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INSTITUTO TECNOLOGICO SUPERIOR DE XALAPA

1

Contenido

I. TEMARIO 3

II. CRITERIO DE EVALUACIÓN 4

III. QUE ES LA DINÁMICA? 5

Dinámica 5

Historia 5

Cálculo en dinámica 6

Leyes de conservación 6

Ecuaciones de movimiento 7

Dinámica de sistemas mecánicos 8

Dinámica de la partícula 8

Dinámica del sólido rígido 8

Dinámica de medios continuos y teoría de campos 8

Conceptos relacionados con la dinámica 9

Inercia 9

Trabajo y energía 9

Fuerza y potencial 10

IV. UNIDAD 1 CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA 10

Conceptos fundamentales 10

Cinemática 10

Sistema de referencia 11

Partícula 11

Posición 12

Movimiento 12

Vector posición ( r ) 12

Ejemplo 13

Movimiento rectilíneo 13

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado 14

Expresiones para el movimiento rectilíneo uniforme 15

Movimiento rectilíneo conservativo[editar] 16

Movimiento armónico[editar] 16

Movimiento rectilíneo en mecánica relativista 17

Fuerza constante 17

Sistemas conservativos 17

Movimiento armónico 18

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS 18

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS 18

MOVIMIENTO DEPENDIENTES 19

2

Movimiento curvilíneo 20

ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO CURVILÍNEO 22

3

I. Temario

Unidad Temas Subtemas

1 Cinemática de partículas 1.1. Introducción

1.2. Movimiento rectilíneo

1.3. Movimiento de varias partículas

1.4. Movimiento curvilíneo.

2 Cinemática de los cuerpos rígido 2.1. Introducción

2.2. Traslación

2.3. Rotación con respecto un eje fijo.

2.4. Movimiento general en el plano.

3 Cinética de partículas 3.1. Introducción

3.2. Leyes del movimiento de Newton

3.3. Trabajo y energía.

3.4. Impulso y cantidad de movimiento.

4 Cinética de sistemas de partículas 4.1. Impulso y cantidad de movimiento.

5 Cinética de los cuerpos rígidos 5.1. Introducción

5.2. Ecuaciones de movimiento de un cuerpo

rígido

5.3. Momento angular de un cuerpo rígido en el

plano

5.4. Movimiento de un cuerpo rígido.

5.5. Segunda Ley de Newton.

5.6. Trabajo y energía.

5.7. Impulso y cantidad de movimiento.

6 Vibraciones mecánicas 6.1. Vibraciones sin amortiguamiento.

6.2. Vibraciones con amortiguamiento.

4

II. Criterio de evaluación

Examen 40%

Investigación 20%

Exposición 20%

Tareas 20%

5

Dinámica

III. Que es la dinámica?

Dinámica

La dinámica es la RAMA de la física que describe la evolución en el tiempo de un sistema físico en

relación con las causas que provocan los cambios de estado físico y/o estado de movimiento. El

objetivo de la dinámica es describir los factores capaces de producir alteraciones de un sistema

físico, cuantificarlos y plantear ecuaciones de movimiento o ecuaciones de evolución para dicho

sistema de operación. El estudio de la dinámica es prominente en los sistemas mecánicos (clásicos,

relativistas o cuánticos), pero también en la termodinámica y electrodinámica. En este artículo se

describen los aspectos principales de la dinámica en sistemas mecánicos, y se RESERVA para otros

artículos el estudio de la dinámica en sistemas no mecánicos.

En otros ámbitos científicos, como la economía o la biología, también es común hablar de dinámica

en un sentido similar al de la física, para referirse a las características de la evolución a lo largo del

tiempo del estado de un determinado sistema.

Historia

Una de las primeras reflexiones sobre las causas de movimiento es la debida al filósofo griego

Aristóteles. Aristóteles definió el movimiento, lo dinámico (το δυνατόν), como:

La realización acto, de una capacidad o posibilidad de ser potencia, en tanto que se está

actualizando.

Por otra parte, a diferencia del enfoque actual Aristóteles invierte el estudio de la cinemática y

dinámica, estudiando primero las causas del movimiento y después el movimiento de los cuerpos.

Este enfoque dificultó el avance en el conocimiento del fenómeno del movimiento hasta, en primera

instancia, San Alberto Magno, que fue quien hizo notar esta dificultad, y en última instancia hasta

Galileo Galilei e Isaac Newton. De hecho, Thomas Bradwardine, en 1328, presentó en su De

proportionibus velocitatum in motibus una ley matemática que enlazaba la velocidad con la

proporción entre motivos a fuerzas de resistencia; su trabajo influyó la dinámica medieval durante

dos siglos, pero, por lo que se ha llamado un accidente matemático en la definición de «acrecentar»,

su trabajo se descartó y no se le dio reconocimiento histórico en su día.

6

Los experimentos de Galileo sobre cuerpos uniformemente acelerados condujeron a Newton a

formular sus leyes fundamentales del movimiento, las cuales presentó en su obra principal

Philosophiae Naturalis Principia Mathematica Los científicos actuales consideran que las leyes que

formuló Newton dan las respuestas correctas a la mayor parte de los problemas relativos a los

cuerpos en movimiento, pero existen excepciones. En particular, las ecuaciones para describir el

movimiento no son adecuadas cuando un cuerpo viaja a altas velocidades con respecto a la

velocidad de la luz o cuando los objetos son de tamaño extremadamente pequeños comparables a

los tamaños.

Cálculo en dinámica

En mecánica clásica y mecánica relativista, mediante de los conceptos de desplazamiento, velocidad

y aceleración es posible describir los movimientos de un cuerpo u objeto sin considerar cómo han

sido producidos, disciplina que se conoce con el nombre de cinemática. Por el contrario, la dinámica

es la parte de la mecánica que se ocupa del estudio del movimiento de los cuerpos sometidos a la

acción de las fuerzas. En sistemas cuánticos la dinámica requiere un planteamiento diferente debido

a las implicaciones del principio de incertidumbre.

El cálculo dinámico se basa en el planteamiento de ecuaciones del movimiento y su integración.

Para problemas extremadamente sencillos se usan las ecuaciones de la mecánica newtoniana

directamente auxiliados de las leyes de conservación. En mecánica clásica y relativista, la ecuación

esencial de la dinámica es la segunda ley de Newton (o ley de Newton-Euler) en la forma:

donde F es la sumatoria de las fuerzas y p la cantidad de movimiento. La ecuación anterior es válida

para una partícula o un sólido rígido, para un medio continuo puede escribirse una ecuación basada

en esta que debe cumplirse localmente. En teoría de la relatividad general no es trivial definir el

concepto de fuerza resultante debido a la curvatura del espacio tiempo. En mecánica cuántica no

relativista, si el sistema es conservativo la ecuación fundamental es la ecuación de Schrödinger:

Leyes de conservación

Las leyes de conservación pueden formularse en términos de teoremas que establecen bajo qué

condiciones concretas una determinada magnitud "se conserva" (es decir, permanece constante en

valor a lo largo del tiempo a medida que el sistema se mueve o cambia con el tiempo). Además de la

ley de conservación de la energía las otras leyes de conservación importante toman la forma de

teoremas vectoriales. Estos teoremas son:

1. El teorema de la cantidad de movimiento, que para un sistema de partículas puntuales

requiere que las fuerzas de las partículas sólo dependan de la distancia entre ellas y estén

7

dirigidas según la línea que las une. En mecánica de medios continuos y mecánica del sólido

rígido pueden formularse teoremas vectoriales de conservación de cantidad de movimiento.

2. El teorema del momento cinético, establece que bajo condiciones similares al anterior teorema

vectorial la suma de momentos de fuerza respecto a un eje es igual a la variación temporal del

momento angular. En concreto el lagrangiano del sistema.

Estos teoremas establecen bajo qué condiciones la energía, la cantidad de movimiento o el momento

cinético son magnitudes conservadas. Estas leyes de conservación en ocasiones permiten encontrar

de manera más simple la evolución del estado físico de un sistema, frecuentemente sin necesidad de

integrar directamente las ecuaciones diferenciales del movimiento.

Ecuaciones de movimiento

Existen varias formas de plantear ecuaciones de movimiento que permitan predecir la

evolución en el tiempo de un sistema mecánico en función de las condiciones iniciales y las

fuerzas actuantes. En mecánica clásica existen varias formulaciones posibles para plantear

ecuaciones:

La mecánica newtoniana que recurre a escribir directamente ecuaciones diferenciales

ordinarias de segundo orden en términos de fuerzas y en coordenadas cartesianas. Este

sistema conduce a ecuaciones difícilmente integrables por medios elementales y sólo se usa

en problemas extremadamente sencillos, normalmente usando sistemas de referencia

inerciales.

La mecánica lagrangiana, este método usa también ecuaciones diferenciales ordinarias de

segundo orden, aunque permite el uso de coordenadas totalmente generales, llamadas

coordenadas generalizadas, que se adapten mejor a la geometría del problema planteado.

Además las ecuaciones son válidas en cualquier sistema de referencia sea éste inercial o no.

Además de obtener sistemas más fácilmente integrables el teorema de Noether y las

transformaciones de coordenadas permiten encontrar integrales de movimiento, también

llamadas leyes de conservación, más sencillamente que el enfoque newtoniano.

La mecánica hamiltoniana es similar a la anterior pero en él las ecuaciones de movimiento son

ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Además la gama de transformaciones de

coordenadas admisibles es mucho más amplia que en mecánica lagrangiana, lo cual hace

aún más fácil encontrar integrales de movimiento y cantidades conservadas.

El método de Hamilton-Jacobi es un método basado en la resolución de una ecuación

diferencial en derivadas parciales mediante el método de separación de variables, que resulta

el medio más sencillo cuando se conocen un conjunto adecuado de integrales de movimiento.

En mecánica relativista los tres últimos enfoques son posibles, además de un enfoque directo en

problemas sencillos que es análogo a muchos métodos de la mecánica newtoniana. Igualmente, la

mecánica de medios continuos admite enfoques lagrangianos y hamiltonianos, aunque el formalismo

subyacente se trate de un sistema clásico o relativista es notablemente más complicado que en el

caso de sistemas partículas y sólidos rígidos (estos últimos tienen un número finito de grados de

libertad, a diferencia de un medio continuo). Finalmente, la mecánica cuántica, tanto no-relativista

como relativista, también requiere de un formalismo matemático notablemente más complejo que

8

usualmente involucra el uso de espacios de Hilbert incluso para sistemas con un número finito de

grados de libertad.

Dinámica de sistemas mecánicos

En física existen dos tipos importantes de sistemas físicos los sistemas finitos de partículas y los

campos. La evolución en el tiempo de los primeros pueden ser descritos por un conjunto finito de

ecuaciones diferenciales ordinarias, razón por la cual se dice que tienen un número finito de grados

de libertad. En cambio la evolución en el tiempo de los campos requiere un conjunto de ecuaciones

complejas. En derivadas parciales, y en cierto sentido informal se comportan como un sistema de

partículas con un número infinito de grados de libertad.

La mayoría de sistemas mecánicos son del primer tipo, aunque también existen sistemas de tipo

mecánico que son descritos de modo más sencillo como campos, como sucede con los fluidos o los

sólidos deformables. También sucede que algunos sistemas mecánicos formados idealmente por un

número infinito de puntos materiales, como los sólidos rígidos pueden ser descritos mediante un

número finito de grados de libertad.

Dinámica de la partícula

La dinámica del punto material es una parte de la mecánica newtoniana en la que los sistemas se

analizan como sistemas de partículas puntuales y que se ejercen fuerzas instantáneas a distancia.

En la teoría de la relatividad no es posible tratar un conjunto de partículas cargadas en mutua

interacción, usando simplemente las posiciones de las partículas en cada instante, ya que en dicho

marco se considera que las acciones a distancia violan la causalidad física. En esas condiciones la

fuerza sobre una partícula, debida a las otras, depende de las posiciones pasadas de la misma.

Dinámica del sólido rígido

La mecánica de un sólido rígido es aquella que estudia el movimiento y equilibrio de sólidos

materiales ignorando sus deformaciones. Se trata, por tanto, de un modelo matemático útil para

estudiar una parte de la mecánica de sólidos, ya que todos los sólidos reales son deformables. Se

entiende por sólido rígido un conjunto de puntos del espacio que se mueven de tal manera que no se

alteran las distancias entre ellos, sea cual sea la fuerza actuante (matemáticamente, el movimiento

de un sólido rígido viene dado por un grupo uniparamétrico de isometrías).

Dinámica de medios continuos y teoría de campos

En física existen otras entidades como los medios continuos (sólidos deformables y fluidos) o los

campos (graviatorio, electromagnético, etc.) que no pueden ser descritos mediante un número finito

de coordenadas que caractericen el estado del sistema. En general, se requieren funciones definidas

sobre un dominio cuatridiomensional o región. El tratamiento de la mecánica clásica y la mecánica

relativista de los medios continuos requiere el uso de ecuaciones diferenciales en derivadas

parciales, lo cual ocasiona dificultades analíticas mucho más notables que las encontradas en los

9

sistemas con un número finito de coordenadas o grados de libertad (que frecuentemente pueden ser

tratadas como sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias).

Conceptos relacionados con la dinámica

Inercia

La inercia es la propiedad de los cuerpos de no modificar su estado de reposo o movimiento

uniforme, si sobre ellos no influyen otros cuerpos o si la acción de otros cuerpos se compensa.

En física se dice que un sistema tiene más inercia cuando resulta más difícil lograr un cambio en el

estado físico del mismo. Los dos usos más frecuentes en física son la inercia mecánica y la inercia

térmica. La primera de ellas aparece en mecánica y es una medida de dificultad para cambiar el

estado de movimiento o reposo de un cuerpo. La inercia mecánica depende de la cantidad de masa

y del tensor de inercia del cuerpo. La inercia térmica mide la dificultad con la que un cuerpo cambia

su temperatura al estar en contacto con otros cuerpos o ser calentado. La inercia térmica depende

de la cantidad de masa y de la capacidad calorífica.

Las llamadas fuerzas de inercia son fuerzas ficticias o aparentes para un observador en un sistema

de referencia no-inercial.

La masa inercial es una medida de la resistencia de una masa al cambio en velocidad en relación

con un sistema de referencia inercial. En física clásica la masa inercial de partículas puntuales se

define por medio de la siguiente ecuación, donde la partícula uno se toma como la unidad (m1 =1):

donde mi es la masa inercial de la partícula i, y ai1 es la aceleración inicial de la partícula i, en la

dirección de la partícula i hacia la partícula 1, en un volumen ocupado sólo por partículas i y 1, donde

ambas partículas están inicialmente en reposo y a una distancia unidad. No hay fuerzas externas

pero las partículas ejercen fuerzas entre si.

Trabajo y energía

El trabajo y la energía aparecen en la mecánica gracias a los teoremas energéticos. El principal, y de

donde se derivan los demás teoremas, es el teorema de la energía cinética. Este teorema se puede

enunciar en versión diferencial o en versión integral. En adelante se hará referencia al Teorema de la

energía cinética como TEC.

Gracias al TEC se puede establecer una relación entre la mecánica y las demás ciencias como, por

ejemplo, la química y la electrotecnia, de dónde deriva su vital importancia.

10

Fuerza y potencial

La mecánica de partículas o medios continuos tiene formulaciones ligeramente diferentes en

mecánica clásica, mecánica relativista y mecánica cuántica. En todas ellas las causas del cambio se

representa mediante fuerzas o conceptos derivados como la energía potencial asociada al sistema

de fuerzas. En las dos primeras se usa fundamentalmente el concepto de fuerza, mientras que en la

mecánica cuántica es más frecuente plantear los problemas en términos de energía potencial. La

fuerza resultante F sobre un sistema mecánico clásico se relaciona con la variación de la cantidad

de movimiento P mediante la relación simple:

Cuando el sistema mecánico es además conservativo la energía potencial V se relaciona con la

energía cinética K asociada al movimiento mediante la relación:

En mecánica relativista las relaciones anteriores no son válidas si t se refiere a la componente

temporal medida por un observador cualquiera, pero si t se interpreta como el tiempo propio del

observador entonces sí son válidas. En mecánica clásica dado el carácter absoluto del tiempo no

existe diferencia real entre el tiempo propio del observador y su coordenada temporal.

IV. Unidad 1

CINEMÁTICA DE LA PARTÍCULA

Conceptos fundamentales

Cinemática

Rama de la física mecánica que estudia el movimiento de los cuerpos sin importar las causas que lo

producen , corresponde a un estudio de la geometría del movimiento donde solo interesa el espacio

recorrido y el tiempo empleado en recorrer dicho espacio.

11

Sistema de referencia

Cuerpo (punto o lugar físico) fijo o móvil necesario para realizar una medición, en este caso

necesario para describir el movimiento de un cuerpo. Todo sistema coordenado constituye un

sistema de referencia.

Sistema unidimensional

Sistema bidimensional

Sistema tridimensional

Partícula

Cuerpo en forma de punto que en la realidad no existe, se trata de una idealización

12

Matemática para simplificar el estudio de un fenómeno, en este caso para simplificar el estudio del

movimiento de un cuerpo. En general se dice que un cuerpo es considerado como partícula cuando

sus dimensiones son despreciables con respecto al espacio que ocupa, este concepto es de carácter

relativo ya que depende del sistema de referencia del cual se le compare.

Posición

Punto del espacio referido a un sistema de referencia

Movimiento

Concepto de carácter relativo que científicamente se define como el cambio sucesivo de

posición que experimenta un cuerpo respecto a otro considerado como referencia.

Vector posición ( r )

Vector que une el origen del sistema coordenado con el punto del espacio donde se encuentra la

partícula

13

Ejemplo

¿Cuánto tiempo necesita un corredor para un trayecto de 2,4 km cuando corre con una velocidad de

5 m/s

Solución:

La ecuación a utilizar es la misma que en el caso anterior, solo que ahora se debe calcular el tiempo

empleado en recorrer 2,4 km.

x = x + v ⋅t 0

Despejando tiempo se tiene:

𝑥 − 𝑥0=v*t

𝑥−𝑥0

𝑣=t

Reemplazando valores resulta:

240𝑚−0

5𝑚

𝑠

=t

Recordar que 2,4 km =2400 m

Dividiendo se tiene el tiempo que se busca.

480s = 8min = t

Movimiento rectilíneo

El movimiento rectilíneo, es la trayectoria que describe el móvil en una línea recta. Algunos tipos

notables de movimiento rectilíneo son los siguientes:

Movimiento rectilíneo uniforme: cuando la velocidad es constante.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado: cuando la aceleración es constante.

Movimiento armónico simple unidimensional: cuando la aceleración es directamente

proporcional a la elongación (distancia a la posición de equilibrio) y está siempre dirigida hacia

la posición de equilibrio.

En mecánica el movimiento rectilíneo es uno de los ejemplos más sencillos de movimiento, en el que

la velocidad tiene dirección constante (aunque pueda tener en algunos casos aceleración), además

hay fuerza y aceleración, estas son siempre paralelas a la velocidad. Esto permite tratar el

movimiento rectilíneo mediante ecuaciones escalares, sin necesidad, de usar el formalismo de

vectores.

La trayectoria de una partícula es rectilínea cuando su aceleración es nula (sin serlo la velocidad) o

cuando su aceleración no tiene componente normal a la velocidad. El movimiento rectilíneo es, pues,

14

un caso particular del movimiento general en el espacio, pero debido a la abundancia de problemas y

situaciones en que lo encontraremos, le dedicaremos una atención especial. Puesto que los vectores

V y A están dirigidos a lo largo de la trayectoria, será conveniente escoger el origen O sobre ella de

modo que el vector de posición R también estará situado sobre ella. Entonces, al ser paralelos entre

sí todos los vectores que nos describen el movimiento de la partícula podemos prescindir de la

notación vectorial.

Si tomamos el eje x en la dirección de la trayectoria y especificamos una cierta dirección como

positiva, las ecuaciones de definición de la velocidad y de la aceleración se reducen a la componente

x, o sea

de modo que, si conocemos x=x(t), podemos obtener la velocidad y la aceleración de la partícula, i.e.

v=v(t) y a=a(t), mediante dos derivaciones sucesivas. En algunos casos conoceremos a=a(t) y

entonces, por integración (y conociendo las condiciones iniciales y podemos obtener v=v(t) y

x=x(t).

Podemos encontrar otra relación cinemática importante aplicando a la definición de la aceleración la

regla de derivación de una función de función. Así, obtenemos la expresión

que nos resultará de gran utilidad cuando conozcamos a=a(x)\, o v=v(x)\,.

Movimiento rectilíneo uniformemente acelerado

Es un movimiento de trayectoria rectilínea y experimenta una variación constante en el módulo de la

velocidad durante el tiempo, en este caso, se dice que el movimiento se realiza con una aceleración

constante.

t = 0,191[h] = 11,455[min] = 687,3[s]

d x 24,83[km] = 2 = 18

Cuando la variación en el módulo de la velocidad va en aumento, se dice que el movimiento es

acelerado y se habla de aceleración.

15

Cuando la variación en el módulo de la velocidad va en disminución, se dice que el movimiento es

desacelerado y se habla de retardación o desaceleración, en este caso la aceleración resulta

negativa.

Las ecuaciones fundamentales del MRUA corresponden a las reglas de oro de la cinemática o

ecuaciones cinemáticas

Las expresiones anteriores aplicadas al movimiento rectilíneo uniformemente acelerado (a=cte) nos

llevan a las bien conocidas relaciones

que se reducen a

para el movimiento rectilíneo uniforme (a=0, v=cte).

Expresiones para el movimiento rectilíneo uniforme

Conocemos Se aplica la derivada Se obtiene la integral Es decir

16

Movimiento rectilíneo conservativo[editar]

Para el caso de un sistema que ejecuta un movimiento rectilíneo autónomo:

La energía del sistema es una integral de movimiento dada por:

La posición en términos del tiempo puede obtenerse a partir de la siguiente cuadratura:

Siendo la posición y la velocidad iniciales .

Movimiento armónico[editar]

Movimiento armónico simple, mostrado en el espacio real y en el espacio fásico. Las órbita es periódica.

El movimiento armónico simple es un caso particular de sistema rectilíneo conservativo en el que la cuadratura

anterior puede realizarse sin problemas y puede incluso despejarse fácilmente la posición respecto al tiempo:

donde:

es la frecuencia angular del movimiento.

es la amplitud del movimiento.

es la fase inicial.

17

Movimiento rectilíneo en mecánica relativista

En el caso relativista las ecuaciones del movimiento son algo más complejas que en el caso newtoniano

clásico. La relación entre la fuerza y la velocidad en el movimiento rectilíneo viene dada por:

La velocidad viene dada en función de la fuerza por:

Fuerza constante

El movimiento rectilíneo relativista bajo una fuerza constante en la teoría de la relatividad es un

movimiento progresivamente desacelerado, en que la velocidad límite viene dada por la velocidad de

la luz. Si el cuerpo parte del resposo la evolución de la velocidad y la distancia recorrida son:

Sistemas conservativos

La ecuación de movimiento para un sistema relativista que ejecuta un movimiento rectilíneo es de la

forma general:

El sistema se llama conservativo si las fuerzas satisfacen , y en ese caso al igual

que sucede en mecánica newtoniana existe una integral de movimiento, que se identifica con la energía

total que viene dada por:

donde el primer término T representa la energía cinética de la partícula y el segundo V(x) la energía

potencial, asociado a la fuerzas conservativa . Al igual que en el caso clásico esta forma puede

usarse para escribir la expresión de la trayectoria usado sólo cuadraturas (ver #Movimiento rectilíneo

conservativo).

18

Movimiento armónico

El problema del oscilador en mecánica relativista no admite una solución analítica simple debido a

que la ecuación del movimiento implica integrar la siguiente ecuación:

Sin embargo, puede una solución aproximada con las condiciones de

contorno dada por:

donde:

MOVIMIENTO DE VARIAS PARTÍCULAS

Cuando sobre una misma recta se mueven independientemente varias partículas, para cada una de

éstas deben escribirse las ecuaciones de movimiento.Es necesario, que el tiempo deberá contarse

desde el mismo instante inicial para todas las partículas, y los desplazamientos medirse en el mismo

origen y en el mismo sentido.

Los dos tipos de movimientos de varias partículas son:

1. Movimiento relativo de dos partículas.

2. Movimiento holónomos.

MOVIMIENTO RELATIVO DE DOS PARTÍCULAS

Tenemos dos partículas A y B, que se mueven sobre la misma recta. Sean Xa y Xb, las coordenadas

de posición, que se miden desde el mismo origen, para las dos partículas A y B respectivamente.

19

Coordenada de posición relativa de B respecto de A ( Xb/a ) => Es la diferencia que existe entre Xb -

Xa.

Si Xb/a > 0 => Indica que B está a la derecha de A.

Si Xb/a < 0 => Indica que B está a la izquierda de A.

Velocidad relativa de B respecto a A ( Vb/a ) => Es la variación de la coordenada de posición

relativa de B respecto de A ( Xb/a ) por unidad de tiempo.

Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo:

Si Vb/a > 0 => Significa que B observada desde A se mueve en sentido positivo.

Si Vb/a < 0 => Significa que B observada desde A se mueve en sentido negativo.

Aceleración relativa de B respecto a A ( Ab/a ) => Es la variación de Vb/a por unidad de tiempo.

MOVIMIENTO DEPENDIENTES

Movimiento holónomo => Este tipo de movimiento se produce cuando la posición de una partícula

depende de la posición de una o varias partículas. Esto ocurre generalmente cuando las partículas

están interconectadas mediante cuerdas inextensibles que están enrolladas alrededor de poleas.

20

Ejemplo

Si nos imaginamos dos bloques A y B, unidos por una cuerda inextensible de longitud fija l. Si el

bloque A produce un movimiento hacia abajo y a lo largo del plano inclinado, este movimiento hará

que en el bloque B se produzca otro movimiento hacia arriba sobre el plano inclinado. Para probar

esto, la localización de los bloques se especifica a partir del punto fijo O usando las coordenadas Sa

y Sb. Como la cuerda tiene una longitud fija, estas coordenadas que se extienden a lo largo de las

porciones cambiantes de la cuerda están relacionadas por la ecuación:

l => Es una constante y representa la longitud de la cuerda excluyendo el arco constante CD.

Derivando la ecuación anterior respecto al tiempo da por resultado una relación entre las velocidades

de los bloques.

El signo negativo indica que el movimiento positivo del bloque A (hacia abajo en la dirección en

que se incrementa Sa) produce un movimiento correspondiente negativo ( hacia arriba ) del bloque

B.

Derivando con respecto al tiempo, la última ecuación obtenida de las velocidades, da por resultado

la relación que existe entre las aceleraciones de los bloques,

Movimiento curvilíneo

Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que sigue una

trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular.

21

Las magnitudes que utilizamos para describir un movimiento curvilíneo son las siguientes:

Vector posición: sabemos que la posición en la que se encuentra una partícula o un móvil

depende del tiempo en el que nos encontremos, es decir, que varía en función del tiempo. Por

tanto, como podemos observar en la siguiente imagen, la partícula se encuentra en el punto P

cuando estamos en el instante t, y su posición viene dada por el vector r.

Vector desplazamiento: Cuando nuestra partícula pasa de estar en el punto P en el instante t,

al punto P´en el instante t´, diremos que ésta se ha desplazado, y lo indicamos con el vector

Dr , que como podemos observar en la imagen anterior, es el vector que une P y P´.

Vector velocidad media: llamamos velocidad media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo

que emplea en desplazarse, es decir:

Tanto el vector de la velocidad media, como el vector desplazamiento tienen la misma dirección.

Vector velocidad instantánea: Este vector se obtiene al hacer el límite cuando el Dt tiende a

cero:

22

Este vector es tangente en el punto P a la trayectoria que sigue la partícula.

Vector aceleración media: De forma similar al caso de la velocidad media, la aceleración

media es igual al cociente entre el incremento de velocidad y el incremento del tiempo:

-Vector aceleración instantánea: Es el vector obtenido al hacer el límite cuando Dt tiende a cero:

ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO CURVILÍNEO

Teniendo en cuenta que en el plano XY un movimiento curvilíneo viene determinado por la

componente del eje x y por la componente del eje y. Entonces, escribimos las ecuaciones de un

movimiento curvilíneo como podemos ver en la siguiente imagen. Donde x indica el desplazamiento

de una partícula, t el tiempo, v la velocidad y a la aceleración.

EJEMPLO

Para finalizar la explicación resolveremos como ejemplo dos problemas de movimiento curvilíneo, el

primero de ellos bastante facilito, mientras que en el segundo debemos poner en práctica muchos de

los conceptos adquiridos:

23

Problema: Sabemos que un automóvil describe una curva plana. Calcular las componentes de la

velocidad y de la aceleración en cualquier instante sabiendo que su trayectoria viene determinada

por las siguientes expresiones:

Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

Las componentes de la aceleración en cualquier instante.

Problema: Lanzamos una pelota de forma vertical hacia arriba con una velocidad de 30m/s desde la

azotea de un edificio que tiene una altura de 60m. Sabemos que la pelota es empujada por el viento,

de tal forma que se produce un movimiento horizontal con una aceleración de 3m/s2. A partir de

estos datos calcular:

a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto donde caiga.

b) La altura máxima que alcanza la pelota.

c) Las componentes de la velocidad y el instante en el que la pelota se encuentra a 70 m de

altura.

En primer lugar, realizamos un esquema estableciendo las magnitudes de nuestro movimiento,

tomando como referencia la azotea del edificio.

A continuación analizamos los datos que nos da el problema:

A partir de los datos planteamos las ecuaciones del problema:

24

Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X:

-Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos):

El punto de impacto con el suelo tiene coordenada x desconocida, pero sabemos que y=-60m. A

partir del valor de y, podemos obtener el valor de t, resolviendo la ecuación; y luego el de x:

Para hallar la altura máxima de la pelota, tenemos que tener en cuenta que se produce cuando la

velocidad vertical es cero:

Por tanto la altura desde el suelo será: 60+45,9=105,9 m.

En primer lugar hallamos el instante en el que ocurre esto, teniendo en cuenta que el móvil se

encontrará en dos instantes a 70m sobre el suelo, (10 sobre el origen), y=10m, por tanto tenemos

dos soluciones para la ecuación de segundo grado:

Sustituyendo:

Si t=0,59s; vx=1,77 m/s; vy=24,22 m/s Si t=3,41s; vx=10,23 m/s; vy=-3,41 m/s

25

V. Unidad 2 Cinemática de los cuerpos rígido