La distribución binomial se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados.

Por ejemplo: 

Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra.

En el deporte un equipo puede ganar o perder.

En pruebas de cierto o falso sólo hay dos alternativas.

También se utiliza cuando el resultado se puede reducir a dos opciones.

Por ejemplo:

Un tratamiento médico puede ser efectivo o inefectivo.

La meta de producción o ventas del mes se pueden o no lograr.

En pruebas de selección múltiple, aunque hay cuatro o cinco alternativas, se pueden clasificar como correcta o incorrecta.

Estos ejemplos los podemos considerar como“experimentos de Bernoulli”

1 - En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: éxitos o fracasos.

2 - El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.

3 - La probabilidad de un suceso es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad del complemento es 1- p  y la representamos por q .

Si repetimos el experimento n veces podemos obtener resultados para la construcción de la

distribución binomial.

La distribución de probabilidad binomial es un ejemplo de distribución de probabilidad discreta.

Esta formada por una serie de experimentos de Bernoulli. Los resutados de cada experimento son mutuamente excluyentes.

Para contruirla necesitamos:

1 - la cantidad de pruebas n

2 - la probabilidad de éxitos p

3 - utilizar la función matemática.

A continuación vemos La función de probabilidad de la distribución Binomial, también denominada Función de la distribución de Bernoulli:

k - es el número de aciertos. n - es el número de experimentos. p - es la probabilidad de éxito, como por ejemplo, que salga "cara" al lanzar la moneda.1-p - también se le denomina como “q ”

¿Cuál es la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una

moneda 10 veces?

El número de aciertos k es 6. Esto es x=6

El número de experimentos n son 10

La probabilidad de éxito p, es decir, que salga "cara" al lanzar la moneda es 50% ó 0.50

La fórmula quedaría:

P (k = 6) = 0.205

Es decir, que la probabilidad de obtener 6 caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .

¿Cuál es la probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?

El número de aciertos k es 4. Esto es x=4

El número de experimentos n son 8

La probabilidad de éxito p (probabilidad de que salga un 3 al tirar el dado) es 1 / 6 (= 0.1666)

La fórmula queda:

P (k = 4) = 0.026

Es decir, que la probabilidad de obtener cuatro veces el números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.

Utilizando la tabla de probabilidad binomial se pueden resolver los ejemplos anteriores.

Para esto debe saber los valores k y B (n,p) . k es el número de éxitos que buscamos. Este valor se

encuentra entre 0 y n. En el parámetro B(n,p), n debe ser mayor de 0 y p un valor

desde 0 al 1.

En los ejemplos 1 y 2 los parámetros B(n,p) son B(10,0.50) y B(8,0.1666) respectivamente.

Obtenga más información de cómo asignar probabilidades utilizando las tablas.

Cuando llegue al enlance lea las primeras 6 preguntas con sus

respuestas y luego practique con los ejercicios 1.1

Busque en la tabla de probabilidad binomial

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(12, 0.05). Debemos calcular la probabilidad de que x sea igual a k que en este caso es 2. Esto es P (k=2).

Busque en la parte izquierda de la tabla n=12, luego en la parte superiror p=0.05 . La probabilidad estará en x=2

El resultado es 0.0988

En una fábrica de cámaras el 5% sale con defectos. Determine la probabilidad de que en una muestra de 12 se encuentren 2 cámaras defectuosas.

Compruebe el cómputo utilizando una calculadora de probabilidad binomial

Vea otros ejemplos en este enlace

Solución :

Se trata de una distribución binomial de parámetros B(15, 0.10). Debemos calcular la probabilidad  P(X=3).

El resultado es 0.1285

En una oficina de servicio al cliente se atienden 100 personas diarias. Por lo general 10 personas se van sin recibir bien el servicio. Determine la probabilidad de que en una encuesta a 15 clientes 3 no hayan recibido un buen servicio.

Observe el cambio de la distribución variando el parámetro B(n,p)

Cuando llegue al enlance entre:n en “Number ot trials” p en “Prob. of Success”

Presente una descripción escrita de las observaciones que obtiene al variar los valores n y p.

1 7

C a r a c t e r í s t i c a s d e l a d i s t r i b u c ió n b in o m ia l

n = 5 p = 0 . 1

n = 5 p = 0 . 5

M e d i a

= E ( X ) = n p

= 5 · 0 . 1 = 0 . 5

= 5 · 0 . 5 = 0 . 2 5

D e s v i a c i ó n e s t á n d a r

0. 2. 4. 6

0 1 2 3 4 5

X

P ( X )

. 2

. 4

. 6

0 1 2 3 4 5

X

P ( X )

0

1.1)5.01(5.05

67.0)1.01(1.05

)1(

pnp

En este módulo hemos determinado la probabilidad binomial mediante el uso de la función binomial, tablas de distribución y la calculadora del enlace. Además, aprendimos que:

◦ La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli  

◦ La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el

producto de n x p

◦ La desviación estándar (σ ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q.

◦ El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.

Aproximación de la

distribución binomial por la normal

Experiencia interactiva, ejemplos y ejercicios relacionados a la aproximación binomial por la normal

Una distribución binomial B (n, p) se puede aproximar por una distribución normal, siempre que n sea grande y p no esté muy próxima a 0 ó 1. La aproximación consiste en utilizar una distribución normal con la misma media y desviación típica de la distribución binomial.

En la práctica se utiliza la aproximación cuando:

n>30, np>5, nq>5

En cuyo caso : x= B(n,p) se puede aproximar a N(μ=np, σ = npq )

Lea el Módulo de la distribución

normal

Repaso de conceptos

Observe un vídeo de repaso de la distribución de probabilidad binomial

Cuando llegue al enlace haga click en la columna izquierda en

Bernoulli y continúe observando el video de

Binomial

Distribución de probabilidad discreta - distribución con un número finito de valores.

Distribución binomial – Distribución discreta que se aplica cuando se realizan más de una vez y de forma independiente el experimento de Bernoulli.

Experimento de Bernoulli – Experimento con dos posibles resultados (éxito o fracaso).

Experimento independiente – Cuando el resultado de un experimento no tiene influencia en el resultado de otro experimento

Éxitos – Es la ocurrencia del evento de interés como cantidad de defectos, llamadas recibidas, servicios completados.

Fracasos – Es el complemento de los éxitos. Es la ocurrencia del evento que no es de interés.

Resultados mutuamente excluyentes – Son resultados que no pueden ocurrir al mismo tiempo. Si un producto sale bueno, no puede salir defectuoso al mismo tiempo.