DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Existen distribuciones de probabilidad conocidas que se adaptan a ciertos resultados de experimentos aleatorios, las cuales se diferencian por el tipo de variable aleatoria y el experimento, algunas de ellas que tienen aplicaciones usuales son

VARIABLE DISCRETA VARIABLE CONTINUA

Bernoulli

Binomial

Geométrica

Hipergeométrica

Poisson

Pascal

Uniforme

Exponencial

Normal

Gamma

Ji – cuadrado

t de Student

DISTRIBUCION DE BERNOULLI

Una prueba de Bernoulli es un experimento aleatorio que consiste de solo dos resultados posibles mutuamente excluyentes.

Dado que los resultados pueden ser solo dos se suele llamar a uno de ellos éxito (E) y al otro fracaso(F)

EJEMPLOS:

a) Elegir un producto de un lote de artículos y determinar su estado bueno o defectuoso

b) Lanzar una moneda y analizar su resultado, cara o sello

c) La respuestas a un cuestionario de preguntas, verdadero o falso

La variable aleatoria X se define como el número de éxitos

en un ensayo de Bernoulli

={E, F}

Denotando como P(E) = p y P(F) = q = 1 – p , de acuerdo a la variable aleatoria tendríamos

P[X=1] = p

P[X=0] = q = 1 – p

DISTRIBUCION BINOMIAL

Un experimento es binomial si se realizan 𝒏 repeticiones de un experimento aleatorio de Bernoulli el cual se caracteriza por

a) La probabilidad de éxito es invariante en cada prueba

b) Los resultados de cada prueba son mutuamente excluyentes

c) Las 𝒏 pruebas son independientes

Se denomina variable Binomial a la variable aleatoria X definida como el numero de éxitos que ocurren en las 𝒏 pruebas de Bernoulli así los posibles valores de X son: 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏

Por consiguiente la probabilidad de obtener x éxitos en n pruebas de Bernoulli es

donde 𝒙 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, … , 𝒏

p es la probabilidad de éxito

q es la probabilidad de fracaso (q=1- p)

n numero de ensayos

Además

xnxqpx

nxXPxf

][)(

npqXVar

npXE

)(

)(

2

EJEMPLO:

Considere un experimento Binomial con 𝑛 = 20 y 𝑝 = 0.7, entonces la función de distribución de probabilidad es

y su grafica correspondiente es como sigue

xx

xxXPxf

203.07.0

20][)(

EJEMPLO:

Se tiene un experimento binomial con

n=12 y p=0.7

Determine lo indicado y compare sus

respuestas usando la grafica

proporcionada de esta función de

distribución

a) f(8) b) P[ X = 6 ] c) 𝑃[𝑋 ≥ 3] d) 𝑃[9 < 𝑋 ≤ 11] e) 𝑃[𝑋 ≤ 2] f) E(X) , Var(X) y

EJEMPLO: Un fabricante de marcos para ventanas sabe, con base a su larga experiencia, que el 5% de su producción tendrá algún pequeño defecto que requerirá ajuste. ¿Cuál es la probabilidad de que, en una muestra de 20 marcos?

a) Ninguno requiera ajuste

b) Al menos uno requiera ajuste

c) Más de dos requieran ajuste

EJEMPLO: De acuerdo con la Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990), aproximadamente 30% de todas las fallas de operación de tuberías en plantas químicas son ocasionadas por errores de operador

a) Cual es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas al menos 10 se deban a error del operador

b) Cual es la probabilidad de que no mas de cuatro de 20 fallas se deban a error del operador

c) Cual es la probabilidad de que de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas exactamente cinco sean de errores de operación

EJEMPLO: Un fabricante de piezas de automóviles garantiza que una caja de sus piezas contendrá, como máximo, dos defectuosos. Si la caja contiene 20 piezas y la experiencia ha demostrado que ese proceso de fabricación produce 5% de piezas defectuosas ¿Cual es la probabilidad de que una caja satisfaga la garantía?

EJEMPLO: Si el 90% de todos los solicitantes para cierto tipo de hipoteca no llenan correctamente el formato de solicitud en la primera remisión ¿Cuál es la probabilidad de que entre 15 de estos solicitantes seleccionados al azar

a) Por lo menos 12 no la llenen a la primera remisión?

b) Entre 10 y 13 inclusive no la llenen a la primera remisión?

c) A lo sumo 2 llenen correctamente sus formatos antes de la remisión inicial?