Campos Electromagnéticos 2º Curso Ingeniería … · Teorema de la divergencia Teorema del...

Curso 2005/2006 Joaquín Bernal Méndez 1

Tema 1: Análisis vectorial

Campos Electromagnéticos2º Curso Ingeniería IndustrialDpto.Física Aplicada III

Dpto. Física Aplicada III 2C. Electromagnéticos2º Curso Ing. Industrial

Tema 1: Índice (I)

IntroducciónCampos escalares y vectorialesIntegrales de los campos

CirculaciónFlujo

Derivadas de los camposGradienteDivergenciaRotacional


Tema 1: Índice (II)

Herramientas matemáticasCoordenadas cilíndricas y esféricas Operador nablaDelta de Dirac

Tipos especiales de campos:Campos irrotacionalesCampos solenoidalesCampos armónicos

Teorema de Helmholtz


Introducción

Escalar: cantidad caracterizada por su magnitud.Ejemplo: masa de una persona

Vector: cantidad caracterizada por su magnitud, dirección y sentido.Ejemplo: velocidad de un automóvil


Campos escalares (I)

Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud escalar.

Campo de temperaturas: T(x,y,z) Altitud geográfica: h(x,y)Campo de densidades de un material

Función debe ser monovaluada


Campos escalares (II)

Representación: Superficies equiescalares( , , )x y z Cϕ =

-4 -2 0 2 4-4

-2

0

2

4

-2

-1

0

1

2 -2

-1

0

1

2

-2-1

0

1

-2

-1

0

1


Campos escalares (III)Ejemplo: Campo de presiones

( , , )x y z Cϕ =


Campos vectoriales (I)

Definición: Función de la posición que a cada punto del espacio asigna una magnitud vectorial.

Campo de gravedad terrestreCampo de velocidad de un fluidoCampo eléctrico y campo magnético

Ha de ser monovaluada


Campos vectoriales (II)Ejemplo:


Campos vectoriales (III)

Representación: Líneas de campo: curvas tangentes al campo en todo punto

x y z

dx dy dzF F F

= =


Campos vectoriales (IV)

Ejemplo: Campo eléctrico de una carga puntual

Carga positiva


Campos vectoriales (V)

Ejemplo: líneas de campo para dos cargas puntuales

•-q

•+q•q

•q

Cargas positivas Cargas de distinto signo


Integrales sobre campos

Dos tipos de campos: escalares y vectorialesEs posible realizar integrales de línea, superficie y volumen.Dos tipos de integrales nos interesan por su sentido físico:

CirculaciónFlujo


Circulación (I): definición

Integral de línea de un campo vectorial:

,

B

AF dr

γΓ = ⋅∫

Propiedades importantes:El resultado es un escalarEl resultado depende del camino

Ejemplo: trabajo de una fuerza


Circulación (II): sentido físicoLínea cerrada: es una medida del giro del campo

·L

C F dl= ∫

0C =L

0C ≠L

Para un campo de fuerzas: trabajo sobre una curva cerrada


Circulación (III): cálculo

¿Cómo se calcula?Se parametriza la curva:

Calculamos la integral:

,

B

AF dr

γΓ = ⋅∫

{ }: ( ), t ( , )A Br r t t tγ = ∈

( ( ))B

A

t

t

drF r t dtdt

Γ = ⋅∫


Flujo (I): definición

Integral de superficie de un campo vectorial

Propiedades:Es un escalarDepende de la S escogidaDebe especificarse el sentido de Si la superficie es cerrada: es saliente

SF dsΦ = ⋅∫

ss


Flujo (II): sentido físicoEs una medida de la cantidad de campo que atraviesa una superficieEjemplo: campo de velocidades de un fluido

VSΦ =

·S

V dSΦ = ∫·V SΦ =


Flujo (III): cálculo

Si parametrizamos la superficie:

Entonces:

Calculamos la integral:

{ }1 2 1 2: ( , ), ( , ), ( , )S r r α β α α α β β β= ∈ ∈

r rdS d dα βα β

⎛ ⎞∂ ∂= ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

( ( , )) r rF r d dα β α βα β

⎛ ⎞∂ ∂Φ = ⋅ ×⎜ ⎟∂ ∂⎝ ⎠

∫∫


Resumen

Los campos pueden ser escalares o vectorialesPara describir los campos escalares se usan las superficies equiescalares.Para describir los campos vectoriales se emplean las líneas de campoLa circulación mide el giro del campoEl flujo mide cuanto campo atraviesa una superficie


Derivadas de los campos

Del mismo modo que podemos realizar integraciones de campos escalares y vectoriales, podemos derivarlos.Campos escalares: gradienteCampos vectoriales: divergencia y rotacional


Gradiente (I)( )f xPara una función de una variable:

0

0 0

0

( ) ( ) ( )lim

x

df x f x f xdx ε

ε

ε→

+ −=

( )f x

xε

0( )f x ε+

0( )f x

La derivada nos informa de la variación de la función con x


Gradiente (II): derivada direccional

¿Cómo expresar la variación de una función de varias variables (c.escalar)?Hay que especificar la dirección:

vector unitario:Derivada direccional:

( , , )x y zv v v v=

0

( , , ) ( , , )lim x y zx v y v z v x y zd

ds ε

ϕ ε ε ε ϕϕε→

+ + + −=


Gradiente (III)

Usando el concepto de derivada parcial:

Definición:

Por tanto:

x y zd v v vds x y zϕ ϕ ϕ ϕ∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

, , vx y zϕ ϕ ϕ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

= ⋅⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

grad x y zu u ux y zϕ ϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

d =gradds

vϕ ϕ ⋅


Gradiente (IV): significado físicod =gradds

vϕ ϕ ⋅gradϕ

vα

d = grad cosdsϕ ϕ α⋅

El módulo del gradiente coincide con el valor máximo que puede tomar la derivada direccional en ese punto

La dirección del gradiente coincide con la dirección hacia la que la derivada direccional es máxima (máximavariación de la función p.u.l. en ese punto)


Gradiente (V)Variación de la función al desplazarnos:

El gradiente es perpendicular a las superficies equiescalares en cada punto:

grad gradd v ds drϕ ϕ ϕ= ⋅ = ⋅

0 gradd drϕ ϕ= = ⋅Cteϕ =

drgradϕ |grad drϕ −


Gradiente (VI): Resumen

Es un campo vectorial.Su módulo en cada punto nos da el valor de la derivada direccional máxima.Su dirección en cada punto nos indica la dirección de máxima variación de la función.Es perpendicular en todo punto a las superficies equiescalares del campo.


Divergencia (I)

Dado un campo vectorial, se define el campo escalar divergencia:

Divergencia en cartesianas:

0

1div ( ) limS

F r F dSτ

τ τ∆

∆ →= ⋅

∆ ∫

div ( ) yx zFF FF rx y z

∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂


Divergencia (II):sentido físico

La divergencia no nula indica fuente o sumidero de líneas de campo

Puntos de divergencia nulaPunto de divergencia no nula


Divergencia (III)

Teorema de la divergencia:

Útil en la evaluación de integralesFundamental en el desarrollo teórico de la asignatura

div ( )S

F r d F dSττ

τ = ⋅∫ ∫

z

xySτ

τ


Rotacional(I)

Definición intrínseca:

Cálculo en cartesianas:

0

1rot ( ) limS

F r dS Fτ

τ τ∆

∆ →= ×

∆ ∫

rot ( )

x y z

x y z

u u u

F r y zxF F F

∂ ∂ ∂=∂ ∂∂


Rotacional (II):sentido físico

Está relacionado con el giro local de las líneas de campo (torbellinos):

Rotacional no nulo Rotacional nuloRotacional nulo


Rotacional (III)

Teorema de Stokes:

La curva se recorre siguiendo el criterio de la mano derecha respecto al Útil para:

Evaluación de integralesDesarrollo teórico de la asignatura

rotsS

F dS F drγ

⋅ = ⋅∫ ∫

dSsγ


Divergencia y rotacional: resumen

Derivadas de los campos vectorialesDivergencia: campo escalar relacionado con la existencia de fuentes o sumideros.Rotacional: campo vectorial relacionado con los giros locales de las líneas de campoTeoremas fundamentales:

Teorema de la divergencia Teorema del rotacional


Coordenadas curvilíneasHasta ahora hemos trabajado en cartesianasA veces los problemas se simplificanusando otro sistemas de coordenadas:

CilíndricasEsféricas

No son las únicas alternativas que existen, pero sí las únicas que nosotros vamos a usar.


Coordenadas cartesianas (I)Asignan a cada punto la distancia a tres planos ortogonales (x,y,z)Líneas coordenadas: rectas paralelas a los ejes de coordenadasSuperficies coordenadas: planos paralelos a los planos coordenados

X

Y

Z

r

xy

z z = cte

y = cte

x = cte

X

Y

Z

x

y

z

•P


Coordenadas cartesianas (II)Base vectorial:

Vector de posición:

x y zr xu yu zu= + +

x y zdr dxu dyu dzu= + +Y

X

Z

r0

i j

k

uz

uy

ux

P

Diferenciales de superficie:

xy zdS dxdyu= zx ydS dxdzu=yz xdS dzdyu=

d dxdydzτ =Diferencial de volumen:


Coordenadas cilíndricas (I)Fija la posición de P mediante tres parámetros diferentes:

X

Y

Z

r

ρ

z

φ

ρ (coordenada radial): distancia al eje Zφ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje Xz (c. vertical): distancia al plano XY

00 2π

z

≤ < ∞≤ <

−∞ < < ∞

ρϕ

cossen

xyz z

===

ρ ϕρ ϕ ρ

φ

x

yX

Y

Z


Coordenadas cilíndricas (II)

z=cte

z

ϕ=cte

ϕ

ρ

ρ=cteX

Y

Z

•P

Líneas coordenadas:ρ: Semirrectas horizontalesφ: Circunferencias horizontalesz: Rectas verticales

Superficies coordenadas:ρ=cte.: Cilindros verticalesφ=cte: Semiplanos verticalesz=cte: Planos horizontales


Coordenadas cilíndricas (III)Base vectorial

cos senx y zr u u zuρ ϕ ρ ϕ= + +Vector de posición:

zr u zuρρ= +

Y

X

Z

r0

ρ

uρ

ux uy

uz

φ uφ

z

uz

P

zdr d u d u dzuρ ϕρ ρ ϕ= + +Desplazamiento infinitesimal:

Esta base dependede la posición


Coordenadas cilíndricas (IV)

z=cte

z

ϕ=cte

ϕ

ρ

ρ=cteX

Y

Z

•P

Diferenciales de superficie:

cte : dS d dzuρρ ρ ϕ= =

cte : zz dS d d uρ ϕ ρ= =

cte : dS dzd uϕϕ ρ= =

Diferencial de volumen:d d dzdτ ρ ρ ϕ=

En esta base a veces se usa la variable r en lugar de ρ


Gradiente, divergencia y rotacional en cilíndricas

1grad zf f ff u u u

z∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂ρ ϕρ ρ ϕ

( )1 1div zF F FFz

∂ ∂ ∂= + +

∂ ∂ ∂ρ ϕρ

ρ ρ ρ ϕ

1 1rot ( )z zz

F F FF FF u u F uz z

∂ ∂ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂= − + − + −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

ϕ ρ ρρ ϕ ϕρ

ρ ϕ ρ ρ ρ ϕ


Coordenadas esféricas (I)

X

Y

Z

r

φ

θ r

r (coordenada radial): distancia al origenθ (c. polar): ángulo que el vector de posición forma con el eje Zφ (c. acimutal): ángulo que la proyección sobre el plano XY forma con el eje X

00 π0 2π

r≤ < ∞≤ ≤≤ <θϕ

sen cossen sencos

x ry rz r

θ ϕθ ϕθ

===

ρφ

x

yX

Y

Z

ρ

θ z

Z

r


Coordenadas esféricas (II)Líneas coordenadas:

r: Semirrectas radiales desde el origenφ: Circunferencias horizontales (paralelos)θ: Semicírculos verticales (meridianos)

Superficies coordenadas:r=cte.: Esferas concéntricasφ=cte: Semiplanos verticalesθ=cte: Conos con vértice el origen

ϕ=cte ϕ

θ=cte

θr=cte

r

X

Y

Z

•P


Coordenadas esféricas (III)Base vectorial

Vector de posición:

Y

X

Z

r0

ρ

ux uy

uz

urφ

uφ

z

P

uθθ

sen cos sen sen cosx y zr r u r u r uθ ϕ θ ϕ θ= + +

Esta base dependede la posición

rr ru=

senrdr dr u rd u r d uθ ϕθ θ ϕ= + +

Desplazamiento infinitesimal:


Coordenadas esféricas (IV)

ϕ=cte ϕ

θ=cte

θr=cte

r

X

Y

Z

•P

Diferenciales de superficie:2cte : sen rr dS r d d uθ ϕ θ= =

cte : sendS r d druθθ θ ϕ= =

cte : dS rd druϕϕ θ= =

Diferencial de volumen:2 send r drd dτ θ θ ϕ=


Gradiente, divergencia y rotacional en esféricas

1 1gradsenr

f f ff u u ur r r∂ ∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂θ ϕθ θ ϕ

22

1 1 1div ( ) (sen )sen senr

FF r F F

r r r r∂∂ ∂

= + +∂ ∂ ∂

ϕθθ

θ θ θ ϕ(sen ) ( )1 1 1rot

sen sen

1 ( )

rr

r

F rFF FF u ur r r

rF F ur r

ϕ ϕθθ

θϕ

∂ θ ∂⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂= − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ ∂θ ∂ϕ θ ∂ϕ ∂⎣ ⎦ ⎣ ⎦

∂ ∂⎡ ⎤−⎢ ⎥∂ ∂θ⎣ ⎦


Operador nabla (I): definición

Permite una notación más cómoda.Se define el operador nabla:

Operador diferencial y vectorial:Se aplica a la función a su derechaObedece a las leyes del álgebra vectorial

x y zu u ux y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂


Operador nabla (II)

grad

div

x y z

yx z

u u ux y z

FF FF Fx y z

ϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂= + + = ∇∂ ∂ ∂

∂∂ ∂= + + = ∇ ⋅∂ ∂ ∂

rotzyx

yx z

uuu

F Fy zxF F F

∂ ∂ ∂= = ∇×∂ ∂∂


Operador nabla (III)

Nabla puede expresarse en otros sistemas de coordenadas.Las operaciones realizadas con nabla son independientes del sistema de coordenadas.Cualquier identidad que pueda probarse con nabla en cartesianas es válida en otro sistema de coordenadas.


Nabla sobre un producto (I)Pueden obtenerse campos escalares como producto de campos

Dos campos escalares:Dos campos vectoriales:

¿Cómo se calcula el gradiente?

ψϕ

F G⋅

( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇

x y zF F F Fx y z∂ ∂ ∂

⋅∇ = + +∂ ∂ ∂ ( ) ( )F G F G⋅∇ ≠ ∇ ⋅


Nabla sobre un producto (II)También se obtienen campos vectoriales

Escalar y vectorial:Dos campos vectoriales: F G×

Fϕ

( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅

( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×

( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇

Divergencia:

Rotacional:


Nabla sobre un producto: resumen

( )ϕψ ϕ ψ ψ ϕ∇ = ∇ + ∇

( )( )F F Fϕ ϕ ϕ∇ ⋅ = ∇⋅ + ∇ ⋅( ) ( ) ( )F G F G F G∇⋅ × = ∇× ⋅ − ⋅ ∇×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇ ⋅ = × ∇× + ⋅∇ + × ∇× + ⋅∇

Gradiente:

Divergencia:

( ) ( )F F Fϕ ϕ ϕ∇× = ∇× + ∇ ×( ) ( ) ( ) ( ) ( )F G F G F G G F G F∇× × = ∇ ⋅ − ⋅∇ − ∇ ⋅ + ⋅∇

Rotacional:


Aplicación doble de nabla (I)Es posible aplicar nabla dos veces, hay 5 posibilidades:

El gradiente es un vector:Divergencia del gradienteRotacional del gradiente

La divergencia es un escalar:Gradiente de la divergencia

El rotacional es un vectorDivergencia del rotacionalRotacional del rotacional

( )ϕ∇ ⋅ ∇( )ϕ∇× ∇

( )F∇⋅ ∇×( )F∇× ∇×

( )F∇ ∇⋅


Aplicación doble de nabla (II)2 2 2

22 2 2( )

x y zϕ ϕ ϕϕ ϕ∂ ∂ ∂

∇ ⋅ ∇ = + + = ∇∂ ∂ ∂

( ) 0ϕ∇× ∇ =

Laplaciano2( )∇

Muy importante

( ) 0F∇⋅ ∇× =

2( ) ( )F F F∇× ∇× = ∇ ∇ ⋅ −∇

( )F∇ ∇⋅ Aparece poco2¡ ( ) ( ) !F F F∇ ∇⋅ ≠ ∇ ⋅∇ = ∇

Muy importante

Ya definidas


Función delta de Dirac (I)

Supongamos el campo vectorial:Es radial y saliente, pero:

Ahora bien, integrando en una esfera (R):

2 3ru rv

r r= =

22 2

1 1 0v rr r r

∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = =⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2 220 0

sen 4rr

S

uv d v dS u R d dR

τ

π π

τ

τ θ θ ϕ π∇⋅ = ⋅ = ⋅ =∫ ∫ ∫ ∫Teorema de la divergencia


Función delta de Dirac (II)El problema está en

En resumen, la función cumple:

Hemos “encontrado” una función peculiar: la delta de Dirac

0r =2

2 20

1 1¡¡ !!r

v rr r r =

∂ ⎛ ⎞∇ ⋅ = = ∞⎜ ⎟∂ ⎝ ⎠

2ru

r∇⋅

2 2

0 0 con 4

0r rru u d

rr rτ

τ π≠⎧

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫


Función delta de Dirac (III)Función delta de Dirac monodimensional:

Distribución: límite de una sucesión de funciones

-

0 0( ) con ( ) 1

0x

x x dxx

δ δ∞

∞

≠⎧= =⎨∞ =⎩

∫

2

2

0 0

1( ) lim ( ) lim eπ

x

x x−ε

εε→ ε→δ = δ =

ε


Función delta de Dirac (IV)

0

1

2

3

4

5

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2x

ε=1ε=0.5ε=0.25

ε=0.125

2

2εε

1( ) eε π

x

xδ−

=

δε(x

)


Función delta de Dirac (IV)Producto por una función:

Es suficiente que el intervalo de integración incluya el máximo:

El máximo de la delta puede desplazarse:

( ) ( ) ( ) (0) ( ) ( ) (0)x f x x f x f x fδ δ δ∞

−∞

= ⇒ =∫

( ) ( ) (0)x f x fε

ε

δ−

=∫

∞

( ) ( ) ( )x a f x f aδ−∞

− =∫


Función delta de Dirac (V)

z

x

y

τ

Delta de Dirac tridimensional:

En general:

3( ) ( ) ( ) ( )r x y zδ δ δ δ=

( )( ) ( )

0a a

r r a daτ

ϕ τϕ δ τ

τ∈⎧

− = ⎨ ∉⎩∫

3( ) ( ) ( ) ( )x y zr a x a y a z aδ δ δ δ− = − − −

aa


Función delta de Dirac (VI)Volviendo a la función

Podemos escribir:

2ru

r∇⋅

2 2

0 0 con 4

0r rru u d

rr rτ

τ π≠⎧

∇ ⋅ = ∇ ⋅ =⎨∞ =⎩∫

2 4 ( )ru rr

πδ∇ ⋅ =

003

0

4 ( )r r r rr r

πδ⎛ ⎞−

∇ ⋅ = −⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠0

30 0

1 r rr r r r

⎛ ⎞ −∇ ⋅ = −⎜ ⎟− −⎝ ⎠

20

0

1 4 ( )r rr r

πδ⎛ ⎞

∇ = − −⎜ ⎟−⎝ ⎠


Campos irrotacionalesCampos vectoriales que cumplen:

Propiedades:

Deriva de un potencial:

0F∇× =

0F drγ

⋅ =∫

1 2, ,

B B

A A

F dr F drγ γ

⋅ = ⋅∫ ∫

F = −∇ϕA

B

1γ2γ

( ) 0S

F dr F dSγγ

⋅ = ∇× ⋅ =∫ ∫


Campos solenoidalesCampos vectoriales que cumplen:Propiedades:

Flujo cte en tubos de campo:

Deriva de un potencial vectorial:

0F∇⋅ =

0S

F dSτ

⋅ =∫

1 2

1 2

si s sS S

F dS F dS⋅ = ⋅ γ = γ∫ ∫

F A= ∇×

0S

F dS F dτ τ

⋅ = ∇⋅ τ =∫ ∫

S1

S2

SL

2dS

1dS1 2s sγ = γ


Tipos de campos vectoriales

0

0

F

F

∇⋅ ≠

∇× ≠

Campo solenoidal

Solenoidal e irrotacional

Campo irrotacional

0

0

F

F

∇⋅ ≠

∇× =

0

0

F

F

∇⋅ =

∇× ≠

0

0

F

F

∇⋅ =

∇× =


Campos armónicos

Campos escalares que cumplen:

Ejemplo: Sea un campo vectorial irrotacional y solenoidal:

2 0∇ ϕ = Ecuación de Laplace

0F∇× = F⇒ = −∇ϕ

0F∇⋅ = ( ) 0⇒ ∇⋅ −∇ϕ = 2 0⇒ ∇ ϕ =

Caso práctico: campo electrostático en una región sin fuentes


Teorema de Helmholtz (I)

Dado podemos calcular: y ¿Podemos calcular dados y ?Supongamos:

Fuentes escalaresFuentes vectoriales

Si la información es insuficiente: muchas solucionesSi la información es excesiva: puede no existir solución

F∇⋅ F∇×F

F F∇⋅ F∇×

F∇⋅ = ρF c∇× = ( 0)c∇⋅ =


Teorema de Helmholtz: enunciado

El sistema con definido en todo el espacio con:

Tiene solución única dada por:con:

;F∇⋅ = ρ F c∇× = 0c∇⋅ =

2 2lim ( ) 0 ; lim ( ) 0 ; lim ( ) 0r r r

r r r c r F r→∞ →∞ →∞

ρ = = =

F A= −∇ϕ+∇×

1 1

1

1 ( )( ) y4 esp

r drr r

ρ τϕ =

π −∫ 1 1

1

1 ( )( )4 esp

c r dA rr r

τ=

π −∫potencial escalar potencial vector

punto campopunto fuente

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