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TECNOLGICO DE ESTUDIOS SUPERIORES DEL

ORIENTE DEL ESTADO DE MXICO

DIVISIN DE INGENIERA INDUSTRIAL

ELABORACIN DE CUADERNILLO DE APUNTES:

FISICA 2

ELABORADO POR:

ING. ROSALO MARTN MARN FERNNDEZ

LOS REYES, LA PAZ, ESTADO DE MXICO 2009.

GOBIERNO DEL

ESTADO DE MXICO

Tecnolgico de Estudios Superiores del Oriente del Estado de Mxico

INDICE

Pg.

Unidad 1

Sistemas Coordenados y Clculo vectorial.

1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano

2

1.2 Coordenadas Cilndricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano

9

1.3 Coordenadas Esfricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano

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1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro. 26

1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados

37

1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.

38

1.5 Diferenciales de longitud, rea y volumen en los diferentes sistemas de coordenadas.

40

1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos. 41

Unidad 2

Electrosttica

2.1 Campos electrostticos en vacio 46

2.1.1 Ley De Coulomb 48 e intensidad de campo elctrico

2.1.2 Campos Elctricos

debidos a distribuciones continas de carga 52

2.1.3 Densidad de flujo elctrico

53

2.1.4 Ley de Gauss 56 (Ecuacin de Maxwell). Aplicaciones de esta ley

2.1.5 Potencial elctrico 59 . Relacin entre E y V (Ecuacin de Maxwell).

2.1.6 El dipolo elctrico 60

http://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticosEnVaciohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeCoulombhttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeGausshttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/ElDipoloElectrico


2.1.7 Lneas de flujo elctrico

y superficies equipotenciales 62

2.1.8 Densidad de energa

en los campos electrostticos 64

2.2 Campos electrostticos 64 en el espacio material

2.2.1 Corriente de conduccin

y corriente de conveccin 64

2.2.2 Polarizacin en dielctricos constante y resistencia dielctricas 64

2.2.3 Dielctricos lineales Isotrpicos y Homogneos 69

2.2.4 Ecuacin de continuidad

y tiempo de relajacin 77

2.2.5 Condiciones de frontera 77

2.3 Problemas valores en frontera 78 en electrosttica

Unidad 3

Campos magnetostticos

3.1 Campos magnetostaticos 80

3.1.1 Ley de Biot-Savart 81

3.1.2 Ley de Ampere de los circuitos (Ecuacin de Maxwell) Aplicaciones Ley De Ampere

90

3.1.3 Densidad flujo magntico

(Ecuacin de Maxwell) 92

3.1.4 Potenciales magnticos escalares y vectoriales 95

3.2 Fuerzas en materiales y aparatos magnticos 95

3.2.1 Fuerzas debidas a los campos magnticos 98

3.2.2 Par de torsin y momento magnticos 99

3.2.3 El Dipolo magntico

, dipolo elctrico 100

3.2.4 Magnetizacin de materiales. magnticos

Clasificacin de los materiales 103

3.2.5 Condiciones de frontera magntica 104

3.2.6 Inductores e Inductancia energa magntica 105

3.2.7 Circuitos magnticos 107

http://www.mitecnologico.com/Main/LineasDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeEnergiahttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/CorrienteDeConduccionhttp://www.mitecnologico.com/Main/PolarizacionEnDielectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.mitecnologico.com/Main/DielectricosLinealesIsotropicosYHomogeneoshttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionDeContinuidadhttp://www.mitecnologico.com/Main/CondicionesDeFronterahttp://www.mitecnologico.com/Main/ProblemasValoresEnFronterahttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposMagnetostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeBiotSavarthttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeAmperehttp://www.mitecnologico.com/Main/AplicacionesLeyDeAmperehttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadFlujoMagneticohttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialesMagneticosEscalaresYVectorialeshttp://www.mitecnologico.com/Main/FuerzasEnMaterialesYAparatosMagneticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ParDeTorsionYMomentoMagneticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ElDipoloMagneticohttp://www.mitecnologico.com/Main/MagnetizacionDeMaterialeshttp://www.mitecnologico.com/Main/CondicionesDeFronteraMagneticahttp://www.mitecnologico.com/Main/InductoresEInductanciahttp://www.mitecnologico.com/Main/EnergiaMagneticahttp://www.mitecnologico.com/Main/CircuitosMagneticos


Unidad 4

Termodinmica

4.1 Ley Cero termodinmica 109 temperatura

4.2 Escalas de temperatura 110

4.3 Expansin trmica slidos y lquidos 112

4.4 Primera ley de termodinmica 113

4.4.1 Sistemas cerrados y abiertos 117

4.4.2 Interacciones calor y trabajo 118

4.4.3 Capacidad calorfica y calor especifico 119

4.4.4 Energa interna y entalpia 123

4.5 Modelo Gas Ideal 124

4.5.1 Calculo trabajo y de propiedades en procesos 134

4.6 Segunda ley de termodinmica 144

4.6.1 Entropa

147

4.6.2 Maquinas trmicas. Ciclo de Carnot

148

4.6.3. Potenciales termodinmicos. Relaciones de Maxwell

palabra relacin es

(aqu no lleva la

Ecuaciones de Maxwell)

155

4.6.4 Ecuaciones generales para cambio de Entropa 158

http://www.mitecnologico.com/Main/LeyCeroTermodinamicahttp://www.mitecnologico.com/Main/EscalasDeTemperaturahttp://www.mitecnologico.com/Main/ExpansionTermicaSolidosYLiquidoshttp://www.mitecnologico.com/Main/PrimeraLeyTermodinamicahttp://www.mitecnologico.com/Main/SistemasCerradosYAbiertoshttp://www.mitecnologico.com/Main/InteraccionesCalorYTrabajohttp://www.mitecnologico.com/Main/CapacidadCalorificaYCalorEspecificohttp://www.mitecnologico.com/Main/EnergiaInternaYEntalpiahttp://www.mitecnologico.com/Main/ModeloGasIdealhttp://www.mitecnologico.com/Main/CalculoTrabajoYDePropiedadesEnProcesoshttp://www.mitecnologico.com/Main/SegundaLeyTermodinamicahttp://www.mitecnologico.com/Main/Entropiahttp://www.mitecnologico.com/Main/MaquinasTermicashttp://www.mitecnologico.com/Main/CicloDeCarnothttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialesTermodinamicoshttp://www.mitecnologico.com/Main/RelacionesDeMaxwellhttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionesDeMaxwellhttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionesGeneralesParaCambioDeEntropia

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FISICA 2

INDICE

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Unidad 1

Sistemas Coordenados y Clculo vectorial.

1.1 Coordenadas Cartesianas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano

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1.2 Coordenadas Cilndricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano

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1.3 Coordenadas Esfricas: Puntos, campos vectoriales y escalares. Operaciones con vectores. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano

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1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro. 26

1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados

37

1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.

38


40

1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos. 41

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FISICA 2

1.1 Coordenadas cartesianas.

Historia

Se denominan plano cartesiano en honor a Ren Descartes (1596-1650), el clebre filsofo y matemtico francs que quiso fundamentar su pensamiento filosfico en la necesidad de tomar un punto de partida sobre el que edificar todo el conocimiento. Como creador de la geometra analtica, tambin comienza tomando un punto de partida: el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometra plana con referencia a dos rectas perpendiculares que se cortan en origen, ideando las denominadas coordenadas cartesianas. Las coordenadas cartesianas de un vector son equivalentes a la resolucin de sus vrtices

Sistema de coordenadas lineal.

Un punto cualquiera de una recta puede asociarse y representarse con un nmero real, positivo si est situado a la derecha de O, y negativo si esta a la izquierda. El centro de coordenadas O (letra O) corresponde al valor 0 (cero).

Corresponde a la dimensin uno, que se representa con el eje X, en el cual definimos un centro de coordenadas, que se representa con la letra O (de Origen), y un vector unitario en el sentido positivo de las x: .

Este sistema de coordenadas es un espacio vectorial de dimensin uno, y puede aplicarse todas las operaciones correspondientes espacios vectoriales; en ocasiones tambin se llama recta real (fig.1.1.)

Fig.1.1.1 Recta

Sistema de coordenadas plano.

Con un sistema de referencia conformado por dos rectas perpendiculares que se cortan en el origen, cada punto del plano puede nombrarse mediante dos nmeros: (x, y) las coordenadas del punto, llamadas abscisa y ordenada, las distancias ortogonales a los ejes cartesianos.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descarteshttp://es.wikipedia.org/wiki/Fil%C3%B3sofohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Vector_unitariohttp://es.wikipedia.org/wiki/Espacio_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Recta_realhttp://es.wikipedia.org/wiki/Ortogonalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Recta_real.svg

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FISICA 2

Las ecuaciones de los ejes x e y son respectivamente y=0 y x=0, rectas que se cortan en el origen 0 cuyas coordenadas son, obviamente, (0,0). Se denomina tambin abscisa al eje x y ordenada al eje y. Los ejes dividen el espacio en cuatro cuadrantes en los que los signos de las coordenadas alternan de positivo a negativo; as por ejemplo las coordenadas del punto A sern ambas positivas, mientras que las del punto B sern ambas negativas (fig. 1.2)

Fig. 1.1.2 Sistema de coordenadas cartesianas

Las coordenadas de un punto cualquiera vendrn dadas por las proyecciones del segmento entre el origen y el punto sobre cada uno de los ejes.

Sobre cada uno de los ejes se definen vectores unitarios (i y j) como aquellos paralelos a los ejes y de mdulo (longitud) la unidad. En forma vectorial, la posicin del punto A se define respecto del origen con las componentes del vector OA.

La posicin del punto A ser:

http://es.wikipedia.org/wiki/Rectahttp://es.wikipedia.org/wiki/Proyecci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/M%C3%B3dulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_cartesianas.png

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FISICA 2

Ntese que la lista de coordenadas puede expresar tanto la posicin de un punto como las componentes de un vector en notacin matricial.

La distancia entre dos puntos cualesquiera vendr dada por la expresin:

Aplicacin del teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo ABC.

Un vector cualquiera AB se definir restando, coordenada a coordenada, las del punto de origen de las del punto de destino:

Evidentemente, el mdulo del vector AB ser la distancia dAB

entre los puntos A y B antes calculada.

Sistema de coordenadas espacial.

Si tenemos un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre s (X, Y, Z), que se cortan en el origen (0, 0, 0), cada punto del espacio puede nombrarse mediante tres nmeros: (x, y, z) denominados coordenadas del punto, que son las distancias ortogonales a los tres planos principales: los que contienen las parejas de ejes YZ, XZ e YX, respectivamente (fig. 1.3).

Fig. 1.1.3 Coordenadas cartesianas espaciales

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Pit%C3%A1gorashttp://es.wikipedia.org/wiki/Tri%C3%A1ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Coordenadas_cartesianas_espaciales.png

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FISICA 2

Los planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen el espacio en ocho octantes en los que como en el caso anterior los signos de las coordenadas pueden ser positivos o negativos.

La generalizacin de las relaciones anteriores al caso espacial es inmediata considerando que ahora es necesaria una tercera coordenada (z) para definir la posicin del punto.

Las coordenadas del punto A sern:

La distancia entre los puntos A y B ser:

El segmento AB ser:

Operacin con Vectores

Para realizar ciertas operaciones con los vectores se tiene que conocer las propiedades de estos.

Igualdad de dos vectores: Dos vectores A y B pueden definirse como iguales si tienen la misma magnitud y apuntan en la misma direccin. Es decir, A = B, slo si A = B y, los dos actan a lo largo de direcciones paralelas.(fig. 1.4)

Fig. 1.1.4 Como lo podemos observar en esta imagen.

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FISICA 2

Adicin:

Existen diferentes mtodos para calcular la suma de vectores, entre los cuales se tienen los siguientes:

Cuando dos o ms vectores se suman todos deben tener las mismas unidades.

El mtodo de adicin del tringulo se realiza cuando el vector A se suma al vector B la resultante R es el vector que va desde el origen de A hasta la punta de B (fig 1.5).

Fig. 1.1.5 Adicin del triangulo.

El vector que completa el polgono: Cuando se suman ms de dos vectores, por ejemplo R = A + B + C + D la resultante R, es el vector que va desde el origen del primer vector hasta la punta del ltimo vector, en este caso de A hasta la punta de D (fig. 1.6).

Fig. 1.1.6 Vector que completa el polgono

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FISICA 2

La regla de adicin de paralelogramo: En este la construccin en los orgenes de los dos vectores A y B estn juntos y el vector resultante R es la diagonal de un paralelogramo con lados A y B (fig. 1.7)

Fig. 1.1.7 Adicin del paralelogramo.

Algunas de las leyes que se utilizan en la suma de vectores son las siguientes: La ley conmutativa y la asociativa.

Cuando la suma de vectores A y B es independiente del orden, lo cual le da origen a la ley conmutativa de la suma, esta se puede observar a continuacin:

A + B = B + A

Fig. 1.1.8 Ley conmutativa.

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FISICA 2

Cuando tres o ms vectores se suman, y su total es independiente de la forma en la que se agruparon los vectores individuales. Lo antes mencionado recibe el nombre de la ley asociativa de la suma

A + (B + C) = (A + B) + C

(fig. 1.9).

Fig. 1.1.9 Ley asociativa de la suma.

Negativo de un vector: Es cuando se suma dos vectores con la misma magnitud pero con diferente sentido, lo cual ocasiona que el resultado de la operacin sea cero, como un ejemplo tenemos A + (-A) = 0.

Sustraccin: Es la sustraccin de vectores se usa la definicin del negativo de un vector. Esta operacin se da de la siguiente manera: A - B en donde el vector - B sumado al vector A.( A - B = A + (-B) ) (fig. 1.10).

Fig. 1.1.10 Sustraccin de vectores

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FISICA 2

Multiplicacin de un vector por un escalar:

Si el vector A se multiplica por una cantidad escalar positiva m, el producto mA es un vector que tiene la misma direccin pero la magnitud es mA. Si es m una cantidad escalar negativa, el vector mA est dirigido opuesto a A.

1.2 Coordenadas Cilndricas

Las coordenadas cilndricas son un sistema de coordenadas para definir la posicin de un punto del espacio mediante un ngulo, una distancia con respecto a un eje y una altura en la direccin del eje.

El sistema de coordenadas cilndricas es muy conveniente en aquellos casos en que se tratan problemas que tienen simetra de tipo cilndrico o acimutal. Se trata de una versin en tres dimensiones de las coordenadas polares de la geometra analtica plana.

Un punto P en coordenadas cilndricas se representa por (,,z), donde:

: Coordenada radial, definida como la distancia del punto P al eje z, o bien la longitud de la proyeccin del radiovector sobre el plano XY

: Coordenada acimutal, definida como el ngulo que forma con el eje X la proyeccin del radiovector sobre el plano XY.

z: Coordenada vertical o altura, definida como la distancia, con signo, desde el punto P al plano XY.

Fig. 1.2.1 Coordenadas cilndricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_de_coordenadashttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/wiki/Espaciohttp://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81ngulohttp://es.wikipedia.org/wiki/Ejehttp://es.wikipedia.org/wiki/Simetr%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_polareshttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_anal%C3%ADticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Geometr%C3%ADa_planahttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Cylindrical_coordinate_surfaces.png

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FISICA 2

Los rangos de variacin de las tres coordenadas son

La coordenada acimutal se hace variar en ocasiones desde - a +. La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, vuelve a aumentar, pero aumenta o disminuye en radianes.

Analicemos el punto el punto (x,y,z)

Ahora construyamos un cilindro circular imaginario con eje del cilindro sobre uno

de los ejes, que sin prdida de generalidad podra ser el eje z

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FISICA 2

Sea la distancia del origen al punto (x,y,z) y el ngulo formado entre el eje X

y la proyeccin, P, del punto P

Por lo que podemos definir:

La coordenada z al estar asociada con la altura del cilindro no cambia.

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FISICA 2

Analizando esta figura el plano X-Y en la figura, podemos determinar cules son

los valores de :

Observemos que se forma el tringulo rectngulo entre los puntos A, P y el origen

por lo que observamos es la hipotenusa del tringulo

javascript:void(0)

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FISICA 2

Tambin podemos observar que la hipotenusa del tringulo rectngulo es y que del teorema de Pitgoras tenemos:

y el ngulo puede quedar determinado, si conocemos x y y, de esa forma:

Relacin con otros sistemas de coordenadas

Relacin con las coordenadas cartesianas

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FISICA 2

Coordenadas cilndricas y ejes cartesianos relacionados.

Lneas y superficies coordenadas

Las lneas coordenadas son aquellas que se obtienen variando una de las coordenadas y manteniendo fijas las otras dos. Para las coordenadas cilndricas, estas son:

Lneas coordenadas : Semirrectas horizontales partiendo del eje Z. Lneas coordenadas : Circunferencias horizontales. Lneas coordenadas z: Rectas verticales

http://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Cylindrical_with_grid.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Lineas_coordenadas_cilindricas.png

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FISICA 2

Las superficies coordenadas son aquellas que se obtienen fijado sucesivamente cada una de las coordenadas de un punto. Para este sistema son:

Superficies =cte.: Cilindros rectos verticales. Superficies =cte.: Semiplanos verticales. Superficies z=cte.: Planos horizontales.

Las lneas y superficies coordenadas de este sistema son perpendiculares dos a dos en cada punto. Por ello, ste es un sistema ortogonal.

Base coordenada

A partir del sistema de coordenadas cilndricas puede definirse una base vectorial en cada punto del espacio, mediante los vectores tangentes a las lneas coordenadas. Esta nueva base puede relacionarse con la base fundamental de las coordenadas cartesianas mediante las relaciones

e inversamente

En el clculo de esta base se obtienen los factores de escala

Disponiendo de la base de coordenadas cilndricas se obtiene que la expresin del vector de posicin en estas coordenadas es

Ntese que no aparece un trmino . La dependencia en esta coordenada est oculta en los vectores de la base.

Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escalahttp://es.wikipedia.org/wiki/Factores_de_escala

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FISICA 2

Diferenciales de lnea, superficie y volumen

Diferencial de lnea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por

Diferenciales de superficie

La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es

y expresiones anlogas para las otras dos superficies coordenadas.

En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son

=cte:

=cte:

z=cte:

Diferencial de volumen

El volumen de un elemento en coordenadas curvilneas equivale al producto del jacobiano de la transformacin, multiplicado por los tres diferenciales. El jacobiano, a su vez, es igual al producto de los tres factores de escala, por lo que

que para coordenadas cilndricas da

http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano

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FISICA 2

Operadores diferenciales en coordenadas cilndricas

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas cilndricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Laplacianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Laplaciano

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FISICA 2

Laplaciano

1.3 Coordenadas Esfricas

El sistema de coordenadas esfricas se basa en la misma idea que las coordenadas polares y se utiliza para determinar la posicin espacial de un punto mediante una distancia y dos ngulos. En consecuencia, un punto P queda representado por un conjunto de tres magnitudes: el radio r, el ngulo polar o colatitud y el azimuth . Algunos autores utilizan la latitud, en lugar de colatitud, en cuyo caso su margen es de 90 a 90 (de -/2 a /2 radianes), siendo el cero el plano XY. Tambin puede variar la medida del acimut, segn se mida el ngulo en sentido reloj o contrarreloj, y de 0 a 360 (0 a 2 en radianes) o de 180 a +180 (- a ). Se debe tener en cuenta qu convencin utiliza un autor determinado

Forma escalar de la ecuacin del momento lineal

A efectos de anlisis tericos y para la prediccin numrica del tiempo, es necesario desarrollar la ecuacin vectorial del momento lineal en sus componentes escalares. Debido a que la desviacin de la forma de la Tierra respecto a una esfera puede despreciarse para los propsitos meteorolgicos, es conveniente tambin desarrollar las ecuaciones en coordenadas esfricas de manera que la superficie (nivel) de la Tierra corresponda a una superficie coordenada. Los ejes de coordenadas sern entonces , y , donde es la longitud, es la latitud y es la distancia vertical por encima de la superficie terrestre. Los vectores unitarios se dirigirn respectivamente hacia el este, norte y

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FISICA 2

verticalmente hacia arriba. El sistema de coordenadas definido de esta manera no es un sistema de coordenadas cartesianas, ya que las direcciones de los vectores unitarios no son constantes, sino que son funcin de la posicin sobre la esfera terrestre. Esta dependencia posicional de los vectores unitarios debe tenerse en cuenta al desarrollar el vector aceleracin en sus componentes sobre la esfera. Como resultado se obtienen las componentes de la ecuacin del momento lineal en las direcciones este, norte y vertical respectivamente:

Los trminos proporcionales a 1/a (siendo a la distancia al centro de la Tierra) se denominan trminos de curvatura, pues estos trminos surgen como consecuencia de la curvatura terrestre. Para los movimientos a escala sinptica

Las ecuaciones del movimiento son

en latitudes medias los trminos de curvatura pueden despreciarse (ver el mdulo sobre Anlisis de escala de las Ecuaciones).

no lineales porque contienen productos de las componentes de la velocidad y/o de las derivadas de las componentes de la velocidad, lo cual hace muy difcil resolver las ecuaciones. Los trminos advectivos de la aceleracin son de magnitud comparable a la aceleracin local. La presencia de procesos de adveccin no lineales complica y dificulta la Meteorologa Dinmica, pero tambin la convierte en apasionante y de enorme inters

Analicemos el punto el punto (x,y,z)

Fig.1.3.1

ahora construyamos una esfera con centro la coordenada (0,0,0) y de radio, la distancia del origen al punto. Sea tambin el ngulo formado por el eje z y el radio.

http://rammb.cira.colostate.edu/wmovl/VRL/Tutorials/euromet/courses/glossary/synopti9.htm#shttp://rammb.cira.colostate.edu/wmovl/VRL/Tutorials/euromet/courses/glossary/advectio.htm#s

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FISICA 2

Fig. 1.3.2

Analizando su proyeccin podemos, vemos que se forma un triangulo rectngulo con vrtices el origen, el punto de proyeccin A y el punto P, con hipotenusa el radio

Fig.1.3.3

Vemos que debido a que el tringulo descrito es un triangulo rectngulo entonces la proyeccin sobre el plano X-Y es:

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FISICA 2

Fig. 1.3.4

Llamemos al ngulo entre el eje X y la proyeccin . Ahora

proyectemos sobre el eje X y sobre el eje Y, entonces, tendremos:

Fig. 1.3.5.

Fig. 1.3.6

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FISICA 2

Para encontrar cul es el valor de Z analicemos la proyeccin de sobre el eje Z, el cual, como vemos del tringulo rectngulo OPZ.

Fig. 1.3.7

Luego entonces las transformaciones quedan expresadas como:

Podemos fcilmente ver que como luego entonces las transformaciones quedan expresadas como el radio de la esfera solo es la distancia del origen al punto entonces:

De z podemos determinar como:

Una vez que hemos determinado tanto entonces podemos despejar de x o de y

javascript:void(0)

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FISICA 2

Coordenadas esfricas

Invencin norteamericana Hablando en trminos de coordenadas cartesianas, la convencin usada por los matemticos de Estados Unidos es:

P (Radio): es la distancia entre el punto P y el origen. (colatitud o ngulo polar ) de 0 a 180 es el ngulo entre el eje z y la

lnea que une el origen y el punto P, y (acimut o longitud) de 0 a 360 es el ngulo entre el eje X positivo y la

lnea que une el origen con la proyeccin del punto P en el plano XY. Convencin no-norteamericana

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_cartesianashttp://es.wikipedia.org/wiki/Estados_Unidoshttp://es.wikipedia.org/wiki/Imagen:Spherical_coordinate_elements.svg

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FISICA 2

Sin embargo, la mayora de los fsicos, ingenieros y matemticos no norteamericanos intercambian los smbolos y , siendo:

la colatitud el acimut.

Esta es la convencin que se sigue en este artculo. En el sistema internacional, los rangos de variacin de las tres coordenadas son:

La coordenada radial es siempre positiva. Si reduciendo el valor de r llega a alcanzarse el valor 0, a partir de ah, r; vuelve a aumentar, pero pasa a valer - y aumenta o disminuye en radianes.

Coordenadas geogrficas.

Coordenadas geogrficas

Este tipo de coordenadas se usa para nombrar puntos sobre una superficie esfrica. Hay varios tipos de coordenadas geogrficas. El sistema ms clsico y conocido es el que emplea la latitud y la longitud, que pueden mostrase en los siguientes formatos:

DD Decimal Degree (Grados Polares): ej. 49.500-123.500 DM Degree:Minute (Grados:Minutos.Segundos): ej. 49:30.0-123:30.0 DMS Degree:Minute:Second (Grados:Minutos:Segundos): ej. 49:30:00-

123:30:00

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_geogr%C3%A1ficashttp://es.wikipedia.org/wiki/Latitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Longitudhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Geographical1.png

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FISICA 2

Otro sistema de coordenadas geogrficas habitual es el sistema de coordenadas UTM.

Gradiente, divergente, rotacional y laplaciano

Diferencial de lnea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas esfricas, viene dado por


La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada. Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es


En el caso particular de las coordenadas esfricas, los diferenciales de superficie son

r=cte:

=cte:

=cte: Diferencial de volumen


que para coordenadas esfricas da

Operadores diferenciales en coordenadas esfricas

http://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_UTMhttp://es.wikipedia.org/wiki/Coordenadas_UTMhttp://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano

26


FISICA 2

El gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano poseen expresiones particulares en coordenadas esfricas. Estas son:

Gradiente

Divergencia

Rotacional

Laplaciano

1.4 Transformacin de Coordenadas de un punto a otro.

Cambios de coordenadas.

En la resolucin de problemas fsicos y matemticos es comn la estrategia del cambio de coordenadas. En esencia un cambio de coordenadas supone cambiar las variables de las que depende el problema, a otras coordenadas diferentes en las que el problema puede tener una forma equivalente pero ms simple, que permite encontrar la solucin con mayor facilidad.

Ms formalmente un cambio de coordenadas puede representarse por un difeomorfismo o aplicacin biyectiva y diferenciable (con inversa tambin diferenciable):

http://es.wikipedia.org/wiki/Gradientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Rotacionalhttp://es.wikipedia.org/wiki/Laplacianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Difeomorfismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_diferenciable

27


FISICA 2

Este cambio de variable permite por ejemplo reescribir integrales del siguiente modo:

Para transformar o reescribir ecuaciones diferenciales en trminos de las nuevas coordenadas se usan las leyes de transformacin tensorial:

Tanto en el caso plano como en el caso espacial pueden considerarse dos transformaciones elementales: Traslacin (del origen) y Rotacin (alrededor de un eje).

Traslacin del origen.

Fig. 1.4.1Traslacin del origen en coordenadas cartesianas

Suponiendo un sistema de coordenadas inicial S1 con origen en O y ejes x e y

Y las coordenadas de un punto A dado, sean en el sistema S1:

Dado un segundo sistema de referencia S2

http://es.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_tensorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Traslaci%C3%B3n_del_origen_en_coordenadas_cartesianas.png

28


FISICA 2

Siendo los centros de coordenadas de los sistemas 0 y 0, puntos distintos, y los ejes x, x; e y, y paralelos dos a dos, y las coordenadas de O, respecto a S1:

Se dice traslacin del origen, a calcular las coordenadas de A en S2, segn los datos anteriores. Que llamaremos:

Dados los puntos O, O y A, tenemos la suma de vectores:

Despejando

Lo que es lo mismo que:

Separando los vectores por coordenadas:

Y amplindolo a tres dimensiones:

Rotacin alrededor del origen.

29


FISICA 2

1.4.2 Rotacin alrededor del origen en coordenadas cartesianas

Dado un sistema de coordenadas en el plano S1 con origen en O y ejes x e y:

y una base orto normal de este sistema:

Un punto A del plano, se representara en este sistema segn sus coordenadas:

Para un segundo sistema S2 de referencia girado un ngulo , respecto al primero:

Y con una basa orto normal:

Al clculo de las coordenadas del punto A, respecto a este segundo sistema de referencia, girado respecto al primero, lo llamaremos rotacin alrededor del origen, siendo su representacin:

Hay que tener en cuenta que el punto y son el mismo punto, ; empleamos una denominacin u otra para indicar el sistema de referencia

http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Rotaci%C3%B3n_alrededor_del_origen_en_coordenadas_cartesianas.png

30


FISICA 2

empleado. El valor de las coordenadas respecto a uno u otro sistema s que son diferentes, y es lo que se pretende calcular.

La representacin de B1 en B2 es:

Dado que el punto A en B1 es:

Con la transformacin anterior tenemos:

Deshaciendo los parntesis:

Reordenando:

Como:

;

Tenemos que:

Como sabamos:

Por identificacin de trminos:

31


FISICA 2

Que son las coordenadas de A en B2, en funcin de las coordenadas de A en B1 y de .

Clculo matricial.

Siendo [ T ] la matriz de transformacin y cuyas filas son precisamente las componentes de los vectores unitarios i ' y j ' respecto de los originales i y j, o si se prefiere, cuyas columnas son las componentes de los vectores unitarios originales en el sistema de referencia rotado.

Escribir las formulas para transformar las coordenadas de rectangulares a esfricas, de cilndricas a esfricas, esfricas a cilndricas y de esfricas a rectangulares hacer un ejemplo de cada uno.

Rectangulares a esfricas

Cilndricas a esfricas

Esfricas a cilndricas

Esfricas a rectangulares

Ejemplo 1. (Rectangulares a esfricas)

Una ecuacin cartesiana para el plano 3x + 2y + 6z = 0. Utilizando las formulas ya antes mencionadas esta ecuacin se hace directamente sustituyendo.

3x + 2y + 6z = 0

3 Sen Cos + 2 Sen Sen + 6 Cos = 0.

http://es.wikipedia.org/wiki/Matriz_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:Matriz_de_transformaci%C3%B3n_(rotaci%C3%B3n).png

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FISICA 2

Ejemplo 2. (Esfricas a rectangulares)

Obtenga una ecuacin en coordenadas cartesianas de la superficie siguiente, cuya ecuacin se ha expresado en coordenadas esfricas, e identifique la superficie: Cos = 4.

z = 4.

La grafica es un plano paralelo al plano xy ubicado 4 unidades por arriba de este.

Ejemplo 3. (Esfricas a cilndricas)

Convertir las coordenadas esfricas del punto en coordenadas cilndricas.

Ejemplo 4. (Esfricas a rectangulares)

Convertir las coordenadas esfricas del punto en coordenadas rectangulares.

Ejemplo 1:

Expresar en coordenadas rectangulares el punto (r, , z) = (4,5/6,3).

Solucin:

Con las formulas de conversin de cilndricas a rectangulares obtenemos.

X = 4 cos 5 / 6 = 4 (-3 / 2) = -2 (3).

Y = 4 sen 5 / 6 = 4 (1/2) = 2

Z = 3

As pues, en coordenadas rectangulares ese punto es (x, y, z) = (-2)( 3, 2, 2).

Ejemplo 2:

Hallar ecuaciones en coordenadas cilndricas para las superficies cuyas ecuaciones rectangulares se especifican a continuacin:

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FISICA 2

a. x2 + y2 =4z2b. y

2

= x

Solucin a)

Por la seccin procedente sabemos que la grafica de x2 +y2 =4z2 es un cono con su eje en el eje z. si sustituimos x2 + y2 por r2

x

, obtenemos su ecuacin en cilndricas.

2 +y2 =4z2

r

ecuacin en coordenadas rectangulares.

2 = 4z2

Solucin b)

ecuacin en coordenadas cilndricas.

La superficie y2 = x es un cilindro parablico con generatrices paralelas al eje z. Sustituyendo y2 por r2 sen2

y

y x por r cos , obtenemos:

2

r

= x ecuacin rectangular.

2 sen2

r(r sen

= r cos sustituir y por sen , x por r cos .

2

r sen

cos ) = 0 agrupar terminos y factorizar

2

r =cos / sen

cos = 0 dividir los dos mienbros por r

2

r cosec ctg ecuacin en cilndricas.

despejar r

Ntese que esta ecuacin incluye un punto con r = 0, as que no se ha perdido nada al dividir ambos miembros por el factor r.

Ejemplo 3:

Hallar la ecuacin en coordenadas rectangulares de la grafica determinada por la ecuacin en cilndricas:

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FISICA 2

r2 cos 2 + z2

Solucin:

+ 1 = 0

r2 cos 2 + z2

r

+ 1 = 0 ecuacin en cilndricas

2 (cos2 sen2 ) + z2

r

= 0 identidad trigonometrica.

2 cos2 r2 sen2 +z2

X

= -1

2 y2 +z2

Y

= -1 sustituir r cos por x y r sen por y

2 x2 z2

Es un hiperboloide de dos hojas cuyo eje es el eje y.

= 1 ecuacin rectangular.

Coordenadas esfricas.

Es el sistema de coordenadas esfricas cada uno se representa por un tro ordenado: la primera coordenada es una distancia, la segunda y la tercera son ngulos. Es un sistema similar al de longitud-latitud que se suele utilizar para localizar puntos sobre la superficie terrestre.

El sistema de coordenadas esfricas.

Es en sistema de coordenadas de sistemas esfricas un punto p del espacio viene representado por un tro ordenado (p, , ).

1.- p es la distancia de P al origen, p >< 0.

2.- es el mismo Angulo utilizado en coordenadas cilndricas para r> 0.

3.- es el Angulo entre el semieje z positivo y el segmento recto OP, 0 > < .

Ntese que las coordenadas primeras y terceras son siempre no negativas.

La relacin entre las coordenadas rectangulares y las esfricas. Para separar uno a otro deben usarse las formas siguientes:

Esfricas a rectangulares:

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FISICA 2

X =p sen cos , y= p sen sen , z = p cos .

Rectangulares a esfricas:

P2= x2 + y2 + z2, tg =y/x, = arcos (z/ x2 + y2 +z2

Para cambiar de coordenadas esfricas a cilndricas, o viceversa, deben aplicarse las formulas siguientes:

).

Esfricas a cilndricas (r > 0):

r2 =p2 sen2

Cilndricas a esfricas (r> 0):

, = , z = p cos.

P= r2 + z2, = , = arcos (z / r2 + z2

Las coordenadas esfricas son especialmente apropiadas para estudiar superficies que tenga un centro de simetra.

).

Ejemplo 1:

Hallar una ecuacin en coordenadas esfricas parar las superficies cuyas ecuaciones en coordenadas rectangulares se indican.

a).- cono: x2 + y2 = z2

b).- esfera: -4z = 0

Solucin:

a).-haciendo las sustituciones adecuadas para x, y, z en la ecuacin dada se obtiene:

x2 + y2 = z2

p

2 sen2 cos2 + p2 sen2 sen2 =p2 cos2

p

2 sen2 (cos2 + sen2) =p2 cos2

p

2 sen2 = p2 cos2

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FISICA 2

sen2 / cos2

tg

= 1 p> 0

2

La ecuacin = /4 representa la mitad superior del cono y la ecuacin = 3/4 su mitad inferior.

= 1 = /4 o = 3/4

b).-como p2 = x2 +y2 + z2

P

y z = p cos , la ecuacin dada adopta la siguiente forma en coordenadas esfricas.

2

Descartando por el momento la posibilidad de que p = 0, obtenemos la ecuacin en esfricas.

4 p cos = 0 p (p -4 cos ) = 0

P -4 cos = 0 o p = 4cos

Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.

Coordenadas cilndricas y esfricas.

Coordenadas cilndricas.

Ya hemos tenido ocasin de comprobar que ciertas graficas bidimensionales son ms fciles de representar en coordenadas polares que en coordenadas rectangulares. Lo mismo ocurre con las superficies. En esta seccin introducimos dos sistemas alternativos de coordenadas para el espacio. El primero, el sistema de coordenadas cilndricas, es una generalizacin de las coordenadas polares en el espacio.

El sistema de coordenadas cilndricas.

En un sistema de coordenadas cilndricas, un punto p del espacio se representa por un tro ordenado (r, , z).

1.- (r, ) son las coordenadas polares de la proyeccin de p sobre el plano x y.

2.- z es la distancia dirigida de p a (r, ).

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FISICA 2

Para pasar de rectangulares a cilndricas, o viceversa, hay que usar las siguientes formulas de conversin.

Cilndricas a rectangulares.

X = r cos , y = r sen , z = z

Rectangulares a cilindricas:

R2 =x2 + y2

El punto (0, 0,0) se llama el polo. Adems, como la representacin de un punto en polares no es nica, tampoco lo es en cilndricas.

, tg =y/x, z = z.

1.4.1 Dado un punto o campo escalar en cualquier sistema coordenado, transformarlo a los otros dos sistemas coordenados. Campos escalares

Representa a una magnitud fsica que requiere de slo un nmero para su identificacin. Se trata de un concepto que data del siglo XIX. Su aplicacin est orientada a la descripcin de fenmenos relacionados con la distribucin de temperaturas dentro de un cuerpo, con las presiones en el interior de fluidos, con el potencial electroesttico o con la energa potencial en un sistema gravitacional. Las funciones de estos fenmenos no se pueden modelar en un grfico, por requerirse cuatro dimensiones, y por eso mismo dan pie para estudiar el espacio curvo en el cual cohabitamos. Son tambin las herramientas optimizantes para aquellos casos donde intervienen distintas variables.

Matemticamente, un campo escalar es una funcin, cuyo valor depende del punto del espacio en que se considere, y se expresa de la siguiente manera:

38


FISICA 2

En que es un vector de coordenadas (cartesianas) (x, y, z), que representa la posicin del observador en el espacio.

Un ejemplo recurrente e intuitivo, son las curvas de los mapas bidimensionales de los topgrafos que representan topogrficamente a una regin. El campo escalar que corresponde es el campo de altura H (x, y), de una regin de la superficie de la tierra, en funcin de la posicin de puntos sobre un plano proyectivo.

Evidentemente, se trata de un campo escalar en el espacio bidimensional, en que la altura de un punto est dada por z = H (x, y). 1.4.2 Dado un vector o campo vectorial en cualquier sistema coordenado transformarlo a los otros dos sistemas coordenados.

Campos vectoriales

Un campo vectorial es una construccin del clculo vectorial que asocia un vector a cada punto en el espacio eucldeo.

Los campos vectoriales se utilizan a menudo en la fsica para, por ejemplo, modelar la velocidad y la direccin de un lquido mvil a travs del espacio, o la intensidad y la direccin de una cierta fuerza, tal como la fuerza magntica o la gravitatoria, pues cambian punto a punto.

En el tratamiento matemtico riguroso, los campos vectoriales se definen en variedades diferenciables como secciones del fibrado tangente de la variedad.

Rn Rn que Un campo vectorial es en Rn es una aplicacin F : A asigna a cada punto x de su dominio A un vector F (x). Si n = 2, F se llama campo vectorial en el plano, y si n = 3, F es un campo vectoriales del espacio.

Visualizar F adhiriendo una flecha a cada punto. En Rn R que asigna un nmero a cada punto es un contraste, una aplicacin f : A campo escalar. Un

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FISICA 2

campo vectorial F (x, y, z) en R3 tiene tres campos escalares componentes F1, F2 y F3, as que F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)).

De manera anloga, un campo vectorial Rn tiene n componentes F1, , Fn. Si cada componente es una funcin Ck, decimos que el campo vectorial F es de clase Ck. Se dar por hecho que los campos vectoriales son, al menos, de clase C1, a no ser que se diga lo contrario.

Fig. Visualizar F con una flecha.

La siguiente definicin presenta uno de los campos vectoriales ms importantes de la fsica.

40


FISICA 2


Diferenciales de lnea, superficie y volumen

Diferencial de lnea

Un desplazamiento infinitesimal, expresado en coordenadas cilndricas, viene dado por


La expresin general de un diferencial de superficie en coordenadas curvilneas es complicada.

Sin embargo, para el caso de que se trate de una superficie coordenada, q3 = cte. el resultado es


En el caso particular de las coordenadas cilndricas, los diferenciales de superficie son

=cte:

=cte:

z=cte:

Diferencial de volumen


http://es.wikipedia.org/wiki/Jacobiano

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FISICA 2

que para coordenadas cilndricas da

1.6 Postulados fundamentales de campos electromagnticos.

Gradiente

El gradiente de un campo escalar en un punto es un vector, definido como el nico que permite hallar la derivada direccional en cualquier direccin como siendo un vector unitario y la derivada direccional de en la direccin de, que informa de la tasa de variacin del campo escalar al desplazarnos segn esta direccin:

Una forma equivalente de definir el gradiente es como el nico vector que, multiplicado por cualquier desplazamiento infinitesimal, da el diferencial del campo escalar:

Con la definicin anterior, el gradiente est caracterizado de forma unvoca.

El gradiente se expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:

42


FISICA 2

En esta imagen, el campo escalar se aprecia en blanco y negro, los cuales representan valores bajos o altos respectivamente, y el gradiente correspondiente se aprecia por flechas azules.

Divergencia

Divergencia de un campo mide la tendencia de dicho campo vectorial a originarse en o a converger hacia ciertos puntos. La divergencia de un campo vectorial es un campo escalar, y se define como el flujo del campo vectorial por unidad de volumen:

Donde S es una superficie cerrada que se reduce a un punto en el lmite. El smbolo representa el operador nabla.

Esta definicin est directamente relacionada con el concepto de flujo del campo. Como en el caso del flujo, si la divergencia en un punto es positiva, se dice que el campo posee manantiales. Si la divergencia es negativa, se dice que tiene sumideros. El ejemplo ms caracterstico lo dan las cargas elctricas, que dan la

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FISICA 2

divergencia del campo elctrico, siendo las cargas positivas manantiales y las negativas sumideros del campo elctrico.

Magnitudes Escalares:

Son aquellas que quedan perfectamente definidas mediante un valor numrico, acompaado de la unidad de medida correspondiente. (Ver ejemplo).

Magnitudes Vectoriales:

Son aquellas en las que, adems de un valor numrico, se necesitan otros detalles. Direccin, sentido y mdulo son los requisitos necesarios para definirlas.(Ver ejemplo).

Ejemplo de magnitud escalar: Masa, tiempo, temperatura.

Ejemplo de magnitud vectorial: Velocidad, aceleracin, fuerza.

Se llaman fuentes escalares del campo al campo escalar que se obtiene a partir de la divergencia de

La divergencia de un campo vectorial se relaciona con el flujo a travs del teorema de Gauss o teorema de la divergencia. Cuando la definicin de divergencia se aplica al caso de un campo expresado en coordenadas cartesianas.

El resultado es sencillo

Sin embargo, para un caso ms general de coordenadas curvilneas, como las cilndricas o las esfricas, la expresin se complica debido a la dependencia de los

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FISICA 2

vectores de la base con la posicin. La expresin para un sistema de coordenadas ortogonales es:

Donde los hi son los factores de escala del sistema. Esta frmula general, para el caso de coordenadas cartesianas (hx = hy = hz = 1) se reduce a la expresin anterior. Para coordenadas cilndricas ( ) resulta

Para coordenadas esfricas ( ) resulta

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FISICA 2

Unidad 2

Electrosttica

2.1 Campos electrostticos en vacio 46

2.1.1 Ley De Coulomb 48 e intensidad de campo elctrico

2.1.2 Campos Elctricos

debidos a distribuciones continas de carga 52

2.1.3 Densidad de flujo elctrico

53

2.1.4 Ley de Gauss 56 (Ecuacin de Maxwell). Aplicaciones de esta ley

2.1.5 Potencial elctrico 59 . Relacin entre E y V (Ecuacin de Maxwell).

2.1.6 El dipolo elctrico 60

2.1.7 Lneas de flujo elctrico

y superficies equipotenciales 62

2.1.8 Densidad de energa

en los campos electrostticos 64

2.2 Campos electrostticos 64 en el espacio material

2.2.1 Corriente de conduccin

y corriente de conveccin 64

2.2.2 Polarizacin en dielctricos constante y resistencia dielctricas 64

2.2.3 Dielctricos lineales Isotrpicos y Homogneos 69

2.2.4 Ecuacin de continuidad

y tiempo de relajacin 77

2.2.5 Condiciones de frontera 77

2.3 Problemas valores en frontera 78 en electrosttica

http://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticosEnVaciohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeCoulombhttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/LeyDeGausshttp://www.mitecnologico.com/Main/PotencialElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/ElDipoloElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/LineasDeFlujoElectricohttp://www.mitecnologico.com/Main/DensidadDeEnergiahttp://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/CorrienteDeConduccionhttp://www.mitecnologico.com/Main/PolarizacionEnDielectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.mitecnologico.com/Main/DielectricosLinealesIsotropicosYHomogeneoshttp://www.mitecnologico.com/Main/EcuacionDeContinuidadhttp://www.mitecnologico.com/Main/CondicionesDeFronterahttp://www.mitecnologico.com/Main/ProblemasValoresEnFrontera

46


FISICA 2

2.1 CAMPOS ELECTROSTATICOS EN EL VACIO.

Campo electrosttico

Las cargas elctricas no precisan de ningn medio material para influir entre ellas y por ello las fuerzas elctricas son consideradas fuerzas de accin a distancia. En virtud de ello se recurre al concepto de campo electrosttico para facilitar la descripcin, en trminos fsicos, de la influencia que una o ms cargas ejercen sobre el espacio que las rodea.

El concepto de campo

El concepto de campo surge ante la necesidad de explicar la forma de interaccin entre cuerpos en ausencia de contacto fsico y sin medios de sustentacin para las posibles interacciones. La accin a distancia se explica, entonces, mediante efectos provocados por la entidad causante de la interaccin, sobre el espacio mismo que la rodea, permitiendo asignar a dicho espacio propiedades medibles. As, ser posible hacer corresponder a cada punto del espacio valores que dependern de la magnitud de la propiedad del cuerpo que provoca la interaccin y de la ubicacin del punto que se considera.

El campo elctrico representa, en cada punto del espacio afectado por la carga, una propiedad local asociada al mismo. Una vez conocido el campo en un punto no es necesario saber qu lo origina para calcular la fuerza sobre una carga u otra propiedad relacionada con l.

As, si se coloca una carga de prueba en un punto cualquiera del espacio en donde est definido un campo elctrico, se observar la aparicin de atracciones o de repulsiones sobre ella. Una forma de describir las propiedades de este campo sera indicar la fuerza que se ejercera sobre una carga determinada si se trasladara de un punto a otro del espacio. Al utilizar la misma carga de prueba es posible comparar la intensidad de las atracciones o repulsiones en los distintos puntos del campo. La carga de referencia ms simple, a efectos de operaciones, es la carga unidad positiva. La fuerza elctrica que en un punto cualquiera del campo se ejerce sobre la carga unidad positiva, tomada como elemento de comparacin, recibe el nombre de intensidad del campo elctrico y se representa por la letra E. Por tratarse de una fuerza, la intensidad del campo elctrico es una magnitud vectorial que viene definida por su mdulo E y por su direccin y sentido.

Interacciones entre dos cargas Q y q

http://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Acci%C3%B3n_a_distancia

47


FISICA 2

Interacciones entre Q y q.

Fig.2.1.1

Considrese una carga Q fija en una determinada posicin (ver figura 2.1.1). Si se coloca otra carga q en un punto P1

Si la carga q se ubica en otros puntos cualesquiera, tales como P

, a cierta distancia de Q, aparecer una fuerza elctrica actuando sobre q.

2, P3

Obsrvese en la figura que el campo elctrico es originado en los puntos P

etc., evidentemente, en cada uno de ellos, tambin estara actuando sobre q una fuerza elctrica, producida por Q. Para describir este hecho, se dice que en cualquier punto del espacio en torno a Q existe un campo elctrico originado por esta carga.

1, P2, P3

El campo elctrico puede representarse, en cada punto del espacio, por un vector, usualmente simbolizado por

etc., por Q, la cual, naturalmente, podr ser tanto positiva (la de la figura) como negativa. La carga q que es trasladada de un punto a otro, para verificar si en ellos existe, o no, un campo elctrico, se denomina carga de prueba.

y que se denomina vector campo elctrico.

El mdulo del vector en un punto dado se denomina intensidad del campo elctrico en ese punto. Para definir este mdulo, considrese la carga Q de la figura, generando un campo elctrico en el espacio que la rodea. Colocando una carga de prueba q en un punto P1, se ver que sobre ella acta una fuerza elctrica. La intensidad del campo elctrico en P1 estar dada, por definicin, por la expresin:

La expresin anterior permite determinar la intensidad del campo elctrico en cualquier otro punto, tales como P2, P3, etc. El valor de E ser diferente para cada uno de ellos.

48


FISICA 2

De obtenemos , lo cual significa que si se conoce la intensidad del campo elctrico en un punto, es posible calcular, usando la expresin anterior, el mdulo de la fuerza que acta sobre una carga cualquiera ubicada en aqul punto.

2.1.1 ley de coulomb e intensidad del campo

Conforme a la ley de Coulomb la fuerza de interaccin de dos cargas elctricas puntiformes es directamente proporcional al producto de la cantidad de electricidad en estas cargas, inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre ellas y depende del medio en el cual se hallan las cargas,

F = q1 . q

42

ar2

siendo F la fuerza de interaccin de las cargas puntiformes, en N *; q1 y q2 r la distancia entre las cargas, en m;

, la cantidad de electricidad en las cargas, en C**

aLa magnitud

la permitividad absoluta del medio, en F/m. a = 0

, siendo la permitividad relativa: una magnitud adimensional.

o

una constante elctrica igual a la permisividad absoluta del vaco,

o = 8,86. 10-12

La permitividad relativa =

F/m.

a

puede calcularse por la frmula 0

F med

= F vac

Siendo Fvac la fuerza de interaccin de las cargas elctricas en el vaco, en N;

49


FISICA 2

Fmed la fuerza de interaccin de las cargas elctricas en cualquier medio, en N. Permitividad relativa de los materiales Aire ............................... 1 Aire ............................ 1 Micalex. . . . . . . . . . . . . 7 - 9 Mrmol ................... 7,5-10 Baquelita. . . . . . . . . . . . 3,8 - 5 Parafina.................. 2, 1-2,2 Micarta A y B ........... 7-8 Mica .......................... 6-7 C-irbolito .................. 3-5 Ebonita................... 2,5-3 Batista barnizada . . 3, 5 - 5 Papel parafinado... .... 2,2 Vidrio orgnico ..... 3.2-3,6 Porcelana ............... 5,5-6.5 Goma en hojas ...... 2,6-3,5 Poliestireno ............. 1,05 Vidrio ..................... 5,5-10 * 1 N= 102 gf ** 1 C=6,3 . 1018

cargas de electrn.

La razn del trabajo consumido al transportar una carga elctrica de 1 C desde un punto dado del campo elctrico hasta el infinito, se llama potencial en este punto: = A q Siendo = el potencial, en V; A= el trabajo, en J: q = la cantidad de electricidad, en C. Al transportar una carga elctrica desde un punto de un campo con potencial V1 hasta un punto de otro campo con potencial V2

se realiza el trabajo

A = q (1 - 2

).

Siendo = la diferencia de potenciales, en V - la intensidad de un campo elctrico se define como la razn de la fuerza con

la que el campo acta sobre la carga elctrica insertada en sus lmites, a la magnitud de esta carga: E = F q Siendo E la Intensidad del campo elctrico, en V/m;

50


FISICA 2

F la fuerza con la que el campo acta sobre la carga en N q la cantidad de electricidad, en C. La resistencia elctrica que caracteriza al poder del dielctrico de oponer resistencia a la perforacin, se determina de acuerdo con la frmula Eresist = U d

Siendo Eresist = la resistencia elctrica, en V/m; d = el espesor del dielctrico, en m; U= la tensin, a la cual se perfora el dielctrico, en V.

Resistencia elctrica de los dielctricos

Resistencia elc- Dielctrico trica del dielctrico, en kv/m Aire. . . .. . . . . . . . . . . . . . .. ... 3000 Papel para cable...................... 6 000- 9 000 Mrmol................................... 2 000- 3 000 Parafina.................................. 15000- 50000 Mica....................................... 120 000-200 000 Porcelana................................ 6 000- 10 000 Vidrio..................................... 10 000- 40 000

Intensidad de Campo Elctrico

La intensidad de campo elctrico E, es la fuerza por unidad de carga que va a operar sobre un punto cargado positivamente.

51


FISICA 2

E = F/q (4)

Despejando la fuerza de la (4), para una q1

F = q

:

1

Si de (1) tenemos:

.E (5)

F = k.q1.q2

Reemplazando (5) en (1):

/d (1)

q1.E = k.q1.q2/d entonces E = k.q2/d (6)

Ejemplo:

EB = k0.q/d ; EB = 9.109 N.m .1 C/(1 m) .C : EB = 9.109

E

N/C

C = k0.q/d ; EC = 9.109 N.m .1 C/(2 m) .C : EC = 9.109

E

N/4 C

C = EB

Supongamos que A emite 9.10

/4 # Ley de variacin en funcin de la distancia, en un campo elctrico.

9

4..r = 4..m

lneas de campo elctrico, como B es esfera, la superficie es:

Entonces:

En B sera: 9.109 lneas.4..m = 3,6.109

En C sera: 9.10

..m lneas

9 lneas.16..m = 1,44.1010

El nmero de lneas N que pasa por cualquier superficie esfrica es:

..m lneas

N = 4..r /4.. 0.r

52


FISICA 2

N = 4..r .k0.q/r como k0 = 1/4..

N = 4..r q/4..

0

0

N = q/ 0 = 4..k0.q (Ley de Gauss)

.r

El nmero de lneas no se pierde, es siempre el mismo y vale para cualquier geometra cerrada.

Formas de campos elctricos

Se visualizan a travs de lneas de fuerza.

2.1.2 campos elctricos debido a distribucin continua de cargas.

El concepto de campo electrosttico facilita la descripcin, en trminos fsicos, de la influencia que una o ms cargas elctricas ejercen sobre el espacio que les rodea. Para una distribucin continua lineal de carga puede ser calculado cmo se indica.

Si se dispone de una distribucin lineal continua de carga, el campo producido en un punto cualquiera puede calcularse dividiendo la carga en elementos infinitesimales dq. Entonces, se calcula el campo d E que produce cada elemento en el punto en cuestin, tratndolos como si fueran cargas. La magnitud de d E est dada por:

http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Campo_electrost%C3%A1tico&action=edit&redlink=1http://es.wikibooks.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica

53


FISICA 2

El campo resultante en el punto se encuentra, entonces, sumando; esto es, integrando; las contribuciones debidas a todos los elementos de carga, o sea,

Si la distribucin continua de carga que se considera tiene una densidad lineal de

carga , entonces .

Por lo tanto,

2.1.3Densidad de flujo elctrico

En electromagnetismo el desplazamiento elctrico es un campo vectorial = D(r,t), en funcin de la posicin en el espacio = r y del tiempo t, o

tambin = D(r,) en funcin de la posicin en el espacio = r y la frecuencia , que aparece en las ecuaciones de Maxwell. Es una generalizacin del campo elctrico en presencia de un dielctrico. A veces tambin se denomina como campo de desplazamiento elctrico o densidad de flujo elctrico.

En la mayor parte de los materiales puede ser calculado como

donde es la permitividad elctrica del material, que en un medio lineal, no isotrpico es un tensor de segundo orden (una matriz).

Flujo del campo elctrico

El flujo del campo elctrico es una medida del nmero de lneas de fuerza que atraviesan una superficie dada.

http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Densidad_de_carga&action=edit&redlink=1http://es.wikibooks.org/w/index.php?title=Densidad_de_carga&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Electromagnetismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_vectorialhttp://es.wikipedia.org/wiki/Frecuenciahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaciones_de_Maxwellhttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Diel%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividad_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Isotrop%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tensor

54


FISICA 2

Como ya sabemos, toda superficie puede representarse mediante un vector S, perpendicular a ella y cuyo mdulo sea el rea (Interpretacin geomtrica del producto vectorial).

El n de lneas que atraviesan una superficie depende de la orientacin relativa de la superficie respecto al campo. Si el campo es perpendicular a la superficie (y por tanto E paralelo a S el flujo es mximo y si son paralelos (E perpendicular a S) es nulo.

Estos resultados coinciden con la definicin de producto escalar = E.S Nm/C.

Esta explicacin es vlida si el campo E es uniforme. Si no es as, hay que dividir la superficie en elementos diferenciales dS con carcter infinitesimal de forma que E se pueda considerar constante. Por tanto d = E.dS.

Se define el flujo como = S E.dS

Densidad de carga elctrica.

A pesar de que las cargas elctricas son cuantizadas y, por ende, mltiplos de una carga elemental, en ocasiones las cargas elctricas en un cuerpo estn tan cercanas entre s, que se puede suponer que estn distribuidas de manera uniforme por el cuerpo del cual forman parte. La caracterstica principal de estos cuerpos es que se los puede estudiar como si fueran continuos, lo que hace ms

55


FISICA 2

fcil, sin perder generalidad, su tratamiento. Se distinguen tres tipos de densidad de carga elctrica: lineal, superficial y volumtrico.

Densidad de carga lineal.

8

Se usa en cuerpos lineales como, por ejemplo hilos.

Donde Q es la carga del cuerpo y L es la longitud. En el Sistema Internacional de Unidades (SI) se mide en C/m (culombios por metro).

Densidad de carga superficial.

Se emplea para superficies, por ejemplo una plancha metlica delgada como el papel de aluminio.

Donde Q es la carga del cuerpo y S es la superficie. En el SI se mide en C/m2metro cuadrado

(culombios por ).

Densidad de carga volumtrica.

Se emplea para cuerpos que tienen volumen.

donde Q es la carga del cuerpo y V el volumen. En el SI se mide en C/m3metro cbico

(culombios por ).

http://es.wikipedia.org/wiki/Superficiehttp://es.wikipedia.org/wiki/Volumenhttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctrica#cite_note-7http://es.wikipedia.org/wiki/Linealhttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Sistema_Internacional_de_Unidadeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Culombiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metrohttp://es.wikipedia.org/wiki/Superficiehttp://es.wikipedia.org/wiki/Aluminiohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_cuadradohttp://es.wikipedia.org/wiki/Metro_c%C3%BAbico

56


FISICA 2

2.1.4 LEY DE GAUSS (ECUACION DE MAXELL) APLICASION DE ESTA LEY.

En fsica y en anlisis matemtico, la ley de Gauss relaciona el flujo elctrico a travs de una superficie cerrada y la carga elctrica encerrada en esta superficie. De esta misma forma, tambin relaciona la divergencia del campo elctrico con la densidad de carga.

El flujo (smbolo ) es una propiedad de cualquier campo vectorial referida a una superficie hipottica que puede ser cerrada o abierta. Para un campo elctrico, el flujo ( ) se mide por el nmero de lneas de fuerza que atraviesan la superficie.

Para definir a con precisin considrese la figura, que muestra una superficie cerrada arbitraria dentro de un campo elctrico.

La superficie se encuentra dividida en cuadrados elementales , cada uno de los cuales es lo suficientemente pequeo como para que pueda ser considerado plano. Estos elementos de rea pueden ser representados como vectores , cuya magnitud es la propia rea, la direccin es normal a la superficie y el sentido hacia afuera.

En cada cuadrado elemental tambin es posible trazar un vector de campo elctrico . Ya que los cuadrados son tan pequeos como se quiera, puede considerarse constante en todos los puntos de un cuadrado dado.

y caracterizan a cada cuadrado y forman un ngulo entre s y la figura muestra una vista amplificada de dos cuadrados.

El flujo, entonces, se define como sigue:

O sea:

http://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/An%C3%A1lisis_matem%C3%A1ticohttp://es.wikipedia.org/wiki/Flujo_el%C3%A9ctricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Divergencia_%28matem%C3%A1ticas%29http://es.wikipedia.org/wiki/Flujo

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FISICA 2

La ley de Gauss establece que el flujo elctrico total a travs de una superficie cerrada es proporcional a la carga elctrica total encerrada dentro de la superficie. La constante de proporcionalidad es la permitividad del vaco.

Matemticamente, la ley de Gauss toma la forma de una ecuacin integral:

Alternativamente, en forma diferencial, la ecuacin es

La Ley de Gauss Esta ley fue establecida por Karl Friedrich Gauss (1777 1855), y establece que el flujo elctrico neto a travs de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta de la superficie dividida por la permitividad elctrica del medio (Figura 3):

(11)

Donde:

E: vector campo elctrico, N/m

dS: vector diferencial de superficie, m

q: carga encerrada en la superficie Gaussiana, Coul

2

: permitividad elctrica del medio, 8,85 x 10-12

Figura 3. Superficie Gaussiana en donde se percibe el vector diferencial de rea y el vector campo elctrico. Detalle como dentro de la superficie se encuentra una carga elctrica.

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Gausshttp://es.wikipedia.org/wiki/Carga_el%C3%A9ctricahttp://es.wikipedia.org/wiki/Permitividadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Vac%C3%ADo_(f%C3%ADsica)

58


FISICA 2

Potencial elctrico Se refiere a la energa potencial por unidad de carga.

Potencial debido a una carga puntual

(12)

Donde:

V: potencial elctrico, Voltio

q: carga elctrica, Coulomb

r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio, m

: constante de permitividad elctrica del medio,

Potencial debido a una distribucin discreta

(13)

Donde:


qi: carga elctrica del elemento i, Coulomb

r: distancia entre la carga generadora del campo y el punto de estudio i, m


Potencial elctrico debido a una distribucin continua

(14)

Donde:


dq: elemento diferencial de carga, Coulomb

r: distancia entre la carga generadora del campo y el diferencial de carga, m


El potencial elctrico se relaciona con el campo elctrico por:

59


FISICA 2

(15)

Donde:

Vab: diferencia de potencial entre dos puntos a y b, Voltios

E: vector campo elctrico, N/m

dx: vector desplazamiento, m

2.1.5 POTENCIAL ELECTRICO. RELACION ENTRE E Y V.

El potencial elctrico en un punto es el trabajo que debe realizar una fuerza elctrica (ley de Coulomb) para mover una carga positiva "q" desde el infinito (donde el potencial es cero) hasta ese punto. Dicho de otra forma, es el trabajo que debe realizar una fuerza externa para traer una carga unitaria "q" desde el infinito hasta el punto considerado en contra de la fuerza elctrica. Matemticamente se expresa por:

Considrese una carga de prueba positiva, la cual se puede utilizar para hacer el mapa de un campo elctrico. Para tal carga de prueba localizada a una distancia r de una carga q, la energa potencial electrosttica mutua es:

De manera equivalente, el potencial elctrico es =

Diferencia de potencial y potencial en el campo elctrico.

V1 - V2 = (Ep1 - Diferencia de potencial es la variacin de la energa

http://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_Coulomb

60


FISICA 2

Ep2)/q2 potencial por unidad de carga positiva.

La referencia para tomar los potenciales la tomamos en el , y por tanto el potencial en un punto V1 = q1/4..1

Trabajo que se realiza para llevar la unidad de carga ms al

W = q2.(V1 - V2)

Podemos escribir

Ep = - F.dr; F = - dEp/dr. Si dividimos por q2, F/q2 = -dEp/q2.dr; F/q2 = -dV/dr

E = -dV/dr. En forma vectorial E = - (dV/dr)uF

dV = -E.dr; V2 - V1 = - E.dr; V1 - V2 = E.dr

Si el campo es uniforme d = r2 - r1

W = q2.(V1 - V2) E = (F/q2) F = E.q2 W = Eq2d

q2.(V1 - V2) = q2Ed V1 - V2 = Ed = E.(r2 - r1)

2.1.6 EL DIPOLO ELCTRICO

DIPOLOS Y POLARIZACION

Fenmeno superficial que se presenta en los aisladores o materia elctricamente neutra.

Dipolo antes de aplicar un campo elctrico

Dipolo luego de aplicar un campo elctrico

61


FISICA 2

Hay dipolos que al retirar el campo elctrico quedan polarizados permanentemente y otros en cambio pierden la polarizacin.

Los dipolos se utilizan entre las placas de los capacitores.

Al colocar un dipolo entre dos placas de un capacitor, se requiere menos trabajo para transportar una carga y, por lo tanto aumenta la capacidad de este.

Colocando mercurio entre las placas:

E = 0 V = C

Si colocamos aceite entre las placas:

Habr distribucin superficial.

E 0 V = C

Constante dielctrica

K = C/C0

K: constante dielctrica.

C0: capacidad en el vaco.

C: capacidad con dipolo.

62


FISICA 2

C = . 0.A/s

Para aplicar la ecuacin, el dipolo, ante un campo elctrico, debe comportarse igual en todas direcciones, tener en cuenta deformaciones de bordes.

2.1.7 LINEAS DE FLUJO ELECTRICO Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.

Nagelschmidt verific cmo el flujo de estas corrientes en el interior del organismo escoge siempre el camino ms breve, ya que de esta forma se vencen mejor las resistencias que los tejidos ejercen a su paso.

Las lneas a travs de las cuales la corriente se dirige de una electroplaca a la otra han sido denominadas por los fsicos lneas de flujo elctrico. En funcin del dimetro de las electroplacas, las lneas de flujo elctrico que se crean sern ms o menos compactas, as como el calor que se genera ser ms o menos intenso. Concretamente, se generar ms temperatura en la parte que corresponde a la electroplaca pequea respecto a la que la que se genera en la electroplaca grande.

Suponiendo que los tejidos tratados sean homogneos, las lneas del flujo se reparten en funcin del posicionamiento de las placas.

Una superficie equipotencial es el lugar geomtrico de los puntos de un campo escalar en los cuales el potencial de campo es constante. Las superficies equipotenciales pueden calcularse empleando la ecuacin de Poisson.

El caso ms sencillo puede ser el de un campo gravitatorio en el que hay una masa puntual: las superficies equipotenciales son esferas concntricas alrededor de dicho punto. El trabajo realizado por esa masa siendo el potencial constante, ser pues, por definicin, cero. En el caso del campo magntico generado por un conductor rectilneo, las superficies equipotenciales sern cilindros concntricos cuyo eje ser precisamente el del conductor. Las curvas de nivel de estos cilindros son las que generan las Lnea equipotenciales en el plano x-y.

http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Campo_%28f%C3%ADsica%29http://es.wikipedia.org/wiki/Campo_escalarhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Potencial_de_campo&action=edit&redlink=1http://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_de_Poissonhttp://es.wikipedia.org/wiki/Gravedadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Masahttp://es.wikipedia.org/wiki/Esferahttp://es.wikipedia.org/wiki/Magnetismohttp://es.wikipedia.org/wiki/Cilindro_%28geometr%C3%ADa%29http://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Linea_equipotencial&action=edit&redlink=1

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FISICA 2

Superficies equipotenciales

Son superficies que en todos sus puntos tienen el mismo potencial.

Si r = cte y = cte entonces V = cte. Todas las superficies equipotenciales son esfricas (Si solo hay una carga)

Propiedades

a) Dos superficies equiescalares no se pueden cortar.

b) El trabajo para desplazar una carga dq a lo largo de una superficie equipotencial es 0.

dW = dq (V1-V2) V1=V2 dW = 0

c) El campo elctrico ( vector campo ) es perpendicular en todos su puntos a una superficie equipotencial.

dW = F.dr = dq.E.dr.cos .

Por propiedad b) el W = 0

0 = dqEdr cos

cos [Ey.dr] = 0 y por ta nto E perpendicular a dr #0 = 0

Campo, potencial y carga en el interior de un conductor cargado en equilibrio elctrico y en su superficie.

Como ya vimos, el campo en el interior de un conductor en equilibrio debe ser 0, ya que si no fuera as sus cargas no estaran en reposo, no estara en equilibrio. Toda la carga est en su superficie. E = 0.

Potencial V1-V2= Ed = 0 V1 = V2

Esto es porque V1- V2 = Ed = 0

64


FISICA 2

Todos los puntos del conductor cargado y en equilibrio estn siempre en el mismo potencial. Si todos los puntos estn al mismo potencial, la superficie es equipotencial.

2.1.8 DENSIDAD DE ENERGIA EN LOS CAMPOS ELECTROSTTICOS.

Si consideramos un sistema cerrado constituido por un campo electromagntico y un conjunto de partculas inmerso en el mismo, se mantiene constante en el tiempo la energa total del sistema, suma de la energa de las partculas y la energa del propio campo. Cmo podemos calcular la energa del campo electromagntico en dicho sistema cerrado?. Veamos que, partiendo de las ecuaciones de Maxwell, es posible la determinacin sencilla de dicha energa por unidad de volumen, es decir, la densidad de energa del campo.

2.2 Campos electrostticos

2.2.1

en el espacio material

Corriente de conduccin2.2.2

y corriente de conveccin Polarizacin en dielctricos constante y resistencia

dielctricas

Existen dos tipos de molculas las

molculas polares y las molculas no polares. Las molculas polares son aquellas en las que no coincide el centro de distribucin de cargas positivas y el de las negativas, el ejemplo ms significativo es el agua. Los iones hidrgeno no estn alineados y dispuestos simtricamente a uno y otro lado del in oxgeno, sino que tienen una disposicin triangular.

Las molculas no polares son aquellas en las que coincide el centro de distribucin de las cargas positivas y negativas. Las molculas de oxgeno, nitrgeno, compuestas por dos tomos iguales pertenecen a esta categora.

Las molculas polares bajo la accin de un campo elctrico experimentan un par de fuerzas que tienden a orientarlas en el sentido del campo. Las molculas no polares, se hacen polares en presencia de un campo elctrico, ya que las fuerzas sobre cada tipo de carga son iguales y de sentido contrario.

http://www.mitecnologico.com/Main/CamposElectrostaticoshttp://www.mitecnologico.com/Main/CorrienteDeConduccionhttp://www.mitecnologico.com/Main/PolarizacionEnDielectricoshttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.mitecnologico.com/Main/ConstanteYResistenciaDielectricashttp://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dielectrico/dielectrico.htm#Teora molecular de las cargas inducidas

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FISICA 2

Los dielctricos se emplean en los condensadores para separar fsicamente sus placas y para incrementar su capacidad al disminuir el campo elctrico y por tanto, la diferencia de potencial entre las mismas. La constante dielctrica es la propiedad que describe el comportamiento de un dielctrico en un campo elctrico y permite explicar, tanto el aumento de la capacidad de un condensador como el ndice de refraccin de un material transparente.

Con el programa interactivo de esta pgina, experimentaremos con un modelo de sustancia dielctrica consistente en un nmero pequeo, pero suficiente de molculas. Distinguiremos entre el comportamiento individual de cada molcula, y el comportamiento de la muestra en su conjunto. Veremos como este comportamiento se ajusta a la denominada ley de Langevin, deducida para un nmero muy grande de molculas.

Descripcin

Un dipolo elctrico es un sistema formado por dos cargas iguales q y de signo contrario, separadas una distancia d. Se define el momento dipolar p, como un vector cuyo mdulo es el producto de la carga q por la separacin entre cargas d, de direccin la recta que las une, y de sentido de la negativa a la positiva.

Los momentos dipolares de algunas molculas se recogen en la siguiente tabla:

Molculas Momento dipolar 10-30 Cm Agua 6.2 Nitrobenceno 13.2 Fenol 5.2 Clorhdrico 3.5 Bromhdrico 2.6 Iodhdrico 1.3

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/campo_electrico/dipolo/dipolo.htm#Potencial elctrico

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FISICA 2

Sobre un dipolo situado en un campo elctrico acta un par fuerzas cuyo momento tiende a orientar al dipolo en la direccin del campo. Sin embargo, esta tendencia est contrarrestada por la agitacin trmica de las molculas. Para cada campo y cada temperatura, tendremos una orientacin media resultado del compromiso entre ambas tendencias contrapuestas.

La energa de un dipolo en un campo elctrico E es U= -pE= -pEcosq

La polarizacin de la sustancia es P=Np, donde N es el nmero de molculas y p es el valor medio de la componente del momento dipolar en la direccin del campo. De acuerdo con la frmula de la estadstica clsica

donde exp(-U/kT) es la probabilidad de que un dipolo est orientado segn un ngulo slido comprendido entre W y W+dW. El rea sombreada de la figura, es dW=2sind. La integracin conduce a la siguiente funcin conocida como ley de Langevin

Casos particulares:

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/estadistica/niveles/niveles.html#Descripcin

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FISICA 2

Cuando u1, es decir, para grandes valores del campo o bajas temperaturas,

P=Np

P tiende hacia un valor constante que es su valor mximo.

Los materiales dielctricos estn formados por dipolos elctricos. Un dipolo elctrico, vase la figura, es un sistema formado por dos cargas iguales y de signo contrario, separadas una distancia d. Se define el momento dipolar, como un vector cuyo mdulo es el producto de la carga por la separacin entre las mismas, cuya direccin e

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