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3.4 DIVERGENCIA, GRADIENTE, ROTACIONAL &LAPLACIANO EN COORDENADAS CARTESIANAS

(34_CV_T_v12; 2005.w22.1; C26)

Sean u(x, y, z) = u(P), v(x, y, z) = v(P) un campoescalar y vectorial suficientemente suaves

1. Divergencia de un vector

Definimos

div v(P) ≡lim

τ → 0

ngvdσσ∫

τ

si

v =m

sngvdσ =

m3

s; el punto P está dentro del volumen,

ngvdσ

σ∫ es el flujo que sale del volumen y div v(P)= flujo que sale /volumen.

Para evaluar la integral consideremos un cubo

∆x( ) ∆y( ) ∆z( ) que contenga a P (x0, y0, z0):

ngvdσ

σ∫ = seis integrales sobre seis caras

v = v

xx, y, z( ) i + v

yx, y, z( ) j + v

zx, y, z( ) k

σ1: n = i dσ = dydz

ngvdσ

σ∫ = vx

x0

+∆x

2, y, z

dydzz0 −

∆z

2

z0 +∆z

2∫y0 −

∆y

2

y0 +∆y

2∫

Teorema del valor medio si f (x) ∈C a,b ∃ min & max m, M

m ≤ f (x) ≤ M ∀x ∈ a,b ⇒ m(b − a) ≤ f (x)dx

a

b

∫ ≤ M (b − a)

⇒ f (x)dx

a

b

∫ = c(b − a) donde m ≤ c ≤ M

Si f (x) ∈C a,b ∃ ξ ∈ f (ξ) = c ∴ f (x)dx

a

b

∫ = f (ξ)(b − a)

en 2D: f (x, y)dxdyA∫∫ = f (ξ,η)A

τσ

v

n

z

yx

Pn = j

n = i

n = k

2

vx

σ1

∫∫ x0

+∆x

2, y, z

dydz = vx

x0

+∆x

2, y

1, z

1

∆y∆z y1

∈ y0

−∆y

2, y

0+

∆y

2

z

1∈ z

0−

∆z

2, z

0+

∆z

2

σ 2: n = − i dσ = dydz

−vx

σ 2

∫∫ x0

−∆x

2, y, z

dydz = −vx

x0

−∆x

2, y

2, z

2

∆y∆z y2

∈ y0

−∆y

2, y

0+

∆y

2

z

2∈ z

0−

∆z

2, z

0+

∆z

2

lim

τ → 0

ngvdσσ1 + σ 2

∫τ

=

lim

∆x → 0

∆y → 0

∆z → 0

vx

x0

+ ∆x2

, y1, z

1

− vx

x0

− ∆x2

, y2, z

2

∆x

tomando límites ∆y → 0 tenemos y1→ y

0y

2→ y

0

∆z → 0 tenemos z1→ z

0z

2→ z

0

=

lim

∆x → 0

vx

x0

+ ∆x2

, y0, z

0

− vx

x0

− ∆x2

, y0, z

0

∆x

lim

τ → 0

ngvdσσ1 + σ 2

∫τ

=∂v

x

∂x

Repitiendo el mismo procedimiento para las otras caras del cubo:

lim

τ → 0

ngvdσσ 3 + σ 4

∫τ

=∂v

y

∂y

lim

τ → 0

ngvdσσ5 + σ 6

∫τ

=∂v

z

∂z.

∴ si

v = v

xi + v

yj + v

zk div v =

∂vx

∂x+

∂vy

∂y+

∂vz

∂z

div v = i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

g v

xi + v

yj + v

zk( )

Si definimos nabla:

∇ ≡ i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

entonces div v = ∇gv .

Producto interno

3

2. Gradiente de un escalar

grad u(P) ≡lim

τ → 0

nσ∫ udσ

τ

repetimos el procedimiento anterior para el cubo centrado en P:

σ

1: n = i dσ = dydz nudσ

σ1∫ = i u x

0+

∆x

2, y, z

∫∫ dydz = i u x

0+

∆x

2, y

1, z

1

∆y∆z

σ

2: n = − i dσ = dydz ⇒ nudσ =

σ 2∫ − i u x

0−

∆x

2, y

2, z

2

∆y∆z

lim

τ → 0

nudσσ1 + σ 2

∫τ

= i∂u

∂x

Repitiendo el mismo procedimiento para las otras caras del cubo y sumando contribucionesobtenemos:

grad u ≡ i∂u

∂x+ j

∂u

∂y+ k

∂u

∂z≡ i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

u ≡ ∇u .

Para entender el significado del gradiente consideremos una superficie u(x, y, z) =constante:

s ≡

dx

dsi +

dy

dsj +

dz

dsk ;

nótese que s = 1.

Utilizando la regla de la cadena:

du

ds=

∂u

∂x

dx

ds+

∂u

∂y

dy

ds+

∂u

∂z

dz

ds.

Con esto definimos la derivada

direccional:

du

ds≡ sg∇u

Si el camino C está en la superficie u = constante,

du

ds= 0

sg∇u = 0 ⇒ ∇u ⊥ a la superficie u = constante. Además,

du

ds= sg∇u = ∇u s cosθ = ∇u cosθ .

u = constante

s

C :! x(s),!y(s),!z(s) s0 ≤ s ≤ s1

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Puesto que el máximo de cosθ = 1,

du

ds= ∇u es máximo cuando s P ∇u . En este

caso ⇒ s = n , la normal a la superficie.

∴ ∇u es máximo cuando derivamos en dirección ⊥ a u = constante.

Ejemplo: derivada direccional de u = x2 y + 3z @(1,2,0) en la dirección i − 4k .

du

ds= sg∇u ∇u = 2xyi + x2 j + 3k s =

i − 4k

17

sg∇u =

1

172xy − 12( ) (1,2,0)

= −8

17

Vector normal

n =∇u

∇u=

2xyi + x2 j + 3k

4x2 y2 + x4 + 9;

en P = 1,2,0 n =

4i + j + 3k

26.

du

dn= ng∇u =

4x2 y2 + x4 + 9

4x2 y2 + x4 + 9= 4x2 y2 + x4 + 9

du

dn (1,2,0)= 26 ≈ 5.10 >

−8

17= 1.94 .

3. Rotacional de un vector

rot v(P) ≡lim

τ → 0

n ∧ vdσσ∫

τ

En vez de utilizar el cubo

∆x( ) ∆y( ) ∆z( ) centrado en P, consideremos lo siguiente:

para cualquier vector A, A = Agi( ) i + Ag j( ) j + Agk( ) k (base ON)

∴ n ∧ v = n ∧ vgi( ) i + n ∧ vg j( ) j + n ∧ vgk( ) k .

Ahora bien A ∧ BgC = AgB ∧ C (intercambio de filas en determinante).

⇒ n ∧ v = ngv ∧ i( ) i + ngv ∧ j( ) j + ngv ∧ k( ) k

= ng v ∧ i( ) i + v ∧ j( ) j + v ∧ k( ) k

5

rot v(P) =lim

τ → 0

n ∧ vdσσ∫

τ

=lim

τ → 0

ng v ∧ i( ) i + v ∧ j( ) j + v ∧ k( ) k

dσ

σ∫

τ

lim

τ →0

ng dσ∫τ

= div

1 2444444444 3444444444

= div v ∧ i( ) i + v ∧ j( ) j + v ∧ k( ) k

= ∇gv ∧ i( ) i + ∇gv ∧ j( ) j + ∇gv ∧ k( ) k

= ∇ ∧ vgi( ) i + ∇ ∧ vg j( ) j + ∇ ∧ vgk( ) k = ∇ ∧ vgi( ) i + vg j( ) j + vgk( ) k

∴ rot v(P) ≡ ∇ ∧ v = i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

∧ vxi + v

yj + v

zk( )

rot v(P) =

i j k

∂∂x

∂∂y

∂∂z

vx

vy

vz

=∂v

z

∂y−

∂vy

∂z

i +

∂vx

∂z−

∂vz

∂x

j +

∂vy

∂x−

∂vx

∂y

k

Consideremos q = ui + vj + wk

Si el flujo es plano u = u(x, y) v = v(x, y) w ≡ 0 ;

el

∇ ∧ q =∂w

∂y−

∂v

∂z

0

i +∂v

∂z−

∂w

∂x

0

j +∂v

∂x−

∂u

∂y

k .

Con esto, el ∇ ∧ q =

∂v

∂x−

∂w

∂y

k ≡ Ω , la vorticidad.

∆α = ∆α k =

v( A) − v(0)

∆xk =

∂v

∂xk ;

∆β = ∆β − k( ) = −

u(B) − u(0)

∆yk = −

∂u

∂xk .

El giro promedio es

ω =

ω1

+ ω2

2=

1

2

∂v

∂x−

∂u

∂y

y la vorticidad Ω = 2ω .A

∆α

∆β

elementodeformable

elementorígido(sólo gira)

y

xu

v

B

0 ∆x

∆y

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4. Laplaciano de un escalar ∇2 = ∇g∇

∇2 ≡ ∇g∇ = i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

g i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

∴ ∇2 =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2

Si u = x2 y + 3z, ∇2u = 2y .

5. Identidades

Linealidad ∇ αu + βv( ) = α∇u + β∇v

∇g αu + βv( ) = α∇gu + β∇gv

∇ ∧ αu + βv( ) = α∇ ∧ u + β∇ ∧ v

2a div (rot u) = ∇g∇ ∧ u = 02b rot (grad u) =∇ ∧ ∇u = 0

3a div uv( ) = ∇g uv( ) = ∇ugv + u∇gv

3b rot uv( ) = ∇ ∧ uv( ) = ∇u ∧ v + u∇ ∧ v

3c div u ∧ v( ) = ∇g u ∧ v( ) = vg∇ ∧ u − ug∇ ∧ v

3d rot u ∧ v( ) = ∇ ∧ u ∧ v( ) = u∇gv − v∇gu + vg∇( )u − ug∇( ) v

3e rot2 v = ∇ ∧ ∇ ∧ v( ) = ∇ ∇gv( ) − ∇2v

Para demostrar estas identidades basta hacerlo en un sistema de coordenadas pues existentransformaciones de cualquier sistema dado a todos los demás

∴ podemos utilizar coord. cartesianas

∇g uv( ) = i

∂∂x

+ j∂

∂y+ k

∂∂z

g uv

xi + uv

yj + uv

zk( )

=

∂ uvx( )

∂x+

∂ uvy( )

∂y+

∂ uvz( )

∂z= u

∂vx

∂x+ v

x

∂u

∂x+ ...

= u∇gv + ∇ugv

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6. Teoremas integrales

Teorema de la divergencia

divv =lim

τ → 0

ngvdσσ∫

τ

∇gvdτ = ngvdσ

σ∫

τ∫

Identidades de Green

∇g u∇v( )∇ug∇v + u∇2v

124 34dτ

τ∫ = n

σ∫ g u∇v( ) dσ = ung∇vdσ

σ∫ = u

∂v

∂nσ∫ dσ

1.

∇ug∇v + u∇2v( ) dτ = u

∂v

∂ndσ

σ∫

τ∫

u ↔ v ∇ug∇v + v∇2u( )

τ∫ dτ = v

∂u

∂nσ∫ dσ

restando

2.

u∇2v − v∇2u( ) dττ∫ = u

∂v

∂n− v

∂u

∂n

σ

∫ dσ

Teorema de Stokes

ns∫ • ∇ ∧ vdσ = v

c∫ • dr

Teorema de Green (Stokes para el plano)

∂vy

∂x−

∂vx

∂y

dxdys∫ = vxdx + vydy( )

c∫

nσ

c

campo escalar

τ

nσ

Superficiesinternas secancelan

n1

n2

s

x

yc