2. Clase 1 Dinamica

UNIVERSIDAD DE LOS ANDESFACULTAD DE INGENIERA

POSTGRADO EN INGENIERA ESTRUCTURAL

DINMICA ESTRUCTURAL

Prof. Orlando Ramrez BoscnAbril de 2011

Caractersticas de un Problema Dinmico

Un problema estructural dinmico difiere de uno esttico en dos aspectosimportantes. Naturaleza variable en el tiempo del problema dinmico.

No existe una solucin simple. Se debe establecer soluciones correspondientes alos tiempos de inters en la respuesta en el tiempo.

En el problema dinmico, las fuerzas de inercia resisten las aceleraciones de laestructura.

Si la carga P(t) se aplica dinmicamente, los desplazamientos de la viga dependenno solo de la carga, sino tambin de las fuerzas de inercia que se oponen a laaceleracin que ellas producen, por lo tanto, los momentos y cortes debenequilibrar no solo la fuerza aplicada P(t) sino tambin las fuerzas de inercia queresultan de la aceleracin de la viga.


En general, si las fuerzas de inercia representan una porcin significativa de la cargatotal equilibrada por las fuerzas elsticas internas, entonces se debe tomar encuenta el carcter dinmico del problema para su solucin.

Por el contrario, si el movimiento es tan lento que las fuerzas de inercia sondespreciables, el anlisis de las respuestas en cualquier instante de tiempo sepuede realizar por procedimientos estticos de anlisis estructural aunque la cargay la respuesta sean variables en el tiempo.

METODOS DE DISCRETIZACIN

Procedimiento de masas concentradas

Un anlisis del sistema dinmico de la viga de la figura anterior es obviamentecomplicado por el hecho que las fuerzas de inercia resultan de losdesplazamientos estructurales variables en el tiempo, que a su vez estninfluenciados por la magnitud de las fuerzas de inercia. Este ciclo cerrado decausa-efecto puede ser resuelto directamente solo si se formula en trmino deecuaciones diferenciales.


Adems, debido a que la masa de la viga est distribuida continuamente en todasu longitud, se deben definir los desplazamientos y aceleraciones para cadapunto sobre el eje si se quieren definir completamente las fuerzas de inercia. Eneste caso el anlisis se debe formular por medio de ecuaciones diferencialesparciales, ya que la posicin a lo largo del tramo y el tiempo se deben tomarcomo variables independientes.Sin embargo si se asume que la masa de la viga est concentrada en puntosdiscretos, el problema analtico se simplifica ya que las fuerzas de inercia sedesarrollan solamente en esas masas puntuales.


El nmero de componentes de desplazamientos que se deben considerar pararepresentar el efecto de todas las fuerzas de inercia de una estructura se conocencomo el nmero de grados de libertad dinmicos de una estructura.

En 3D, cada masa tendr 6 GDL Si las masas estn totalmente concentradas, de modo que las inercias rotacionales

no estn presentes, cada una de ellas tendr 3GDL Un sistema con masa distribuida continuamente tendr infinotos grados de libertad

dinmicos.

Este procedimiento es una manera sencilla de limitar el nmero de GDL que deben considerarse para efectuar el anlisis dinmico de un sistema estructural arbitrario; y es ms efectivo en aquellos sistemas en los cuales una gran cantidad de la masa total est concentrada en pocos puntos discretos.


Sistema de un Gradode Libertad

Masa

K

F

Modelo Matemtico

Un Grado de Libertadpor Nivel

Masa 3

Masa 2

Masa 1

KN3

KN2

KN1

F1

F2

F3

Modelo Matemtico

SISTEMAS EN EL PLANO

Infinitos Grados de Libertad

Tres Grados de Libertadpor Nivel

Modelo Matemtico

Masa 3

Masa 2

Masa 1

KN3

KN2

KN1


SISTEMA EN EL ESPACIO


Desplazamientos Generalizados

En los casos en que la masa del sistema est distribuida uniformemente, espreferible usar un enfoque diferente al de limitar los grados de libertad. Esteprocedimiento se basa en la hiptesis de que la deformada de la estructura sepuede expresar como la suma de una serie de patrones especificados dedesplazamiento. En general, cualquier forma arbitraria que sea compatible con lascondiciones de apoyo prescritas, puede ser representado por una serie infinita decomponentes de curvas de seno.

Ejemplo: La representacin por medio de series trigonomtricas de la deflexin enuna viga simplemente apoyada. En este caso la deformada se puede expresar comola suma de contribuciones independientes de ondas de seno.

( ) nn 1

n xv x b senL

=

=


Las amplitudes de las ondas de seno se pueden considerar como las coordenadasde desplazamientos del sistema y el nmero infinito de grados de libertad de laviga estn representados por el nmero infinito de trminos incluidos en la serie.Este concepto se puede generalizar reconociendo que las ondas de seno usadascomo los desplazamientos asumidos fueron una escogencia arbitraria en esteejemplo.En general se puede asumir cualquier forma n(x) que sea compatible con lascondiciones geomtricas prescritas de apoyo, y que mantenga la continuidadnecesaria de los desplazamientos. Entonces, la expresin generalizada para losdesplazamientos en una estructura unidimensional se puede escribir como:

( ) ( )n nn

v x Z x=

Para cada conjunto asumido de funciones de desplazamiento (x), la deformada de la estructura depende de los trminos de amplitud Zn, que se conocen como las coordenadas generalizadas.


El Concepto de Elementos Finitos

Un tercer mtodo para expresar los desplazamientos de cualquier estructura entrminos de un nmero finito de coordenadas de desplazamiento discretas, quecombina ciertas caractersticas de los procedimientos de masas concentradas yde desplazamientos generalizados, es ahora muy popular.Este procedimiento, que es la base del mtodo de elementos finitos, provee unaidealizacin conveniente y confiable del sistema y es muy efectivo en anlisis porcomputadora.

ELEMENTOSNODOS


DESPLAZAMIENTOS DE LOS NODOS = COORDENADAS GENERALIZADAS

(x) = FUNCIONES DE INTERPOLACIN

La deformada de la estructura puede expresarse en trminos de las coordenadasgeneralizadas, por medio de un conjunto apropiado de funciones dedesplazamiento (Ec. Anterior). En este caso, las funciones de desplazamiento seconocen como funciones de interpolacin, porque ellas definen las formasproducidas por los desplazamientos nodales especificados.

Leyes de Newton

Newton plante que todos los movimientos se atienen a tres leyes principalesformuladas en trminos matemticos y que implican conceptos que es necesarioprimero definir con rigor. Un concepto es la fuerza, causa del movimiento; otroes la masa, la medicin de la cantidad de materia puesta en movimiento; los dosson denominados habitualmente por las letras F y m.

FuerzaCausa del movimiento (F).

MasaMedicin de la cantidad de materia puesta en movimiento (m).

se podra decir tambin, que la masa es la cuantificacin de la materia es decir un cuerpo mas masivo posee mayor inercia que uno menos masivo.

Leyes de NewtonPr

imer

a Le

y de

New

ton Todo cuerpo permanece en su estado de reposo o de movimiento

rectilneo uniforme a menos que otros cuerpos acten sobre l.

La primera Ley de Newton, conocida tambin como Ley de Inercia, nos dice que sisobre un cuerpo no acta ningn otro, este permanecer indefinidamentemovindose en lnea recta con velocidad constante (incluido el estado de reposo,que equivale a velocidad cero).

Leyes de NewtonSeg

unda

Ley

de

New

ton

La variacin del momento lineal de un cuerpo es proporcional a la resultante total de las fuerzas actuando sobre dicho cuerpo y se

produce en la direccin en que actan las fuerzas.

La Primera ley de Newton nos dice que para que un cuerpo altere su movimientoes necesario que exista algo que provoque dicho cambio. Ese algo es lo queconocemos como fuerzas. Estas son el resultado de la accin de unos cuerpossobre otros.

La Segunda ley de Newton se encarga de cuantificar el concepto de fuerza. Nosdice que la fuerza neta aplicada sobre un cuerpo es proporcional a la aceleracinque adquiere dicho cuerpo. La constante de proporcionalidad es la masa delcuerpo, de manera que podemos expresar la relacin de la siguiente manera:

( )d mv Fdt

=

Leyes de NewtonSeg

unda

Ley

de

New

ton donde:

mv = masa x velocidad = momento lineal de un cuerpof = resultante de fuerzas actuando sobre el cuerpo

ambas cantidades son funcin del tiempo.

La segunda ley nos explica qu ocurre si sobre un cuerpo en movimiento actauna fuerza. En ese caso, la fuerza modificar el movimiento, cambiando lavelocidad en mdulo o direccin. Los cambios experimentados en la cantidad demovimiento de un cuerpo son proporcionales a la fuerza motriz y se desarrollanen la direccin de esta; esto es, las fuerzas son causas que producenaceleraciones en los cuerpos.

Leyes de NewtonTe

rcer

a L

ey d

e New

ton

Por cada fuerza que acta sobre un cuerpo, ste realiza una fuerza igual pero de sentido opuesto sobre el cuerpo que la produjo

Dicho de otra forma: Las fuerzas siempre se presentan en pares de igualmagnitud y sentido opuesto.

Esta ley, junto con las anteriores, permite enunciar los principios de conservacindel momento lineal y del momento angular.

Leyes de Newton

En dinmica estructural, consideramos sistemas en los cuales la masa, m, es constante. En estos casos

( )m d v m a Fdt

= =

donde F, v y a son funciones del tiempo.Esta ecuacin se aplica a todas las partculas de un sistema, con lo que sedefinira la posicin de todas ellas en un instante dado.

En notacin Newtoniana:

Sistema de Masa y Rigidez

1 kg

2 kg

1 cm

2 cm

my

k

1 kg

2 kg

Fuerza, Fr

Deformacin, y1 cm 2 cm

k1

Esto significa que tenemos una rigidez elstica lineal, o que el material es linealmente elstico

Modelo matemtico

Rigidez

La caracterstica mecnica de un resorte viene dada por la relacin entre lamagnitud de la fuerza aplicada a un extremo libre y el desplazamiento queresulta en ese extremo, cuando las deformaciones son pequeas se puedeidealizar como una lnea recta.

rF K y=K es la constante del resorte, usualmente representa la rigidez de los sistemas estructurales

Dada la simplicidad la mayora de la literatura tcnica sobre dinmica deestructuras emplea modelos con resortes lineales.

En muchos casos, los desplazamientos que se producen por la accin defuerzas exteriores son pequeos, acercando la aproximacin lineal alcomportamiento real de la estructura.

El mismo concepto se emplea en cuerpos elsticos que tienen otras formas.

Rigidez

Resorte Blando: la fuerza adicional necesaria para producir una nueva deformacin disminuye a medida que la deformacin del resorte aumenta

Resorte Duro: la fuerza adicional necesaria para producir una nueva

deformacin aumenta a medida que la deformacin del resorte aumenta

Resorte Lineal: la deformacin esdirectamente proporcional a la fuerza

y

rF

K es la constante del resorte (proporcionalidad) dada por la pendiente de

la recta en la ZONA ErF K y=

Sistema oscilatorio ms simple

M

g

my

k

Modelo matemtico

F(t)

Escribir la ecuacin de movimiento del sistema masa-resorte mostrado en lafigura siguiente:

k

Posicin de equilibrio esttico

Posicin final

m

y(t)m

k l0 + st

Alargamiento esttico

F(t)

Fuerza excitadora

kst

W = mg

Para el equilibrio esttico:W = mg = kst

F(t)


mk(st + y)

W = mg

Cuando el resorte se deforma una longitud y:

La aceleracin inercial es simplemente la segunda derivada deldesplazamiento y, debido a que la posicin de la masa es medida a partir deun sistema de referencia inercial.

= m yF

st stm y = W - k(y+ ) + F(t) m y = mg - ky - k + F(t)

stk = W como: entonces se obtiene:

m y + ky = F(t) Ecuacin de movimiento del sistema


http://geot.civil.metro-u.ac.jp/archives/eq/

M

gMovimiento del

papel

El sistema masa resorte oscila en un movimiento armnico simple

Para ser un movimiento armnico simple, la fuerza restauradora del resorte debe

obedecer a la Ley de Hooke


mk =

FRECUENCIA CIRCULAR O ANGULAR DEL SISTEMA

radianes por segundo (rad/seg)

FRECUENCIA NATURAL DEL SISTEMA

Hertz o ciclos porsegundo (cps)

2 T =

PERODO DELMOVIMIENTO

Tiempo

Yy = Y Sen T

Desplazamiento Desplazamiento

Frecuencia

2 1 ==

Tf

Segundos (seg)


Perodo

Es el tiempo requerido para que un objeto de masa m vinculada a un resorte de constante k, complete un ciclo en su movimiento.

Frecuencia natural

Representa el nmero de ciclos por segundo. Las unidades son ciclos/segundo Hertz, Hz.

Frecuencia angular

Est relacionada a la frecuencia. La frecuencia angular d el nmero de radianes por segundo.

km2T =

mk

21

T1

==

mk2 ==


Tiempo

Desplazamiento

La posicin de la masa, en cualquier instante de tiempo t, puede calcularse apartir de:

= t

TAy 2cos

La amplitud (A) del movimiento es el mximo desplazamiento a partir de la posicin de equilibrio.

Asumiendo que y tiene su mximo valor positivo para t=0


Un mismo vocabulario ..

F = Frecuencia = Frecuencia angularT = PeriodoA = Amplitud = Fase

f = 1T

= 2 f = 2T

( )

( )

=

=

=

- 2cos

- 2cos

- cos

tT

Ay

ftAy

tAy


Cuando es igual a 90 grados, cambia de coseno a seno

Tt2

si )(2

cos

- 2cos

o

=

=

=

Ttt

Ay

tT

Ay

o

t)sen( 2

- cos =

t


La Fase est relacionada al tiempo de inicio

tAy cos=

) - ( tsenAy =

) - os( 2 tcAy =

Historia de velocidades

Historia de aceleraciones

( ) cos = tAy

La velocidad est 90 grados fuera de fase con y. Cuando y es mx, y es mn

La aceleracin est 180 grados fuera de fase

Caso particular = 0

Rep

rese

ntac

in

grf

ica

del

mov

imie

nto


El pndulo simple es otro ejemplo de movimiento armnico simple

F = mgsin

sin = x

x2 + L2

xL

F mgL

x

=gL

= max cos(t )La frecuencia es independiente de la masa y

de la amplitud (para ngulos pequeos )


La fuerza es la componente del peso, tangente al desplazamiento de la masa

El pndulo simple es otro ejemplo de movimiento armnico simple

gL2T =

En general, el movimiento de un pndulo no es armnico simple. Sinembargo, para ngulos pequeos, se hace un movimiento armnicosimple. Angulos < 15 son suficientemente pequeos.

El perodo depende de la longitud del pndulo y la aceleracin de la gravedad

en la locacin del elemento.

Perodo de vibracin


Pnd

ulo

sim

ple

com

para

do

con

sist

ema

mas

a-re

sort

eSistema oscilatorio ms simple

Resortes en Paralelo y en Serie

En ocasiones es necesario determinar la constante del resorte equivalente deun sistema en el que dos o ms resortes estn dispuestos en paralelo o enserie.

Resortes en Paralelo

k1

y

k2

k1 k2F

y = y1 + y2

Resortes en Serie

k1

y m

k2 k3

EN

PARALELO 21e k k k +=

=

=n

1iie k k

Si Ke denota la rigidez equivalente del resorte para la combinacin de los tres resortes, entonces para la misma deformacin esttica y se

tiene que:W = ke y

Para este caso se tiene como condicin de equilibrio que:

W = mg = k1 y + k2 y

Entonces:

En general, si se tienen n resortes con constantes k1, k2, ....kndispuestos en paralelo, entonces la constante del resorte

equivalente puede determinarse como:


k1 k2 F

y = y1 + y2

11 k

F y =2

2 kF y =

Sustituyendo los valores de y1 y y2 dentro del desplazamiento total, y = y1 + y2, nosqueda:

21 kF

kF y +=

Siendo la constante del resorte equivalente del sistema igual a:yF ke =

21e k1

k1

k1

+= =

=n

1i ie k1

k1

Entonces, la relacin entre los valores recprocos de las constantes de los resortespuede expresarse convenientemente en la forma:

EN

SERIE


PL

EI

y

3PLy3EI

=

rr

FF K y K = y

=

La flecha mxima para una viga en voladizo (cantiliver)

de seccin constante y uniforme, con carga P

aplicada en el extremo libre es igual a:

La rigidez se define como la fuerza necesaria para que ocurra undesplazamiento unitario.

3LEI3K =

Rigidez de la viga en el voladizo

... siendo Fr = P, entonces:

Rigidez de una viga

Rigidez de un prticoRel

aci

n en

tre

Fuer

za y

D

efor

mac

in

La relacin Fuerza-Desplazamiento ser lineal para deformaciones pequeas, pero puede llegar a ser nolineal para grandes deformaciones

Rigidez de un prtico

En el caso de sistemas elstico lineales, en donde fs = ku, el valor de k se obtienefcilmente por esttica.

Si la viga es muy rgida: EIb = 3 3columnas

12EIc EIcK 24h h

= =

Si la viga no tiene rigidez: EIb = 0 3 3columnas

3EIc EIcK 6h h

= =

Para casos intermedios, se puede demostrar 3

96 EIcK7 h

= Para L = 2H, EIb = EIc

Rigidez de un prtico

Para cualquier valor de Ib e Ic, se puede calcular la rigidez lateral del prticousando los coeficientes de rigidez para un elemento a flexin. Si se desprecia ladeformacin por corte, la expresin puede escribirse como:

c3

24EI 12 1kh 12 4

+=

+

Donde es la relacin de rigidez viga-columna.bc

I4I

=

Encontrar la Rigidez equivalente

k1 k2

k3

k4

k5

m

k1 + k2

k3

k4

m

3 45 5

3 4

3 4

k k1 + k = k1 1 k +k+k k

+

m

equivalente

3 41 2 5

3 4

k kk = k +k +k +k +k

kequivalente

21T = m y2

m y + ky = 0 Ecuacin de movimientodel sistema

La ecuacin de movimiento del modelo anterior puede ser obtenido tambin usando elPrincipio de Conservacin de la Energa.

T = Energa CinticaU = Energa Potencial

T + U = constante d (T + U) = 0dt

Si no existe disipacin de energa debido a amortiguamiento, el sistema es conservativo. La energa cintica y potencial son dadas por:

21U = k y2

2 2d d 1 1(T + U) m y + k y = 0dt dt 2 2

my(t)

k

Usando el Principio de Conservacin de la Energa

Sistema no conservativo

Tipos de amortiguamiento:

Amortiguamiento Viscoso

Amotiguamiento seco o de Coulomb

Amortiguamiento histertico.

k1

y m

k2

c

F(t)

Sistemas no conservativos

Amortiguamiento viscoso (Viscous Damping, dashpot)

El proceso mediante el cual el movimiento disminuye en amplitud es llamadoAmortiguamiento (Damping)

Mecanismo de disipacin de energa en el cual el movimiento es resistido poruna fuerza proporcional a la velocidad, pero de direccin opuesta.

fD : fuerza de amortiguamiento.c : coeficiente de amortiguamiento.

: velocidad.

Fuerza, FD

Velocidad, Df c y=

yc

1

y

]/*[: longitudtiempofuerzacunidades

Amortiguamiento seco o de Coulomb

Este amortiguamiento corresponde al fenmeno fsico de friccin entresuperficies secas. La fuerza de friccin FC es igual al producto de la fuerzanormal de la superficie N , y el coeficiente de friccin . Tiene signo contrario ala direccin de la velocidad.

N

CFC

-N y(t) > 0F (y)= 0 y(t) = 0

N y(t) < 0

N = m g

y = y1 + y2

m y + mg (SGN(y)) + ky = 0

Ecuacin de movimiento del sistema

k1

Amortiguamiento histertico

Este amortiguamiento se presenta cuando un elemento estructural es sometidoa inversiones en el sentido de la carga aplicada cuando el material del elementose encuentra en el rango inelstico o no lineal.

El hecho que la curva de carga tenga una trayectoria diferente a la curva dedescarga implica que no toda la energa de deformacin acumulada en elelemento se convierte en energa cintica en el ciclo de descarga.

La diferencia entre las dos reas de carga y descarga corresponde a la energa disipada por el sistema y que se convierte en

calor, ruido y otros tipos de energa.

Energa disipada

y m

kc

F(t)

l0 + st

Deflexin esttica

st stm y = W - cy - k(y+ ) + F(t) m y = mg - cy - ky - k + F(t)

como: entonces se obtiene:

m y + cy + ky = F(t) Ecuacin de movimientodel sistemastk = W

= m yF

F(t)

cy k(y+ )st

W = mg

m

Diagrama de cuerpo libre, con elresorte deformado a una distancia y

Ecuacin de movimiento de un sistema masa-resorte amortiguado

Amortiguadores en Paralelo y en Serie

Cuando los amortiguadores aparecen combinados, pueden ser reemplazadospor un amortiguador equivalente con un procedimiento similar al descrito paralos resortes, entonces:

Amortiguadores en Paralelo

y

c1F

y = y1 + y2

Amortiguadores en Serie

c1

k1

c2

n

e ii=1

c = c

c2m m m

n

i=1e i

1 1 = c c

Slide Number 1Slide Number 2Slide Number 3Slide Number 4Slide Number 5Slide Number 6Slide Number 7Slide Number 8Slide Number 9Slide Number 10Slide Number 11Slide Number 12Slide Number 13Slide Number 14Slide Number 15Slide Number 16Slide Number 17Slide Number 18Slide Number 19Slide Number 20Slide Number 21Slide Number 22Slide Number 23Slide Number 24Slide Number 25Slide Number 26Slide Number 27Slide Number 28Slide Number 29Slide Number 30Slide Number 31Slide Number 32Slide Number 33Slide Number 34Slide Number 35Slide Number 36Slide Number 37Slide Number 38Slide Number 39Slide Number 40Slide Number 41Slide Number 42Slide Number 43Slide Number 44Slide Number 45Slide Number 46Slide Number 47Slide Number 48Slide Number 49Slide Number 50

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