Cálculo das Probabilidades I

Departamento de Estatística

Universidade Federal da Paraíba

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 1 / 1

Distribuição Binomial Negativa

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 2 / 1

Distribuição Binomial Negativa

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 3 / 1

Distribuição Binomial Negativa

A ideia é repetir o experimentos de Bernoulli de maneira independente eparar quando o evento de interesse ocorrer pela r-ésima vez.

Do mesmo modo que no caso da variável com distribuição geométrica,pode-se definir X de maneiras diferentes, cada qual dando origem a umavariação da distribuição Binomial Negativa.

O termo negativa vem da inversão do interesse de análise (número deobservações para r sucessos) em relação à distribuição binomial (númerode sucessos para n observações).

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 4 / 1

Distribuição Binomial NegativaPara que o r-ésimo sucesso ocorra na x-ésima tentativa é necessário quehaja um sucesso nesta tentativa e, além disso, hajam r-1 sucessos nas k-1tentativas anteriores, evento esse cuja probabilidade é dada peladistribuição binomial.

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 5 / 1

Distribuição Binomial Negativa

Esperança, Variância e Função Geradora de Momentos.

E(X)=r

p

Var(X)=r(1−p)

p2

MX (t)=� pet

1− (1−p)et

�r

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 6 / 1

Distribuição Binomial Negativa

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 7 / 1

Distribuição Binomial NegativaExemplo 2: Suponha que P(nascimentod emenino)= 0.5. Um casal quer terexatamente duas meninas e terá filhos até essa condição ser satisfeita.

a) Qual é a probabilidade da família ter x filhos homens?b) Qual é a probabilidade da família ter quatro filhos?c) Qual é a probabilidade de a família ter no máximo quatro filhos?d) Quantos filhos homens espera-se que essa família tenha?

Quantos filhos espera-se que essa família tenha?

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 8 / 1

Distribuição Binomial NegativaExemplo 2:

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 9 / 1

Distribuição Binomial NegativaExemplo 3: Uma lotação com capacidade para 5 passageiros, só pode parar noponto de ônibus. A probabilidade de haver uma pessoa esperando lotação em umponto de ônibus qualquer é de 0.3 e nunca há mais de um passageiro esperandoa lotação. Roberto espera a lotação no décimo ponto de ônibus. Sabendo-se quea lotação saiu vazia do ponto inicial, qual a probabilidade de conseguir o últimolugar na lotação?

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 10 / 1

Distribuição Binomial NegativaExemplo 4: Uma companhia recebeu uma encomenda para fundir 3 peçascomplicadas. A probabilidade de se conseguir um molde adequado é0.4, sendo omolde destruído quando da retirada da peça. O custo de cada molde é R$500,00e se o molde não for adequado, a peça é refugada, perdendo-se R$700,00 dematerial.

a) Qual a probabilidade de se fundir no máximo 6 peças para atendera encomenda?

b) Qual o preço a ser cobrado pelo serviço para se ter um lucroesperado de R$1000,00 na encomenda?

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 11 / 1

Distribuição Binomial NegativaExemplo 2:

Prof. Tarciana Liberal (UFPB) Aula Poisson 16/08 12 / 1