objeto a 500m del suelo y lo lanzamos verticalmente

hacia abajo, una persona toma mediciones de distancia y tiempo para el objeto. A partir de

estos datos queremos encontrar la velocidad inicial, y aceleración efectiva (no usaremos la

aceleración debido a la gravedad para no despreciar la resistencia del aire).

Sabemos que los datos de posición y distancia siguen la siguiente ecuación:

Y=Y0-V0*t-(a*t^2)/2

dat2 = 880, 500<, 82, 481<, 84, 443<, 86, 388<, 88, 302<, 810, 204<, 812, 71<<;

G1 = ListPlot@dat2D

2 4 6 8 10 12

100

200

300

400

500

FindFit@dat2, 500 − V0 ∗ t − 0.5 ∗ a ∗ t^2, 8V0, a<, tD

8V0 → 2.66574, a → 5.476<

G2 = Plot@500 − 2.67 ∗ t − 0.5 ∗ 5.48 ∗ t^2, 8t, 0, 12<, PlotStyle → RedD

2 4 6 8 10 12

100

200

300

400

500

Ajuste_y_Coordenadas.nb 5

Show@G1, G2, AxesLabel → 8"tHsL", "YHmL"<D

2 4 6 8 10 12

tHsL

100

200

300

400

500

YHmL

6 Ajuste_y_Coordenadas.nb

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Análisis Vectorial

Las cantidades que utilizamos en la clase no solo se limitan a funciones(o campos

escalares), tambien podemos tener vectores (y vampos vectoriales). A continuación como

definir vectores y algunas de las operaciones tanto básicas como avanzadas

Se tienen los siguientes campos escalares:

R1= x*y^2*z^3

R2=(x-y*z)/(y*x-z^2)

y los siguientes campos vectoriales:

S1=(y*z,x-z^2,2*y-x/z)

S2=(x*y*z, x-y-z, z*x^2)

S3=(2*zCos[f], r^2+z^2, r*Tan[f])

S4=(Cos[f]*Sin[q], r^3*Tan[q], r*Sin[q]*Sin[2*f] )

R1 = x ∗ y^2 ∗ z^3;

R2 = Hx − y ∗ zL ê Hy ∗ x − z^2L;

S1 = 8y ∗ z, x − z^2, 2 ∗ y − x ê z<;

S2 = 8x ∗ y ∗ z, x − y − z, z ∗ x^2<;

S3 = 82 ∗ z ∗ Cos@φD, ρ^2 + z^2, ρ ∗ Tan@φD<;

S4 = 8Cos@φD ∗ Sin@θD, r^3 ∗ Tan@θD, r ∗ Sin@θD ∗ Sin@2 ∗ φD <;

Producto punto y producto cruz (no depende del sistema de coordenadas):

Dot@S1, S2D

Dot@S2, S1D

x2 K2 y −

x

z

O z + x y2

z2

+ Hx − y − zL Ix − z2M

x2 K2 y −

x

z

O z + x y2

z2

+ Hx − y − zL Ix − z2M

Dot@S1, S3D

Ix − z2M Iz

2

+ ρ2M + 2 y z

2

Cos@φD + K2 y −

x

z

O ρ Tan@φD

Cross@S1, S2D

Cross@S2, S1D

:−x − 2 x y + 2 y2

+

x2

z

−

x y

z

+ x3

z + 2 y z − x2

z3

,

−x2

y + 2 x y2

z − x2

y z2

, x y z − x2

y z − y2

z − y z2

+ x y z3>

:x + 2 x y − 2 y2

−

x2

z

+

x y

z

− x3

z − 2 y z + x2

z3

,

x2

y − 2 x y2

z + x2

y z2

, −x y z + x2

y z + y2

z + y z2

− x y z3>

Gradiente, Divergencia, Rotacional, Laplaciano:

Estos comandos si dependen del sistema de coordenadas por lo cual no se pueden utilizar

como los comandos anteriores.

Ajuste_y_Coordenadas.nb 7

Gradiente, Divergencia, Rotacional, Laplaciano:

Estos comandos si dependen del sistema de coordenadas por lo cual no se pueden utilizar

como los comandos anteriores.

Grad@R1, 8x, y, z<, "Cartesian"D

9y2

z3

, 2 x y z3

, 3 x y2

z2=

Grad@R2, 8x, y, z<, "Cartesian"D

:−

y Hx − y zL

Ix y − z2M

2

+

1

x y − z2

, −

x Hx − y zL

Ix y − z2M

2

−

z

x y − z2

,

2 z Hx − y zL

Ix y − z2M

2

−

y

x y − z2

>

Div@S1, 8x, y, z<, "Cartesian"D

x

z2

Div@S3, 8ρ, φ, z<, "Cylindrical"D

2 z Cos@φD

ρ

Curl@S4, 8r, θ, φ<, "Spherical"D

:2 Cos@θD Sin@2 φD, −Sin@θD Sin@2 φD +

1

r

Csc@θD I−Sin@θD Sin@φD − r Sin@θD2

Sin@2 φDM,

3 r2

Tan@θD −

Cos@θD Cos@φD − r3

Tan@θD

r

>

Gráficos:

V = 9 ∗ 10^H−3L ∗ 1 ê HSqrt@x^2 + y^2DL;

Electrico = −Grad@V, 8x, y<, "Cartesian"D;

Gr1 = ContourPlot@V, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<D;

Gr2 = StreamPlot@Electrico, 8x, −10, 10<, 8y, −10, 10<D;

Show@Gr1, Gr2D

-10 -5 0 5 10

-10

-5

0

5

10

8 Ajuste_y_Coordenadas.nb

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Sistemas de Coordenadas:

Hasta ahora nosotros hemos definido directamente los vectores, pero en la problemas

encontrados muchas veces nos toca convertir de un sistema de coordenadas a otro. Mathe-

matica tiene una función para hacer dichos cambios directamente.

EJEMPLOS:

Cambie los siguientes campos vectoriales a los demas sistemas coordenados.

T1 = 8Hy^2 − x^2L, x ∗ y ∗ z, Hx^2 − z^2L<; T2 = 8z ∗ Sin@φD, −ρ ∗ Cos@φD, 2 ∗ ρ ∗ z<;

T1 en cilindricas:

FullSimplify@TransformedField@"Cartesian" → "Cylindrical", T1, 8x, y, z< → 8ρ, φ, Z<DD

:ρ2

Cos@φD I−Cos@φD2

+ H1 + ZL Sin@φD2M,

1

2

ρ2 HZ + H2 + ZL Cos@2 φDL Sin@φD, −Z

2

+ ρ2

Cos@φD2>

T1 en esféricas:

FullSimplify@TransformedField@"Cartesian" → "Spherical", T1, 8x, y, z< → 8r, θ, φ<DD

:r2 I−Cos@θD3

− Cos@φD Cos@2 φD Sin@θD3

+ Cos@θD Cos@φD Sin@θD2 ICos@φD + r Sin@θD Sin@φD2MM,

r2

Sin@θD

−Cos@φD2

Sin@θD2

−

1

4

HCos@φD + Cos@3 φDL Sin@2 θD + Cos@θD2 I1 + r Cos@φD Sin@θD Sin@φD2M ,

r2

Sin@θD2

Sin@φD IH1 + r Cos@θDL Cos@φD2

− Sin@φD2M>

T2 en cartesianas:

FullSimplify@TransformedField@"Cylindrical" → "Cartesian", T2, 8ρ, φ, z< → 8x, y, zeta<DD

:x y

1

x2

+ y2

+

zeta

x2

+ y2

, −

x2

x2

+ y2

+

y2

zeta

x2

+ y2

, 2 x2

+ y2

zeta>

T2 en esféricas:

FullSimplify@TransformedField@"Cylindrical" → "Spherical", T2, 8ρ, φ, z< → 8r, θ, Φ<DD

9r Cos@θD Sin@θD H2 r Cos@θD + Sin@ΦDL,

r Cos@θD I−2 r Sin@θD2

+ Cos@θD Sin@ΦDM, −r Cos@ΦD Sin@θD=

Ajuste_y_Coordenadas.nb 9