Distribucin de BernoulliExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: xito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: xito 1fracaso 0Si la probabilidad de xito es p y la de fracaso q = 1 - p, podemos construir una funcin de probabilidad:

Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribucin de Bernoulli.

DISTRIBUCIN BINOMIALProf. Leopoldo Bejarano B.

INTRODUCCION: Es una distribucin de probabilidad de variable discreta y Bernoulli es el autor de esta distribucin.Ensayo de Bernoulli: Es cualquier ensayo de algn experimento que conduce slo a uno de dos resultados mutuamente excluyentes, tales como: vivo o muerto; enfermo o saludable; + De una sucesin de ensayos de Bernoulli se obtiene la distribucin binomial.La formacin de un proceso de Bernoulli se efecta bajo las siguientes condiciones. a. Se tiene un nmero finito de ensayos b. Cada ensayo conduce a uno de dos resultados mutuamente excluyentes. Uno de los resultados posibles se denomina (arbitrariamente) xito y el otro fracaso.

C. La probabilidad de xito, representada por p, permanece constante de ensayo a ensayo. La probabilidad de fracaso, 1-p, se denota por q. D. Los ensayos son independientes, es decir, el resultado de cualquier ensayo particular no es afectado por el resultado del otro ensayo.

CLCULO DE PROBABILIDADES CON LA DISTRIBUCIN BINOMIALAl estudiar la distribucin binomial se tiene inters en calcular la probabilidad de obtener x xitos de un total de n ensayos de Bernoulli. Este clculo se realiza con:

Donde: X = variable aleatoria x = 0,1,2,3,....n Se demuestra que la distribucin binomial es una distribucin de probabilidad ya que:P(x) 0, para todo x. P(x) =1 RxLa distribucin binomial tiene dos parmetros: n y pLa media de la distribucin binomial es: x = npLa desviacin estndar es: x = npq

La distribucin de probabilidad P(X = k) ser:

Caractersticas de la distribucin binomialn = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5Media = E(X) = n p= 5 0.1 = 0.5= 5 0.5 = 0.25Desviacin estndar 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0

Ejemplo: En cierta poblacin la prevalencia de alergia es de 20%. Si se selecciona una muestra aleatoria de n=10. Calcular :

La probabilidad de que la muestra contenga exactamente un alrgico. Solucin: Datos: xito= tener alergia, p = 0,2 y q = 0,8 n = 10 x = 1 Luego: P(X=1)= 10! (0,2)1 (0,8)9 1!9! = 10 (0,2)(0,8)9 P(X=1) = 0,2684

La probabilidad de que la muestra incluya menos de dos alrgicosSolucin:p = 0,2q = 0,8n = 10P(X

Distribucin hipergeomtrica

Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la funcin de distribucin de la variable aleatoria : X = Nmero de bolas rojas en cada eleccin (con y sin reemplazo). Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2Escogemos con reemplazo:Escogemos sin reemplazo:

HipergeomtricaN = 24X = 8n = 5Binomialn = 5p = 8/24 =1/3xError00.10280.1317-0.028910.34260.32920.013320.36890.32920.039730.15810.1646-0.006540.02640.0412-0.014850.00130.0041-0.0028P(x)P(x)N = 240X = 80n = 5n = 5p = 80/240 =1/3xP(x)Error00.12890.1317-0.002810.33060.32920.001420.33270.32920.003530.16420.1646-0.000440.03980.0412-0.001450.00380.0041-0.0003P(x)Observa que si N, A, N-A son grandes comparados con n no hay gran diferencia en qu distribucin empleemos. La distribucin binomial es una aproximacin aceptable a la hipergeomtrica si n < 5% de N.

Distribucin de PoissonY aplicaciones

Introduccin Los parmetros que identifican a la distribucin binomial son: probabilidad de xito p y el nmero de ensayos n.Cuando la probabilidad p se aproxima a cero (P

DefinicinEl modelo de la distribucin de Poisson est definida como:P( X= k ) =e-k, k=0, 1, 2, 3, ...; k donde = n pAdems se cumple de que:a. P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + . . . =1b. 0 P( X= k ) 1.La media aritmtica y varianza de esta distribucin es: = , = respectivamente.

Caractersticas de la distribucin de Poisson= 0.5= 612345X246810XMediaDesviacin estndarEX() 0.2.4.60P(X) 0.2.4.60P(X)Nota: el mximo de la distribucinse encuentra en x

Distribucin de Poisson para varios valores de . La distribucin de Poisson se obtiene como aproximacin de una distribucin binomial con la misma media, para n grande (n > 30) y p pequeo (p < 0,1). Queda caracterizada por un nico parmetro (que es a su vez su media y varianza).

= n p =

Ejemplo 1La probabilidad de muerte resultante del uso de pldoras anticonceptivas es de 3/100.000. De 100.000 mujeres que utilizan este medio de control de natalidad, se pide: a. Cuntas muertes se espera debida a esta causa? b. Cul es la probabilidad de que haya, como mximo, 2 de estas muertes? c. Cul es la probabilidad de que el nmero de muertes debidas a esta causa est entre 1 y 5 inclusive?

Ejemplo 2 El nmero de colonias de bacterias en una muestra de agua tiene una distribucin de Poisson con una media de 2 colonias/cm3 Si se toma una muestra de 1 cm3, determine la probabilidad de que la muestra tenga una o ms colonias de bacterias.

DISTRIBUCION NORMAL

DISTRIBUCION NORMALEs una distribucin de probabilidad de variable continua.El matemtico Gauss contribuy notablemente en el estudio y difusin de esta distribucin.La mayora de las variables continuas tienen polgonos de frecuencias que permiten visualizar un aumento gradual hasta llegar a un mximo y luego un descenso igualmente gradual. As:

Como toda figura geomtrica en el plano, la curva normal posee una frmula o ecuacin denominada tambin funcin de densidad de la variable aleatoria continua que es la siguiente:Donde: y = ordenada de la curva en el punto x = media aritmtica de la distribucin = desviacin estndar de la distribucin

Caractersticas ms importantes de la distribucin normalEs simtrica respecto a la media, .La media, la mediana y la moda son iguales.El rea total debajo de la curva y por encima del eje x es igual a una unidad cuadradaSi se levantan perpendiculares a una distancia de una desviacin estndar a ambos lados de la media, se habr delimitado aproximadamente el 68.26% del rea total.

Si se extienden estas perpendiculares hasta dos desviaciones estndar, se define como 95.44% del rea total y con 3 desviaciones estndar aproximadamente el 99.74%. As:5. La normal queda completamente determinada por los parmetros y

Distribucin normal unitaria o normal estndarTiene una media de cero y desviacin estndar de uno

Se obtiene a partir de la ecuacin (1), haciendo =0, =1 y x - = z Donde z es una variable aleatoria con distribucin normal.

Clculo de rea o probabilidad en la curva normal estndarSe utiliza la tabla de reas.Ejemplo 1: Calcular el rea entre z= - y z=2Solucin:Se recomienda graficar la curva normal y sombrear el rea solicitada para facilitar la resolucin del problema. As:

De la tabla de reas se obtiene:P( Z 2) = 0,9772Interpretacin: La probabilidad de que la variable z asuma valores entre - y 2 inclusive, es 0,9772

Ejemplo 2:Si de la poblacin de posibles valores de z, se elige uno al azar, cul es la probabilidad de que se encuentre entre 0,84 y 2,45 inclusive?

Solucin:La pregunta permite calcular:P(0,84 Z 2,45) = ?Veamos el grfico siguiente:

De la tabla: rea entre - y z=2,45 0,9929 rea entre - y z=0,84 0,7995P(0,84 Z 2,45) = 0,9929 - 0,7995= 0,1934Interpretacin: La probabilidad de que una z elegida al azar quede entre 0,84 y 2,45 es de 0,1934 el 19,34% de los valores de z estn entre 0,84 y 2,45.

Ejemplo 3:Calcular P( z2,71).Solucin: Graficando:

Interpretacin:La probabilidad de que un valor de z sea mayoro igual a 2,71 es de 0,0034.

Clculo de reas en una curva normal cualquieraEjemplo:Los niveles de colesterol total en la poblacin general se distribuyen normalmente con =200 y = 20. Si de esta poblacin se selecciona un sujeto al azar, cal es la probabilidad de que: tenga un valor entre 170 y 230?Solucin:

Se solicita: P(170X230)=?. En el grfico, el rea que debemos calcular aparece sombreada:Se transforman o estandarizan los valores de xi en trminos de z.

Luego: P(170X230)= P(-1,50Z1,50)=?.De la tabla: P(-1,50z1,50)= 0,9332 - 0,0668 = 0,8664Interpretacin:La probabilidad de que un sujeto seleccionado al azar tenga un nivel de colesterol entre 170 y 230, es de 0,8664

b. Tenga un valor de 270 ms.Solucin:p(x270) =?Clculo de z:z= 270 200=3,50 20

Luego:P(X270)=P(Z3,50)= 1 - 0,9998= 0,0002.Interpretacin:La probabilidad de que un sujeto elegido al azar tenga un nivel de colesterol de 270 ms, es de 0,0002

b.1 Calcular el valor de la mediana y modaC. A partir de que valor del colesterol se localiza el 10% superior de la poblacin?D. Entre que valores de colesterol se localiza el 80% central de la poblacin?

Distribucin de probabilidadExponencial

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