Probabilidad, Distribucion Normal y Binomial

REVISTA TU PROBABILIDAD

Elaborado por Yulimar Cedeño Tutor: Maria Paredes

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Conceptos

Básicos

Pasatiempos

Conclusiones

Ejercicios

Propuestos

•La Teoría de Probabilidades es actualmente una rama

muy desarrollada de las Matemáticas. Los primeros

matemáticos que se ocuparon de estudiar algunas leyes

que gobiernan los sucesos azarosos o aleatorios

(sucesos como el lanzamiento de dados, cuyo resultado

no es predecible con exactitud), lo hicieron motivados

por la práctica de juegos de azar. Entre los más

importantes matemáticos que iniciaron el estudio de la

Teoría de Probabilidades están Cardano (s.XVI, Italia),

Fermat y Pascal (s.XVII,Francia).

PROBALIDIAD Y ESTADISTICA

•Cuando se realiza un experimento aleatorio, como el

lanzamiento de una moneda al aire, para luego

observar cuál superficie muestra la moneda al caer al

suelo, se deben precisar ciertas características del

experimento, si se desea aplicar la Teoría de

Probabilidades a su estudio. La primera de estas

características que debe conocerse es el conjunto de

todos los resultados posibles. Este conjunto se llama

``Espacio Muestral'', y en el caso del lanzamiento de la

moneda, está constituido por dos resultados: cara y

sello. Si se tratase del experimento de lanzar un dado

para observar el número obtenido, el espacio muestral

sería:

CONCEPTOS BASICOS


Gerolamo Cardano Matemático (1501 Pavía, ducado de Milán, 1576 Roma, actual Italia) Cardano nació el 24 de septiembre de 1501 en Pavía, ducado de Milán y murió en Roma el 21 de septiembre de 1576. Fue hijo ilegítimo de Fazio Cardano y Chiara Micheria. Gerolamo una vez acabados sus estudios intentó ejercer medicina en su Milán natal, pero debido a su mala reputación fue rechazado continuamente por el colegio de médicos. Mientras estuvo inhabilitado para ejercer la medicina, Cardano, en 1533, volvió al juego para poder subsistir, pero te fue tan mal que tuvo que empeñar las joyas de su esposa Lucía, con quien se había casado en 1531. En 1539, Cardano publicó sus dos primeros libros. Uno de ellos fue La práctica de Aritmética y las mediciones simples. Este fue el comienzo de una prolífica carrera literaria sobre Medicina, Filosofía, Astronomía, Teología, además de Matemática. Cardano fue un ardiente astrólogo, llevaba amuletos y predecía el futuro durante las tormentas. También escribió sobre el juego. Enfermo, en 1565 Ferrari regresa a Bolonia para enseñar Matemática. Allí es envenenado con arsénico por su propia hermana. En 1570 fue encarcelado por herejía por realizar el horóscopo de Jesús y por escribir el libro "En homenaje a Nerón", el odiado emperador anticristiano. Sorprendentemente, salió de prisión poco después y se trasladó a Roma como astrólogo de la corte papal. También publicó Liber de ludo aleae, que contiene algunos de los primeros trabajos sobre probabilidad, en los que aprovechó su experiencia como jugador y una autobiografía extremadamente franca, De propria vita, que adquirió cierta fama. Hay una leyenda que mantiene que mediante la astrología predijo el día de su muerte, el 20 de septiembre de 1576, y que se suicidó para hacer correcta la predicción. Pero Cardano ha pasado a la historia porque se apropió de los resultados de Tartaglia y de Nicolo Ferrari, los descubridores de la solución de la ecuación cúbica y cuártica, publicándolos antes que ellos.


Teoría

Teoría de la probabilidad

La probabilidad constituye un importante parámetro en la

determinación de las diversas casualidades obtenidas tras una serie de eventos esperados dentro de un rango estadístico.

Existen diversas formas como método abstracto, como la teoría

Dempster-Shafer y la teoría de la relatividad numérica, esta última con un alto grado de aceptación si se toma en cuenta que disminuye

considerablemente las posibilidades hasta un nivel mínimo ya que

somete a todas las antiguas reglas a una simple ley de relatividad.

La probabilidad de un evento se denota con la letra p y se expresa en términos de una fracción y no en porcentajes, por lo que el valor de

p cae entre 0 y 1. Por otra parte, la probabilidad de que un evento "no ocurra" equivale a 1 menos el valor de p y se denota con la letra

q

Los tres métodos para calcular las probabilidades son la regla de la

adición, la regla de la multiplicación y la distribución binomial.

Regla de la adición

La regla de la adición o regla de la suma establece que la

probabilidad de ocurrencia de cualquier evento en particular es igual a la suma de las probabilidades individuales, si es que los eventos

son mutuamente excluyentes, es decir, que dos no pueden ocurrir al

mismo tiempo.

P(A o B) = P(A) U P(B) = P(A) + P(B) si A y B son mutuamente

excluyente. P(A o B) = P(A) + P(B) − P(A y B) si A y B son no

excluyentes.

Siendo: P(A) = probabilidad de ocurrencia del evento A. P(B) = probabilidad de ocurrencia del evento B. P(A y B) = probabilidad de

ocurrencia simultánea de los eventos A y B.

Regla de la multiplicación

La regla de la multiplicación establece que la probabilidad de ocurrencia de dos o más eventos estadísticamente independientes es

igual al producto de sus probabilidades individuales.

P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B) si A y B son independientes. P(A y B) = P(A B) = P(A)P(B|A) si A y B son dependientes

EJERCICIO 1. Un examen consta de 6 preguntas con 4 posibles

respuestas cada una, de las que sólo una de ellas es correcta. Un estudiante que no se había preparado la materia Responde completamente al azar marcando una respuesta aleatoriamente. Calcula la Probabilidad de que acierte 4 o más preguntas.

Datos:

P= (x=k) = n pk q n-k



Distribución binomial

La probabilidad de ocurrencia de una combinación

específica de eventos independientes y mutuamente

excluyentes se determina con la distribución binomial,

que es aquella donde hay solo dos posibilidades, tales

como masculino/femenino o si/no.

1. Hay dos resultados posibles mutuamente excluyentes en cada ensayo u observación.

2. La serie de ensayos u observaciones constituyen eventos independientes.

3. La probabilidad de éxito permanece constante de ensayo a ensayo, es decir el proceso es estacionario.

Para aplicar esta distribución al cálculo de la

probabilidad de obtener un número dado de éxitos en

una serie de experimentos en un proceso de

Bermnoulli, se requieren tres valores: el número

designado de éxitos (m), el número de ensayos y

observaciones (n); y la probabilidad de éxito en cada

ensayo (p).

Entonces la probabilidad de que ocurran m

éxitos en un experimento de n ensayos es:

P (x = m) = (nCm)(Pm)(1−P)n−m

Siendo: nCm el número total de combinaciones

posibles de m elementos en un conjunto de n

elementos.

En otras palabras P(x = m) =

[n!/(m!(n−m)!)](pm)(1−p)n−m

Ejemplo. La probabilidad de que un alumno apruebe la

asignatura Cálculo de Probabilidades es de 0,15. Si en

un semestre intensivo se inscriben 15 alumnos ¿Cuál es

la probabilidad de que aprueben 10 de ellos?

P(x = 10) = 15C10(0,15)10

(0,85)5 =

15!/(10!(15−10)!)(0,15)10

(0,85)5 = 7,68 * 10

−6

Generalmente existe un interés en la probabilidad

acumulada de "m o más " éxitos o "m o menos" éxitos

en n ensayos. En tal caso debemos tomar en cuenta

que: P(x < m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x =

3) +....+ P(x = m − 1)

P(x > m) = P(x = m+ 1) + P(x = m+ 2) + P(x = m+3)

+....+ P(x = n)

P(x ≤ m) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3)

+....+ P(x = m) Supongamos que del ejemplo anterior se desea saber la probabilidad de que aprueben: a.− al menos 5 b.− más de 12 a.− la probabilidad de que aprueben al menos 5 es: P(x ≥ 5) es decir, que: 1 - P(x < 5) = 1 - [P(x = 0)+P(x = 1)+P(x = 2)+P(x = 3)+P(x = 4)] = 1 - [0,0874 + 0,2312 + 0,2856 + 0,2184 + 0,1156] = 0,0618 Nota: Al menos, a lo menos y por lo menos son locuciones adverbiales sinónimas.

n=5 q=1-p

p=0,4 q=1-0,4

q= 0,6 q=0,6

k=3

2. La probabilidad de que un cazador novato cobre una pieza es 0,4. Si lo intenta 5 veces, calcula la probabilidad de que cobre una pieza al menos 3 veces. Datos:



Distribución Normal

Esta distribución es frecuentemente utilizada en las aplicaciones

estadísticas. Su propio nombre indica su extendida utilización,

justificada por la frecuencia o normalidad con la que ciertos

fenómenos tienden a parecerse en su comportamiento a esta

distribución.

Muchas variables aleatorias continuas presentan una función de

densidad cuya gráfica tiene forma de campana.

En otras ocasiones, al considerar distribuciones binomiales, tipo

B(n,p), para un mismo valor de p y valores de n cada vez mayores, se

ve que sus polígonos de frecuencias se aproximan a una curva en

"forma de campana".

En resumen, la importancia de la distribución normal se debe

principalmente a que hay muchas variables asociadas a fenómenos

naturales que siguen el modelo de la normal.

Caracteres morfológicos de individuos (personas, animales, plantas,…)

de una especie, p. ejm. Tallas, pesos, envergaduras, diámetros,

perímetros…

Caracteres fisiológicos, por ejemplo; efecto de una misma dosis de un

fármaco, o de una misma cantidad de abono.

Caracteres sociológicos, por ejemplo: consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos, puntuaciones de examen.

Caracteres psicológicos, por ejemplo: cociente intelectual, grado de

adaptación a un medio……

Errores cometidos al medir ciertas magnitudes.

Valores estadísticos maestrales, por ejemplo: la media.

Otras distribuciones como la binomial o la de Poisson son

aproximaciones normales…


Función De Densidad

Empleando cálculos bastante laboriosos, puede demostrarse que el modelo de la función de

densidad que corresponde a tales distribuciones viene dando por la fórmula

Tipo Binomial

n= 100 q=0,75

p= 0,25

B (100;0,25)



La Distribución Binomial

Funciones de probabilidad:

Llamamos función d probabilidad f a la aplicación de E(X) (Espacio Muestral) en el

intervalo [0,1] QUE VERIFICA:

f(A)= p (A)

Básicamente se trata de estudiar la probabilidad como una función utilizando para su

estudio todas las propiedades de las funciones.

La Distribucion Binomial:

Llamamos experiencia aleatoria dicotómica a aquella que solo puede tener dos posibles

resultados A y A'. Usualmente A recibe el nombre de éxito, además representaremos como

p= p(A) y q=1-p=p(A’).

A la función de probabilidad de una variable aleatoria X resultado de contar el número de

éxitos al repetir n veces una experiencia aleatoria dicotómica con probabilidad de éxito p la

llamamos distribución binomial y la representamos por B (n, p)

Para esta distribución se verifica que, la variable X puede tomar los valores:

0,1,2,…, n

y que la variable toma cada uno de estos valores con probabilidad:

p( X = r ) = (nr) pr (1 – p) n-r

Parámetros de una distribución binomial:

Esperanza: n · p

Desviación típica (n · p · q )0.5 ( raíz cuadrada)

Ajuste de una serie de datos a una distribución binomial:

Disponemos de una serie de k datos que toman los valores 0,1, … ,n.

Para saber si estos datos siguen pueden aproximarse por una distribución binomial:

Calculamos la media de los k datos y la igualamos a la Esperanza teórica de la Binomial (n

· p).

Despejamos de aquí el valor de p.

Calculamos los valores teóricos de p(X = r), multiplicándolos por k para obtener los valores

teóricos de cada posible valor de la variable aleatoria en series de k datos.

Si la diferencia es " suficientemente pequeña " aceptamos como buena la aproximación

Binomial, si no, la rechazamos.

(nota: la fundamentación estadística que nos permitiría decidir de manera objetiva si la

diferencia entre los datos teóricos y los reales es "suficientemente pequeña" escapa de los

objetivos de esta unidad didáctica, con lo cual la decisión se deberá tomar de manera

subjetiva)

Si su puntuación ha sido 9 está una desviación típica por encima de la media. Si su puntuación ha sido 8,es 2:

1,5=1,3,desviaciones típicas superior a la media, por lo tanto su puntuación relativa ha sido mejor en la Empresa B

EMPRESA A

EMPRESA B


4 3 2 1 1 2 3 4

0

X1 X2

0,20 0,20

Hallar X1 y X2 t= 25 µ=100

Infradotados los de menos de 79 puntos Superdotados los mas de 121 puntos


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