UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERIA

UNI-REGION CENTRAL JUIGALPA Docente: Ing.Dayvis Eugarrios

UNIDAD 2

CINEMTICA ELEMENTAL DEL CUERPO RGIDOMovimiento de Traslacin.

Traslacin. Se afirma que un movimiento ser de traslacin si toda lnea recta dentro del cuerpo mantiene la misma direccin durante el movimiento. Tambin puede observarse que en la traslacin todas las partculas que constituyen el cuerpo se mueven a lo largo de trayectorias paralelas. Si estas trayectorias

son lneas rectas, se afirma que el movimiento es una traslacin rectilnea (figura 15.1); si las trayectorias son lneas curvas, el movimiento es una traslacin curvilnea .Movimiento del Rotacin del cuerpo Rgido.

Rotacin alrededor de un eje fijo. En este movimiento, las partculas que forman al cuerpo rgido se mueven en planos paralelos a lo largo de crculos centrados sobre el mismo eje fijo (figura 15.3). Si este eje, llamado eje de rotacin, interseca al cuerpo rgido, las partculas localizadas sobre el eje tienen velocidad cero y aceleracin cero.

La rotacin no debe confundirse con ciertos tipos de traslacin curvilnea. Por ejemplo, la placa que se muestra en la figura 15.4a es una traslacin curvilnea, con todas sus partculas movindose a lo largo de crculos paralelos, mientras que la placa que se muestra en la figura 15.4b est en rotacin, con todas sus partculas movindose a lo largo de crculos concntricos.

Velocidad y aceleracin angulares del cuerpo Rgido.

Considere un cuerpo rgido que gira alrededor de un eje fijo AA. Sea

P un punto del cuerpo y r su vector de posicin con respecto a un sistema

de referencia fijo. Por conveniencia, se supone que el sistema de

referencia est centrado en el punto O sobre AAy que el eje z coincide

con AA (figura 15.8). Sea B la proyeccin de P sobre AA; puesto

que P debe permanecer a una distancia constante de B, describir

un crculo de centro B y de radio r sen , donde denota el ngulo formado por r y AA.

La posicin de P y del cuerpo completo est definida totalmente

por el ngulo que forma la lnea BP con el plano zx. El plano se

conoce como coordenada angular del cuerpo y se define como positiva

cuando se ve en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde

A. La coordenada angular se expresar en radianes (rad) o, en ocasiones,

en grados () o revoluciones (rev). Recurdese que

1 rev =2 rad =360

Recurdese que la velocidad v =dr/dt de una partcula P es un vector tangente a la trayectoria de P y de magnitud v = ds/dt. Al observar que la longitud s del arco descrito por P cuando el cuerpo gira un ngulo es s= (BP) = (r sen ) y al dividir ambos miembros entre t, se obtiene en el lmite, cuando t tiende a cero(Ec-1)Donde denota la derivada en el tiempo de . (Advierta que el ngulo depende de la posicin de P dentro del cuerpo, pero que la razn de cambio es en s misma independiente de P.) La conclusin es que la velocidad v de P es un vector perpendicular al plano que contiene a AAy r, y de magnitud v definida por (ec-1). Pero ste es precisamente el resultado que se obtendra al dibujar un vector a lo largo de AA y se formara el producto vectorial (figura 15.9).

Entonces se escribe (Ec.2)El vector (Ec-3) que est dirigido a lo largo del eje de rotacin se denomina la velocidad angular del cuerpo y es igual en magnitud a la razn de cambio de la coordenada angular; su sentido puede obtenerse mediante la regla de la mano derecha con base en el sentido de rotacin del cuerpo. La aceleracin a de la partcula P se determinar a continuacin al diferenciar (ec-2) y recordar la regla de diferenciacin de un producto vectorial, se escribe:a = dv/dt = d/dt ( x r)

= d/dt x r + x dr/dt = d/dt x r + x v (Ec-4)

El vector d/dt se denota mediante y se denomina aceleracin angular del cuerpo. Al sustituir tambin v de (ec-2), se tiene a = x r + x ( x r) (ec-5)

Al diferenciar (ec-3) y recordar que k es constante en magnitud y direccin, se tiene: (Ec-6) De tal modo, la aceleracin angular de un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo es un vector dirigido a lo largo del eje de rotacin, y es igual en magnitud a la tasa de cambio de la velocidad angular. Volviendo a (ec-5), observe que la aceleracin de P es la suma de dos vectores. El primer vector es igual al producto vectorial x r; es tangente al crculo descrito por P y, por lo tanto, representa la componente tangencial de la aceleracin. El segundo vector es igual al triple producto vectorial (mixto de tres vectores) x ( x r) obtenido al formar el producto vectorial de y x r; ya que x r es tangente al crculo que describe P, el triple producto vectorial est dirigido hacia el centro B del crculo y, por consiguiente, representa la componente normal de la aceleracin. Figura 15.9

La rotacin de un cuerpo rgido alrededor de un eje fijo puede definirse mediante el movimiento de una placa representativa en un plano de referencia perpendicular al eje de rotacin. Se elige el plano xy como el plano de referencia y se supone que coincide con el plano de la figura, con el eje z apuntando hacia fuera del papel (figura 15.10). Al recordar de (Ec-3) que = k, se nota que un valor positivo del escalar corresponde a una rotacin en el sentido contrario al de las manecillas del reloj de la placa representativa, y un valor negativo a una rotacin en el sentido de las manecillas del reloj. Al sustituir k por en la ecuacin (Ec-1), se expresa la velocidad de cualquier punto P dado de la placa como

v =k x r (Ec-7)Puesto que los vectores k y r son mutuamente perpendiculares, la magnitud de la velocidad v es

v = r (Ec-7) y su direccin puede obtenerse al girar r 90 en el sentido de rotacin de la placa.

Al sustituir = k y = k en la ecuacin (Ec-5) y observar que el doble producto cruz de r por k origina una rotacin de 180 del vector r, se expresa la aceleracin del punto P como

(Ec-8)

Al descomponer a en las componentes tangencial y normal (figura15.11), se escribe

(Ec-8)

La componente tangencial at apunta en la direccin contraria a la del movimiento de las manecillas del reloj si el escalar es positivo, y en la direccin del movimiento de las manecillas del reloj si es negativo. La componente normal an siempre apunta en la direccin opuesta a la de r, esto es, hacia O.ECUACIONES QUE DEFINEN LA ROTACIN

DE UN CUERPO RGIDO ALREDEDOR DE UN EJE FIJOSe afirma que se conoce el movimiento de un cuerpo rgido que gira alrededor de un eje fijo AA cuando su coordenada angular puede expresarse como una funcin conocida de t. Sin embargo, en la prctica la rotacin de un cuerpo rgido rara vez se define mediante una relacin entre y t. Con mayor frecuencia, las condiciones de movimiento se especificarn mediante el tipo de aceleracin angular que posea el cuerpo. Por ejemplo, es posible que se d como una funcin de t, como una funcin de o como una funcin de . Al recordar las relaciones (Ec-3) y (Ec-6), se escribe

(Ec-9) (Ec-10) o, al despejar (Ec-9) dt y sustituir en (Ec-10),(Ec-11)

Con frecuencia se encuentran dos casos particulares de rotacin:

Rotacin uniforme. Este caso se caracteriza por el hecho de que la aceleracin angular es cero. Consecuentemente, la aceleracin angular es constante, y la coordenada angular est dada por la frmula

=0 + t (Ec-12)Rotacin acelerada uniformemente. En este caso, la aceleracin angular es constante. Las siguientes frmulas que relacionan la velocidad angular, la coordenada angular y el tiempo pueden obtenerse entonces de manera similar a la que se describe en la primera unidad. La similitud entre las frmulas derivadas aqu y aquellas obtenidas para el movimiento rectilneo uniformemente acelerado de una partcula es manifiesta.

(Ec-13)Debe subrayarse que la frmula (Ec-12) slo se usa cuando = 0, y las frmulas (Ec-13) slo cuando = constante. En cualquier otro caso, deben emplearse las frmulas generales (Ec-9) a (Ec-11).

Ejemplo #1

La carga B se conecta a una polea doble mediante uno de los dos cables inextensibles que se muestran. El movimiento de la polea se controla mediante el cable C, el cual tiene una aceleracin constante de 9 in. /s2 y una velocidad inicial de 12 in. /s, ambas dirigidas hacia la derecha. Determine:

a) el nmero de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s,

b) la velocidad y el cambio en la posicin de la carga B despus de 2 s, y

c) la aceleracin del punto D sobre el borde de la polea interna cuando t =0.Solucin:a) Movimiento de la polea: Puesto que el cable es inextensible, la velocidad del punto D es igual a la velocidad del punto C y la componente tangencial de la aceleracin de D es igual a la aceleracin de C.

(VD) 0 = (vC) 0 =12 in./s y (aD)t =aC =9 in./s2 y Al observar que la distancia desde D hasta el centro de la polea es de 3 in. Se escribe

Con base en las ecuaciones del movimiento uniformemente acelerado, se obtiene, para t =2 s,

b) Movimiento de la carga B: Mediante el uso de las relaciones siguientes entre el movimiento lineal y el angular con r =5 in., se escribe

d) Aceleracin del punto D en t = 0. La componente tangencial de la aceleracin es

Puesto que, en t =0, 0 =4 rad/s, la componente normal de la aceleracin es

La magnitud y direccin de la aceleracin total puede obtenerse al escribir MOVIMIENTO COMPUESTO DEL PUNTO.

MOVIMIENTO PLANO GENERALEl movimiento plano general es un movimiento plano que no es ni una traslacin ni una rotacin. Sin embargo, como se ver, un movimiento plano general siempre puede considerarse como la suma de una traslacin y una rotacin. Considere, por ejemplo, una rueda que gira sobre una pista recta (figura 15.12). A lo largo de cierto intervalo, dos puntos dados A y B se habrn movido, respectivamente, desde A1 hasta A2 y desde B1 hasta B2. El mismo resultado podra obtenerse mediante una traslacin que

llevara a A y a B hacia A2 y B_1 (la lnea AB se mantiene vertical), seguida por una rotacin alrededor de A que llevara a B a B2. Aunque el movimiento de giro original difiere de la combinacin de traslacin

y rotacin cuando estos movimientos se toman en forma sucesiva, el movimiento original puede duplicarse de manera exacta mediante una combinacin de traslacin y rotacin simultneas.

Otro ejemplo de movimiento plano lo proporciona la figura 15.13, la cual representa una varilla cuyos extremos se deslizan a lo largo de una pista horizontal y una vertical, respectivamente. Este movimiento puede sustituirse por una traslacin en una direccin horizontal y una rotacin alrededor de A (figura 5.13a) o por una traslacin en una direccin vertical y una rotacin alrededor de B (figura 15.13b).

En el caso general de movimiento plano se consider un pequeo desplazamiento que lleva a dos partculas A y B de una placa representativa, respectivamente, de Al y B1 a A2 y B2 (figura 15.14).

Este desplazamiento puede dividirse en dos partes: en una, las partculas se mueven hacia A2 y B1 mientras la lnea AB mantiene la misma direccin; en el otro, B se mueve hacia B2 mientras A permanece fijo. La primera parte del movimiento es claramente una traslacin y la segunda parte una rotacin alrededor de A.

Si se recuerda la definicin de movimiento relativo de una partcula con respecto a un sistema de referencia mvil lo que se opone a su movimiento absoluto con respecto a un sistema de referencia fijo es posible enunciar del modo siguiente el resultado que se obtuvo antes: dadas dos partculas A y B de una placa rgida en movimiento plano, el movimiento relativo de B con respecto a un sistema de referencia unido a A y de orientacin fija es una rotacin. Para un observador que se mueve con A, pero que no gira, la partcula B parecer describir un arco de un crculo centrado en A.

Velocidades de los puntos del cuerpo en el movimiento plano.La velocidad absoluta vB de una partcula B de la cadena se obtiene de la frmula( Ec-14)Donde el miembro del lado derecho representa una suma vectorial. La velocidad vA corresponde a la traslacin de la placa con A, mientras que la velocidad relativa vB/A se asocia con la rotacin de la placa en torno a A y se mide con respecto a ejes centrados en A de orientacin fija (figura 15.15). Al denotar mediante r B/A el vector de posicin de B relativo a A, y por k la velocidad angular de la placa con respecto a los ejes de orientacin fija, se tiene de (Ec-7) y (Ec-7)

(Ec-15)

Donde r es la distancia de A a B. Sustituyendo vB/A de (Ec-15) en (Ec-14), tambin se puede escribir

(Ec-15)Como ejemplo, se necesita considerar otra vez la varilla AB de la figura 15.13. Suponiendo que se conoce la velocidad vA del extremo A, se propone encontrar la velocidad vB del extremo B y la velocidad angular de la varilla, en trminos de la velocidad vA, la longitud l y el ngulo . Al elegir A como un punto de referencia, se expresa que el movimiento dado es equivalente a la traslacin con A y una rotacin simultnea alrededor de A (figura 15.16). La velocidad absoluta de B debe entonces ser igual a la suma vectorial(Ec-14)Advierta que mientras se conozca la direccin de vB/A, su magnitud l es desconocida. Sin embargo, esto se compensa por el hecho de que se conoce la direccin vB. Por lo tanto, es posible completar el diagrama de la figura 15.16. Al despejar las magnitudes de vB y se escribe

(Ec-16)

El mismo resultado se obtiene utilizando B como un punto de referencia. Al descomponer el movimiento dado en una traslacin con B y una rotacin simultnea alrededor de B (figura 15.17), se escribe la ecuacin

vA = vB + vA/B (Ec-17)Que se representa de manera grfica en la figura 15.17. Note que vA/B y vB/A tienen la misma magnitud l pero sentido opuesto. Por lo tanto,el sentido de la velocidad relativa depende del punto de referencia que se ha elegido y es necesario determinarlo de manera cuidadosa en el diagrama apropiado (figura 15.16 o 15.17).

Por ltimo, observe que la velocidad angular de la varilla en su rotacin alrededor de B es la misma que en su rotacin en torno a A. En ambos casos se mide mediante la razn de cambio del ngulo . Este resultado es bastante general; por lo tanto, se debe tener presente que la velocidad angular de un cuerpo rgido en movimiento plano es independiente del punto de referencia. La mayora de los mecanismos no consisten en una sino en varias partes mviles. Cuando las distintas partes de un mecanismo se unen mediante pasadores, el anlisis del mecanismo puede efectuarse considerando cada parte como un cuerpo rgido, teniendo en cuenta que los puntos donde se unen dos partes deben tener la misma velocidad absoluta.Es posible utilizar un anlisis similar cuando intervienen engranes, ya que los dientes en contacto tambin deben tener la misma velocidad absoluta.Ejemplo #2

El engrane doble que se muestra rueda sobre una cremallera estacionaria inferior; la velocidad de su centro A es 1.2 m/s dirigida hacia la derecha. Determine:

a) la velocidad angular del engrane, b) las velocidades de la cremallera superior R y del punto D del engrane.SOLUCIN

a) Velocidad angular del engrane. Puesto que el engrane rueda sobre la cremallera inferior, su centro A se mueve una distancia igual a la circunferencia exterior 2r1 por cada revolucin completa del engrane. Al observar que 1 rev =2 rad y que cuando A se mueve hacia la derecha (xA > 0) el engrane gira en el sentido de las manecillas del reloj (