Binomial Negativa

1

Introduccion al Tema 7

Tema 6. Variables aleatorias unidimensionalesDistribucion.

Caracterısticas: media, varianza, etc.

Transformaciones.

V.A. de uso frecuente

Tema 7. Modelos probabilısticos discretosUniforme discreta.Bernoulli, binomial, geometrica y binomial negativa.HipergeometricaPoisson.

Tema 8. Modelos probabilısticos continuos

Introduccion a la Estadıstica Andres M. Alonso

2

Tema 7. Modelos probabilısticos discretos

Los contenidos a desarrollar en este tema son los siguientes:

La distribucion uniforme discreta.

Ensayos de Bernoulli.

Distribuciones binomial, geometrica y binomial negativa.

La distribucion hipergeometrica.

Sucesos raros y la distribucion de Poisson.

Aproximacion a la binomial con p pequeno.

Lecturas recomendadas: Capıtulo 16 del libro de Pena y Romo (1997) y lassecciones 4.5 a 4.7 de Newbold (2001).


3

Distribucion uniforme discreta

Una variable aleatoria X se dice que tiene una distribucion uniforme discretasobre n puntos {x1, x2, . . . , xn} si su funcion de probabilidad es:

Pr(X = xi) =1n, para todo i ∈ {1, 2, . . . , n}.

Media: E[X] =∑n

i=1 xi Pr(X = xi) = 1n

∑ni=1 xi = x.

Momento de orden p: E[|X|p] = 1n

∑ni=1 |xi|p.

Varianza: V [X] = E[X2]− E2[X] = 1n

∑ni=1 x2

i − x2 = 1n

∑ni=1(xi − x)2.

I Si {x1, x2, . . . , xn} es a su vez una muestra aleatoria, el proceso de tomarmuestras de la variable X es lo que se conoce en la literatura como bootstrap.

I Como vemos, en ese caso, la variable X reproduce las caracterısticas (media,varianza, momentos) de la muestra original.


4

Distribucion uniforme discreta - Ejemplo

Ejemplo 1. Suponga que tiramos una vez un dado no trucado. Defina unavariable aleatoria que modele el resultado de la tirada y diga su funcion demasa, media y varianza.

X = i si en la tirada del dado sale el numero i, con i ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Pr(X = i) = 1/6, es decir, todos los resultados son igualmente probables.

E[X] = 1+2+3+4+5+66 = 3,5.

V [X] = 12+22+32+42+52+62

6 −3,52 ≈ 2,9167.


5

El modelo de Bernoulli

Supongamos que hacemos un experimento simple de lanzar una vez unamoneda sesgada con p = Pr(cruz).

Definimos una variable X como

X ={

1 si sale cruz0 si sale cara

es decir que X = el numero de cruces.

En este caso, se dice que X tiene una distribucion de Bernoulli conparametro ppp.

Una variable con solo dos posibles resultados (cruz / cara, exito / fracaso, . . .)donde se da un valor de 1 en caso de cruz (exito) y 0 en caso de cara (fracaso)tiene una distribucion de Bernoulli. El experimento se llama un ensayo deBernoulli.


6

Media y varianza de una variable Bernoulli

Sea X una variable Bernoulli con parametro p:

E[X] = p× 1 + (1− p)× 0

= p

E[X2

]= p× 12 + (1− p)× 02

= p

V [X] = E[X2

]− E[X]2

= p− p2

= p(1− p)

DT [X] =√

p(1− p)


7

Ejemplo 2. Se sabe que una maquina produce un 3% de piezas defectuosas.Elegimos una pieza al azar para comprobar si no presenta defectos.

¿Como se distribuye la variable X que vale 1 si la pieza no es defectuosa y 0si es defectuosa?

¿Cuales son su media y su varianza?

X sigue una distribucion Bernoulli con parametro 0,97.

Su media y varianza son

E[X] = ,97

V [X] = ,97× ,03

= ,0291

Ejemplo tomado de Pe~na y Romo (1997).


8

Distribucion binomial

Supongamos ahora que se repite un ensayo de Bernoulli n veces de formaindependiente. Por ejemplo, se tira n veces una moneda con p = Pr(cruz), yque se quiere la distribucion de X = el numero de cruces. Esta distribucion sellama la distribucion binomial con parametros n y p.

Definicion 1. Una variable X tiene distribucion binomial con parametrosnnn y ppp si

Pr(X = x) =(

nx

)px(1− p)n−x

para x = 0, 1, . . . , n donde

(nx

)= n!

x!(n−x)!. En este caso, se escribe

X ∼ B(n, p).

Por tanto, la distribucion Bernoulli es el caso especial X ∼ B(1, p).


9

Ejemplo 3. La probabilidad de que Ronaldo marque un gol de penalti es 0,8.

¿Cual es la distribucion del numero de goles que marca en los siguientes 6

penaltis? Supuestos

X ∼ B(6, 0,8)

¿Cual es la probabilidad de que marque todos los 6 penaltis?

Pr(X = 6) =(

66

)0,86(1− 0,8)6−6 ≈ ,262

¿Y la probabilidad de que falle por lo menos uno?

Pr(X < 6) = 1− Pr(X = 6) = ,738


10

Ejemplo 4. Volviendo al Ejemplo 2, supongamos que se eligen 10 piezas alazar. Si X es el numero de piezas defectuosas, ¿cual es la distribucion de X?

X ∼ B(10, 0,03)

Igualmente, si Y es el numero de piezas buenas,

Y ∼ B(10, 0,97)

¿Cual es la probabilidad de que se encuentre por lo menos una pieza defectuosa?

Pr(X ≥ 1) = 1− Pr(X = 0)

= 1−(

100

)0,030(1− 0,03)10−0

≈ ,263


11

Media y varianza de una variable binomial

Teorema 1. Sea X ∼ B(n, p). Entonces,

E[X] = np

V [X] = np(1− p)

DT [X] =√

np(1− p)

Demostracion Propiedades de E[·] y V [·]

Escribimos X = X1 +X2 + . . .+Xn donde cada Xi es un ensayo de Bernoulli.

E[X] = E[X1 + X2 + . . . + Xn]

= E[X1] + . . . + E[Xn] = p + . . . + p = np

V [X] = V [X1 + X2 + . . . + Xn]

= V [X1] + . . . + V [Xn] = np(1− p).


12

Ejemplo 5. Volvemos a con el ejemplo de Ronaldo.

El numero medio de goles en 6 penaltis es

E[X] = 6× 0,8 = 4,8

La desviacion tıpica es

DT [X] =√

6× 0,8× 0,2 ≈ 0,98.

Ejemplo 6. El numero medio de piezas defectuosas en una muestra de 10 es

10× 0,03 = 0,3

La desviacion tıpica es √10× 0,03× 0,97 ≈ 0,54.


13

Uso de tablas de la distribucion binomial

Calcular directamente probabilidades binomiales a traves de la formula puedeser trabajoso. Mas facil es usar tablas de la distribucion binomial.

En Pena y Romo (1997), se proporcionan tablas de las probabilidades de kexitos en una distribucion binomial con n ensayos y probabilidad p de exito:

Ejemplo 7. Sea X ∼ B(15, 0,2). Hallar Pr(X = 3) y Pr(X ≤ 3).

Pr(X = 3) = 0,2501

Pr(X ≤ 3) =∑3

x=0Pr(X = x)

= ,0352 + ,1319 + ,2309 + ,2501

= ,6481

I Estas tablas solo consideran el caso p ≤ 0,5. ¿Que hacemos si p > 0,5?


14

Distribucion geometrica

Hemos visto que si se tira una moneda (con p = Pr(cruz)) n veces, entoncesel numero de cruces se distribuye como binomial.

Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a seguir tirando la monedahasta que veamos la primera cruz ¿Cuantas tiradas necesitamos?

Sea X el numero de tiradas.

Pr(X = 1) = p

Pr(X = 2) = (1− p)p

Pr(X = 3) = (1− p)2p... = ...

Pr(X = x) = (1− p)x−1p

La distribucion de X se llama la distribucion geometrica.


15

Definicion 2. Una variable X tiene una distribucion geometrica conparametro ppp si

Pr(X = x) = (1− p)x−1p para x = 1, 2, . . .

En este caso, se escribe X ∼ G(p).

Teorema 2. Si X ∼ G(p), entonces

E[X] =1p,

V [X] =1− p

p2y

DT [X] =√

1− p

p2.


16

Ejemplo 8. Volvemos al Ejemplo 3. Supongamos que Ronaldo esta ensayandotiros de penalti y que dejara de ensayar cuando marque por primera vez.

¿Cual es la probabilidad de que Ronaldo marque por primera vez en su quintopenalti?

Sea X el numero de penaltis que necesita para marcar su primer gol, suponemosque X ∼ G(0,8).

Pr(X = 5) = 0,24 × 0,8 = ,00128

¿Cual es el numero esperado de penaltis que necesita para marcar?

La esperanza de X es 1/0,8 = 1,2 penaltis.

Se ira pronto a casa ...


17

Ejemplo 9. En el Ejemplo 2, supongamos que se inspeccionaran piezas hastaencontrar la primera pieza defectuosa. ¿Cual es la probabilidad de que senecesiten inspeccionar 4 o menos piezas para encontrar la primera piezadefectuosa?

Sea Y el numero de inspecciones necesarias, suponemos que Y ∼ G(0,03).

Pr(Y ≤ 4) =4∑

y=1

Pr(Y = y)

=4∑

y=1

0,97y × 0,03

≈ 0,115

¿Cual es el numero esperado de inspecciones necesarias?

El numero esperado de inspecciones necesarias es 1/0,03 = 33.3.


18

Ejemplo 10. (Junio de 2003) Andres y Pedro se plantean el siguiente juego:se lanza al aire un dado equilibrado con seis caras numeradas de uno a seis. Seconsidera que el jugador gana cuando el resultado del dado es cuatro o seis, yrecibe diez euros. En otro caso, no recibe nada. Cada apuesta (un lanzamiento)es de cinco euros.

1) Si Andres juega en cinco ocasiones, ¿cual es la probabilidad de que aciertea lo sumo una vez?

2) ¿Cual es el numero medio de aciertos en esas cinco ocasiones?

3) Pedro jugara tantas veces como sea necesario hasta conseguir acertar unavez. Calcular la probabilidad de que tenga que jugar al menos tres veces.Obtener el numero medio de veces que tiene que jugar para conseguir suobjetivo.

4) ¿Cual sera el beneficio medio obtenido por cada jugador?


19

1) Sea X el numero de aciertos de Andres.

X ∼ B

(5,

13

)Pr(X = 1) =

(51

) (13

)1 (23

)4

=80243

≈ 0,329.

2) El numero medio de aciertos es 5× 13 ≈ 1,67.

3) Sea Y el numero de jugadas necesarios.

Y ∼ G(1/3)

Pr(Y ≥ 3) = 1− Pr(Y < 3) = 1− {Pr(Y = 1) + Pr(Y = 2)}

= 1−{

13

+23× 1

3

}=

49

= 0,44

El numero medio de jugadas necesarias es 11/3 = 3.


20

4) El beneficio medio de Andres serıa

E[10X] − 5× 5 = 10× 53− 25 = −25

3

es decir que en promedio, Andres pierde 8,33 euros.

El beneficio medio de Pedro es

10− E[5Y ] = 10 − 5× 3 = −5

y entonces, en promedio, Pedro pierde 5 euros.

I La estrategia de Pedro es mejor, en promedio, que la de Andres.


21

Distribucion binomial negativa

Hemos visto que si se tira n veces una moneda con p = Pr(cruz), entonces elnumero de cruces se distribuye como una binomial.

Consideramos otro experimento relacionado. Vamos a seguir tirando la monedahasta que obtengamos exactamente n cruces. ¿Cuantas caras (fallos) seobservan?

Sea X el numero de fallos. Para que X = x se necesita que:

En las primeras x + n− 1 tiradas haya exactamente n− 1 exitos.

La n-esima tirada sea un exito.

La variable X sigue una distribucion binomial negativa.


22

Definicion 3. Una variable X tiene una distribucion binomial negativa conparametros ppp y nnn si

Pr(X = x) =(

n + x− 1n− 1

)pn(1− p)x para x = 0, 1, 2, . . .

En este caso, se escribe X ∼ BN(p, n).

Teorema 3. Si X ∼ BN(p, n), entonces

E[X] =n(1− p)

p,

V [X] =n(1− p)

p2y

DT [X] =

√n(1− p)

p2.


23

Ejemplo 11. Volvemos al Ejemplo 3. Supongamos que Ronaldo esta ensayan-do tiros de penalti y que dejara de ensayar cuando marque 20 veces. ¿Cual esel numero esperado de tiros que fallara antes de irse a casa?

Sea X es el numero de fallos, suponemos que X ∼ BN(0,8, 20). La esperanzade X es 20(1− 0,8)

0,81/0,8 = 5 penaltis.

¿Cual es la probabilidad de que Ronaldo tire exactamente 25 veces?

Pr(X = 5) =(

20 + 5− 120− 1

)0,820(1− 0,8)5 = 0,1568.

¿Cual es la probabilidad de que falle mas de 5 veces?

Pr(X > 5) = 1− Pr(X ≤ 5) = 1−∑5

x=0Pr(X = x) ≈ 0,6167

Excel: NEGBINOMDIST(num fracasos;num exitos;prob exito)


24

Distribucion hipergeometrica

Supongamos que tenemos una poblacion de N individuos, D poseen unacaracterıstica dada (por ejemplo, estan empleados) y N −D no la poseen(desempleados).

Consideremos el experimento de obtener una muestra simultanea de nindividuos.

Equivalentemente, podemos ir extrayendo la muestra uno a uno hastatener los n individuos pero no “devolvemos” los individuos a la poblacion:Muestreo sin reemplazamiento.

Denotamos por X el numero de individuos que poseen la caracterıstica deinteres en la muestra de n.

La variable X sigue una distribucion hipergeometrica.


25

Definicion 4. Una variable X tiene una distribucion hipergeometrica conparametros NNN , DDD y nnn si

Pr(X = x) =

(Dx

) (N −Dn− x

)(

Nn

) ,

con max(0, n−N + D) ≤ x ≤ mın(D,n).

Teorema 4. Si X ∼ HG(N,D, n), entonces

E[X] =Dn

N, y V [X] =

D(N −D)n(N − n)N2(N − 1)

.

I Si llamamos p = DN , entonces E[X] = np y V [X] = np(1− p)N−n

N−1

I ¿Que nos recuerda el lımite N →∞ de E[X] y V [X]?

I ¿Que distribucion aproxima a la HG(N,D, n) cuando N →∞ y D/N → p?


26

Ejemplo 12. En estudio sobre la relacion entre el nivel de estudio y paro, serealiza una encuesta de 100 personas (sin reemplazamiento) en una comunidadcon 10000 personas en edad laboral y una tasa de paro del 5%. Sea X elnumero de personas encuestadas que estan en paro.

a) Proponga una distribucion para X y diga su funcion de masa, media yvarianza.

b) Calcule la probabilidad de obtener exactamente 5 personas en paro.

a) X ∼ HG(10000, 500, 100) cuya media es 5 y la varianza es 4,7030

b)

Pr(X = 5) =

(5005

) (950095

)(

10000100

) = 0,1809.

Si, “incorrectamente” hubiesemos utilizado una B(n = 100, p = 0,05) losresultados habrıan sido: Media = 5, Varianza = 4.7500, Pr(X = 5) = 0,1800.


27

Sucesos raros y la distribucion de Poisson

La distribucion del numero de “sucesos raros” (llamadas de telefono, emisionesde partıculas radioactivos, accidentes de trafico, numero de erratas) que ocurrenen un periodo fijo del tiempo (una hora, un segundo, un ano, una pagina) esla llamada distribucion Poisson.

Definicion 5. Una variable X tiene distribucion Poisson con parametro λλλsi

Pr(X = x) =λxe−λ

x!para x = 0, 1, 2, . . .

En este caso, se escribe X ∼ Poisson(λ).

Teorema 5. Si X ∼ Poisson(λ), entonces

E[X] = λ, V [X] = λ y DT [X] =√

λ.


28

Ejemplo 13. El numero medio de erratas por transparencia es 0,2. ¿Cual esla probabilidad de que en una transparencia no haya erratas?

Sea X el numero de erratas. Supondremos que X ∼ Poisson(0,2)

Pr(X = 0) =0,20e−0,2

0!= e−0,2 ≈ 0,8187

¿Y la probabilidad de que haya 2 o mas erratas?

Pr(X ≥ 2) = 1− Pr(X < 2)

= 1− Pr(X = 0)− Pr(X = 1)

= 1−(

0,20e−0,2

0!+

0,21e−0,2

1!

)≈ 1− (0,8187 + 0,1637) = 0,0176.


29

Teorema 6. Si X ∼ Pr(λ) es el numero de sucesos raros en una unidad detiempo e Y representa el numero de sucesos raros en un tiempo t, entonces

Y ∼ Pr(tλ).

Ejemplo 14. En promedio, hay 50 incendios serios cada ano en una localidad

a) ¿Cual es la probabilidad de que no haya ningun incendio manana?

El numero medio de incendios serios al t = ano es 50.

El numero medio de incendios serios en un dıa es 50365 ≈ 0,137, y si suponemos

que el numero de incendios es Poisson(0,137) tenemos que la probabilidad decero incendios manana es

0,1370e−0,137

0!≈ 0,872.

b) Dada la suposicion anterior, ¿cual es la distribucion del numero de incendiosen un ano?

Poisson(365× 0,137) = Poisson(50).


30

Ejemplo 15. Volvemos al Ejemplo 13. Este tema tiene 40 transparencias

¿Cual es el numero medio de erratas en el tema?

Sea Y el numero de erratas en el tema. Si X ∼ Poisson(0,2), entoncesY ∼ Poisson(40× 0,2) y E[Y ] = 8.

¿Cual es la probabilidad de que el tema contengan por lo menos una errata?

Pr(Y > 0) = 1− Pr(Y = 0)

= 1− 80e−8

0!≈ 1− 0,00034 = 0,99966

Ejercicio importante: Detectarla(s) antes del examen.


31

Tablas de la distribucion Poisson

Igual que con la distribucion binomial, en el libro de Pena y Romo (1997) haytablas de la distribucion Poisson para varios valores de λ.

Ejemplo 16. Si X ∼ Poisson(3). Hallar Pr(X = 2) y Pr(X ≥ 2).

Pr(X = 2) = 0,2240

Pr(X ≥ 2) = 1− Pr(X < 2)

= 1− Pr(X = 0)− Pr(X = 1)

= 1− 0,0498− 0,1494

= 0,8008

Excel: POISSON(x;media;acumulado)


32

Aproximacion de la distribucion binomial mediante ladistribucion Poisson

Sea X ∼ B(n, p) donde p es pequena y n es grande. Llamemos λ = np,

Pr(X = x) =(

nx

)px(1− p)n−x =

n!(n− x)!x!

(λ

n

)x (1− λ

n

)n−x

=n(n− 1) . . . (n− x + 1)

nx

λx

x!

(1− λ

n

)n−x

=n

n

(n− 1)n

. . .(n− x + 1)

n

λx

x!

(1− λ

n

)n−x

≈ λx

x!e−λ.

El resultado implica que para n grande (n > 50) y p pequeno, (p < 0,1) en-tonces se pueden aproximar probabilidades binomiales a traves de la distribucionPoisson.


33

Aproximacion de la distribucion binomial mediante ladistribucion Poisson

0 10 20 30 40 5010

-150

10-100

10-50

100

0 50 100 150 200

10-300

10-250

10-200

10-150

10-100

10-50

100

B(100, 1/100)B(200, 1/200)B(300, 1/200)B(400, 1/400)B(500, 1/500)B(600, 1/600)B(700, 1/700)B(800, 1/800)B(900, 1/900)B(1000, 1/1000)Poisson(1)

B(50, 0.01)P(0.5)B(50, 0.02)P(1.0)B(50, 0.03)P(1.5)B(50, 0.04)P(2.0)B(50, 0.05)P(2.5)B(50, 0.06)P(3.0)B(50, 0.07)P(3.5)B(50, 0.08)P(4.0)B(50, 0.09)P(4.5)B(50, 0.10)P(5.0)


34

Ejemplo 17. Sea X ∼ B(100, 0,05). Estimar Pr(X ≤ 3).

E[X] = 100× 0,05 = 5

Aproximando y usando las tablas de la distribucion Poisson, se tiene

Pr(X ≤ 3) =3∑

x=0

Pr(X = x)

≈ 0,0067 + 0,0337 + 0,0842 + 0,1404

= 0,2650

La solucion exacta usando la distribucion binomial es 0,2578, la diferencia es0,0072.

Excel: POISSON(x;media;acumulado)

DISTR.BINOM(num exito;ensayos;prob exito;acumulado)


35

Recapitulacion

Tema 7. Modelos probabilısticos discretos

Ensayos de Bernoulli.Distribuciones binomial,geometrica y binomial nega-tiva.

W V.A. Bernoulli y asociadas.

Distribucion hipergeometrica.W Muestreo en poblaciones

finitas.

Distribucion de Poisson.

Aproximacion a la binomial con ppequeno.

W Modelo para contarsucesos poco frecuentes


36

Tema 7. Variables aleatorias unidimensionalesDistribucion.

Caracterısticas: media, varianza, etc.

Transformaciones.

V.A. de uso frecuente

Tema 7. Modelos probabilısticos discretos XBernoulli, binomial, hipergeometrica, Poisson, etcetera.

Tema 8. Modelos probabilısticos continuos

Uniforme, exponencial, Pareto, Normal, etcetera.


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