DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Prof. Leopoldo Bejarano B.

1. INTRODUCCION: Es una distribución de probabilidad de variable

discreta y Bernoulli es el autor de esta distribución.Ensayo de Bernoulli: Es cualquier ensayo de algún

experimento que conduce sólo a uno de dos resultados

mutuamente excluyentes, tales como: vivo o muerto; enfermo o saludable; + ó –

De una sucesión de ensayos de Bernoulli se obtiene la

distribución binomial.La formación de un proceso de Bernoulli se efectúa bajo las siguientes condiciones.

a. Se tiene un número finito de ensayos b. Cada ensayo conduce a uno de dos resultados

mutuamente excluyentes. Uno de los resultados posibles se denomina (arbitrariamente) éxito y el otro fracaso.

C. La probabilidad de éxito, representada por p,

permanece constante de ensayo a ensayo. La

probabilidad de fracaso, 1-p, se denota por q.

D. Los ensayos son independientes, es decir, el

resultado de cualquier ensayo particular no es

afectado por el resultado del otro ensayo.

2. CÁLCULO DE PROBABILIDADES CON LA DISTRIBUCIÓN BINOMIALAl estudiar la distribución binomial se tiene interés en calcular la probabilidad de obtener x éxitos de un total de n ensayos de Bernoulli. Este cálculo se realiza con:

xn-xqpx)!-(nx!

n!=x)=p(X

Donde: X = variable aleatoria x = 0,1,2,3,....n Se demuestra que la distribución binomial es

una distribución de probabilidad ya que:a. P(x) 0, para todo x.b. P(x) =1

RxLa distribución binomial tiene dos parámetros: n y pLa media de la distribución binomial es: x = npLa desviación estándar es:

x = npq

Ejemplo: En cierta población la prevalencia de alergia es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria de n=10. Calcular :

a. La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alérgico.

Solución: Datos: Éxito= tener alergia, p = 0,2 y q = 0,8

n = 10 x = 1 Luego: P(X=1)= 10! (0,2)1 (0,8)9

1!9! = 10 (0,2)(0,8)9

P(X=1) = 0,2684

b. La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos alérgicosSolución:p = 0,2q = 0,8n = 10P(X<2) = P(X=0) + P(X=1)

= 10! (0,2)0 (0,8)10 + 0,2684 0!10! = 0,1074 + 0,2684

P(X<2) = 0,3758 c. La probabilidad de que la muestra

incluya dos o más alérgicos. d. La probabilidad de que la muestra

incluya entre uno y tres alérgicos inclusive. e. La probabilidad de que los dos

primeros resulten alérgicos. e. Cuál es el valor de la media y varianza

Los parámetros que identifican a la distribución binomial son: probabilidad de éxito p y el número de ensayos n.

Cuando la probabilidad p se aproxima a cero (P<0.1), se tiene un evento raro (como una enfermedad oncológica, ETS, etc.), por consiguiente, se recomienda utilizar una distribución alternativa como la distribución de Poisson.

La distribución de Poisson es de variable discreta y se considera como una distribución límite de la distribución binomial

El modelo de la distribución de Poisson está definida como:

P( X= k ) =e-k, k=0, 1, 2, 3, ...; k donde = n p Además se cumple de que:a. P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + . . . =1b. 0 P( X= k ) 1. La media aritmética y varianza de esta

distribución es: = , ²= respectivamente.

La probabilidad de muerte resultante del uso de píldoras anticonceptivas es de 3/100.000. De 100.000 mujeres que utilizan este medio de control de natalidad, se pide:

a. ¿Cuántas muertes se espera debida a esta causa?

b. ¿Cuál es la probabilidad de que haya, como máximo, 2 de estas muertes?

c. ¿Cuál es la probabilidad de que el número de muertes debidas a esta causa esté entre 1 y 5 inclusive?

El número de colonias de bacterias en una muestra de agua tiene una distribución de Poisson con una media de 2 colonias/cm3

Si se toma una muestra de 1 cm3, determine la probabilidad de que la muestra tenga una o más colonias de bacterias.

Es una distribución de probabilidad de variable continua.

El matemático Gauss contribuyó notablemente en el estudio y difusión de esta distribución.

La mayoría de las variables continuas tienen polígonos de frecuencias que permiten visualizar un aumento gradual hasta llegar a un máximo y luego un descenso igualmente gradual. Así:

Polígono de frecuencias

Si n e c0Xi

x Xi

Curva normal

y

Como toda figura geométrica en el plano, la curva normal posee una fórmula o ecuación denominada también función de densidad de la variable aleatoria continua que es la siguiente: 2

2

1

2

1

σ

μx

e

σπy

- x

(1)

Donde: y = ordenada de la curva en el punto x = media aritmética de la distribución = desviación estándar de la distribución

1. Es simétrica respecto a la media, .2. La media, la mediana y la moda son

iguales.3. El área total debajo de la curva y por

encima del eje x es igual a una unidad cuadrada

4. Si se levantan perpendiculares a una distancia de una desviación estándar a ambos lados de la media, se habrá delimitado aproximadamente el 68.26% del área total.

Si se extienden estas perpendiculares hasta dos desviaciones estándar, se define como 95.44% del área total y con 3 desviaciones estándar aproximadamente el 99.74%. Así:

- X+

0,6826

-2 X +2

0,9544

5. La normal queda completamente determinada por los parámetros y

Tiene una media de cero y desviación estándar de uno

Se obtiene a partir de la ecuación (1), haciendo =0, =1 y x - = z

Donde z es una variable aleatoria con distribución normal.

Se utiliza la tabla de áreas.Ejemplo 1: Calcular el área entre z= - y z=2Solución:Se recomienda graficar la curva normal y sombrear el área solicitada para facilitar la resolución del problema. Así:

De la tabla de áreas se obtiene:P( Z 2) = 0,9772Interpretación: La probabilidad de que la variable z asuma valores entre - y 2 inclusive, es 0,9772

0 z

=1

2

Ejemplo 2:Si de la población de posibles valores de z, se elige uno al azar, ¿ cuál es la probabilidad de que se encuentre entre 0,84 y 2,45 inclusive?

Solución:La pregunta permite calcular:P(0,84 Z 2,45) = ?Veamos el gráfico siguiente:

De la tabla: área entre - y z=2,45 0,9929

área entre - y z=0,84 0,7995P(0,84 Z 2,45) = 0,9929 - 0,7995= 0,1934Interpretación: La probabilidad de que una z elegida al azar quede entre 0,84 y 2,45 es de 0,1934 ó el 19,34% de los valores de z están entre 0,84 y 2,45.

0,84 z

=1

2,45 0

Ejemplo 3:Calcular P( z2,71).Solución: Graficando:

Interpretación:La probabilidad de que un valor de z sea mayoro igual a 2,71 es de 0,0034.

De la tabla: área entre - y z=2,71 0,9966

Luego: P(z2,71)=1,0 - 0,9966 = 0,0034.

zi

=1

2,71 0

Ejemplo:Los niveles de colesterol total en la población general se distribuyen normalmente con =200 y = 20. Si de esta población se selecciona un sujeto al azar, ¿ cúal es la probabilidad de que:a. tenga un valor entre 170 y 230?Solución:

Se solicita: P(170X230)=?. En el gráfico, el área que debemos calcular aparece sombreada:

200170 Xi230

=20

Se transforman o estandarizan los valores de xi en términos de z.

50,120

200170

50,120

200230

22

11

xz

xz

Luego: P(170X230)= P(-1,50Z1,50)=?.De la tabla: P(-1,50z1,50)= 0,9332 - 0,0668 = 0,8664Interpretación:La probabilidad de que un sujeto seleccionado al azar tenga un nivel de colesterol entre 170 y 230, es de 0,8664

0-1,50 zi1,50

=1

b. Tenga un valor de 270 ó más.Solución:p(x270) =?

Cálculo de z:z= 270 – 200=3,50 20

Luego:P(X270)=P(Z3,50)= 1 - 0,9998= 0,0002.

x

=20

270200

z

=1

3,50 0

Interpretación:La probabilidad de que un sujeto elegido al azar tenga un nivel de colesterol de 270 ó más, es de 0,0002

C. A partir de que valor del colesterol se localiza el 10% superior de la población?

D. Entre que valores de colesterol se localiza el 80% central de la población?

Distribución exponencial

Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

El tiempo que puede transcurrir en un servicio de urgencias, para la llegada de un paciente;

En un proceso de Poisson donde se repite sucesivamente un experimento a intervalos de tiempo iguales, el tiempo que transcurre entre la ocurrencia de dos sucesos consecutivos sigue un modelo probabilístico exponencial. Por ejemplo, el tiempo que transcurre entre que sufrimos dos veces una herida importante.

Concretando, si una v.a. continua X distribuida a lo largo de , es tal que su función de densidad es

se dice que sigue una distribución exponencial de parámetro , .

Figura: Función de probabilidad, f, de una .

Un cálculo inmediato nos dice que si x>0,

luego la función de distribución es:

Figura: Función de distribución, F, de , calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.

Para calcular el valor esperado y la varianza de la distribución exponencial, obtenemos en primer lugar la función característica

E(X) = 1/ , V(X)= = 1/²

Ejemplo

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que

Entonces

En segundo lugar

Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

o sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que ``la distribución exponencial no tiene memoria".

Ejemplo 2 El tiempo medio de supervivencia de un paciente tras haber recibido un cierto tratamiento es de E[X]=5 años; sabiendo que la variable X tiene distribución exponencial, interesa saber cual es la probabilidad de que el paciente supere los 10 años de vida tras haberle suministrado el tratamiento.

Puesto que la variable tiene distribución exponencial de media 5, el parámetro lambda (L) es igual a 1/5=0.2, por lo que la probabilidad de superar los 10 años de vida es: 0.1353.